Các phương pháp tính nguyên hàm tích phân có lời giải

Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] có nguyên hàm là F(x) . Giả sử u(x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α , β] và có miền giá trị là [a ; b] thì ta có :

pdf27 trang | Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 2480 | Lượt tải: 1download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Các phương pháp tính nguyên hàm tích phân có lời giải, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 1 CHUYÊN ðỀ TÍCH PHÂN Bảng công thức tích phân bất ñịnh : ∫ = Cdx0 ∫ += Cxdx 1 1 1 −≠+ + =∫ + nC n x dxx n n Cxdx x +=∫ ln 1 ∫ += Cedxe xx ∫ = Ca a dxa x x ln ∫ +−= Cxxdx cossin ∫ += Cxxdx sincos ∫ += Cxdxx tancos 1 2 ∫ +−= Cxdxx cotsin 1 2 ∫ += ′ Cxudx xu xu )(ln )( )( ∫ ++ − = − C ax ax a dx ax ln 2 11 22 ∫ +++++=+ Caxx a ax x dxax 222 ln 22 Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số )(xf liên tục trên ñoạn [ ]ba; có nguyên hàm là )(xF . Giả sử )(xu là hàm số có ñạo hàm và liên tục trên ñoạn [ ]βα , và có miền giá trị là [ ]ba; thì ta có : [ ] [ ] CxuxFdxxuxuf +=∫ )()()('.)( BÀI TẬP Tính các tích phân sau : a) ∫ += 1 0 21 1x xdx I b) ∫ −= 1 0 2 1x x e dxe I c) ∫ + = e x dxx I 1 3 ln1 Bài làm : a) ðặt 2 212 dt xdxxdxdtxt =⇒=⇒+= ðổi cận :    =→= =→= 21 10 tx tx Vậy : 2ln 2 1 ln 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 21 === + = ∫ ∫ tt dt x xdx I b) ðặt dxedtet xx =⇒−= 1 Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 2 ðổi cận :    −=→= −=→= 12 11 2etx etx Vậy : )1ln(ln 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 +=== − = − − − − ∫∫ ett dt e dxe I e e e e x x c) ðặt dx x tdtxt 1 ln1 =⇒+= ðổi cận :    =→= =→= 2 11 tex tx Tích phân lượng giác : Dạng 1 : ∫= β α nxdxmxI cos.sin Cách làm: biến ñổi tích sang tổng . Dạng 2 : ∫= β α dxxxI nm .cos.sin Cách làm : Nếu nm, chẵn . ðặt xt tan= Nếu m chẵn n lẻ . ðặt xt sin= (trường hợp còn lại thì ngược lại) Dạng 3 : ∫ ++= β α cxbxa dx I cos.sin. Cách làm : ðặt :       + − = + = ⇒= 2 2 2 1 1 cos 1 2 sin 2 tan t t x t t x x t Dạng 4 : ∫ + + = β α dx xdxc xbxa I . cos.sin. cos.sin. Cách làm : ðặt : xdxc xdxcB A xdxc xbxa cos.sin. )sin.cos.( cos.sin. cos.sin. + − += + + Sau ñó dùng ñồng nhất thức . Dạng 5: ∫ ++ ++ = β α dx nxdxc mxbxa I . cos.sin. cos.sin. Cách làm : )122( 3 2 3 2ln1 2 1 2 1 2 3 1 3 −=== + = ∫∫ tdttx dxx I e Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 3 ðặt : nxdxc C nxdxc xdxcB A nxdxc mxbxa ++ + ++ − += ++ ++ cos.sin.cos.sin. )sin.cos.