Các tiên đề cơ học lượng tử

Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ LƯỢNG TỬ VÀ CƠ CỔ ĐIỂN CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC TÍNH HỆ SỐ PHÂN TÍCH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ SỐ PHÂN TÍCH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN TỤC TOÁN TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG LƯỢNG NGUYÊN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ DẠNG CÁC TOÁN TỬ KHÁC SỰ ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ I. SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ LƯỢNG TỬ VÀ CƠ CỔ ĐIỂN TOP Ta biết rằng các hạt vi mô có tính chất sóng rất rõ rệt, do đó khái niệm chuyển động của chúng trong cơ lượng tử khác nhiều so với khái niệm chuyển động trong cơ cổ điển. Trong cơ học lượng tử không có khái niệm qũy đạo. Ta hãy xét sự khác nhau về khái niệm chuyển động trong cơ học cổ điển và cơ lượng tử. * Với cơ học cổ điển, hạt chuyển động theo một qũy đạo xác định. Các biến số động lực như tọa độ, năng lượng, xung lượng ...được xác định chính xác đồng thời tại từng điểm và từng thời điểm trên qũy đạo. * Với cơ học lượng tử thì chuyển động của hạt được coi như một bó sóng định xứ trong một miền của không gian và bó sóng này thay đổi theo thời gian (một sóng bất kì có thể phân tích thành tổ hợp tuyến tính các sóng điều hòa-bó sóng). Còn các biến số động lực nói chung không được xác định chính xác đồng thời, mà khi nói về chúng, ta chỉ có thể nói xác suât để biến số động lực ấy có giá trị nằm trong khoảng nào là bao nhiêu mà thôi. Vì sự khác biệt đó, các biến số động lực trong cơ học lượng tử không mô tả bằng số như cơ cổ điển mà phải mô tả chúng bằng các toán tử. Ta thừa nhận một số giả thuyết như những tiên đề. II. CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ   TOP Mỗi biến số động lực được mô tả bằng một toán tử tuyến tính xác định. Tính chất tuyến tính là phản ánh nguyên lí chồng chất rằng: Nếu hệ lượng tử có thể ở các trạng thái mô tả bằng các hàm sóng thì hệ cũng có thể ở trạng thái mô tả bằng hàm sóng. Trong đó là các hằng số bất kì và nói chung là phức.  Tiên đề 2: Khi ta đo một biến số động lực nào đó thì ta chỉ thu được những giá trị bằng số là các trị riêng của toán tử biểu diễn biến số động lực ấy. Từ tiên đề này ta suy ra các toán tử biểu diễn biến số động lực là những toán tử hecmit (vì trị riêng là thực) và có đầy đủ các tính chất của toán tử hecmit. Tiên đề 3: Nghĩa là các hệ số phân tích cũng được chuẩn hóa. Công thức là điều kiện chuẩn hóa của hệ số phân tích. Với ý nghĩa là tổng xác suất các trạng thái có thể phải bằng một. Nếu III. GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC   TOP Ta định nghĩa giá trị trung bình của biến số động lực L biểu diễn bằng toán tử như sau: . Từ đó ta suy ra: Với các đã chuẩn hóa thì :                  (3.1). Còn các chưa chuẩn hóa thì: (3.2). Các công thức (3.1) và (3.2) là dùng để tính giá trị trung bình theo hệ số phân tích. Sau đây ta hãy xét biểu thức giá trị trung bình theo trạng thái (tức theo hàm sóng) của hệ lượng tử. Ta sẽ chứng minh giá trị trung bình có biểu thức: . (3.3). Trong đó là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ và ta lưu ý rằng (x) là tập hợp các biến số nào đó chứ không riêng gì tọa độ x. Ta xét có phổ gián đoạn ( trị riêng là gián đoạn ). a/ Trường hợp chưa chuẩn hóa: Ta