Các bài tập hàm số liên tục

CÁC BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN Vấn đề 1 : Tìm giới hạn của hàm đa thức f(x) tại x = a ·Phương pháp : Ví dụ : Tìm các giới hạn sau : Vấn đề 2 : Tìm giới hạn của hàm phân thức hữu tỷ tại x = a ·Phương pháp : – Nếu thì – Nếu và thì – Nếu và thì có dạng tính Ví dụ : Tìm các giới hạn sau : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Vấn đề 3: Tìm giới hạn tại x = a , của hàm số có chứa căn bậc hai ·Phương pháp : Khử dạng vô định bằng cách nhân thêm biểu thức liên hợp Cần nhớ : · a – b = · a – b = Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Vấn đề 4: Tìm giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ ( có dạng ) ·Phương pháp : Chia tử và mẩu cho bậc cao nhất Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 1. 2. 3. 4. 5. 6.= 7. 8. 9. 10. 11. Vấn đề 5 : Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số có chứa căn bậc hai ·Phương pháp : – Trường hợp 1 : Khử dạng vô định bằng cách chia tử và mẩu cho lũy thừa lớn nhất – Trường hợp 2 : Khử dạng vô định bằng cách nhân thêm lượng biểu thức liên hợp · Cần nhớ : x ® + ¥ thì x = x® – ¥ thì x = – Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 1. 2. 3. = 4. 5. 6. ( dạng .0 ) đs : 2 7. HÀM SỐ LIÊN TỤC Vấn đề 1 : Xét tính liên tục của hàm số tại điểm : Phương pháp : Cần kiểm tra 3 điều kiện – Tính – Tính – So sánh = Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số : 1.f(x) = tại x = 1 , x = 2 Tại x = 1 : Ta có : f(1) = – 2 = f(1) Vậy f(x) liên tục tại x = 1 Tại x = 2 thì f(x) không xác định Vậy f(x) không liên tục tại x = 2 2.f(x) = Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 Tacó : f(1) = 5 Không tồn tại Vậy f(x) không liên tục tại x = 1 3. f(x) = Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2 Ta có : f(2) = 2 = f(2) Vậy f(x) liên tục tại x = 2 4. f(x) = Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 ) 5.f(x) = Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 ) 6. Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2 ( f(x) liên tục tại x = 2 ) 7. Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 0 ( f(x) liên tục tại x = 0 ) 8.Cho các hàm số f(x ) sau , có thể gán cho f(1) giá trị để f(x) liên tục tại x =1 a. f(x) = Ta có : Để f(x) liên tục tại x =1 thì gán f(1) = –1 Vậy f(x) = b. f(x) = Ta có : Nên f(x) không có giới hạn tại x = 1 Vậy không thể gán giá trị cho f(1) để f(x) liên tục tại x = 1 9.Định a để f(x) liên tục tại x = x a. f(x) = Định a để f(x) liên tục tại x = 2 b. f(x) = Định a để f(x) liên tục tại x =1 ( a = 2 ) c.f(x) = Định a để f(x) liên tục tại x = 0 Ta có : f(0) = a + 2 Þ f(x) liên tục tại x = 0 , khi và chỉ khi : f(0) = = Û a = – 3 Vậy a = –3 thì f(x) liên tục tại x = 0 d. f(x) = Định a để f(x) liên tục tại x = 0 ( a = 2 ) e. f(x) = Chứng minh f(x) liên tục tại x = 0 Vấn đề 2:Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) f(x) gián đoạn tại xÛ f(x) không liên tục tại x ·Phương pháp : f(x) gián đoạn tại x khi : – hoặc f(x) không xác định tại x – hoặc không tồn tại – ¹ f( x) Ví dụ :Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) 1. f(x) = Tại x = 2 thì f( x ) không xác định Vậy f(x) gián đoạn tại x = 2 2. f(x) = f(x) xác định " x Î R {1;2} f(x) là hàm hữu tỉ Þ f(x) liên tục " x Î R {1;2} · Khi x ¹ 1 : Ta có f(x) == Þ f(x) không xác định tại x = 2 Þ f(x) gián đoạn tại x = 2 · Khi x =1 : Ta có f(1) = – 2 Þ = f(1) Þ f(x) liên tục tại x = 1 Vậy f(x) chỉ gián đoạn tại x = 2 Vấn đề 3 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên toàn trục số : ·Phương pháp : Sử dụng định lí Các hàm đa thức , hàm số hữu tỷ , hàm số lượng giác thì liên tục trên tập xác dịnh của chúng Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R : 1. f(x) = 3x–2x³ + x² – 3x + 2 Ta có : f(x) = 3x–2x³ + x² – 3x + 2 là hàm đa thức Vậy f(x) liên tục trên R 2. f(x) = TXD : D = R {1} Ta có : f(x) = là hàm hữu tỷ Vậy f(x) liên tục trên D = R {1} 3. f(x ) = liên tục trên R 4. f(x) = liên tục trên R {1} 5.f(x) = Vấn đề 4: Xét tính liên tục của hàm số f(x) cho bởi các biểu thức giải tích trên trục số : ·Phương pháp : – Tìm “ điểm nối ” a giữa hai công thức – Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên hai khoảng (– ¥ ; a ) và ( a ; + ¥ ) – Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = a Ví dụ :Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R : 1. f(x) = · x ¹ 2 thì f(x) = liên tục " x ¹ 2 · x = 2 , Ta có : f(2) = a – Nếu a = –1 thì f(2) = nên f(x) liên tục tại x = 2 – Nếu a ¹ 1 thì f(2) ¹ nên f(x ) không liên tục tại x = 2 Vậy a = – 1 thì f(x) liên tục trên R a ¹ 1 thì f(x) liên tục trên ( – ¥ ; 2 ) và ( 2 ; + ¥ ) 2. f(x) = · Với x < 3 thì f(x) = là hàm phân thức hữu tỷ Þ f(x) liên tục trên khoảng ( – ¥ ; 3 ) · Với x > 3 thì f(x) = 2x + b là hàm đa thức Þ f(x) liên tục trên khoảng ( 3 ; + ¥ ) · Tại x = 3 , ta có f(3) = 6 + b – Nếu 6 + b = –1 Û b = – 7 thì = = f(3) nên f(x) liên tục tại x = 3 – Nếu 6 + b ¹ –1 Û b ¹ – 7 thì ¹ nên f(x) không liên tục tại x = 3 Vậy b = – 7 thì f(x) liên tục trên R b ¹ – 7 thì f(x) liên tục trên khoảng ( – ¥ ; 3 ) và ( 3 ; + ¥ ) 3.f(x) = a = 0 thì f(x) liên tục trên R a ¹ 0 thì f(x) liên tục trên khoảng ( – ¥ ; 2 ) và ( 2 ; + ¥ ) Vấn đề 5: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm x Î( a ; b ) ·Phương pháp : – Chứng minh f(x) liên tục trên [ a ; b] – Chứng minh f(a).f(b)< 0 Ví dụ : 1.Chứng minh phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt Giải Đặt f(x) = x³ – 3x + 1 thì f(x) liên tục trên R Ta có : thì $ xÎ( 1 ; 2 ) : f( x) = 0 thì $ xÎ(– 1 ; 1 ) : f( x) = 0 thì $ xÎ( –1 ;– 2) : f( x) 0 Vậy phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt 2. Chứng minh phương trình : 2x+ 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc ( -1 ; 1) Giải Đặt f(x) = 2x+ 4x² + x – 3 thì f(x) liên tục trên R Ta có : thì $ ít nhất xÎ( 0 ; 1 ) : f( x) = 0 thì $ ít nhất xÎ( 0 ;– 1 ) : f( x) = 0 Vậy phương trình : 2x+ 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc ( -1 ; 1) 3.Chứng minh phương trình : x= x+ 1 có nghiệm Giải Đặt f(x) = x– x– 1 thì f(x) liên tục trên R Ta có : thì $ ít nhất xÎ( 0 ; 1 ) : f( x) = 0 Vậy phương trình : x– x– 1 = 0 có nghiệm 4.Chứng minh phương trình : x–3x = 1 có ít nhất một nghiệm thuộc ( 1 ; 2) ( f(1).f(2)< 0 ) 5.Chứng minh phương trình : m( x – 1)³.( x + 2 ) + 2x + 3 = 0 luôn có nghiệm ( f(1).f( – 2) < 0 ) 6.Chứng minh phương trình : a( x – b )( x – c ) + b.( x – a )( x – c ) + c.( x – a)( x – b ) = 0 luôn có nghiệm ( f(a). f(b).f(c).f(0) £ 0 )