( cos.sin. cos.sin. Sau ñó dùng ñồng nhất thức. BÀI TẬP Tính tích phân : a) ∫ += 2 0 41 )1(sin cos π x xdx I b) ∫= 2 0 5 2 cos π xdxI c) ∫= 4 0 6 3 tan π xdxI Bài làm : a) ðặt : xdxdtxt cos1sin =⇒+= ðổi cận :     =→= =→= 2 2 10 tx tx π Vậy : 24 7 3 1 )1(sin cos 2 1 3 2 1 4 2 0 41 =−== + = ∫∫ tt dt x xdx I π b) ðặt : xdxdtxt cossin =⇒= ðổi cận :     =→= =→= 1 2 00 tx tx π Vậy : ( ) ( ) 15 8 3 2 5 211cos 1 0 1 0 3 5 1 0 1 0 2422 2 0 5 2 =      +−= −+=−== ∫ ∫ ∫∫ tt t dtttdttxdxI π c) ðặt : dxxdtxt )1(tantan 2 +=⇒= ðổi cận :     =→= =→= 1 4 00 tx tx π Vậy : 415 13 35 1 1 1 1 tan 4 0 1 0 35 1 0 1 0 2 24 2 64 0 6 3 π π π −=−      +−=       + −+−= + == ∫ ∫ ∫∫ dut tt dt t tt t dtt xdxI Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 4 Tính các tích phân sau : a) ∫ + = 2 0 22221 cos.sin. cos.sin π dx xbxa xx I b) ∫ + = 3 0 2 2cos2 cos π dx x x I Bài làm : a) ðặt : xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin. 222222 +−=⇒+= ðổi cận :     =→= =→= 2 2 2 0 btx atx π Nếu ba ≠ Vậy : ( ) baab ba t ab t dt ab dx xbxa xx I b a b a + = − − = − = − = + = ∫ ∫ 11 2 1 cos.sin. cos.sin 2222 2 0 22221 2 2 2 2 π Nếu ba = Vậy : a x a xdx a a xdxx dx xbxa xx I 2 1 2cos 4 1 2sin 2 1 cos.sin cos.sin. cos.sin 2 0 2 0 2 0 2 0 22221 =−== = + = ∫ ∫∫ ππ ππ b) ðặt : xdxdtxt cossin =⇒= ðổi cận :      =→= =→= 2 3 3 00 tx tx π Vậy : ∫∫∫ − = − = + = 2 3 0 2 2 3 0 2 3 0 2 2 32 1 232cos2 cos t dt t dt dx x x I π ðặt : ududtut sin 2 3 cos 2 3 −=⇒= ðổi cận :       =→= =→= 42 3 2 0 π π ut ut Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 5 Vậy : ( ) 242 1 2 1 cos1 2 3 sin 2 3 2 1 2 32 1 2 4 4 4 2 4 2 2 3 0 2 2 π π π π π π π === − = − = ∫ ∫∫ udu u udu t dt I Tính các tích phân sau : a) ∫ ++= 2 0 1 5cos3sin4 1 π dx xx I b) ∫ ++ ++ = 2 0 2 5cos3sin4 6cos7sin π dx xx xx I Bài làm : a) ðặt : 1 2 1 2 tan 2 tan 2 2 + =⇒      +=⇒= t dt dxdx x dt x t ðổi cận :     =→= =→= 1 2 00 tx tx π Vậy : ( ) 6 1 2 1 1 5 1 1 3 1 2 4 1 2 1 0 1 0 2 1 0 2 2 2 2 1 = + −= + = + + − + + += ∫∫ t t dt dt t t t t tI b)ðặt : 5cos3sin45cos3sin4 sin3cos4 5cos3sin4 6cos7sin ++ + ++ − += ++ ++ xx C xx xx BA xx xx Dùng ñồng nhất thức ta ñược: 1,1,1 === CBA Vậy : ( ) 6 1 8 9 ln 2 5cos3sin4ln 5cos3sin4 1 5cos3sin4 sin3cos4 1 5cos3sin4 6cos7sin 1 2 0 2 0 2 0 2 ++=++++=       ++ + ++ − += ++ ++ = ∫∫ ππ ππ Ixxx dx xxxx xx dx xx xx I Bạn ñọc tự làm : a) ∫= 2 6 2 3 1 sin cos π π dx x x I b) ∫= 2 0 3 2 sin.cos π xdxxI c) ∫ += 2 0 3 2sin π x dx I Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 6 c) ∫ += 2 0 3 3 1cos sin4 π dx x x I d) ∫ ++= 2 0 5 3cos2sin 1 π dx xx I d) ∫ ++ +− = 2 0 6 3cos2sin 1cossin π dx xx xx I Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ Dạng 1 : ( ) ( ) C axnax dx I nn + −− −= − = −∫ 1 1 . 