Các dạng toán thường gặp trong phép biến hình và phép dời hình

PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN I.Tóm tắt lý thuyết : 1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng , cho véc tơ . Phép tịnh tiến theo véc tơ là phép biến hình , biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho Ký hiệu : . 2.Các tính chất của phép tịnh tiến : a/ Tính chất 1: *Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì MN=M’N’. b/ Tính chất 2: * Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó . HỆ QUẢ : Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng , biến một tia thành một tia , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó . 3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến - Giả sử cho và một điểm M(x;y) . Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M thành điểm M’ thì M’ có tọa độ là : 4. Ứng dụng của phép tịnh tiến BÀI TOÁN 1: TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM Bài toán : Cho một hình H , trên hình H có một điểm M . Tìm quỹ tích của điểm M khi trên hình H có một điểm A thay đổi . ( Thường điểm A chạy trên một đường (C ) cho sẵn ). Cách giải : - Dựa vào các tính chất đã biết , ta tìm ra một véc tơ cố dịnh nằm trên hình H ( Với điều kiện : véc tơ này có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ). - Sau đó dựa vào định nghĩa về phép tịnh tiến ta suy ra M là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véc tơ cố định . - Dựa vào tính chất thay đổi của A ta suy ra giới hạn quỹ tích . Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định . Giải - Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố định , cho nên B’C là một véc tơ cố định . Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo - Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó dựng véc tơ : . Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm . Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường tròn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi . Giải : - Theo tính chất hình bình hành : BA=DC . Nhưng theo giả thiết A,B cố định , cho nên cố định . Ví C chạy trên (O;R) , D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo , cho nên D chạy trên đường tròn O’ là ảnh của đường tròn O - Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng // với AB , sau đó dựng véc tơ . Từ O’ quay đường tròn bán kính R , đó chính là đường tròn quỹ tích của D. Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B . Tìm điểm M trên (O;R) và điểm M’ trên (O’R’) sao cho . Giải a. Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R). Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc tơ . Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến . Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao của đường tròn ảnh với đường tròn (O’;R’). b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm được N trên (O;R) là giao của (O;R) với đường tròn ảnh của (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB c/ Số nghiệm hình bằng số các giao điểm của hai đường tròn ảnh với hai đường tròn đã cho . Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi . Các đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q . Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ ? Giải - Tam giác MPQ có QA là một đường cao , vì vậy nếu ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt QA tại trực tâm H . OA là đường trung bình của tam giác MNH suy ra : . Vậy phép tịnh tiến theo biến điểm M thành điểm H . Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên đường tròn ảnh của (O;AB) qua phép tịnh tiến . - Tương tự đối với tam giác NPQ . - Giới hạn quỹ tích . Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi hai điểm ảnh của A,B . BÀI TOÁN 2: TÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH MA+MB NGẮN NHẤT ( A,B- CỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC ) Cách giải Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d . ( Khi đó đường thẳng d là đường trung trực của AB , suy ra M thuộc d thì MA=MA’ ). Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B , thì đường thằng này cắt d tại M . M sẽ là điểm duy nhất Bước 3: Chứng minh nhận xét trên : Vì MA+MB=MA’+MB=A’B ( không đổi) do A cố dịnh , thì A’ cố định , suy ra A’B không đổi Chú ý : Trường hợp trên xảy ra khi A,B nằm trái phía với d . Ngoài ra : Có trường hợp biến thể là thay đường thẳng d bằng hai đường thẳng // cách nhau một đoạn cho trước không đổi . Ví dụ 1. Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là hai đường thẳng song song ) . Người ta dự kién xây một cây cầu bắc qua sông (MN) và làm hai đoạn thẳng AM và BN .Tìm vị trí M,N sao cho AM+BN là ngắn nhất . Giải - Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho nên . - Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo . Khi đó AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM . - Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA+NB=A’N+NB Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P , trên tia đối của tia CD lấy điểm Q . Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN+QM nhỏ nhất . Giải - Giống bài toán trên là khoảng cách giữa hai cạnh của hình chữ nhật không đổi . cho nên ta thực hiện theo cách của bài toán trên như sau : - Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo .Khi đó MN=QQ’ , suy ra MQ=NQ’ . Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng . - Các bước thực hiện : +/ Tìm Q’ sao cho : +/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N +/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M . Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán . BÀI TOÁN 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG ( C ‘) QUA PHÉP TỊNH TIẾN THEO KHI BIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C ). Cách giải : Bước 1: lấy một điểm M(x;y=f(x) ) trên (C ) Bước 2: Thay x,y vào công thức tọ độ của phép tịnh tiến Bước 3: Rút gọn ta có phương trình F(x;y)=0 . Đó chính là phương trình của (C’ ) cần tìm . Ví dụ . Trong mặt phẳng (Oxy) cho a/ Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau : +/Đường thẳng a có phương trình : 3x-5y+1=0 ? +/Đường thẳng b có phương trình : 2x+y+100=0 b/ Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) : c/ Viết phương trình đường (E) ảnh của (E) : d/ Viết phương trình ảnh của (H) : Giải a/ Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc các đường ảnh của chúng. Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có : Thay x,y vào phương trình các đường ta có : Đường thẳng a’ : 3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 3x’-5y’-12=0 Đường thẳng b’ : 2(x’-1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0 b/ Đường tròn (C’) : hay : c/ Đường (E’) : d/ Đường (H’): Bài tập về nhà : Bài 1. Cho hai đường tròn không đồng tâm (O;R) và (O’;R’) và một điểm A trên (O;R) . Xác định điểm M trên (O;R) và diểm N trên (O’;R’) sao cho . Bài 2. ( Làm bài tập 4;5;6 – HH11NC-trang 9) Bài 3. ( Làm bài tập : 2;3- HH11CB-trang 7 ) Gợi ý Bài 1. Vì : . Do đó N nằm trên đường tròn ảnh của (O;R) . Mặt khác N lại nằm trên (O’;R’) do đó N là giao của đường tròn ảnh với với (O’;R’) . Từ đó suy ra cách tìm : - Vè đường tròn tâm A bán kính R , đường tròn náy cắt (O’;R’) tại N - Kẻ đường thẳng d qua N và song song với OA , suy ra d cắt (O;R) tại M Bài 2. a/ Bài 4-trang 9-HH11NC. - Vì A,B cố định suy ra : . - Từ giả thiết : . Chứng tỏ : . - Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) . b/ Bài 5. - Tọa độ của M’ và N’ là : - Khoảng cách d giữa M,N và khoảng cách d’ giữa M’N’ . Ta có : - Phép F là phép dời hình - Khi : . Đây là công thức của phép tịnh tiến . c/ Bài 6. - Nếu thì khoảng cách giữa hai điểm MN và M’N’ là : . Chứng tỏ MN=M’N’cho nên đó chính là phép dời hình . - Nếu : . Khi đó khoảng cách hai điểm là : . - Rõ ràng : MN< M’N’ : Do đó đây không phải là phép dời hình vì theo định nghĩa : Phép dời hình là phép biến hình biến hai điểm thành hai điểm mà không làm thay đổi khoảng cách giữa chúng . Bài 3. a/ Bài 2- trang 7. - Từ B và C kẻ các đường thẳng // với AG . Sau đó đặt BB’=CC’=AG ( Tứ giác BCC’B’ là hình bình hành ) - A’ sẽ trùng với G . Tam giác GB’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo véc tơ AG . - Nếu D là ảnh của phép tịnh tiến theo véc tơ AG thì : phải trùng với G . b/ Bài 3-trang 7. - Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến : và tọa độ của điểm . - Nếu gọi M(x;y) thuộc đường thẳng d và M’(x’;y’) thuộc đường thẳng d’ : là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc tơ v thì theo công thức tọa độ củ phép tịnh tiến ta có : . Thay vào phương trình của d : (x’+1)-2(y’-2)+3=0 . Hay d’: x’-2y’+8=0 . Bài 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 1. ĐỊNH NGHĨA : * Cho đường thẳng d . Phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó . Biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’ , được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d ( hay là phép đối xứng trục ) . Đường thẳng d gọi là trục đối xứng 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Ta chọn đường thẳng d trùng với trục Ox . Với mỗi điểm M(x;y) , gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục thì : ( Đó chính là biểu thức tọa độ ) 3. TÍNH CHẤT a/ Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ . b/ Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính . 4. TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH Định nghĩa : * Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép dối xứng qua d biến hình H thành chính nó . 5. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN 1. TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM Bài toán : Cho hình H và một điểm A thuộc hình H thay đổi . Tìm quỹ tích của điểm M khi A thay đổi . Cách giải . Bước 1: Xét một vị trí bất kỳ của A và M . Sau dó tìm trên H có một đường thẳng cố định là trung trực của đoạn thẳng AM ( Chính là trục đối xứng ). Nếu A chạy trên một đường (C ) nào đó , theo tính chất của phép dối xứng trục , thì M chạy trên đường (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục . Ví dụ 1. ( Bài 10-tr13-HH11NC ) . Cho hai điểm B,C cố định nằm trên đường tròn (O;R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H nằm trên một đường tròn cố định . Giải - Vẽ hình . Gọi H là giao ba đường cao của tam giác ABC . Kéo dài AH cắt (O;R) tại H’ . Nối CH’ - Chứng minh IH=IH’ . Thật vậy Ta có : ( Góc nội tiếp chẵn cung BH’ ).(1) Mặt khác : . Từ (1) và (2) suy ra : Chứng tỏ tam giác HCH’ là tam giác cân . Do BC vuông góc với HH’ , chứng tỏ BC là đường trung trực của HH’ . Hay H và H’ đối xứng nhau qua BC . Cho nên khi A chạy trên đường tròn (O;R) thì H’ cũng chạy trên (O;R) và H sẽ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục BC - Giới hạn quỹ tích : Khi A trùng với B và C thì tam giác ABC suy biến thành đường thẳng . Vì thế trên đường tròn (O’;R) bỏ đi 2 điểm là ảnh của B,C . * Chú ý : Ta còn có cách khác chứng minh H và H’ đối xứng nhau qua BC . - Kẻ AA’ ( là đường kính của (O) ) suy ra BHCA’ là hình bình hành , cho nên BC đi qua trung điểm I của A’H . - A’H’ song song với BC ( vì cùng vuông góc với AH ) - Từ đó suy ra BC là đường trung bình của tam giác AHH’ – Có nghĩa là BC đi qua trung điểm của HH’ . Mặt khác AH vuông góc với BC suy ra BC là trục đối xứng của HH’ , hay H và H’ đối xứng nhau qua BC. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có trực tâm H a/ Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB,HBC,HCA có bán kính bằng nhau b/ Gọi là tâm các đường tròn nói trên . Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Giải . a/ Giả sử là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , thì theo bài taons của ví dụ 1 chính là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục BC . Cho nên bán kính của chúng bằng nhau . Tương tự hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác còn lại có bán kính bằng bán kính của (O) . b/ Ta hoàn toàn chứng minh được là các ảnh của O qua phép đối xứng trục BC,CA,AB . Vì vậy bán kính các đường tròn này bằng nhau . Mặt khác ta chứng minh tam giác ABC bằng tam giác . BÀI TOÁN 2. TÌM ĐIỂM CHO ĐƯỜNG THẲNG d VÀ HAI ĐIỂM A,B . TÌM ĐIỂM M THUỘC d SAO CHO MA+MB NHỎ NHẤT. ( Khi A,B là hai điểm nằm về một phía của d ), ĐẠT GIÁ TRỊ LỚN NHẤT( A,B nằm về hai phía của d ) Cách giải : Bước 1: Tìm điẻm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d Bước 2: Nối A’B , đường thẳng này cắt d tại M . Là điểm cần tìm . Bước 3: Chứng minh M là điểm duy nhất . Ví dụ 1. (Bài 9-tr13- HH11NC) Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó . Hãy tìm điểm B trên Ox , điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất . Giải . - Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox - Nối A’B’ cắt Ox tại B , cắt Oy tại C . Đó chính là hai điểm cần tìm - Chứng minh B,C là hai điểm duy nhất cần tìm . Thật vậy : Do A’ đối xứng với A qua Oy , cho nên CA=CA’ (1) . Mặt khác : B’ đối xứng với A qua Ox cho nên ta có BA=BB’ (2) . Gọi P là chu vi tam giác ABC thì P=CA+CB+BA =CA’+CB+BB’=A’B’ ( do từ (1) và (2) ). Ví dụ 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm cùng phía với d . Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất ? Giải - Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d - Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm . - Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’ (1). Do đó : MA+MB=MA’+MB=A’B . - Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B. Dấu bằng chỉ xảy ra khi A’M’B thẳng hàng . Nghĩa là M trùng với M’ . Ví dụ 3. Cho đường thẳng d và hai điểm A,B ( nằm về hai phía của d ). Tìm điểm M trên d sao cho đạt GTLN . Giải . - Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d - Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm . - Thật vậy : . Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên d , khi đó : . Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’A’B thẳng hàng , nghĩa là M trùng với M’. Ví dụ 4 . Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) và một đường thẳng d a/ Hãy tìm hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ b/ Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) tạo thành một góc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác trong hoặc ngoài . Giải Vẽ hình : a/ Giả sử M nằm trên (O;R) và M’ nằm trên (O’;R’) tỏa mãn yêu cầu bài toán - Vì d là trung trực của MM’ cho nên M’ nằm trên đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục d . Mặt khác M’ lại nằm trên (O’;R’) do vậy M’ là giao của (C’) với (O’;R’) - Từ đó suy ra cách tìm : Tìm hai đường tròn ảnh của hai đường tròn đã cho qua phép đối xứng trục d ( Lần lượt là (C’) và (C’’) Hai đường tròn này cắt hai đường tròn đã cho tại . Sau đó kẻ hai đường thẳng d’’ và d’’’ qua cắt (O;R) và (O’;R’) tại Các điểm cần tìm là và b/ Nếu MT và MT’ nhận d là phân giác trong hoặc ngoài của góc TIT’ thì MT và MT’ đối xứng nhau qua d . Từ đó suy ra cách tìm : - Gọi d’ là ảnh của MT qua phép đối xứng d nghĩa là d’ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d. Mặt khác d’ là tiếp tuyến của (O’;R’) . Cho d’ là tiếp tuyến chung của (C ) với (O’;R’) . Từ đó ta suy ra cách tìm M : Tìm (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d Kẻ d’ là tiếp tuyến chung của (C ) và (O’;R’) . Khi đó d’ cắt d tại M . Chính là điểm cần tìm . Tương tự áp dụng cho (O’;R’) Số nghiệm hình bằng số giao điểm của các tiếp tuyến chung cắt d . BÀI TOÁN :3 TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG Bài toán : Cho điểm A(x;y) và một đường thẳng d : ax+by+c=0 . Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ? Cách giải : Bước 1: Gọi B(x’;y’) là điểm đối xứng với A qua d và H là trung điểm của AB thì điều kiện : Bước 2: Giải hai điều kiện (1) và (2) suy ra tọa độ của B Ví dụ 1. Cho điểm M(2;3) tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d : y=x Giải - Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng nhau qua d thì điều kiện là : - Ta có : . - Điều kiện (*) Ví dụ 2. Cho điểm M(2;-3) . Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d : y-2x=0 Giải - Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng nhau qua d thì điều kiện là : - Ta có : . - Điều kiện (*) BÀI TOÁN :4 CHO ĐƯỜNG (C ) VÀ ĐƯỜNG THẲNG d HÃY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C’) LÀ ẢNH CỦA (C ) QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC d CÁCH GIẢI Bước 1: Trên đường (C ) lấy hai điểm A,B Bước 2: Tìm hai điểm A’,B’ đối xứng với A,B qua phép đối xứng trục d Bước 3: Viết phương trình đường (C’) đi qua A’,B’ Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-2y-2=0 và đường thẳng d’: y=x . Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d’ qua đường thẳng d . Giải - Tìm giao của d và d’ bằng A(x;y) là nghiệm của hệ : .A(-2;-2) - Trên d’ lấy điểm M (3;3) . Gọi N(x;y ) là điểm đối xứng với M qua d .Gọi H là trungđiểm của MN thì điều kiện để M,N đối xứng nhau qua d là : (*) - Ta có : - Điều kiện (*) . - Đường thẳng (m) là đường thẳng đi qua AN có véc tơ chỉ phương là , nên (m) có phương trình là : . Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng d: 2x-y+2=0 ; d’ : x+3y-3=0 . Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng d’ . Giải - Tìm tọa độ điểm A là giao của d với d’ . Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ hai phương trình : - Trên đường thẳng d chọn điểm M(0;2) - Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d’ . Khi đó nếu M,N đối xứng nhau qua d’ thì điều kiện : (*) Với H là trung điểm của MN , là véc tơ chỉ phương của d’ . Ta có : . - Điều kiện (*) - Đường thẳng (m) =(AN) đi qua và có véc tơ chỉ phương . Do đó (m) : . Ví dụ 3 . Cho đường tròn (C ) : và đường thẳng d : 2x-y+2=0. Hãy viết phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục d . Giải Do tính chất của phép đối xứng trục biến (C ) thành (C’) có cùng bán kính . Cho nên ta chỉ cần tìm tọa độ tâm I’ của (C’) đối xứng với tâm I của (C ) . Vậy từ giả thiết ta có tâm I của (C ) có tọa độ : I(2;-1) và R=2 . - Gọi I’(x;y ) là tâm của (C’)H là trung điểm của II’ , là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d . Để I’ đối xứng với I qua d thì điều kiện : (*) -Ta có : . - Điều kiện (*) - Vậy (C’): . Ví dụ 4. Cho (E) : . Và đường thẳng d : x+y-2=0 . Lập phương trình (E’) là ảnh của (E) qua phép đối xứng trục d . Giải Vẽ (E) chỉ ra tọa độ các đỉnh của trục lớn : A(3;0) ,A’(-3;0) và tọa độ hai đỉnh của trục nhỏ : B(0;2) ;B’(0;-2 ) - Tìm tọa độ của 4 đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là ảnh của 4 đỉnh hình chữ nhật cơ sở của (E) đã cho . Bằng cách giải các bài toán nhỏ như ở trên , dễ dàng tìm được tạo độ của O’(2;2) là ảnh của O(0;0) , M’(4;5) là ảnh của M(-3;-2 ). N’(4;-1 ) là ảnh của N(3;-2) . P’(0;-1) là ảnh của P(3;2) và Q’( 0;5) là ảnh của Q(-3;2) . - Áp dụng cách vữ (E) ta suy ra cách vẽ của (E’) . * Chú ý : Đây là bài toán tương đối khó , chưa gặp trong các đề thi đại học , nhưng lấy ví dụ này là để mở rộng cho trường hợp đối xứng trục . Dù đường (C ) cho là đường gì đi chăng nữa , ta chỉ cần sử dụng tốt kiến thức đã học là có thể giải được . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Gọi m là đường phân giác ngoài của góc A của tam giác ABC . Chứng minh rằng với mọi điểm M trên m , chu vi tam giác MBC không nhỏ hơn chu vi tam giác ABC Bài 2. Cho (E) với hai tiêu điểm . Gọi M là một điểm nằm trên (E) nhưng không nằm trên đường thẳng và m là phân giác ngoài tại đỉnh M của tam giác M. Chứng minh rằng m chỉ cắt (E) tại M duy nhất ( đường thẳng m như thế gọi là tiếp tuyến của E tại M ) Bài 3. Cho đường tròn (C ) : . Tìm phương trình đường tròn (C’) qua phép đối xứng trục d : x-y-0 . Bài 4 . Cho hai đường thẳng d : x-y+2=0 và d’: 3x+4y-1=0 . Tìm đường thẳng m là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xừng trục là d’ . Bài 5. Cho đường thẳng d: x+y-2=0 và hai điểm A(-4;-3) ,B(2;-1) . Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất Bài 6. Cho hai điểm A(4;3) và B(-2;0) . Tìm trên đường thẳng d : x+