Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC Cho hàm số ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau: Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm . - Tính đạo hàm và giá trị . - Phương trình tiếp tuyến có dạng: . Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc . Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là . - Giải phương trình: , tìm nghiệm . - Phương trình tiếp tuyến dạng: . Chú ý: Cho đường thẳng , khi đó: - Nếu Þ hệ số góc k = a. - Nếu Þ hệ số góc . Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm . - Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó - Điều kiện tiếp xúc của là hệ phương trình sau phải có nghiệm: Tổng quát: Cho hai đường cong và . Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm. . Cho hàm số a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): Tại điểm có hoành độ . Tại điểm có tung độ y = 3. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: . Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: . Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là: x3 + mx2 + 1 = – x + 1 x(x2 + mx + 1) = 0 (*) Đặt g(x) = x2 + mx + 1 . d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệtg(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0. . Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0 . Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: (nhận so với điều kiện) Cho hàm số . (ĐH Khối-D 2007) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác OAB bằng ĐS: và . Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: (*) (m là tham số). (ĐH Khối-D 2005) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2. b. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M song song với đường thẳng ĐS: m=4. Cho hàm số . Định m để tiếp xúc với trục hoành. Cho hàm số . Định m để tiếp xúc với trục hoành. Cho đồ thị hàm số . Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C). Cho đồ thị hàm số . Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C). Cho đồ thị hàm số . Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C). Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1) (ĐH Khối-B 2008) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9). CĐ CT Lời giải: a. D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ = 0 Û x = 0 hay x = 1. BBT : x -¥ 0 1 +¥ y' + 0 - 0 + y 1 +¥ -¥ -1 b. Tiếp tuyến qua M(-1;-9) có dạng y = k(x + 1) – 9. Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng : 4x3 – 6x2 + 1 = (12x2 – 12x)(x + 1) – 9. Û 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1) Û 2x3 – 3x2 + 5 = 6(x2 – x)(x + 1). Û x = –1 hay 2x2 – 5x + 5 = 6x2 – 6x Û x = –1 hay 4x2 – x – 5 = 0. Û x = –1 hay x = ; y’(-1) = 24; . Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = x. Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm sô ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ: - Nghiệm của phương trình là hoành độ của điểm cực trị. - Nếu thì hàm số đạt cực đại tại . - Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại . Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp - Để hàm số có 2 cực trị . - Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành . - Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung . - Để hàm số có hai cực trị nằm phía trên trục hoành . - Để hàm số có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành . - Để hàm số có cực trị tiếp xúc với trục hoành . Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Dạng 1: hàm số Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. Cho hàm số . Định m để: Hàm số luôn có cực trị. Có cực trị trong khoảng . Có hai cực trị trong khoảng . Định m để hàm số đạt cực đại tại x = 2. Cho hàm số y = x3 -3x2+3mx+3m+4. Khảo sát hàm số khi m = 0. Định m để hàm số không có cực trị. Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu. Cho hàm số . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy. Cho hàm số . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. Cho hàm số . Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương. ĐS: . Cho hàm số (1), m là tham số. (ĐH Khối-B năm 2007) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1. b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ. ĐS : b . Cho hàm số (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1. b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị. (ĐH Khối-B năm 2002) b. ĐS : Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN-NGHỊCH BIẾN Cho hàm sô có tập xác định là miền D. - f(x) đồng biến trên D . - f(x) nghịch biến trên D . (chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D) Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: . 1. Nếu thì f(x) luôn cùng dấu với a. 2. Nếu thì f(x) có nghiệm và f(x) luôn cùng dấu với a khi . 3. Nếu thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng dấu với a. So sánh nghiệm của tam thức với số 0 * * * 1. Cho hàm số . Định m để: a. Hàm số luôn đồng biến trên R. b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng . 2. Cho hàm số . a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng . b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng . Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2). Khảo sát sự tương giao giữa hai đồ thị (C1) và (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Số giao điểm của (C1) và (C2) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1). (1) vô nghiệm Û (C1) và (C2) không có điểm chung. (1) có n nghiệm Û (C1) và (C2) có n điểm chung. (1) có nghiệm đơn x1 Û (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1). (1) có nghiệm kép x0 Û (C1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0). Cho hàm số có đồ thị là (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên. b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình . Cho hàm số . a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3. b. Tìm các giá trị của k để phương trình có nghiệm duy nhất. Cho hàm số . (ĐH Khối-D 2006) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. ĐS: b. . Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2 (1) (m là tham số) (ĐH Khối-A 2002) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm k để phương trình - x3 + 3x2 + k3 - 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). ĐS: b. , c. . Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Các công thức về khoảng cách: Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): . Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng và điểm M(x0;y0) khi đó . Cho hàm số . Định m để có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất. Cho hàm số . Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. Cho hàm số . Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: (*) (m là tham số) (ĐH Khối-A 2005) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = . b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên bằng . ĐS: m=1. Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp: Từ hàm số ta đưa về dạng . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có là nghiệm của hệ phương trình . Cho hàm số . Chứng minh rằng luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi. Cho hàm số . Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua ba điểm cố định. Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y = f(x) có đồ thị (C) có đồ thị (C’) có đồ thị (C “) . Do đó ta phải giữ nguyên phần phía trên trục Ox và lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox lên trên. có , nên đây là hàm số chẵn do đó có đồ thị đối xứng qua trục tung Oy. Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: . (ĐH Khối A-2006) a. ĐS: b. 4<m<5. Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG Điểm là tâm đối xứng của đồ thị Tồn tại hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa: Vậy là tâm đối xứng của (C) . Cho hàm số (m là tham số). a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. (ĐH Khối B-2003) ĐS: a. Þ … m>0. Cho hàm số có đồ thị . Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục tung. Cho hàm số . Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi qua điểm M(1;-1). Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1) (ĐH Khối D-2008) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Lời giải: a. D = R. y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2), y' = 0 Û x = 0, x = 2. y" = 6x - 6, y" = 0 Û x = 1. x - ¥ 0 1 2 +¥ y' + 0 - | - 0 + y" - - 0 + + y 4 + ¥ CĐ 2 CT - ¥ U 0 2. d : y - 2 = k(x - 1) Û y = kx - k + 2. Phương trình hoành độ giao điểm: x3 - 3x2 + 4 = kx - k + 2 Û x3 - 3x2 - kx + k + 2 = 0. Û (x - 1)(x2 - 2x - k - 2) = 0 Û x = 1 Ú g(x) = x2 - 2x - k - 2 = 0. Vì D' > 0 và g(1) ≠ 0 (do k > - 3) và x1 + x2 = 2xI nên có đpcm!. Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN Định nghĩa: (d) là tiệm cận của (C) Cách xác định tiệm cận Tiệm cận đứng: . Tiệm cận ngang: . Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=lx+m trong đó: . Các trường hợp đặc biệt: *Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến) +TXĐ: D= R\ +TCĐ: +TCN: Cho hàm số có đồ thị (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất. Cho hàm số có đồ thị (H). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến D của (H) tại giao điểm với trục tung. c. Tìm những điểm N (xN >1) thuộc (H) sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến D ngắn nhất. HD câu b, c. * Gọi M klà giao điểm của (C) với trục tungÞ. Phương trình tiếp tuyến là hay . * Lấy . Khi đó . Đặt . . * Khảo sát hàm trên khoảng , , , (lập bảng biến thiên …) * Do nên ta chỉ nhận nghiệm thay vào N ta được . Vậy thì . ----------------- Dạng 10: DIỆN TÍCH-THỂ TÍCH Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp) a. Diện tích x y O f(x) g(x) b a Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức: x y O f(x) x(x) b a y x c d O ÆChú ý: Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b. b. Thể tích Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox được tính bởi công thức: Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C): x=x(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy được tính bởi công thức: Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox (f(x)³g(x), "xÎ[a;b]) được tính bởi công thức:. * * * Dạng 10 này sẽ được trình bày cụ thể hơn trong chuyên đề Tích phân-Ứng dụng. ---------------------- KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số mũ y=ax; TXĐ D=R Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x -¥ 0 +¥ x -¥ 0 +¥ y +¥ 1 -¥ y +¥ 1 -¥ Đồ thị Hàm số lgarit y=logax, ĐK:; D=(0;+¥) Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x 0 0 +¥ x 0 0 +¥ y +¥ 1 -¥ y +¥ 1 -¥ Đồ thị Các công thức Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, nÎR ta có: anam =an+m; ;(=a-m ; a0=1; a-1=); (an)m =anm ; (ab)n=anbn; ; . Công thức logarit: logab=cÛac=b (00) Với 00; aÎR ta có: loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga= logax1-logax2; ; logaxa=alogax; ;(logaax=x); logax=;(logab=) logba.logax=logbx; alogbx=xlogba. Phương trình và bất phương trình mũ-logarit Phương trình mũ-logarit Phương trình mũ: 4Đưa về cùng cơ số +0<a¹1: af(x)=ag(x) (1) Û f(x)=g(x). + 0<a¹1: af(x)=b Û. Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) Û(a-1)[f(x)-g(x)]=0 4Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số.. Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2), (7),… Nếu trong một phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) rồi đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x. 4Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x)Û f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c¹1. phương trình logarit: 4Đưa về cùng cơ số: +logaf(x)=g(x)Û +logaf(x)= logag(x)Û. 4Đặt ẩn phụ. Bất phương trình mũ-logarit Bất phương trình mũ: 4 af(x)>ag(x) Û; 4 af(x)³ag(x) Û. Đặt biệt: * Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x) Û f(x)>g(x); af(x)³ag(x) Û f(x)³g(x). * Nếu 0ag(x) Û f(x)<g(x); af(x)³ag(x) Û f(x)£g(x). Bất phương trình logarit: 4logaf(x)>logag(x)Û; 4logaf(x)³logag(x)Û . Đặt biệt: + Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x) Û ; + Nếu 0logag(x) Û . MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I. Biến đổi thành tích Ví dụ 1: Giải phương trình: . Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích:. Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Ví dụ 2: Giải phương trình: . Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích. II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có: . Thay vào (*) ta tìm được x. Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi D là số chính phương. Ví dụ 2: Giải phương trình: . Đặt t = log3(x+1), ta có: Þ x = 8 và x = 2. III. Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kÎR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì "u, v Î(a,b) ta có . Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì :. Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì có nghiệm thuộc (a;b). Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. Ví dụ 1: Giải phương trình: . Hướng dẫn: , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: . Phương trình tương đương , giả sử phương trình có nghiêm a. Khi đó: . Xét hàm số , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại sao cho: , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương trình. Ví dụ 3: Giải phương trình:. Viết lại phương trình dưới dạng , xét hàm số là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được viết dưới dạng: . Ví dụ 4: Giải phương trình: . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác. Xét hàm số Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0. HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số . Nếu x < -1 thì suy ra hệ phương trình vô nghiệm. Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 6: Cho . Chứng minh rằng (ĐH Khối D-2007) HD: BĐT . Xét hàm số với x > 0 Suy ra f’(x) 0, nên hàm số nghịch biến vậy với ta có (Đpcm). IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 1.Dạng 1: Khác cơ số: Ví dụ: Giải phương trình . Đặt t = Khi đó phương trình trở thành: . 2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình . Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có . Ví dụ 2: Giải phương trình . Đặt , phương trình tương đương . 3. Dạng 3: ( Điều kiện: b = a + c ) Ví dụ 1: Giải phương trình . Đặt , phương trình tương đương . Ví dụ 2: Giải phương trình . Đặt t = x+4 phương trình tương đương Ví dụ 3: Giải phương trình . 4. Dạng 4: , với Phương pháp: Đặt rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: . Xét . Ví dụ: Giải phương trình . Đặt . Khi đó chuyển thành hệ . Xét hàm sốsuy ra x=y, Khi đó: . Xét hàm số Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2. 5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. Ví dụ: Giải phương trình HD: Viết phương trình dưới dạng , đặt . Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a. b. c. d. e. (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=-1. f. 3.8x+4.12x-18x-2.27x=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1. g. (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1. k. (ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=-1, x=2. i. j. Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: a. b. c. d. (ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (-2;-2) e. (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2). f. (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4) g. (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4). Bài 3: Giải và biện luận phương trình: a . . b . . Bài 4: Cho phương trình (m là tham số). (ĐH_Khối A 2002) a. Giải phương trình khi m=2. b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn . ĐS: a. , b. 0 £ m £ 2 Bài 5: Cho bất phương trình a. Giải bất phương trình khi m=. b. Định m để bất phương trình thỏa. Bài 6: Giải các phương trình sau: a. b. c. d. e. log2x-1(2x2+x-1)+logx+1(2x-1)2=4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4. f. (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3. g. (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23. Bài 7: Giải bất phương trình: a. (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 £ x £ 3. b. (ĐH_Khối B 2008) ĐS: -4 8. c. (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4. d. (ĐH_Khối D 2008) ĐS: . ----------------------- Chuyên đề TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp I. ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 2 Để tính tích phân ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt t = u(x) và tính . Bước 2. Đổi cận: . Bước 3. . Ví dụ 7. Tính tích phân . Giải Đặt . Vậy . Ví dụ 8. Tính tích phân . Hướng dẫn: . Đặt ĐS: . Ví dụ 9. Tính tích phân . Hướng dẫn: Đặt ĐS: . Ví dụ 10. Tính tích phân . Hướng dẫn: Đặt ; đặt ĐS: . Chú ý: Phân tích , rồi đặt sẽ tính nhanh hơn. 2. Đổi biến số dạng 1 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt x = u(t) và tính . Bước 2. Đổi cận: . Bước 3. . Ví dụ 1. Tính tích phân . Giải Đặt . Vậy . Ví dụ 2. Tính tích phân . Hướng dẫn: Đặt ĐS: . Ví dụ 3. Tính tích phân . Giải Đặt . Vậy . Ví dụ 4. Tính tích phân . Hướng dẫn: . Đặt ĐS: . Ví dụ 5. Tính tích phân . ĐS: . Ví dụ 6. Tính tích phân . ĐS: . 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân . Hướng dẫn: Đặt ĐS: . Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân . Hướng dẫn: Đặt ĐS: . Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân . Giải . Vậy . Ví dụ 14. Tính tích phân . Hướng dẫn: Đặt . ĐS: . Biểu diễn các hàm số LG theo : 3.2. Dạng liên kết Ví dụ 15. Tính tích phân . Giải Đặt . Vậy . Tổng quát: . Ví dụ 16. Tính tích phân . Giải Đặt (1). Mặt khác (2). Từ (1) và (2) suy ra . Tổng quát: . Ví dụ 17. Tính tích phân và