1 1 với ( ) { }( )1,0, −×∈ NCna ta có : Nếu Ran ∈= ,1 ta có : Cx ax dx I += − = ∫ ln Dạng 2 : ( )∫ ++ + = dx cbxax x I n2 βα trong ñó :    <−=∆ ∈ 04 ,,,, 2 acb Rcbaβα * Giai ñoạn 1 : 0≠α ,làm xuất hiện ở tử thức ñạo hàm của tam thức cbxax ++2 , sai khác một số : ( ) ( ) ( )∫∫∫ ++     −+ ++ + = ++ −++ = nnn cbxax dx b a a dx cbxax bax a dx cbxax b a bax a I 222 2 2 2 2 2 2 2 α βααα β α * Giai ñoạn 2 : Tính ( ) ( )∫∫ ∆− + = + ∆−       ∆− = ++ = bax t n n n t dt a a dx cbxax dx I 2 22 12 . 4 * Giai ñoạn 3 : Tính ( )∫ + = dt t I n 1 1 2 có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc ñặt φtan=t Dạng 3 : ( ) ( )∫= dxxQ xP I n m Ta có : ( ) ( ) 01 01 ...... ...... bxbxb axaxa xQ xP n n m m n m +++ +++ = Nếu : ( ) ( )QP degdeg ≥ thì ta thực hiện phép chia ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xQ xR xA xQ xP n r nm n m += − trong ñó phân số ( ) ( )xQ xR n r có ( ) ( )QR degdeg < Nếu : ( ) ( )QP degdeg < ta có các qui tắc sau : *Qt 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n xm ax A ax A ax A ax P − + − ++ − = − − − 1 11 ...... Vdụ 1a : ( ) ( ) ( ) ∑ ∏ = = − = − n i i i i n i i i m ax A ax xP 1 1 Vdụ 1b : ( ) ( )22))()(( cx D cx C bx B ax A cxbxax xPm − + − + − + − = −−− Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 7 *Qt 2': ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nn n nn n m cbxax BxA cbxax BxA cbxax BxA cbxax xP ++ + + ++ + ++ ++ + = ++ − −− 212 11 2 11 2 ...... với 0<∆ *Qt 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= = ++ + + − = ++− m i n k i i i i nm t cbxax BxA x A cbxaxx xP 1 1 2 1 2 αα Vdụ 1 : ( )( ) ( )cbxax CBx x A cbxaxx xPt ++ + + − = ++− 22)( αα Vdụ 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 2 11 22 cbxax CxB cbxax CxB x A cbxaxx xPt ++ + + ++ + + − = ++− αα BÀI TẬP Tính các tích phân sau : a) ∫ ++= 1 0 21 23xx dx I b) ( )∫ ++ = 1 0 222 23xx dx I Bài làm : a) ( )( ) ∫∫∫      + − + = ++ = ++ = 1 0 1 0 1 0 21 2 1 1 1 2123 dx xxxx dx xx dx I b) ( ) ( ) ( ) ( )( ) dx xxxx dx xx dx I ∫∫       ++ − + + + = ++ = 1 0 22 1 0 222 21 2 2 1 1 1 23 ( ) OKxx xx =    +−+− + − + −= 1 0 2ln1ln2 2 1 1 1 Tính các tích phân sau : a) ∫ ++= 1 0 241 33xx dx I b) ( )( )∫ ++ − = 1 0 22 21 24 dx xx x I Bài làm : a)* Bạn ñọc dễ dàng chứng minh ñược ∫ +=+= Ca x aax dx I arctan 1 220 với 0>a ( )( ) dxxxxx dx xx dx I ∫ ∫∫      + − + = ++ = ++ = 1 0 1 0 2222 1 0 241 3 1 1 