hãy thay Tử số của (3.3) là: Trong đó  . Suy ra tử số của (3.3) là  . Tương tự, mẫu số tính được là . Từ đó công thức (3.3) trở thành: . Ðây chính là công thức định nghĩa (3.2) mà ta đã biết. b/ Trường hợp đã chuẩn hóa thì mẫu số của (3.3) bằng 1 và ta dễ dàng tính được . Cũng là công thức định nghĩa (3.1) mà ta đã biết. Vậy công tức (3.3) đã được chứng minh. IV. TÍNH HỆ SỐ PHÂN TÍCH TOP Như trên ta đã thấy, muốn tính được xác suất hay giá trị trung bình của biến số động lực thì ta phải biết được các hệ số phân tích. Ta hãy tìm cách để tính chúng. Nếu các hàm sóng chưa chuẩn hóa thì các sẽ sai khác nhau một hằng số. Thông thường ta phải chuẩn hóa các hàm sóng để biểu thức xác suất được đơn giản.  V. GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ SỐ PHÂN TÍCH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN TỤC TOP Ðối với toán tử có phổ liên tục thì hàm sóng là: . Trong đó L là trị riêng của toán tử có phổ liên tục. Ta hãy tìm biểu thức xác suất, giá trị trung bình và hệ số phân tích trong trường hợp này. a/ Biểu thức xác suất: Vì các giá trị L là liên tục nên ta không thể nói xác suất để biến số động lực có giá trị L là bao nhiêu được mà chỉ có thể nói xác suất để L có giá trị nằm trong khoảng từ L đến (L+dL) là bao nhiêu mà thôi. Xác suất này thì tỉ lệ với dL và có biểu thức: . là mật độ xác suất để biến số động lực có giá trị L. Như vậy, với toán tử có phổ liên tục, tiên đề thứ Ba được phát biểu như sau: Mật độ xác suất để biến số động lực có giá trị L tỉ lệ với . Tức là tỉ lệ với khi C(L) chưa chuẩn hóa. Còn nếu C(L) đã chuẩn hóa thì = Nếu các hệ số C(L) được chuẩn hóa sao cho: b/ Giá trị trung bình: Biểu thức giá trị trung bình của biến số động lực L vẫn là: . Thật vậy,ta hãy chứng minh cho trường hợp tổng quát là hàm sóng chưa chuẩn hóa như sau: Thay thì tử số sẽ là . = . Tương tự, mẫu số là .Ta suy ra là công thức định nghĩa. Vậy ta đã chứng minh xong. c/ Hệ số phân tích: VI TOÁN TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG LƯỢNG TOP a/ Toán tử tọa độ: Xét hạt chuyển động trên trục ox, trạng thái của hạt được mô tả bởi hàm sóng; giả sử đã chuẩn hóa. Toán tử tọa độ phải có dạng thế nào để hệ thức của giá trị trung bình được thỏa mãn. Tức là: (3.4). Mặt khác, nếu là mật độ xác suất để hạt có tọa độ là x và lưu ý rằng tích của tọa độ với các hàm sóng là giao hoán được thì ta có: (3.5). Như vậy trong biểu diễn tọa độ (sau này ta sẽ nói rõ) thì toán tử tọa độ chỉ là phép nhân với tọa độ mà thôi. b/ Toán tử xung lượng: Ta đã biết rằng hạt tự do có năng lượng E, xung lượng thì tương ứng với một sóng phẳng có dạng: . Trong đó hình chiếu của xung lượng là xác định nên hàm sóng là hàm riêng của toán tử  . Do đó ta có phương trình trị riêng: Hai vế của phương trình bằng nhau .Vậy . Tương tự Từ đó ta suy ra : . VII. NGUYÊN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ DẠNG CÁC TOÁN TỬ KHÁC   TOP Cơ học cổ điển là trường hợp riêng của cơ học lượng tử. Trong cơ học cổ điển, các biến số động lực liên hệ với nhau bằng các công thức đã biết như: Trong cơ học lượng tử thì các biến số động lực được biểu diễn bằng các toán tử và chúng cũng liên hệ với nhau bằng các công thức tương tự như thế. Ðó là nội dung của nguyên lí tương ứng trong cơ học lượng tử. Từ nguyên lí tương ứng và dạng các toán tử đã biết, ta có thể suy ra được các toán tử khác. a/ Toán