Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] có nguyên hàm là F(x) .
Giả sử u(x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α , β] và có miền giá trị là [a ; b]
thì ta có :
27 trang |
Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 2480 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Các phương pháp tính nguyên hàm tích phân có lời giải, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 1
CHUYÊN ðỀ TÍCH PHÂN
Bảng công thức tích phân bất ñịnh :
∫ = Cdx0 ∫ += Cxdx
1
1
1
−≠+
+
=∫
+
nC
n
x
dxx
n
n Cxdx
x
+=∫ ln
1
∫ += Cedxe xx ∫ = Ca
a
dxa
x
x
ln
∫ +−= Cxxdx cossin ∫ += Cxxdx sincos
∫ += Cxdxx tancos
1
2 ∫ +−= Cxdxx cotsin
1
2
∫ +=
′
Cxudx
xu
xu
)(ln
)(
)( ∫ ++
−
=
−
C
ax
ax
a
dx
ax
ln
2
11
22
∫ +++++=+ Caxx
a
ax
x
dxax 222 ln
22
Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số )(xf liên tục trên ñoạn [ ]ba; có nguyên hàm là )(xF .
Giả sử )(xu là hàm số có ñạo hàm và liên tục trên ñoạn [ ]βα , và có miền giá trị là [ ]ba;
thì ta có :
[ ] [ ] CxuxFdxxuxuf +=∫ )()()('.)(
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a) ∫ +=
1
0
21 1x
xdx
I b) ∫ −=
1
0
2 1x
x
e
dxe
I c) ∫
+
=
e
x
dxx
I
1
3
ln1
Bài làm :
a) ðặt
2
212
dt
xdxxdxdtxt =⇒=⇒+=
ðổi cận :
=→=
=→=
21
10
tx
tx
Vậy : 2ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
21
===
+
= ∫ ∫ tt
dt
x
xdx
I
b) ðặt dxedtet xx =⇒−= 1
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 2
ðổi cận :
−=→=
−=→=
12
11
2etx
etx
Vậy : )1ln(ln
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2
+===
−
=
−
−
−
−
∫∫ ett
dt
e
dxe
I
e
e
e
e
x
x
c) ðặt dx
x
tdtxt
1
ln1 =⇒+=
ðổi cận :
=→=
=→=
2
11
tex
tx
Tích phân lượng giác :
Dạng 1 : ∫=
β
α
nxdxmxI cos.sin
Cách làm: biến ñổi tích sang tổng .
Dạng 2 : ∫=
β
α
dxxxI nm .cos.sin
Cách làm :
Nếu nm, chẵn . ðặt xt tan=
Nếu m chẵn n lẻ . ðặt xt sin= (trường hợp còn lại thì ngược lại)
Dạng 3 : ∫ ++=
β
α cxbxa
dx
I
cos.sin.
Cách làm :
ðặt :
+
−
=
+
=
⇒=
2
2
2
1
1
cos
1
2
sin
2
tan
t
t
x
t
t
x
x
t
Dạng 4 : ∫ +
+
=
β
α
dx
xdxc
xbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
ðặt :
xdxc
xdxcB
A
xdxc
xbxa
cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
+
−
+=
+
+
Sau ñó dùng ñồng nhất thức .
Dạng 5: ∫ ++
++
=
β
α
dx
nxdxc
mxbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
)122(
3
2
3
2ln1
2
1
2
1
2
3
1
3 −===
+
= ∫∫ tdttx
dxx
I
e
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 3
ðặt :
nxdxc
C
nxdxc
xdxcB
A
nxdxc
mxbxa
++
+
++
−
+=
++
++
cos.sin.cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
Sau ñó dùng ñồng nhất thức.
