Các dạng bài tập - Chương I: Động lực học vật rắn

CHƯƠNG I: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN VẤN ĐỀ 1: CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM CỦA VẬT RẮN Dạng 1: Xác định khối tâm của các vật rắn. - Vận dụng công thức tính tọa độ của khối tâm. - Chọn gốc tọa độ thích hợp khi xác định vị trí khối tâm. Ví dụ 1: Một thanh AB đồng chất tiết diện đều dài 60cm, khối lượng 100g. Xác định khối tâm của hệ trong hai trường hợp: a. Gắn thêm vật m = 200g vào đầu A. b. Gắn thêm vật m vào A và m’ = 500g vào đầu B. Xem các vật m, m’ như là chất điểm. Ví dụ 2: a. Một thanh mảnh AB đồng chất tiết diện đều có chiều dài l, khối lượng m. Tại đầu B của thanh người ta gắn một chất điểm khối lượng m/2. Khối tâm của hệ (thanh AB và chất điểm) cách đầu A một đoạn bằng bao nhiêu? ( Đề thi TSĐH 2008) b. Cho ba quả cầu nhỏ tương ứng là m1, m2 và m3 được gắn lần lượt tại các điểm A, B và C (B nằm trong khoảng AC) trên một thanh cứng khối lượng không đáng kể. Biết m1 = 1kg, m3 = 4kg và BC = 2AB. Để hệ (thanh và 3 quả cầu) có khối tâm nằm tại trung điểm BC thì m2 có khối lượng bao nhiêu? Ví dụ 3: a. Có ba quả cầu nhỏ đồng chất khối lượng m1, m2 và m3 được gắn theo thứ tự tại các điểm A, B và C trên một thanh AC hình trụ mảnh, cứng, có khối lượng không đáng kể sao cho thanh xuyên qua tâm của các quả cầu. Biết m1 = 2.m2 = 2m và AB = BC. Để khối tâm của hệ nằm tại trung điểm của AB thì khối lượng của m3 phải bằng bao nhiêu? (Đề thi TSĐH 2007) b. Một thanh mảnh AB đồng chất tiết diện đều có chiều dài l, khối lượng m. Một vật nhỏ khối lượng m được đặt tại đầu A. Hỏi khối tâm của hệ cách đầu B một đoạn bằng bao nhiêu? Ví dụ 4: Tại ba đỉnh của tam giác đều ABC, cạnh a có đặt lần lượt 3 chất điểm m1 = 3.m2 = 3.m3. Xác định vị trí khối tâm G của hệ 3 chất điểm đó. Ví dụ 5: Một đĩa tròn đồng chất tiết diện đều có bán kính R = 6cm, khối lượng m = 80g. Gắn trên vành đĩa hai vật nhỏ xem như hai chất điểm tại A, B có khối lượng mA = mB = 20g. Biết OA vuông góc OB. Xác định khối tâm của hệ (đĩa và 2 chất điểm). Ví dụ 6: Tìm khối tâm của một hình tròn đồng tâm O bán kính R, bị khoét một phần hình tròn tâm O’, bán kính r’ = R/4. Biết rắng OO’ = R/2. Dạng 2: Chuyển động của khối tâm của vật rắn. - Vận dụng định lý về chuyển động của khối tâm của vật rắn: m. - Chú ý: + Định lý về chuyển động của khối tâm cũng được áp dụng cho hệ nhiều vật. + Các bài tập về định luật bảo toàn động lượng đều có thể giải thích bằng định luật về chuyển động của khối tâm. A a b B Ví dụ 1: Một chiếc thuyền chiều dài a, khối lượng m. Hãy xác định đoạn đường dịch chuyển của thuyền khi một người có khối lượng m’ bắt đầu đi từ tay lái ở cuối thuyền đến mũi thuyền. Bỏ qua lực cản của nước. Biết lúc đầu người và thuyền đứng yên. ĐS: s = - m’.a/(m + m’) Ví dụ 2: Hai lăng trụ đồng chất A, B có khối lượng m, m’ tiết diện ngang là các tam giác vuông. Lăng trụ A đặt trên mặt phẳng ngang, lăng trụ B đặt trên đỉnh của A. Bỏ qua ma sát, tính độ dịch chuyển s của A khi B trượt từ đỉnh đến chân lăng trụ A. Cho các cạnh a, b như hình vẽ. ĐS: s = m.