Các phương pháp giải phương trình vô tỷ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Giải phương trình nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng là bài toán phổ biến và thường xuất hiện trong các đề thi ĐH - CĐ. Đặc biệt với phương trình vô tỷ thì đa số học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc tìm hướng giải quyết và thông thường là học sinh không nhận ra dạng của phương trình đó nên không có hướng giải quyết đúng đắn. Vì vậy trong chuyên đề này tôi xin đưa ra “Các phương pháp giải phương trình vô tỷ” I. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DẠNG CƠ BẢN DẠNG 1: () Cách giải: Bình phương hai vế Giải các phương trình sau a) b) c) d) TQ: () ; DẠNG 2: (1) hoặc (2) Cách giải: (1) (2) Giải các phương trình sau a) b) c) d) e) f) DẠNG 3: ( bậc g(x) = 1) (3) Cách giải: (3) Giải các phương trình sau a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) l) DẠNG 4: () (4) Cách giải: ĐK: , sau đó bình phương hai và tiếp tục biến đổi đưa về dạng 3 Bài 1: Giải các phương trình sau a) b) c) d) e) f) g) h) i) Bài 2: Giải các phương trình sau a) b) c) d) e) f) DẠNG 5: II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI DẠNG 1: (trong đó ) Cách giải: Đặt t = (t 0), phương trình đã cho trở thành Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) l) m) n) o) p) q) r) (HD: chia 2 vế cho x) DẠNG 2: ( trong đó ; (hằng số)) Cách giải: - ĐK: Đặt t = (t 0), phương trình trở thành Giải các phương trình sau a) b) c) d) e) DẠNG 3: Cách giải: - ĐK: Đặt t = (tìm đk của t) Giải các phương trình sau a) b) c) d) e) DẠNG 4: Cách giải: - ĐK: Đặt t = Giải các phương trình sau a) b) c) DẠNG 5: () Cách giải: - ĐK: Đặt t = ( t 0), suy ra Phương trình đã cho trở thành Giải tương tự với t = Giải các phương trình sau a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) l) (đặt t = ) m) n) o) p) r) t) DẠNG 6: ( ) Cách giải: - ĐK: Xét các khả năng sau - Nấu f(x) = 0 thì g(x) = 0 dẫn đến giải hệ - Nếu f(x) > 0, ta chia 2 vế của pt cho f(x) ta được Đặt t = (t 0), pt đã cho trở thành - Nếu f(x) < 0, ta chia 2 vế của pt cho -f(x) Ngoài ra đối với dạng toán này ta có thể đặt với điều kiện là . Ta chuyển phương trình đã cho về phương trình đẳng cấp bậc hai và tiếp tục giải Giải các phương trình sau a) b) c) d) e) e) f) III. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN DẠNG: (abc 0) Cách giải: ĐK: Đặt t = () - Là bài bài toán đặt ẩn phụ nhưng trong đó vẫn còn chứa ẩn x và xem như một hằng số Giải các phương trình sau a) b) c) d) e) f) g) h) k) (pt thành tích) l) (pt thành tích) m) (pt về tích) n) (đặt t = ) o) p) r) s) t) (HD: ) IV. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỶ DẠNG 1: (I) hoặc (II) Cách giải (I) : - ĐK (nếu có) Đặt . Ta được hệ pt Cách giải (II) : - ĐK (nếu có) Đặt . Ta được hệ pt Giải các phương trình sau 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) DẠNG 2: ( trong đó Cách giải: - ĐK Đặt suy ra ta chuyển về hệ đối xứng loại II Giải các phương trình sau a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) l) DẠNG 3: (TQ: ) Cách giải: - Nếu n chẵn thì đk: Đặt y = , ta được hệ pt (hệ đối xứng loại II) Giải các phương trình sau a) b) c) d) e) f) g) h) V. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG CÁCH ĐÁNH GIÁ * Kiến thức vận dụng 1) Bất đẳng thức Côsi: Với 2 số a,b không âm ta có: hay Dấu “=” xảy ra a = b 2) Bất đẳng thức Bunhia-copski Với 2 bộ số (a,b) và (x,y) ta có: (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu “=” xảy ra Cách giải: Bài toán 1: Tìm một nghiệm và chỉ ra nghiệm của phương trình đó nằm trong khoảng nào. Chứng minh nghiệm đó là duy nhất Bài toán 2: Đánh giá đồng thời hai vế của phương trình dạng f(x) = g(x) (1) Nếu . Khi đó (1) Giải các phương trình sau a) b) c) d) e) f) f) g) h) i) k) l) m) VI. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG CÁCH SỬ DỤNG PHÉP LIÊN HỢP Cách giải: Nhẩm nghiệm sau đó thêm bớt đại lượng phù hợp để liên hợp làm xuất hiện nhân tử chung hoặc đưa về một phương trình đã biết cách giải *Kiến thức vận dụng 1) trong đó và là hai biểu thức liên hợp với nhau 2) trong đó và là hai biểu thức liên hợp với nhau 3) trong đó và là hai biểu thức liên hợp với nhau Giải các phương trình sau a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) x) (HD: chia 2 vế cho x) y) VII. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG CÁCH SỬ DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH *Kiến thức vận dụng 1) dấu “=” xảy ra (k > 0) 2) dấu “=” xảy ra (k > 0) 3) dấu “=” xảy ra (k < 0) Giải các phương trình sau a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) l) m) n) o) p) q) VIII. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Cách giải: - C1: Xét hàm số y = f(t) xác định trên D (D là miềm liên tục). Nếu hàm số y = f(t) đơn điệu trên D. Khi đó Phương trình f(x) = f(y) x = y - C2: Xét hàm số y = f(x) và y = g(x). Nếu y = f(x) đồng biến (nghịch biến) và y = g(x) nghịch biến (đồng biến) trên D thi phương trình f(x) = g(x) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Trường hợp đặc biệt: f(x) hoặc g(x) là một hàm hằng Giải các phương trinh sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) Lưu ý: Các bài toán trên có thể giải bằng phương pháp liên hợp