BÀI TẬP
Tính tích phân :
a) ∫ +=
2
0
41 )1(sin
cos
π
x
xdx
I b) ∫=
2
0
5
2 cos
π
xdxI c) ∫=
4
0
6
3 tan
π
xdxI
Bài làm :
a) ðặt : xdxdtxt cos1sin =⇒+=
ðổi cận :
=→=
=→=
2
2
10
tx
tx
π
Vậy :
24
7
3
1
)1(sin
cos
2
1
3
2
1
4
2
0
41
=−==
+
= ∫∫ tt
dt
x
xdx
I
π
b) ðặt : xdxdtxt cossin =⇒=
ðổi cận :
=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( ) ( )
15
8
3
2
5
211cos
1
0
1
0
3
5
1
0
1
0
2422
2
0
5
2
=
+−=
−+=−==
∫
∫ ∫∫
tt
t
dtttdttxdxI
π
c) ðặt : dxxdtxt )1(tantan 2 +=⇒=
ðổi cận :
=→=
=→=
1
4
00
tx
tx
π
Vậy :
415
13
35
1
1
1
1
tan
4
0
1
0
35
1
0
1
0
2
24
2
64
0
6
3
π
π
π
−=−
+−=
+
−+−=
+
==
∫
∫ ∫∫
dut
tt
dt
t
tt
t
dtt
xdxI
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 4
Tính các tích phân sau :
a) ∫
+
=
2
0
22221 cos.sin.
cos.sin
π
dx
xbxa
xx
I b) ∫ +
=
3
0
2
2cos2
cos
π
dx
x
x
I
Bài làm :
a) ðặt : xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin. 222222 +−=⇒+=
ðổi cận :
=→=
=→=
2
2
2
0
btx
atx
π
Nếu ba ≠
Vậy : ( )
baab
ba
t
ab
t
dt
ab
dx
xbxa
xx
I
b
a
b
a
+
=
−
−
=
−
=
−
=
+
= ∫ ∫
11
2
1
cos.sin.
cos.sin
2222
2
0
22221
2
2
2
2
π
Nếu ba =
Vậy :
a
x
a
xdx
a
a
xdxx
dx
xbxa
xx
I
2
1
2cos
4
1
2sin
2
1
cos.sin
cos.sin.
cos.sin
2
0
2
0
2
0
2
0
22221
=−==
=
+
=
∫
∫∫
ππ
ππ
b) ðặt : xdxdtxt cossin =⇒=
ðổi cận :
=→=
=→=
2
3
3
00
tx
tx
π
Vậy : ∫∫∫
−
=
−
=
+
=
2
3
0 2
2
3
0
2
3
0
2
2
32
1
232cos2
cos
t
dt
t
dt
dx
x
x
I
π
ðặt : ududtut sin
2
3
cos
2
3
−=⇒=
ðổi cận :
=→=
=→=
42
3
2
0
π
π
ut
ut
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 5
Vậy :
( )
242
1
2
1
cos1
2
3
sin
2
3
2
1
2
32
1
2
4
4
4
2
4
2
2
3
0 2
2
π
π
π
π
π
π
π
===
−
=
−
=
∫
∫∫
udu
u
udu
t
dt
I
Tính các tích phân sau :
a) ∫ ++=
2
0
1 5cos3sin4
1
π
dx
xx
I b) ∫ ++
++
=
2
0
2 5cos3sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
I
Bài làm :
a) ðặt :
1
2
1
2
tan
2
tan
2
2
+
=⇒
+=⇒=
t
dt
dxdx
x
dt
x
t
ðổi cận :
=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( )
6
1
2
1
1
5
1
1
3
1
2
4
1
2
1
0
1
0
2
1
0
2
2
2
2
1
=
+
−=
+
=
+
+
−
+
+
+= ∫∫
t
t
dt
dt
t
t
t
t
tI
b)ðặt :
5cos3sin45cos3sin4
sin3cos4
5cos3sin4
6cos7sin
++
+
++
−
+=
++
++
xx
C
xx
xx
BA
xx
xx
Dùng ñồng nhất thức ta ñược: 1,1,1 === CBA
Vậy :
( )
6
1
8
9
ln
2
5cos3sin4ln
5cos3sin4
1
5cos3sin4
sin3cos4
1
5cos3sin4
6cos7sin
1
2
0
2
0
2
0
2
++=++++=
++
+
++
−
+=
++
++
= ∫∫
ππ
ππ
Ixxx
dx
xxxx
xx
dx
xx
xx
I
Bạn ñọc tự làm :
a) ∫=
2
6
2
3
1 sin
cos
π
π
dx
x
x
I b) ∫=
2
0
3
2 sin.cos
π
xdxxI c) ∫ +=
2
0
3 2sin
π
x
dx
I
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 6
c) ∫ +=
2
0
3
3 1cos
sin4
π
dx
x
x
I d) ∫ ++=
2
0
5 3cos2sin
1
π
dx
xx
I d) ∫ ++
+−
=
2
0
6 3cos2sin
1cossin
π
dx
xx
xx
I
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
Dạng 1 :
( ) ( )
C
axnax
dx
I
nn
+
−−
−=
−
= −∫ 1
1
.
