Các bài toán thiết lập phương trình đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng

CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG I. CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Người ta hay dùng các dạng sau đây để viết phương trình đường thẳng Phương trinh chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương , là Phương trinh tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương , là Phương trinh tổng quát của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương , là Phương trình tổng quát là ; Phương trình này nhận làm VTPT và nhận làm VTCP. Đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc k có phương trình dạng Phương trình theo đoạn chắn: Đường thẳng cắt 2 trục Ox, Oy tại A(a;0), B(0;b) vói có dạng CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN LOẠI 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BIẾT VECTƠ CHỈ PHƯƠNG VÀ MỘT ĐIỂM CỦA NÓ Đây là 1 trong nhứng phương pháp cơ bản để viết phương trình đường thẳng. rất nhiều bài toán quy về trường hợp này ( đặc biệt là trường hợp đường thẳng đi qua 2 điểm . Như vậy 2 yếu tố cần xác định là Vectơ chỉ phương của đường thẳng. Ta hay xác đinh VTCP như sau Tìm 2 điểm A, B phân biệt thuộc đường thẳng. Khi đó VTCP Xác định xem đường thẳng cần tìm có song song hay vuông góc với đường thẳng cho trước hay không. Điểm M thuộc đường thẳng cần tìm được xác định: Giao điểm của 2 đường thẳng biết trước nào đo. Điểm có 1 tính chất nào đó (Trung điểm của đoạn thẳng, hình chiếu của 1 điểm nào đó trên đường thẳng,…) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là và .Viết phương trình đường thẳng AC. GIẢI Gọi đường cao AH : 6x – y – 4 = 0 và đường trung tuyến AD : 7x – 2y – 3 = 0 Ta có M là trung điểm AB BC qua B và vuông góc với AH BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = 0 x + 6y + 9 = 0 D là trung điểm BC C (- 3; - 1) AC qua A (1; 2) có VTCP nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0 3x – 4y + 5 = 0 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) là giao điểm của 2 đường chéo Ac và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của canh CD thuộc đường thẳng : x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB. Giải Ta có I (6; 2); M (1; 5) : x + y – 5 = 0 E(m; 5 – m); Gọi N là trung điểm của đoạn AB. Khi đó I là trung điểm của NE N (12 – m; m – 1) Ta có MN vuông góc với IE nên (11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = 0 m – 6 = 0 hay 14 – 2m = 0 m = 6 hay m = 7 * Với m = 6 nên pt AB là y = 5 *m = 7 nên pt AB x – 1 – 4(y – 5) = 0 x – 4y + 19 = 0. Vậy đường thẳng AB có 2 phương trình là y = 5 và x – 4y + 19 = 0. Ví dụ 3:Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM và đường phân giác trong CD có phương trình tương ứng là . Viết phương trình đường thẳng BC Giải Qua A kẻ đường vuông góc với CD cắt BC tại E. Giả sử đường vuông góc này cắt CD tại I. Vì CD là phân giác của góc C nên Do CD có phương trình nên đường AE có phương trình Mà AE lại qua A(1;2) nen ta có Vậy AE có phương trình Tọa độ điểm I là nghiệm hệ Từ đó suy ra Vì C nằm trên đường phân giác nên ta có . Từ đó M là trung điểm của AC nên Điểm M nằm trên trung tuyến BM nên ta có Đường thẳng BC qua và nên có phương trình Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đỉnh A(4;-1), phương trình một đường cao, một đường trung tuyến vẽ từ cufnbg một đỉnh lần lượt là và . Viết phương trình các cạnh của tam giác Giải Ta thấy đỉnh A không thuộc 2 đường thẳng và nên các đường cao và đường trung tuyến ấy không đi qua A. Giả sử 2 đường cao và đường trung tuyến ấy vẽ từ B. Tọa độ B là nghiệm hệ Cạnh AB đi qua A và B nên phương trình canh AB là Do AC vuông góc BH nên cạnh AC có phương trình Do A thuộc AC nên Vậy phương trình cạnh Ac là Tọa độ M là nghiệm hệ Vì M là trung điểm AC nên Đường thẳng BC qua B và C nen có phương trình là Ví dụ 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng d1: và d2: và điểm P(2;1). Viết phương trình đường thẳng