Các phép toán đại số trên ma trận

Các phép toán đại số trên ma trận Phép cộng ma trận Có thể cộng hai hoặc nhiều ma trận có cùng kích thước m x n. Cho các ma trận cấp m x n A và B, tổng A + B là ma trận cùng cấp m x n nhận được do cộng các phần tử tương ứng (nghiã là ). Chẳng hạn: Phép nhân ma trận với một số Cho ma trận A và số c, tích cA được tính bằng cách nhân tất cả các phần tử của A với số c (nghĩa là ). Chẳng hạn: Phép nhân ma trận Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận bên trái bằng số dòng của ma trận bên phải. Nếu ma trận A có kích thước m x n và ma trận B có kích thước n x p, thì ma trận tích AB có kích thước m xp xác định bởi: với mọi cặp (i,j). Chẳng hạn: Phép nhân ma trận có các tính chất sau: (AB)C = A(BC) với mọi ma trận cấp k xm A, ma trận m x n B và ma trận n xp C ("kết hợp"). (A + B)C = AC + BC với mọi ma trận cấp m xn các ma trận A và B và ma trận cấp n x k C ("phân phối bên phải"). C(A + B) = CA + CB ("phân phối bên trái"). Rất chú ý rằng phếp nhân ma trận không giao hoán. Định nghĩa Cho số c và ma trận kích thước Tích vô hướng của c với ma trận A là ma trận cùng kích thước Ví dụ Một số tính chất 1.Phân phối với phép cộng ma trận: Với các ma trận A,B cùng kích thước và mọi số c ta có c.(A + B) = c.A + c.B 2.Phân phối với phép cộng các số Với mọi ma trận A và mọi số b,c ta có (b + c).A = b.A + c.A 3.Nhân với số không: Mọi ma trận nhân với số không cho ma trận không cùng cấp. 4.Nhân với đơn vị Mọi ma trận nhân với đơn vị cho kết quả là chính nó. 5.Nhân với ma trận không: Mọi số nhân với ma trận không cho kết quả là chính ma trận không đó. 6.Kết hợp với phép nhân các số Với mọi ma trận A và mọi số b,c ta có b.(c.A) = (b.c).A 7.Tập các ma trận cùng kích thước tạo thành một không gian vectơ với phép cộng ma trận và phép nhân vô hướng Định thức và hệ phương trình đại số tuyến tính Khái niệm định thức xuất hiện đầu tiên gắn với việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn. Hệ này có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của ma trận tương ứng với hệ phương trình này khác 0. Ví dụ hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn: có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận vuông: định thức của nó là: det(A)=ad-bc . Nếu det(A) khác 0, hệ có nghiệm duy nhất . Nếu det(A) = 0 hệ có thể có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào. Nếu e = f = 0, hệ trên là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nó luôn có ít nhất một nghiệm tầm thường là x = 0 và y = 0. Khi đó hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của hệ bằng không. Định thức của ma trận vuông cấp n Cho ma trận vuông cấp n: Định nghĩa định thức nhờ truy hồi Định thức của ma trận A được ký hiệu det(A) hay |A| có thể được định nghĩa bằng hệ thức truy hồi như sau (thường trình bày trong các tài liệu có tính chất ứng dung): Với n = 1, thì det(A)= a11 Với n > 1 (gọi là khai triển định thức theo hàng thứ nhất). ở đó ai,j là phần tử ở hàng i, và cột j, Ci,j là phần phụ đại số của phần tử ai,j trong ma trận A, được tính bằng công thức : , với Mi,j là định thức của ma trận con suy ra từ ma trận gốc A khi xóa đi hàng thứ i, và cột thứ j . Thực ra có thể khai triển theo dòng hoặc cột bất kỳ.