tử năng lượng: Trong cơ học cổ điển ta có công thức: . Theo nguyên lí tương ứng ta có dạng của toán tử là: . Thay dạng của các toán tử đã biết vào biểu thức ta được: . (3.6) b/ Toán tử mô men động lượng: Trong cơ học cổ điển ta có: Thay dạng các toán tử dã biết ta được: . (3.7) Ba toán tử trên là ba toán tử hình chiếu của toán tử mô men động lượng có dạng là (3.8) VIII. SỰ ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC   TOP Xét hệ lượng tử có hàm sóng và hai biến số động lực L,M của hệ, chúng được biểu diễn bằng hai toán tử . Theo tiên đề Ba (trường hợp riêng), muốn thì hàm sóng (x) phải trùng với hàm riêng . Nghĩa là Nếu đo đồng thời M với L và muốn M cũng có giá trị xác định thì (x) cũng trùng với hàm riêng của . Tức là  là hàm riêng chung của hai toán tử . Vậy, muốn đo chính xác đồng thời hai biến số động lực L, M của hệ lượng tử ở cùng một trạng thái thì hai toán tử biểu diễn chúng phải có chung hàm riêng. khi đó ta có: Ta sẽ chứng minh điều kiện cần và đủ để hai toán tử có chung hàm riêng là hai toán tử phải giao hoán với nhau. Tức là giao hoán tử của chúng bằng không. a/ Ðiều kiện cần (hai toán tử có chung hàm riêng thì giao hoán): b/ Ðiều kiện đủ (hai toán tử giao hoán thì có chung hàm riêng): IX. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG TOP Xét hệ lượng tử ở trạng thái và hai biến số động lực L và M , chúng được biểu diễn bằng hai toán tử . Ta biết rằng nếu giao hoán thì ta đo được chính xác đồng thời cả L và M. Nếu chúng không giao hoán thì không đo chính xác đồng thời được. Giả sử không giao hoán. Ta hãy xét xem khi đo chúng đồng thời thì độ chính xác đạt đến mức độ nào? Vì biến diễn hai biến số động lực nên chúng là các toán tử hecmit. Nên ta có: với là toán tử hecmit. Gọi là giá trị trung bình của hai biến số động lực L và M thì độ lệch khỏi giá trị trung bình của L và M là: . Bây giờ ta hãy tính: . Thực hiện phép tính ở vế phải ta tính được: . Ðể tìm mối liên hệ giữa , ta dùng một thủ thuật sau: Nếu đo đồng thời hai đại lượng này thì độ chính xác phải tuân theo hệ thức bất định sau: .                        Hay Ý nghĩa vật lí của hệ thức này ta phải hiểu như sau: Khi quan sát một hệ lượng tử (electron chẳng hạn), ta phải chiếu vào nó một bức xạ có bước sóng ngắn, tức có xung lượng lớn (xung lượng P =). Khi foton va chạm với electron thì ta xác định được vị trí của electron. Nếu lúc đó ta muốn xác định đồng thời cả xung lượng thì phép đo xung lượng kém chính xác. Vì do xung lượng của foton lớn nên xung lượng của electron bị biến đổi nhiều, không còn như cũ nữa, do đó ta không đo được chính xác đồng thời cả xung lượng và tọa độ của hạt. Ðiều này chứng tỏ các hạt vi mô khác với các vật vĩ mô thông thường. Các hạt vi mô vừa có tính chất sóng lại vừa có tính chất hạt, đó là một thực tế khách quan. Việc không đo được chính xác đồng thời cả tọa độ và xung lượng của hạt là do bản chất của sự việc chứ không phải do trí tuệ của con người bị hạn chế. Kĩ thuật đo lường của ta có tinh vi đến mấy đi nữa cũng không đo được chính xác đồng thời cả tọa độ và xung lượng của hạt. Hệ thức bất định Heisenberg là biểu thức toán học của lưỡng tính sóng hạt của vật chất. BÀI TẬP CHƯƠNG 3 Bài 3-1.  Cho hạt chuyển động tự do trên một đường thẳng. 1/ Chứng minh rằng có thể đo được một cách chính xác đồng thời xung lượng và năng lượng của hạt. 2/ Nếu hạt chuyển động trong một trường có thế năng V(x) ( 0 thì sao? Bài 3-2.  