qua P và cắt d1, d2 tương ứng tại A và B sao cho P là trung điểm của AB. Giải Vì A thuộc d1 nên Vì B thuộc d2 nên Ta có ; Vì P là trung điểm AB nên Do đó Vậy phương trình đường AB là Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(1;3) và 2 đường trung tuyến xuất phát từ B và C là và . Lập phương trình các cạnh của tam giác Giải Gọi G là trọng tâm của tam giác. Tọa độ G là nghiệm hệ Vẽ hình bình hành BGCE.Theo tính chát của các đường trung tuyến trong tam giác ta có GE=GA Từ đó suy ra Do EC//BG nen EC có dạng E thuộc nên ta có Phương trình của EC là Tọa độ C là nghiệm hệ Tương tự ta có Biết tọa độ 3 đỉnh A, B, C ta có phương trình các cạnh AB, Ac, BC lần lượt là ; ; LOẠI 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM VÀ CÓ HỆ SỐ GÓC k. Phương pháp này thường dùng để viết viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và thỏa một số yêu cầu nào đó ( thường là yêu cầu liên quan đến khoảng cách). Chú ý rằng đường thẳng đi qua có 2 dạng và . Khi làm bài, trừ trường hợp có sẵn dạng nếu không phải xét đủ 2 trường hợp nói trên. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương trình đường thẳng qua M sao cho khoảng cách từ N tới nó bằng 5. Giải Đường thẳng qua M (1;4) nen có 2 dạng là khi đó . Vậy là đường thẳng cần tìm. có dạng Khi đó có phương trình là Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là và Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 điểm A(1;2) và B(5;-1). Viết phương trình đường thẳng qua M(3;5) và cách đều A,B. Giải Đường thẳng đi qua M(3;5) có hai dạng khi đó . Vậy : là đường thẳng cần tìm có dạng . Khi đó ta có có phương trình là Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là và Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy rõ nếu không xét trường hợp thì ó thể dẫn đến trường hợp mất nghiệm của bài toán. LOẠI 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT ĐỂ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Khi sử dụng phương trình dưới dạng này bài toán quy về tìm A,B,C. Thông thường từ các dữ kiện ban đầu ta sẽ có một hoặc hai phương trình để tìm A,B,C. Vì thế ta phải sử dụng điều kiện để từ hệ thức giữa A, B sẽ cho A hoặc B là một giá trị cụ thể, từ đó sẽ tìm được B hoặc A. Lưu ý rằng đó chính là quy tắc chung để giải hệ phương trình mà số phương trình ít hơn số ẩn. Sử dụng phương pháp này sẽ thích hợp cho bài toán loại 2, mà không cần xét trường hợp và . VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương trình đường thẳng qua M sao cho khoảng cách từ N tới nó bằng 5. Giải Gọi đường thẳng cần tìm là với Do qua M nen ta có Suy ra có dạng Ta có Thay B=0 vào phương trình ta được Thay vào phương trình ta được Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là và Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 điểm A(1;2) và B(5;-1). Viết phương trình đường thẳng qua M(3;5) và cách đều A,B. Giải Gọi đường thẳng cần tìm là với Do qua M(3;5) nen ta có Suy ra có dạng Ta có Thay B=0 vào phương trình ta được Thay vào phương trình ta được Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là và LOẠI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THEO ĐOẠN CHẮN Người ta sử dụng cách viết phương trình theo đoạn chắn trong những bài toán mà yêu cầu đầu bài đòi hỏi tính toán các giao điểm (a;0) và (0;b) của đường thẳng với trục hoành trục tung. Chỉ cần lưu ý rằng thì VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;2). Viết phương trình đường thẳng qua M sao cho OAB là tam giác vuông cân, ở đây A, B là giao điểm của đường thẳng đó với trục hoành, trục tung. Giải Giả sử d là đường thẳng cần tìm qua M. Gọi A(a;0), B(0;b) lần lượt là giao điểm của d với trục hoành, trục tung Khi đó theo phương trình đoạn chắn , d có dạng Vì M thuộc d nên ta có Do tam giác OAB vuông cân đỉnh O nên ta có Ta có hệ Vậy có 2 đường thẳng cần tìm và Ví dụ 2: Cho điểm M(4;3) . Viết phương trình đường thẳng d qua M sao cho nó tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 3. Giải Giả sử Khi