(Công thức Laplace) Khai triển theo dòng thứ i: . Khai triển theo cột thứ j: Định nghĩa định thức Định nghĩa của định thức trong đại số tuyến tính liên quan đến khái niệm dấu của hoán vị. Định thức của ma trận vuông cấp n là tổng đại số của n! (n giai thừa) số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử lấy trên các hàng và các cột khác nhau của ma trận A, mỗi tích được nhân với phần tử dấu là +1 hoặc -1 theo phép thế tạo bởi các chỉ số hàng và chỉ số cột của các phần tử trong tích. Gọi Sn là nhóm các hoán vị của n phần tử 1,2,...,n ta có:(Công thức Leibniz) Áp dụng với các ma trận vuông cấp 1,2,3 ta có: =a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 Các tính chất và phép biến đổi trên các hàng và các cột của định thức Cho ma trận A vuông cấp n: Định thức của A bằng không nếu một trong các điều kiện sau xảy ra: A có tất cả các phần tử trên một hàng (hoặc một cột) bằng 0 ; A có hai hàng (hoặc hai cột) tỷ lệ; Tổng quát: A có một hàng (hoặc một cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng (hoặc các cột) khác. Trên các hàng và các cột của A có thể thực hiện các phép biến đổi sau: Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) khác nhau thì định thức đổi dấu; Nếu nhân một hằng số a vào một hàng (hoặc một cột) của A thì định thức của ma trận cuối sẽ là a.det(A) ; Nếu nhân một số a ≠0 vào một hàng (hoặc một cột) của A, và cộng hàng (hoặc cột) này vào một hàng khác (hoặc một cột) thì giá trị của định thức sẽ không đổi . Định thức và các phép toán trên ma trận với mọi ma trận khả tích n-n A và B. Từ đó và với mọi ma trận n-n A và mọi số r. Ma trận A trên một trường là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của A khác 0, trong trường hợp này ta có: Ma trận vuông A và ma trận chuyển vị AT của nó có định thức bằng nhau: Ma trận đơn vị Ma trân đơn vị cấp n trên vành có đơn vị V là ma trận vuông cấp n trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử khác bằng không. Tính chất của ma trận đơn vị: với mọi ma trân vuông cùng cấp AE=EA=A. Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghịch trên vành V nếu tồn tại ma trận A' cùng cấp n sao cho A A' = A' A = E. Khi đó A' được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A−1. Các tính chất Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A là phần tử khả nghịch trong vành V. Nếu A là ma trận trên một trường F thì A là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. Ma trận đơn vị là ma trận khả nghịch. Nếu A, B là các ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và (AB) − 1 = B − 1A − 1. Tập hợp tất cả các ma trận vuông khả nghịch cấp n tạo thành một nhóm với phép nhân ma trận. Tìm ma trận nghịch đảo Định thức con và phần bù đại số Cho ma trận vuông A cấp n và phần tử aij. Định thức của ma trận cấp n-1 suy ra từ A bằng cách xóa đi dòng thứ i, cột thứ j được gọi là định thức con của A ứng với phần tử aij, ký hiệu là Mij. Định thức con Mij với dấu bằng (-1)i+j được gọi là phần bù đại số của phần tử aij, kí hiệu là Aij. Ví dụ: Cho ma trận . Khi đó Tương tự A12=0; A13=0; A21=-3 ;A22 ;A23=0;A31=-1 ;A32=-1;A33=2; Công thức tính ma trận nghịch đảo Nếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được tính bằng công thức: Ví dụ Trong ví dụ trên, ta có = Các bước tìm ma trận nghịch đảo Bước1: Tính định thức của ma trận A Nếu det(A)=0 thì A không có ma trận nghịch đảo A − 1 Nếu det(A)≠0 thì A có ma trận nghịch đảo A − 1, chuyển sang bước 2 Bước2: Lập ma trận chuyển vị A' của A. Bước3: Lập ma trận liên hợp của A được định nghĩa như sau A * = (A'ij)nm với A' = (A'ij) là phần bù đại số của phần tử ở hàng i, cột j trong ma trận A'. Bước4: Tính ma trận Ví dụ Cho . Tính A − 1, nếu có. Nguồn: http:\\vi.wikipedia.org