(a - b)/(m + m’). VẤN ĐỀ 2: CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Mômen quán tính. - Mômen quán tính của một chất điểm có khối lượng m cách trục quay D một đoạn r là: I = m.r2. - Mômen quán tính của vật rắn quay quanh trục D là: I = . - Mômen quán tính của vật rắn đồng chất có dạng hình học xác định (trục quay là trục đối xứng) + vành tròn hoặc hình trụ rỗng bán kính R: I = m.R2. + đĩa tròn hoặc hình trụ đặc bán kính R: I = m.R2/2. + hình cầu rỗng bán kính R: I = 2m.R2/3. + hình cầu đặc bán kính R: I = 2m.R2/5. + thanh dài l quay quanh trục đối xứng: I = m.l2/12. - Định lý Stainơ – Huyghen: ID = IG + m.d2. + ID là mômen quán tính của vật rắn đối với trục D//D. + IG là mômen quán tính của vật rắn đối với trục D. + d là khoảng cách giữa trục D và trục D. 2. Vật rắn quay quanh một trục cố định. - Hai dạng phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định. M = I.g M = với L là mômen động lượng của vật rắn đối với trục quay. - Định luật bảo toàn mômen động lượng: khi M = 0 thì L = I.w = hằng số. - Động năng của vật rắn quay quanh một trục cố định: Wđ = - Động năng của vật rắn chuyển động song phẳng + Vật rắn chuyển động song phẳng thì các điểm của nó chuyển động trong những mặt phẳng song song với nhau. + Động năng của vật rắn: Wđ = Dạng 1: Mômen quán tính của hệ thống chất điểm của vật rắn. - Áp dụng công thức tính mômen quán tính. - Chú ý: gọi m là khối lượng của vật rắn, khoảng cách r xác định bởi I = m. r2 được gọi là bán kính quán tính của vật rắn. Ví dụ 1: Thanh AB dài 20cm khối lượng không đáng kể, có gắn ở mỗi đầu một quả cầu nhỏ khối lượng lần lượt là m = 250g và m’ = 500g. Tính mômen quán tính của hệ đối với trục quay là trung trực của AB. Ví dụ 2: Thanh AB dài 20cm tiết diện đều, đồng chất, khối lượng m = 100g. Ở mỗi đầu có gắn một quả cầu nhỏ khối lượng bằng nhau m’ = 200g. Tính mômen quán tính của hệ đối với trung trực AB. Ví dụ 3: a. Thanh AB đồng chất, tiết diện đều, dài l, khối lượng m, được gắn với trục D vuông góc với thanh tại A. Tính mômen quán tính của thanh AB đối với trục D. b. Thanh AB đồng chất, tiết diện đều, dài l, có khối lượng không đáng kể. Đầu A gắn chất điểm m, đầu B gắn chất điểm 3m. Tính mômen quán tính của hệ đối với trục vuông góc AB và đi qua trung điểm. Ví dụ 4: Tính bán kính quán tính của một đĩa tròn đồng chất có bán kính R. Dạng 2: Chuyển động của vật rắn quay quanh một trục. - Áp dụng các công thức về động học vật rắn. - Nếu liên quan đến mômen lực thì áp dụng hai phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định. - Trường hợp hệ vật vừa có chuyển động quay và chuyển động tịnh tiến thì: + Tìm sự liên hệ giữa chuyển động quay và chuyển động tịnh tiến thông qua các công thức: x = s = j.R ; v = w.R; a = g.R. + Áp dụng định luật II Niutơn cho chuyển động tịnh tiến và phương trình động lực học cho chuyển động quay. - Trường hợp tổng các mômen lực bằng 0 thì lưu ý áp dụng định luật bảo toàn động lượng để tính w tại các thời điểm. - Khi vật rắn chuyển động song phẳng thì áp dụng công thức động năng của vật: Wđ = - Khi có ngoại lực làm biến đổi động năng của vật rắn thì áp dụng định lý về động năng: Ví dụ 1: a. Tại thời điểm t = 0, một vật rắn bắt đầu quay quanh trục cố định xuyên qua vật với gia tốc góc không đổi. Sau 5s nó quay được một góc 