1
1 với ( ) { }( )1,0, −×∈ NCna ta có :
Nếu Ran ∈= ,1 ta có : Cx
ax
dx
I +=
−
= ∫ ln
Dạng 2 :
( )∫ ++
+
= dx
cbxax
x
I
n2
βα trong ñó :
<−=∆
∈
04
,,,,
2 acb
Rcbaβα
* Giai ñoạn 1 : 0≠α ,làm xuất hiện ở tử thức ñạo hàm của tam thức cbxax ++2 ,
sai khác một số :
( ) ( ) ( )∫∫∫ ++
−+
++
+
=
++
−++
=
nnn
cbxax
dx
b
a
a
dx
cbxax
bax
a
dx
cbxax
b
a
bax
a
I
222
2
2
2
2
2
2
2 α
βααα
β
α
* Giai ñoạn 2 :
Tính
( ) ( )∫∫
∆−
+
=
+
∆−
∆−
=
++
=
bax
t
n
n
n
t
dt
a
a
dx
cbxax
dx
I
2
22 12
.
4
* Giai ñoạn 3 :
Tính
( )∫ +
= dt
t
I
n
1
1
2
có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc ñặt φtan=t
Dạng 3 : ( )
( )∫= dxxQ
xP
I
n
m
Ta có : ( )
( ) 01
01
......
......
bxbxb
axaxa
xQ
xP
n
n
m
m
n
m
+++
+++
=
Nếu : ( ) ( )QP degdeg ≥ thì ta thực hiện phép chia ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )xQ
xR
xA
xQ
xP
n
r
nm
n
m += − trong ñó
phân số ( )
( )xQ
xR
n
r có ( ) ( )QR degdeg <
Nếu : ( ) ( )QP degdeg < ta có các qui tắc sau :
*Qt 1: ( )
( ) ( ) ( ) ( )n
n
n
n
n
xm
ax
A
ax
A
ax
A
ax
P
−
+
−
++
−
=
− −
−
1
11 ......
Vdụ 1a :
( )
( ) ( )
∑
∏ =
=
−
=
−
n
i
i
i
i
n
i
i
i
m
ax
A
ax
xP
1
1
Vdụ 1b : ( )
( )22))()(( cx
D
cx
C
bx
B
ax
A
cxbxax
xPm
−
+
−
+
−
+
−
=
−−−
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 7
*Qt 2': ( )
( ) ( ) ( ) ( )n
nn
n
nn
n
m
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP
++
+
+
++
+
++
++
+
=
++
−
−−
212
11
2
11
2
...... với 0<∆
*Qt 3: ( )
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= = ++
+
+
−
=
++−
m
i
n
k
i
i
i
i
nm
t
cbxax
BxA
x
A
cbxaxx
xP
1 1
2
1
2 αα
Vdụ 1 : ( )( ) ( )cbxax
CBx
x
A
cbxaxx
xPt
++
+
+
−
=
++− 22)( αα
Vdụ 2 : ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
22
2
11
22 cbxax
CxB
cbxax
CxB
x
A
cbxaxx
xPt
++
+
+
++
+
+
−
=
++− αα
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a) ∫ ++=
1
0
21 23xx
dx
I b)
( )∫ ++
=
1
0
222 23xx
dx
I
Bài làm :
a)
( )( ) ∫∫∫
+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
1
0
21 2
1
1
1
2123
dx
xxxx
dx
xx
dx
I
b)
( ) ( ) ( ) ( )( )
dx
xxxx
dx
xx
dx
I ∫∫
++
−
+
+
+
=
++
=
1
0
22
1
0
222 21
2
2
1
1
1
23
( ) OKxx
xx
=
+−+−
+
−
+
−=
1
0
2ln1ln2
2
1
1
1
Tính các tích phân sau :
a) ∫ ++=
1
0
241 33xx
dx
I b) ( )( )∫ ++
−
=
1
0
22 21
24
dx
xx
x
I
Bài làm :
a)* Bạn ñọc dễ dàng chứng minh ñược ∫ +=+= Ca
x
aax
dx
I arctan
1
220
với 0>a
( )( ) dxxxxx
dx
xx
dx
I ∫ ∫∫
+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
2222
1
0
241 3
1
1
1
2
1
3133
( )329
23
arctan
3
1
arctan
2
1
1
0
−=
−=
πx
x
[ ]
3
4
ln2ln1ln
1
0
=+−+= xx
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 8
b) ðặt :
( )( )
( ) ( )
( )( )12
22
1212
24
2
2
22 ++
+++++
=
+
+
+
+
=
++
−
xx
ACCBxBAx
x
CBx
x
A
xx
x
Do ñó ta có hệ :
=
=
−=
⇔
=+
=+
=+
0
2
2
02
42
0
C
B
A
AC
CB
BA
Vậy : ( )( )∫ ∫
+
+
+
−=
++
−
=
1
0
1
0
222 1
2
2
2
21
24
dx
x
x
x
dx
xx
x
I
[ ]
9
4
ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2
1
0
2 =−++−=+++−= xx
Bạn ñọc tự làm :
a)
( )∫ −
+
=
3
2
21 1
1
dx
xx
x
I b) ∫ −+=
5
2
22 32xx
dx
I
c) dx
xx
x
I ∫ −
−
=
2
1
3
3
3 4
1 d) ∫ +−=
2
3
243 23
dx
xx
x
I
HD:
a)
( ) 11
1
22 −
++=
−
+
x
C
x
B
x
A
xx
x b)
3132
1
2 +
+
−
=
−+ x
B
x
A
xx
c)
( )( )
−+
−
+=
−
−
1212
4
1
4
1
4
1
3
3
xxx
x
xx
x d)
221123 24 −
+
+
+
+
+
−
=
+− x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
ðẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh ñẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số và nhận
xét một số ñặc ñiểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những ñẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ ñề áp dụng.
BÀI TẬP
Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫ −=−
1
0
1
0
11 dxxxdxxx mnnm
Bài làm :
Xét ( )∫ −=
1
0
1 dxxxI nm
ðặt : dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=1
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 9
ðổi cận :
=→=
=→=
01
10
tx
tx
Vậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−−=−=
0
1
1
0
1
0
111 dtttdtttdxxxI nmnmnm (ñpcm)
Chứng minh rằng nếu )(xf là hàm lẻ và liên tục trên ñoạn [ ]aa,− thì :
( )∫
−
==
a
a
dxxfI 0
Bài làm :
( ) ( ) ( )1)(
0
0
∫ ∫ ∫
− −
+==
a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI
Xét ( )∫
−
0
a
dxxf . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=
ðổi cận :
=→=
=→−=
00 tx
atax
V ậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−=
−
a a
a
dttfdttfdxxf
0 0
0
Thế vào (1) ta ñược : 0=I (ñpcm)
Tương tự bạn ñọc có thể chứng minh : Nếu )(xf là hàm chẳn và liên tục trên ñoạn
[ ]aa,− thì ( ) ( )∫ ∫
−
==
a
a
a
dxxfdxxfI
0
2
Cho 0>a và ( )xf là hàm chẵn , liên tục và xác ñịnh trên R .
Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫
−
=
+
α
α
α
dxxfdx
a
xf
x
01
Bài làm :
Xét ( ) dx
a
xf
x∫
− +
0
1α
. ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=
ðổi cận :
=→=
=→−=
00 tx
tx αα
Vậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ +=+
−
=
+ −−
α α
α 0 0
0
111 t
t
tx a
tfa
dt
a
tf
dx
a
xf
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫
− − +
+
+
=
+
α
α α
α0
0
1
111
dx
a
xf
dx
a
xf
dx
a
xf
xxx
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 10
Thế vào (1) ta ñược : ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ∫ =+++=+− −
αα
α α
α
0
0
0 111
dxxfdx
a
xf
dx
a
xfa
dx
a
xf
xx
x
x
(ñpcm)
Cho hàm số ( )xf liên tục trên [ ]1,0 . Chứng minh rằng :
( ) ( )∫ ∫=
π ππ
0 0
sin
2
sin. dxxfdxxfx
Bài làm :
Xét ( )∫
π
0
sin. dxxfx . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−= π
ðổi cận :
=→=
=→=
0
0
tx
tx
π
π
Vậy : ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∫ −=−−=
π ππ
πππ
0 00
sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx
( ) ( )∫ ∫−=
π π
π
0 0
sin.sin dttftdttf
( ) ( )
( ) ( )dxxfdxxfx
dxxfdxxfx
∫∫
∫∫
=⇒
=⇒
ππ
ππ
π
π
00
00
sin
2
sin.
sinsin.2
Từ bài toán trên , bạn ñọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số ( )xf liên tục trên [ ]ba, và ( ) ( )xfxbaf =−+ . Thì ta luôn có :
( ) ( )∫ ∫
+
=
b
a
dxxf
ba
dxxfx
π
02
.
Cho hàm số ( )xf liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T .
Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫
+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
Bài làm :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ ∫
+++
++=+=
Ta
T
T
a
Ta
T
Ta
a
T
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
0
0
Vậy ta cần chứng minh ( ) ( )∫ ∫
+
=
a Ta
T
dxxfdxxf
0
Xét ( )∫
a
dxxf
0
. ðặt dxdtTxt =⇒+=
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 11
ðổi cận :
+=→=
=→=
Tatax
Ttx 0
Vậy : ( ) ( )∫ ∫
+ +
=−
Ta
T
Ta
T
dttfdtTtf
Hay : ( ) ( )∫ ∫
+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
(ñpcm)
Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số ( )xf liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn
có : ( ) ( )∫ ∫
−
=
T
T
T
dxxfdxxf
0
2
2
Bạn ñọc tự làm :
a) ( )∫ −=
1
0
6
1 1 dxxxI b) ( )∫
−
++=
1
1
22
2 1lncos.sin dxxxxxI
c) ∫ +=
π
0
23 cos49
sin.
dx
x
xx
I d) ∫ +=
π
0
24 cos1
sin.
dx
x
xx
I
e) ∫
−
+
=
2
2
2
5 21
sin
π
π
dx
xx
I
x
f) ∫
− +
+
=
1
1
2
2
6 1
sin
dx
x
xx
I
g) ( )∫ ++=∗
π2
0
2
7 sin1sinln dxxxI h) dxxI ∫ −=∗
π2009
0
8 2cos1
Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số u và v có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [ ]ba, , thì ta có :
[ ]∫ ∫−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải ñặt xu ln= hay xu alog= .
*ưu tiên 2 : ðặt ??=u mà có thể hạ bậc.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 12
a) ∫=
1
0
1 . dxexI
x b) ∫=
2
0
2
2 cos.
π
xdxxI c) ∫=
e
xdxI
1
3 ln
Bài làm :
a) ðặt :
=⇒=
=⇒=
xx evdxedv
dxduxu
Vậy : ( ) 11.. 1
0
1
0
1
0
1
0
1 =−−=−=−== ∫∫ eeeedxeexdxexI xxxx
b) ðặt :
=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
xdxduxu
sincos
22
Vậy : ( )1sin.2
4
sin.2cos..
2
0
2
0
2
2
0
1
0
1 ∫∫∫ −=−−==
ππ
π π
xdxxxdxxxxdxexI x
Ta ñi tính tích phân ∫
2
0
sin.
π
xdxx
ðặt :
−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxduxu
cossin
Vậy : 1sincos.coscos.sin. 2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
=+−=+−= ∫∫
ππ
π
π
π
xxxdxxxxdxx
Thế vào (1) ta ñược :
4
8
.