1 2 1 3133 ( )329 23 arctan 3 1 arctan 2 1 1 0 −=      −= πx x [ ] 3 4 ln2ln1ln 1 0 =+−+= xx Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 8 b) ðặt : ( )( ) ( ) ( ) ( )( )12 22 1212 24 2 2 22 ++ +++++ = + + + + = ++ − xx ACCBxBAx x CBx x A xx x Do ñó ta có hệ :      = = −= ⇔      =+ =+ =+ 0 2 2 02 42 0 C B A AC CB BA Vậy : ( )( )∫ ∫      + + + −= ++ − = 1 0 1 0 222 1 2 2 2 21 24 dx x x x dx xx x I [ ] 9 4 ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2 1 0 2 =−++−=+++−= xx Bạn ñọc tự làm : a) ( )∫ − + = 3 2 21 1 1 dx xx x I b) ∫ −+= 5 2 22 32xx dx I c) dx xx x I ∫ − − = 2 1 3 3 3 4 1 d) ∫ +−= 2 3 243 23 dx xx x I HD: a) ( ) 11 1 22 − ++= − + x C x B x A xx x b) 3132 1 2 + + − = −+ x B x A xx c) ( )( )       −+ − += − − 1212 4 1 4 1 4 1 3 3 xxx x xx x d) 221123 24 − + + + + + − = +− x D x C x B x A xx x ðẳng thức tích phân : Muốn chứng minh ñẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số và nhận xét một số ñặc ñiểm sau . * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …. Chúng ta cần phải nhớ những ñẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ ñề áp dụng. BÀI TẬP Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫ −=− 1 0 1 0 11 dxxxdxxx mnnm Bài làm : Xét ( )∫ −= 1 0 1 dxxxI nm ðặt : dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=1 Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 9 ðổi cận :    =→= =→= 01 10 tx tx Vậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−−=−= 0 1 1 0 1 0 111 dtttdtttdxxxI nmnmnm (ñpcm) Chứng minh rằng nếu )(xf là hàm lẻ và liên tục trên ñoạn [ ]aa,− thì : ( )∫ − == a a dxxfI 0 Bài làm : ( ) ( ) ( )1)( 0 0 ∫ ∫ ∫ − − +== a a a a dxxfdxxfdxxfI Xét ( )∫ − 0 a dxxf . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−= ðổi cận :    =→= =→−= 00 tx atax V ậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−= − a a a dttfdttfdxxf 0 0 0 Thế vào (1) ta ñược : 0=I (ñpcm) Tương tự bạn ñọc có thể chứng minh : Nếu )(xf là hàm chẳn và liên tục trên ñoạn [ ]aa,− thì ( ) ( )∫ ∫ − == a a a dxxfdxxfI 0 2 Cho 0>a và ( )xf là hàm chẵn , liên tục và xác ñịnh trên R . Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫ − = + α α α dxxfdx a xf x 01 Bài làm : Xét ( ) dx a xf x∫ − + 0 1α . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−= ðổi cận :    =→= =→−= 00 tx tx αα Vậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ +=+ − = + −− α α α 0 0 0 111 t t tx a tfa dt a tf dx a xf ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ − − + + + = + α α α α0 0 1 111 dx a xf dx a xf dx a xf xxx Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 10 Thế vào (1) ta ñược : ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ∫ =+++=+− − αα α α α 0 0 0 111 dxxfdx a xf dx a xfa dx a xf xx x x (ñpcm) Cho hàm số ( )xf liên tục trên [ ]1,0 . Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫= π ππ 0 0 sin 2 sin. dxxfdxxfx Bài làm : Xét ( )∫ π 0 sin. dxxfx . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−= π ðổi cận :    =→= =→= 0 0 tx tx π π Vậy : ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∫ −=−−= π ππ πππ 0 00 sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx ( ) ( )∫ ∫−= π π π 0 0 sin.sin dttftdttf ( ) ( ) ( ) ( )dxxfdxxfx dxxfdxxfx ∫∫ ∫∫ =⇒ =⇒ ππ ππ π π 00 00 sin 2 sin. sinsin.2 Từ bài toán trên , bạn ñọc có thể mở rộng bài toán sau . Nếu hàm số ( )xf liên tục trên [ ]ba, và ( ) ( )xfxbaf =−+ . Thì ta luôn có : ( ) ( )∫ ∫ + = b a dxxf ba dxxfx π 02 . Cho hàm số ( )xf liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T . Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫ + = Ta a T dxxfdxxf 0 Bài làm : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ ∫ +++ ++=+= Ta T T a Ta T Ta a T a dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf 0 0 Vậy ta cần chứng minh ( ) ( )∫ ∫ + = a Ta T dxxfdxxf 0 Xét ( )∫ a dxxf 0 . ðặt dxdtTxt =⇒+= Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 11 ðổi cận :    +=→= =→= Tatax Ttx 0 Vậy : ( ) ( )∫ ∫ + + =− Ta T Ta T dttfdtTtf Hay : ( ) ( )∫ ∫ + = Ta a T dxxfdxxf 0 (ñpcm) Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau : Nếu hàm số ( )xf liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn có : ( ) ( )∫ ∫ − = T T T dxxfdxxf 0 2 2 Bạn ñọc tự làm : a) ( )∫ −= 1 0 6 1 1 dxxxI b) ( )∫ − ++= 1 1 22 2 1lncos.sin dxxxxxI c) ∫ += π 0 23 cos49 sin. dx x xx I d) ∫ += π 0 24 cos1 sin. dx x xx I e) ∫ − + = 2 2 2 5 21 sin π π dx xx I x f) ∫ − + + = 1 1 2 2 6 1 sin dx x xx I g) ( )∫ ++=∗ π2 0 2 7 sin1sinln dxxxI h) dxxI ∫ −=∗ π2009 0 8 2cos1 Tích phân từng phần : Cho hai hàm số u và v có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [ ]ba, , thì ta có : [ ]∫ ∫−= b a b a b a vduuvudv Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau : *ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải ñặt xu ln= hay xu alog= . *ưu tiên 2 : ðặt ??=u mà có thể hạ bậc. BÀI TẬP Tính các tích phân sau : Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 12 a) ∫= 1 0 1 . dxexI x b) ∫= 2 0 2 2 cos. π xdxxI c) ∫= e xdxI 1 3 ln Bài làm : a) ðặt :    =⇒= =⇒= xx evdxedv dxduxu Vậy : ( ) 11.. 