Hạt chuyển động trong không gian. Chứng minh rằng có thể đo được chính xác đồng thời bình phương của xung lượng Bài 3-3.  Toán tử năng lượng của một hạt có thể viết dưới dạng: . Hãy tìm độ bất định của năng lượng đối với thời gian (t). Bài 3-4. Hạt chuyển động trên trục x trong khoảng (-a, a) và hàm sóng có dạng: 1/ Chuẩn hóa hàm sóng này. 2/ Tìm xác suất tìm thấy hạt trong khoảng (a/2 , a) Bài 3-7. Ðộng năng của electron trong nguyên tử Hydro có giá trị cỡ 10 eV. Hãy dùng hệ thức bất định Heisenberg tìm kích thước nhỏ nhất (đường kính d) của nguyên tử. Bài 3-8. Dùng hệ thức bật định đánh giá năng lượng nhỏ nhất Emin của electron trong nguyên tử Hydro có kích thước là d. Bài 3-9. Hạt vi mô có độ bất định về xung lượng là 1% xung lượng của nó . Tính tỷ số bước sóng De Broglie và độ bất định về tọa độ x của hạt. Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER.   PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGGER KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER MỘT CHIỀU Tính chất chẵn lẻ của nghiệm Tính liên tục của nghiệm và đạo hàm của nó: HỐ THẾ CÓ CHIỀU SÂU VÔ HẠN HỐ THẾ CÓ BỀ SÂU HỮU HẠN   THẾ BẬC THANG HÀNG RÀO THẾ VÀ HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER. I. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGGER KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN Xét hạt chuyển động trong trường thế có thế năng phụ thuộc vào tọa độ . Hạt có năng lượng E và hàm sóng phụ thuộc tọa độ là . Phương trình trị riêng của toán tử năng lượng (toán tử Hamilton) sẽ là: Phương trình này mang tên là phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian, là phương trình đạo hàm riêng hạng hai tuyến tính. Nó có nghiệm với bất kì giá trị nào của E. Song không phải nghiệm nào cũng ứng với một trạng thái vật lí. Chỉ có những nghiệm thỏa mãn đơn giá, liên tục và hữu hạn mới biểu diễn một trạng thái vật lí và mới chấp nhận được. Các nghiệm không thỏa mãn điều kiện trên thì không chấp nhận được. Người ta chứng minh rằng chỉ có những giá trị đặc biệt của E mới cho nghiệm theo quan điểm vật lí. Thường những giá trị ấy là những giá trị gián đoạn và một dải những giá trị liên tục của E. - Các giá trị gián đoạn của E ứng với nghiệm giảm nhanh về số không khi tọa độ tiến tới vô cực. Trạng thái này gọi là trạng thái liên kết. - Các giá trị liên tục của E ứng với nghiệm hữu hạn ở vô cực và gọi là trạng thái không bị liên kết. Việc giải phương trình Schrodinger trong không gian là phức tạp. Ðể làm quen, trước hết ta hãy giải bài toán trong không gian một chiều, tuy rằng bài toán một chiều nó không ứng với chuyển động của môt hệ thực. Nhưng qua đó nó cho ta một số ý niệm đầu tiên về tính chất sóng hạt của vật chất. Hơn nữa, cũng có những bài toán trong không gian ba chiều ta có thể quy về bài toán một chiều được. Vậy việc giải bài toán một chiều là cần thiết và quan trọng. Giả sử hạt chuyển động trên trục ox, hạt có thế năng V(x) thì phương trình Schrodinger có dạng: Phương trình này gọi là phương trình Schrodinger một chiều. II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHORODINGER MỘT CHIỀU 1- Tính chất chẵn lẻ của nghiệm:   TOP Nếu thế năng V(x) là hàm chẵn của tọa độ, tức là V(x) = V(-x) thì nghiệm của phương trình (4.3) là một hàm hoặc chẵn hoặc lẻ của tọa độ. 2- Tính