21
0
1
−
== ∫
π
dxexI x
c) ðặt :
=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dx
x
duxu
1
ln
Vậy : 1ln.ln.ln
01
1
1
1
3 =−=−== ∫∫
ee
e
e
e
xxxdxxxxdxI
Tính các tích phân sau :
a) ∫=
π
0
1 sin. xdxeI
x b) ∫=
4
0
22 cos
π
dx
x
x
I c) ( )∫=
πe
dxxI
1
3 lncos
Bài làm :
a) ðặt :
−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu xx
cossin
Vậy : ( )∫∫ ++=+−==
π
ππ
π
0
0
0
1 11cos.cos.sin. JexdxexexdxeI
xxx
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 13
ðặt :
=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu xx
sincos
Vậy : IxdxexexdxeJ xxx −=−== ∫∫
π
π
π
0
0
0
sin.sin.cos.
Thế vào (1) ta ñược :
2
1
12 11
+
=⇒+=
π
π eIeI
b) ðặt :
=⇒=
=⇒=
xvdx
x
dv
dxduxu
tan
cos
1
2
Vậy : ( )
2
2
ln
4
cosln
4
tantan.
cos
4
0
4
0
4
0
4
0
22
+=+=−== ∫∫
ππ π
π
π
π
xxdxxxdx
x
x
I
c) ðặt :
( ) ( )
=⇒=
−=⇒=
xvdxdv
dxx
x
duxu lnsin
1
lncos
Vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) JedxxxxdxxI
e
e
e
++−=+== ∫∫ 1lnsinlncos.lncos
1
1
1
3
π
π
π
π
ðặt :
( ) ( )
=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dxx
x
duxu lncos
1
lnsin
Vậy : ( ) ( ) ( ) 3
1
1
1
3 0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI
e
e
e
−=−== ∫∫
π
π
π
Thế vào (1) ta ñược : ( )
2
1
12 33
+
−=⇒+−=
π
π eIeI
Bạn ñọc tự làm :
a) ∫ −=
2ln
0
1 . dxexI
x b) ( )∫ −=
e
dxxI
1
2
2 ln1
c) ∫
−=
2
23 ln
1
ln
1
e
dx
xx
I d) ( )∫ ++=
1
0
2
4 1ln dxxxI
e) ( )∫=
3
4
5 tanln.sin
π
π
dxxxI f) ( )∫=
e
dxxI
1
2
6 lncos
g) ∫=∗
4
0
2
7 2cos
π
xxI h) ∫ +
+
=∗
2
0
7
cos1
sin1
π
dxe
x
x
I x
Tích phân hàm trị tuyệt ñối, min , max :
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 14
Muốn tính ( )∫=
b
a
dxxfI ta ñi xét dấu ( )xf trên ñoạn [ ]ba, , khử trị tuyệt ñối
Muốn tính ( ) ( )[ ]∫=
b
a
dxxgxfI ,max ta ñi xét dấu ( ) ( )xgxf − trên ñoạn [ ]ba,
Muốn tính ( ) ( )[ ]∫=
b
a
dxxgxfI ,min ta ñi xét dấu ( ) ( )xgxf − trên ñoạn [ ]ba,
Tính các tích phân sau :
a) ∫ −=
4
1
1 2dxxI b) ∫ −+=
2
0
2
1 32 dxxxI
Bài làm :
x 1 2 4
a)
x-2 - 0 +
Vậy : ( ) ( )
4
2
22
1
24
2
2
1
4
1
1 222
2222
−+
−=++−=−= ∫∫∫ x
xx
xdxxdxxdxxI
( ) ( ) ( )[ ]
2
5
4288
2
1
224 =−−−+
−−−=
b) Lập bảng xét dấu [ ]2,0,322 ∈−+ xxx tương tự ta ñược
( ) ( )∫∫∫ −++−+−=−+=
2
1
2
1
0
2
2
0
2
1 323232 dxxxdxxxdxxxI
.
Tính ∫ −=
1
0
dxaxxI a với a là tham số :
Bài làm :
x ∞− a ∞+
x-a - 0 +
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể ñánh giá ).
Nếu 0≤a .