1 0 1 0 1 0 1 0 1 =−−=−=−== ∫∫ eeeedxeexdxexI xxxx b) ðặt :    =⇒= =⇒= xvxdxdv xdxduxu sincos 22 Vậy : ( )1sin.2 4 sin.2cos.. 2 0 2 0 2 2 0 1 0 1 ∫∫∫ −=−−== ππ π π xdxxxdxxxxdxexI x Ta ñi tính tích phân ∫ 2 0 sin. π xdxx ðặt :    −=⇒= =⇒= xvxdxdv dxduxu cossin Vậy : 1sincos.coscos.sin. 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 =+−=+−= ∫∫ ππ π π π xxxdxxxxdxx Thế vào (1) ta ñược : 4 8 . 21 0 1 − == ∫ π dxexI x c) ðặt :     =⇒= =⇒= xvdxdv dx x duxu 1 ln Vậy : 1ln.ln.ln 01 1 1 1 3 =−=−== ∫∫ ee e e e xxxdxxxxdxI Tính các tích phân sau : a) ∫= π 0 1 sin. xdxeI x b) ∫= 4 0 22 cos π dx x x I c) ( )∫= πe dxxI 1 3 lncos Bài làm : a) ðặt :    −=⇒= =⇒= xvxdxdv dxedueu xx cossin Vậy : ( )∫∫ ++=+−== π ππ π 0 0 0 1 11cos.cos.sin. JexdxexexdxeI xxx Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 13 ðặt :    =⇒= =⇒= xvxdxdv dxedueu xx sincos Vậy : IxdxexexdxeJ xxx −=−== ∫∫ π π π 0 0 0 sin.sin.cos. Thế vào (1) ta ñược : 2 1 12 11 + =⇒+= π π eIeI b) ðặt :     =⇒= =⇒= xvdx x dv dxduxu tan cos 1 2 Vậy : ( ) 2 2 ln 4 cosln 4 tantan. cos 4 0 4 0 4 0 4 0 22 +=+=−== ∫∫ ππ π π π π xxdxxxdx x x I c) ðặt : ( ) ( )     =⇒= −=⇒= xvdxdv dxx x duxu lnsin 1 lncos Vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) JedxxxxdxxI e e e ++−=+== ∫∫ 1lnsinlncos.lncos 1 1 1 3 π π π π ðặt : ( ) ( )     =⇒= =⇒= xvdxdv dxx x duxu lncos 1 lnsin Vậy : ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 3 0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI e e e −=−== ∫∫ π π π Thế vào (1) ta ñược : ( ) 2 1 12 33 + −=⇒+−= π π eIeI Bạn ñọc tự làm : a) ∫ −= 2ln 0 1 . dxexI x b) ( )∫ −= e dxxI 1 2 2 ln1 c) ∫      −= 2 23 ln 1 ln 1 e dx xx I d) ( )∫ ++= 1 0 2 4 1ln dxxxI e) ( )∫= 3 4 5 tanln.sin π π dxxxI f) ( )∫= e dxxI 1 2 6 lncos g) ∫=∗ 4 0 2 7 2cos π xxI h) ∫ + + =∗ 2 0 7 cos1 sin1 π dxe x x I x Tích phân hàm trị tuyệt ñối, min , max : Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 14 Muốn tính ( )∫= b a dxxfI ta ñi xét dấu ( )xf trên ñoạn [ ]ba, , khử trị tuyệt ñối Muốn tính ( ) ( )[ ]∫= b a dxxgxfI ,max ta ñi xét dấu ( ) ( )xgxf − trên ñoạn [ ]ba, Muốn tính ( ) ( )[ ]∫= b a dxxgxfI ,min ta ñi xét dấu ( ) ( )xgxf − trên ñoạn [ ]ba, Tính các tích phân sau : a) ∫ −= 4 1 1 2dxxI b) ∫ −+= 2 0 2 1 32 dxxxI Bài làm : x 1 2 4 a) x-2 - 0 + Vậy : ( ) ( ) 4 2 22 1 24 2 2 1 4 1 1 222 2222       −+      −=++−=−= ∫∫∫ x xx xdxxdxxdxxI ( ) ( ) ( )[ ] 2 5 4288 2 1 224 =−−−+            −−−= b) Lập bảng xét dấu [ ]2,0,322 ∈−+ xxx tương tự ta ñược ( ) ( )∫∫∫ −++−+−=−+= 2 1 2 1 0 2 2 0 2 1 323232 dxxxdxxxdxxxI . Tính ∫ −= 1 0 dxaxxI a với a là tham số : Bài làm : x ∞− a ∞+ x-a - 0 + (Từ bảng xét dấu trên ta có thể ñánh giá ). Nếu 0≤a . 