liên tục của nghiệm và đạo hàm của nó: TOP Theo đòi hỏi về vật lí,nghiệm của phương trình và đạo hàm của nó theo tọa độ phải đảm bảo liên tục thì xác suất tìm thấy hạt mới liên tục. Như vậy, tại những điểm mà thế năng gián đoạn, nghiệm và đạo hàm theo tọa độ của nó phải liên tục. Ta hãy chứng minh tính liên tục của đạo hàm. Giả sử thế năng bị gián đoạn tại như hình. Tức là khi ở bên trái và bên phải thì thế năng không liên tục, hai giá trị khác nhau một lượng hữu hạn như hình. Phương trình Schrodinger cho ta III. HỐ THẾ CÓ CHIỀU SÂU VÔ HẠN: Ta hãy xét bài toán mà hạt chuyển động trên trục ox, thế năng có dạng: Một trường thế như vậy gọi là hố thế có bề sâu vô hạn, chiều rộng là 2a Muốn cho hạt chuyển động được trên miền ngoài khoảng (- a,a) thì ta phải cấp cho hạt một năng lượng bằng (vì V= và năng lượng E = T +V).Ta không thể làm được điều này. Vậy hạt bị nhốt trong hố thế, nên nó chỉ có mặt trong khoảng (- a , a) mà thôi. Như vậy ngoài khoảng (- a , a) hàm sóng của hạt là Còn trong khoảng (- a , a) thì hàm sóng tuân theo phương trình Schrodinger như sau: là phương trình dao động điều hòa. Nghiệm của phương trình này là Trong đó A và B là các hằng số phải xác định từ các điều kiện biên và điều kiện chuẩn hóa. Với bài toán này thì thế năng là hàm chẵn của tọa độ nên bài toán có hai lớp nghiệm riêng biệt chẵn và lẻ. a/ Lớp chẵn: Vì nghiệm là chẵn nên có dạng: Nhìn vào biểu thức của năng lượng ta thấy năng lượng của hạt bị gián đoạn theo số nguyên lẻ. b/ Lớp nghiệm lẻ: IV. HỐ THẾ CÓ BỀ SÂU HỮU HẠN Xét hạt chuyển động trên trục ox và thế năng có dạng Ta thấy rằng hạt chuyển động tự do trong khoảng (-a,a) và muốn hạt ra khỏi khoảng này thì phải cấp cho hạt một năng lượng lớn hơn hoặc bằng V0. Theo cổ điển thì: - Phương trình Schrodinger trong miền /x/ < a có dạng: Giải các phương trình trên ta được nghiệm như sau: Vì thế năng là hàm chẵn của tọa độ nên bài toán có hai lớp nghiệm chẵn và lẻ riêng biệt. a/ Lớp nghiệm chẵn: Chú ý các diều kiện vật lí ta chọn được nghiệm là: Chú ý hàm chẵn nên ta có : V. THẾ BẬC THANG Xét hạt chuyển động trên trụ x và thế năng có dạng: Như vậy khi đi từ miền (I) qua miền (II) thì hạt phải tốn một công bằng . Còn khi hạt đi từ miền (II) qua miền (I) thì động năng của hạt tăng thêm một lượng là Ta hãy xét hạt có năng lượng E đi từ miền (I) qua miền (II). Theo cổ điển thì nếu hạt sẽ qua được miền (II), còn nếu thì hạt sẽ bị phản xạ trở lại tại gốc tọa độ và không qua được miền (II). Ta hãy xét bài toán theo cơ học lượng tử. a/ Trường hợp : Ở miền (I) phương trình chuyển động là: Còn sóng truyền qua không có dạng của sóng tới nên hệ số truyền qua không khải là mà là: . Ðiều kiện biên ở x = 0 cho ta: . Ta thấy A và B là tùy ý nên năng lượng cũng có giá trị tùy ý. Ta cũng thấy hệ số phản xạ . Tức là cho dù , xác suất để hạt quay lại ở x = 0 vẫn khác không. Ðiều này khác với cổ điển. b/ Trường hợp E<V0: Ở miền (I) phương trình vẫn là: . Còn ở miền (II) thì phương trình là: ). Do đó hàm sóng trong miền (I) là : E = . Và ở miền (II) là: (đảm bảo hữu hạn). Ðiều kiện biên ở x=0 cho ta:   . Ta cũng thấy A,B có giá trị tùy ý nên năng lượng của hạt cũng có giá trị tùy ý. Ta hãy xét hệ số phản xạ . Thay biểu thức của A*, A ta sẽ tính được R = 1. Tức là hạt cũng phản xạ hoàn toàn nhưng không phải tại x=0 mà chỉ là chủ yếu tại đó mà thôi. Vì rằng ta thấy xác suất tìm thấy hạt ở miền x>0 là khác không. Cụ thể . Nhưng ta thấy mật độ giảm nhanh về số không khi x tăng. Ðiều này cũng hơi khác cổ điển .  