đó theo phương trình đoạn chắn , d có dạng Vì M thuộc d nên ta có Ta có Giải hệ (1) và (2) ta được Vậy có 2 đường thẳng cần tìm và LOẠI 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH CHÙM ĐƯỜNG THẲNG Giả sử đường thẳng và đường thẳng cắt nhau tại I. Khi đó mọi đường thẳng d đi qua I có dạng (1) với là phương trình chùm đường thẳng sinh bởi d1 và d2. Người ta sử dụng phương trình chùm đường thẳng để giái các bài toán có dạng sau: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm I là giao diểm của 2 đường thẳng cho trước và thỏa yêu cầu nào đó. Phương pháp giải + Viết phương trình (1) + Dựa vào điều kiện đầu bài lập một hệ thức liên hệ giữa . + Từ hệ thức tìm được dựa vào điều kiện để chọn giá trị thích hợp của . VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 đường thẳng và và điểm P(2;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua P và giao điểm của d1 và d2. Giải Đường thẳng d đi qua giao điểm của d1 và d2 nên nó thuộc chùm Do d qua P(2;1) nên ta có Do nên chọn Thay vào phương trình (1) ta có phương trình của d là Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Ba cạnh của tam giác có phương trình lần lượt là ; ; . Viết phương trình ba đường cao của tam giác. Giải Phương trình AA’: Phương trình BB’: Phương trình CC’: II. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải các bài toán loại này ngoài việc sử dụng các kiến thức về đường thẳng còn sử dụng nhiều kiến thức về tọa độ vectơ trong mặt phẳng. LOẠI 1: XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG Đây là 1 trong nhứng phương pháp chính để xác định điểm trong mặt phẳng. Người ta dựa vào điều kiện đầu bài để quy điểm cần tìm là giao điểm của 2 đường thẳng xác định nào đó. Các đường thẳng này hoặc đã có sẵn hoặc phải tìm phương trình. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho tam giác ABC , biết hình chiếu vuông góc của C lên Ab là H(-1;-1). Đường phân giác trong của A có phương trình , đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y-1=0. Tìm tọa độ đỉnh C. Giải Giả sử và Gọi H'(a;b) là điểm đối xứng của H qua d1. Khi đó H’ thuộc đường thẳng AC. là VTCP của d1. vuông góc với và trung điểm của HH’ thuộc d1 Do đó tọa độ của H' là nghiệm của hệ phương tr.nh Đường thẳng AC đi qua H’ vuông góc d2 nên có vectơ pháp tuyến là và có phương tr.nh Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương tr.nh Đường thẳng CH đi qua với vectơ pháp tuyếnnên có phương tr.nh Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương tr.nh Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(-1;-2) đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương tr.nh là và T.m toạ độ các đỉnh A và B. Giải Giả sử , Ac vuông góc nên Ac có phương trình dạng Vì C thuộc AC nên Phương trình AC là A là giao điểm của AC và AM nên tọa độ A là nghiệm hệ B thuộc nên M là trung điểm BC nên M thuộc AC Vậy B(5;0) Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(0;2) và . Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB (Đại học –khối A – 2004) Giải Đường thẳng qua O và vuông góc với có phương trình x + 3y = 0 Đường thẳng qua B và vuông góc với có phương trình (Đường thẳng qua A và vuông góc với có phương trình ) Giải hệ hai trong ba phương trình trên ta được trực tâm Đường trung trực cạnh OA có phương trình Đường trung trực cạnh OB có phương trình (Đường trung trực cạnh AB có phương trình x + 3y = 0) Giải hệ hai trong ba phương trình trên ta được tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là . LOẠI 2: XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ PHÉP TÍNH VECTƠ Các bài toán xác định điểm nhờ vào phép toán vectơ như các công thức về khoảng cách, tích vô hướng của 2 vectơ… VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng d: x - 2y -1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6 (Đại học – khối B- năm 2004) Giải Phương trình đường thẳng AB là Giả sử C(x,y). Ta có C thuộc đường thẳng d nên x - 2y -1 = 0 Mà Giải hệ (1) và (2) ta được Giải hệ (1) và (2’) ta được Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng: d1: x + y – 2 = 0, d2: x + y – 8 = 0.T.m tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. (Đại học – khối B -2007) Giải Ta có B thuộc d1, C thuộc d2 nên B(b;2 − b),C(c;8 − c). Từ giả thiết ta có hệ: Đặt x = b −1, y = c − 4 ta có hệ Giải hệ trên ta được x = −2, y = −1 hoặc x = 2, y =1. Suy ra: B(−1;3),C(3;5) hoặc B(3;−1),C(5;3) . Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng: d1 : x + y + 3 = 0, d2 : x - y - 4 = 0, d3 : x - 2y = 0.T.m tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2. (Đại học – khối A – 2006) Giải T.m điểm M thuộc d3 sao cho d (M,d1 ) = 2d (M,d2 ) Vì M thuộc d3 nên M(2y; y). Ta có: Với y = -11 được điểm M1 (-22;-11). Với y =1 được điểm M2 (2; 1). Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng và . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết A thuộc d1; C thuộc d2; còn B và D thuộc trục hoành. (đại học – khối A – 2005) Giải Vì A thuộc nên A(t;t). Vì B, D nằm trên trục hoành nên A và C đối xứng với nhau qua BD nên Mà C thuộc nên Vậy điểm Trung điểm AC là I(1;0). Vì I là tâm của hình vuông nên Ta có Suy ra hoặc , hoặc Vậy tọa độ các đỉnh của hình vuông là , , Hoặc , , . Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tr.n (C) và hai đường thẳng : x – y = 0, : x – 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tr.n biết đường tròn tiếp xúc , và tâm K thuộc đường tròn ©. ( Đại học – khối B- 2009) Giải Phương tr.nh 2 phân giác (,): Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và ©: Phương trình vô nghiệm Phương trình hoành độ giao điểm của d2 và ©: Vậy Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(1;0), B(-2;4), C(-1;4) và D(3;5). Giả sử d là đường thẳng có phương trình 3x-y-5=0. Tìm điểm M thuộc d sao cho tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau. Giải Ta có . Gọi là tọa độ của điểm M Do M thuộc d nên ta có Đường thẳng AB đi qua A, B có phương trình Đường thẳng CD qua C và D có phương trình Ta có Từ (1) và(2) suy ra Vậy có 2 điểm M cần tìm và Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có diện tích bằng và hai điểm A(2;-3), B(3;-2). Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 3x-y-8=0. Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác. Giải Gọi M là trung điểm của AB . Phương trình của đường thẳng AB là Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên Giả sử . Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 3x-y-8=0 nên ta có Ta có nên khoảng cách từ G đến AB Giải hệ (1) và (2) ta được Do G là trọng tâm tam giác nên ta có hoặc BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Cho hình thoi có một đường chéo có phương trình là , một cạnh có phương trình là , một đỉnh là (0;1). Viết phương trình ba cạnh còn lại và đường chéo thứ hai của hình thoi. Đáp án: đường chéo thứ hai Ba cạnh còn lại Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương trình đường thẳng qua N sao cho khoảng cách từ M đến nó bằng 2. Đáp án: và Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3;1). Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt 2 trục ox, oy tương ứng tại A, B sao cho OA+OB đạt giá trị bé nhất Đáp án: Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;0) và 2 đường thẳng lần lượt chúa đường cao kẻ từ B và C có phương trình và . Tính diện tích tam giác ABC. Đáp án: 14 đvdt Bài 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tạo với d một góc 45o. Đáp án: và Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;2). Đường trung tuyến BM và đường phân giác CD tương ứng có phương trình và . Viết phương trình đường thẳng BC Đáp án : Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, . Biết M(1;-1) là trung điểm BC và là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. Đáp án: A(0;2), B(-2;-2), C(4;0) A(0;2), B(4;0), C(-2;-2) Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A và trọng tâm . Phương trình đường BC là , phương trình đường thẳng BG là . Tìm tọa