4 3 3 3 3 2 1 3 2 1 0 3 2 1 =      ++−+      −−= x xx x xxI Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 15 ( )∫∫ −=      −=−=−= 1 0 1 0 23 2 1 0 23 1 23 aaxx dxaxxdxaxxIa Nếu 10 << a . ( ) ( )∫ ∫∫ −+−−=−= a a a dxaxxdxaxxdxaxxI 0 1 22 1 0 223 1 3232 32132 0 32 aaxaxxax a a +−=      +−+      −= Nếu 1≥a . ( )∫∫ +−=      −−=−−=−= 1 0 1 0 23 2 1 0 23 1 23 aaxx dxaxxdxaxxIa Tính : a) ( )∫= 2 0 2 1 ,1min dxxI ( )∫= 3 0 2 2 ,max dxxxI Bài làm : a) Xét hiệu số : ( ) [ ]2,01 2 ∈∀− xx Vậy : ( ) 3 4 3 ,1min 2 1 2 0 32 1 1 0 2 2 0 2 1 =+=+== ∫∫∫ x x dxdxxdxxI b) Xét hiệu số : ( ) [ ]3,01 ∈∀− xxx tương tự như trên ta có . ( ) 6 55 32 ,max 3 1 31 0 23 1 2 1 0 3 0 2 2 =+=+== ∫∫∫ xx dxxxdxdxxxI Bạn ñọc tự làm : a) ( )∫ − −= 3 2 2 1 3,min dxxxI b) ( )∫= 2 0 2 cos,sinmax π dxxxI c) ∫ −= 4 3 0 3 cossin π dxxxI d) ( )∫ − −= 3 2 2 4 34,max dxxxI d) ∫     −−+−+=∗ 5 1 4 1212 dxxxxxI Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ : Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp ñơn giản của tích phân Abel Dạng 1: ( )∫ ++ dxcbxaxxR 2, ở ñây ta ñang xét dạng hữu tỷ.               ∆− + + ∆− =++→    <∆ > 22 21 40 0 bax a cbxax a ( ) ( )dtttSdxcbxaxxR bax t ∫∫ ∆− + = +=++ 2 22 1,, Tới ñây , ñặt ut tan= . Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 16 Dạng 2:               ∆− + − ∆− =++→    <∆ < 22 21 40 0 bax a cbxax a ( ) ( )dtttSdxcbxaxxR bax t ∫∫ ∆− + = −=++ 2 22 1,, Tới ñây , ñặt ut sin= . Dạng 3:         −      ∆− +∆ =++→    >∆ > 1 2 40 0 2 2 bax a cbxax a ( ) ( )dtttSdxcbxaxxR bax t ∫∫ ∆ + = −=++ 2 22 1,, Tới ñây, ñặt u t sin 1 = . Dạng 4 (dạng ñặc biệt) : ( ) ∫∫ + = ++ = +++ βα ζµαβα x t tt dt cbxaxx dx 1 22 Một số cách ñặt thường gặp : ( )dxxaxS∫ − 22, ñặt π≤≤= ttax 0cos. ( )dxxaxS∫ + 22, ñặt 22tan. ππ <<−= ttax ( )dxaxxS∫ − 22, ñặt ππ ktt a x +≠= 2cos ( )dxcbxaxxS∫ ++2, ñặt ( )       >±±=++ =++−=++ >±=++ 0;. 0; 0; 2 000 2 2 atxacbxax cbxaxxxtcbxax ccxtcbxax ∫        + + m dcx bax xS , ñặt 0; ≠− + + = cbad dcx bax t m Tính : ( )∫ ++ = 32 74xx dx I Bài làm : ( ) ( )∫∫ += + = ++ 2 3232 374 xt t dt xx dx ðặt : ( )duudtut 1tan3tan3 2 +=⇒= Ta có ( ) ( ) ∫∫ = + + = uu udu u duu I tan3tan3 32 2 cos 3 1 1tan.33 1tan3 C xx x C t t Cu + ++ + =+ + =+= 74 2 3 1 13 1 sin 3 1 22 Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 17 Tính : a) ∫ ++ = 12 xx xdx I b) ∫ −− = 122 xxx dx I Bài làm : a) ∫∫∫ + = + − = +      + = ++ 3 12 22
Tài liệu liên quan