VI. HÀNG RÀO THẾ VÀ HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM Hàng rào thế năng là miền của không gian mà tại đó thế năng lớn hơn miền lân cận. Thí dụ hàng rào thế đơn giản nhất là hàng rào thế vuông góc có dạng: Giải hệ bốn phương trình trên ta tìm được các hệ số A,B,C,D. Ta chú ý vì ở đây ta thấy sóng truyền qua có dạng của sóng tới nên hệ số D xác định hệ số truyền qua Như vậy, theo cơ học lượng tử, dù cho hạt vẫn có thể chuyển động được ở miền (III). Tức hạt qua được hàng rào thế. Hiện tương trên gọi là hiệu ứng đường ngầm.Hiệu ứng đường ngầm giải thích được nhiều hiện tượng vật lí hiện đại. VII. DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Hạt chuyển động trên trục ox dưới tác dụng của lực hồi phục F = - kx .Với k là hệ số đàn hồi. Theo cổ điển thì hạt sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng x = 0. Ta gọi hạt chuyển động như vậy là dao động tử điều hòa. Theo cổ điển thì phương trình chuyển động của hạt là: . Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng: x =Asin(wt) + Bcos(wt) = acos(wt+j). Trong đó a là biên độ, ( là pha ban đầu. Ta thấy rằng với mọi giá trị của , năng lượng E của hạt đều được xác định và tỉ lệ với . Vậy năng lượng của dao động tử điều hòa là tùy ý và nhỏ nhất là . Bây giờ ta hãy giải bài toán theo quan điểm cơ học lượng tử. Theo nguyên lí tương ứng thì toán tử thế năng có dạng: . Do đó toán tử năng lượng là: . Và phương trình trị riêng của toán tử năng lượng là: . Ðây là phương trình vi phân hạng hai đối với n(x) có hệ số thay đổi. Giải phương trình này ta tìm được nghiệm n(x). Nghiệm này phải thỏa mãn một số điều kiện vật lí và chính từ những điều kiện này, ta tìm được năng lương của hạt là: Như vậy, khác với cổ điển, năng lượng của dao động tử điều hòa là gián đoạn theo số nguyên n chứ không phải là liên tục và giá trị nhỏ nhất của năng lượng là chứ không phải bằng 0 như cổ điển. Từ đó, bằng phương pháp quy nạp toán học, ta tìm được công thức cho hàm Trong đó: gọi là đa thức hecmit. là hệ số chuẩn hóa. BÀI TẬP CHƯƠNG 4 Bài 4-1. Hạt chuyển động trên đường thẳng ox và thế năng có dạng: V(x) = 0 khi 0< x < a ; 1/ Hãy tìm trị riêng và hàm riêng của toán tử năng lượng. 2/ Hạt Ở trạng thái .Hãy tìm xác suất của phép đo năng lượng cho ta giá trị E1 , E2 . Bài 4-2. Hạt chuyển động trên trục ox và thế năng có dạng: V(x) = 0 khi - a< x < a và 1- Tìm các trị riêng và hàm riêng tương ứng dạng cosin của năng lượng. 2- Giả sử trạng thái của hạt được mô tả bởi hàm sóng: . Vẽ đồ thị mật độ xác suất tìm thấy hạt theo tọa độ và xác định giá trị năng lượng của hạt khi ta tiến hành phép đo năng lượng của hạt Bài 4-3. Hạt bị nhốt trong hố thế có bề sâu vô hạn như bài (4-2). 1/ Tìm các hàm riêng dạng sin và các trị riêng tương ứng của năng lượng. 2/ Giả sử trạng thái của hạt là . Vẽ đồ thị phân bố xác suất tìm thấy hạt theo tọa độ và tìm xác suất để phép đo năng lượng cho ta giá trị: , Bài 4-4. Cho bài toán như bài (4.2). Trạng thái của hạt là: 1/ Tìm xác suất của phép đo năng lượng cho ta giá trị , . 2/ Tìm mật độ xác suất để hạt có tọa độ Chương 5: SỰ BIẾN ÐỔI TRẠNG THÁI THEO THỜI GIAN PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHỤ THUỘC THỜI GIAN   MẬT ĐỘ XÁC SU