4
3
3
3
3
2
1
3
2
1
0
3
2
1 =
++−+
−−=
x
xx
x
xxI
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 15
( )∫∫ −=
−=−=−=
1
0
1
0
23
2
1
0 23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxIa
Nếu 10 << a .
( ) ( )∫ ∫∫ −+−−=−=
a
a
a dxaxxdxaxxdxaxxI
0
1
22
1
0
223
1
3232
32132
0
32 aaxaxxax
a
a
+−=
+−+
−=
Nếu 1≥a .
( )∫∫ +−=
−−=−−=−=
1
0
1
0
23
2
1
0 23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxIa
Tính : a) ( )∫=
2
0
2
1 ,1min dxxI ( )∫=
3
0
2
2 ,max dxxxI
Bài làm :
a) Xét hiệu số : ( ) [ ]2,01 2 ∈∀− xx
Vậy : ( )
3
4
3
,1min
2
1
2
0
32
1
1
0
2
2
0
2
1 =+=+== ∫∫∫ x
x
dxdxxdxxI
b) Xét hiệu số : ( ) [ ]3,01 ∈∀− xxx tương tự như trên ta có .
( )
6
55
32
,max
3
1
31
0
23
1
2
1
0
3
0
2
2 =+=+== ∫∫∫
xx
dxxxdxdxxxI
Bạn ñọc tự làm :
a) ( )∫
−
−=
3
2
2
1 3,min dxxxI b) ( )∫=
2
0
2 cos,sinmax
π
dxxxI c) ∫ −=
4
3
0
3 cossin
π
dxxxI
d) ( )∫
−
−=
3
2
2
4 34,max dxxxI d) ∫
−−+−+=∗
5
1
4 1212 dxxxxxI
Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp ñơn giản của tích phân Abel
Dạng 1: ( )∫ ++ dxcbxaxxR 2, ở ñây ta ñang xét dạng hữu tỷ.
∆−
+
+
∆−
=++→
<∆
> 22 21
40
0 bax
a
cbxax
a
( ) ( )dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆−
+
=
+=++
2
22 1,, Tới ñây , ñặt ut tan= .
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 16
Dạng 2:
∆−
+
−
∆−
=++→
<∆
< 22 21
40
0 bax
a
cbxax
a
( ) ( )dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆−
+
=
−=++
2
22 1,, Tới ñây , ñặt ut sin= .
Dạng 3:
−
∆−
+∆
=++→
>∆
>
1
2
40
0
2
2 bax
a
cbxax
a
( ) ( )dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆
+
=
−=++
2
22 1,, Tới ñây, ñặt
u
t
sin
1
= .
Dạng 4 (dạng ñặc biệt) :
( ) ∫∫
+
=
++
=
+++
βα
ζµαβα
x
t
tt
dt
cbxaxx
dx
1
22
Một số cách ñặt thường gặp :
( )dxxaxS∫ − 22, ñặt π≤≤= ttax 0cos.
( )dxxaxS∫ + 22, ñặt 22tan.
ππ
<<−= ttax
( )dxaxxS∫ − 22, ñặt ππ ktt
a
x +≠=
2cos
( )dxcbxaxxS∫ ++2, ñặt ( )
>±±=++
=++−=++
>±=++
0;.
0;
0;
2
000
2
2
atxacbxax
cbxaxxxtcbxax
ccxtcbxax
∫
+
+
m
dcx
bax
xS , ñặt 0; ≠−
+
+
= cbad
dcx
bax
t m
Tính :
( )∫ ++
=
32 74xx
dx
I
Bài làm :
( ) ( )∫∫ += +
=
++ 2
3232 374 xt t
dt
xx
dx
ðặt : ( )duudtut 1tan3tan3 2 +=⇒=
Ta có ( )
( ) ∫∫
=
+
+
=
uu
udu
u
duu
I
tan3tan3
32
2
cos
3
1
1tan.33
1tan3
C
xx
x
C
t
t
Cu +
++
+
=+
+
=+=
74
2
3
1
13
1
sin
3
1
22
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 17
Tính : a) ∫
++
=
12 xx
xdx
I b) ∫
−−
=
122 xxx
dx
I
Bài làm :
a) ∫∫∫
+
=
+
−
=
+
+
=
++
3
12
22