độ cá đỉnh A, B, C của tam giác. Đáp án: A(0;3), B(0;-2), C(4;0) Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật có tâm , phương trình đường thẳng AB là và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B,C, D biết A có hoành độ âm. Đáp án: A(-2;0), B(2;2), C(3;0), d(-1;-2) Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(0;2) và đường thẳng d: . Tìm trên d hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông ở A và AB=2BC. Đáp án: và C(0;1) hoặc III. CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Người ta thường dùng 2 dạng phương trình đường tròn sau phương trình (điều kiện ) có tâm , bán kính Giả sử và đường thẳng d: . Gọi h là khoaeng cách từ tâm I(a;b) của © đến đường thẳng d. Khi đó: nếu h>R: © và d không cắt nhau h=R: © và d tiếp xúc nhau h<R: © và d cắt nhau tại 2 điểm. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN LOẠI 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN ĐI QUA 3 ĐIỂM KHÔNG THẲNG HÀNG CHO TRƯỚC Đây là dạng bài tập cơ bản nhất. Ta có thể sử dụng cả 2 cách viết phương trình đường tròn để giải. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(-2; -2) và C(4; -2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương tr.nh đường tr.n đi qua các điểm H, M, N. (Đại học - Khối A – 2007) Giải Ta có M(−1; 0), N(1; −2), Giả sử H(x, y). Ta có: Giả sử phương tr.nh đường tr.n cần t.m là Thay tọa độ của M, N, H vào pt trên ta có hệ điều kiện Vậy phương tr.nh đường tr.n cần t.m là: x2 + y2 − x + y − 2 = 0 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC , hai cạnh AB và AC theo thứ tự có phương trình là và . Cạnh BC có trung điểm M(-1;1). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải Tọa độ điểm a là nghiệm của hệ Gọi P là trung điểm của AC khi đó MP//AB nên MP có phương trình dạng Do M thuộc Mp nên m=0. Suy ra phương trình của MP là Tọa độ P là nghiệm hệ Do P là trung điểm của AC suy ra Tương tụ ta có Phương trình đường tròn đi qua ba điểm , và là Như vậy viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm có 2 bước: Tìm tọa độ 3 điểm Lập hệ phương trình để xác định tham số a,b,c trong phương trình tổng quát LOẠI 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG THẲNG HOẶC ĐƯỜNG TRÒN CHO TRƯỚC Để giải bài toán loại ày cần thành thạo kiến thức sau: Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng đó bằng bán kính R Hai đường tròn và tiếp xúc ngoài ( tiếp xúc trong) với nhau khi và chỉ khi VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tr.n (C) và hai đường thẳng : x – y = 0, : x – 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tr.n biết đường tròn tiếp xúc , và tâm K thuộc đường tròn ©. (Đại học - KHỐI B – 2009) Giải Phương tr.nh 2 phân giác (,): Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và ©: Phương trình vô nghiệm Phương trình hoành độ giao điểm của d2 và ©: Vậy Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn © tiếp xúc với trục hoành tại điểm Avaf khoảng cách từ tâm của © đến B bằng 5. (Đại học – khối B – 2005) Giải Giả sử © có tâm I(a;b) và bán kính là R. © tiếp xúc với trục Ox tại A nên suy ra và Ta có Với a=2; b=1 ta có phương trình đường tròn là Với a=2; b=7 ta có phương trình đường tròn là Vậy có 2 đương tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 3: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng x=5 và tiếp xúc với 2 đường thẳng và Giải Gọi I(5;b) là tâm đường tròn cần tìm Do đường tròn cần tìm tiếp xúc với 2 đường thẳng d1 và d2 nên ta có Khi b=-2 ta có , phương trình của đường tròn là Khi b=8 ta có , phương trình của đường tròn là Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng và điểm A(-1;1). Viết phương trình đường tròn © qua A, gốc tọa độ O và tiếp xúc với d. Giải Gọi M là trung điểm của OA. Khiđó Ta có là vectơ pháp tuyến của đường trung trực đoạn OA. Phương trình đường trung trực của đoạn OA là Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực này nên tọa độ điểm Theo đề bài ta có Khi a=0 thì bán kính của đườn