25rad. Tính vận tốc góc tức thời tại thời điểm 5s trên và góc mà vật quay được trong giây thứ năm. b. Một bánh xe đang quay với tốc độ góc 24rad/s thì bị hãm. Bánh xe quay chậm dần đều với độ lớn gia tốc góc là 2rad/s2. Tính thời gian từ lúc hãm đến lúc bánh xe dừng lại hẳn và góc mà vật quay được trong 2s cuối. c. Một vật rắn quay quanh một trục cố định đi qua vật có phương trình chuyển động j = 10 + t2 (t đo bằng s, j đo bằng rad). Tính tốc độ góc và góc mà vật quay được sau 5s kể từ lúc t = 0. Ví dụ 2: a. Một bánh xe có mômen quán tính đối với trục quay D cố định là 6kg.m2 đang đứng yên thì chịu tác dụng của một mômen lực 30N.m đối với trục quay trên. Bỏ qua mọi lực cản. Sau bao lâu, kể từ khi bắt đầu quay, bánh xe đạt tới vận tốc góc có độ lớn 100rad/s. b. Một thanh dài có khối lượng m = 100g, đồng chất tiết diện đều chịu tác dụng của một mômen lực 3N.m. Thanh quay quanh trục D vuông góc với thanh và đi qua trung điểm với gia tốc không đổi. Biết rằng sau thời gian t = 4s, thanh quay được một góc 16rad. Tính chiều dài của thanh. c. Một thanh cứng có chiều dài 1,0m, khối lượng không đáng kể. Hai đầu có gắn hai chất điểm có khối lượng 2kg và 3kg. Thanh quay đều xung quanh trục đi qua trung điểm và vuông góc với thanh với tốc độ góc 10rad/s. Tính mômen động lượng của hệ đối với trục quay. d. Một thanh mảnh đồng chất có khối lượng m, chiều dài l. Thanh có thể quay xung quanh một trục đi qua một đầu thanh. Thả cho thanh quay không vận tốc đầu từ vị trí nằm ngang. Hỏi khi qua vị trí thẳng đứng thanh có tốc độ góc bằng bao nhiêu? Ví dụ 3: Ròng rọc là một đĩa tròn đồng chất khối lượng m = 10kg, bán kính R = 30cm đang quay với tốc độ góc 30rad/s thì được hãm lại. Sau 2s kể từ lúc hãm ròng rọc có tốc độ góc 10rad/s. Tính mômen hãm tác dụng lên ròng rọc. Ví dụ 4: Một ròng rọc khối lượng m = 400g phân bố đều trên vành bán kính r = 10cm. a. Tính mômen quán tính của ròng rọc đối với trục của nó. b. Quấn trên rãnh ròng rọc một dây khối lượng không đáng kể, không dãn, một đầu gắn vào ròng rọc, đầu kia gắn vào vật A khối lượng m’ = 0,6kg. Buông cho vật A chuyển động, tính gia tốc của A và lực căng dây. Lấy g = 10m/s2. (2 cách: dùng M = I.g và M = dL/dt) Ví dụ 5: Ròng rọc là một đĩa tròn đồng chất khối lượng m = 200g, bán kính r = 10cm có thể quay quanh trục nằm ngang qua tâm. Một dây mảnh khối lượng không đáng kể, không dãn, vắt qua ròng rọc, hai đầu dây có gắn hai quả cân A, B khối lượng m1 = 500g, m2 = 400g. Lúc đầu hệ đứng yên, buông cho hai quả cân chuyển động lúc t = 0. Lấy g = 10m/s2. a. Tính gia tốc của các quả cân và gia tốc góc của ròng rọc. b. Tính lực căng dây. c. Tính góc quay của ròng rọc sau 2s kể từ lúc các quả cân bắt đầu chuyển động. Ví dụ 6: Một ròng rọc có bán kính r = 2cm có thể quay quanh một trục nằm ngang qua tâm O. Một dây nhẹ không dãn vắt qua rãnh của ròng rọc, hai đầu dây có gắn hai vật nhỏ A, B có khối lượng là 1,5kg và 1kg. Dây không trượt trên rãnh ròng rọc. Khi hai vật chuyển động, người ta tác dụng vào ròng rọc một mômen cản Mc = 0.02N.m. Lấy g = 10m/s2. Tính gia tốc các vật trong hai trường hợp: a. Bỏ qua khối lượng của ròng rọc. b. Khối lượng của ròng rọc là m = 100g phân bố đều trên vành.