Cách chứng minh công thúc tính vận tốc và sức căng dây của con lắc đơn

trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 1 PHÇN I C¸CH CHøNG MINH C¤NG THóC TÝNH VËN TèC Vµ SøC C¡NG D¢Y CñA CON L¾C §¥N PH¦¥NG PH¸P: 1. C«ng thøc tÝnh vËn tèc t¹i vÞ trÝ bÊt kú: Do con l¾c chuyÓn ®éng trong tr−êng träng lùc nªn c¬ n¨ng b¶o toµn Chän mèc thÕ n¨ng h=o t¹i vÞ trÝ c©n b»ng O. ¸p dông ®Þnh luËt B¶o toµn c¬ n¨ng cho 2 vÞ trÝ A vµ B ta cã . WA=WB hay : 2 . 2 B A B m v mgh mgh= + (1) Chó ý : con l¾c ®¬n ®−îc th¶ kh«ng vËn tèc ban ®Çu tõ vÞ trÝ A Nªn vA=O Trong ®ã . . ( )A oh IO IH l l co s α= − = − . . ( )Bh IO IB l l co s α= − = − Nªn thay vµo biÓu thøc (1) ta cã: 2 .[ . ( )] [ . ( )] 2 B o m v mg l lco s mg l lco sα α− = − + T−¬ng ®−¬ng : [ ]2. . . ( ) . ( )B ov g l co s co sα α= − (2) Tõ ®ã ta cã c¸c tr−êng hîp sau x¶y ra : a. T¹i vÞ trÝ c©n b»ng gãc 0oα = cos(oo)=1 suy ra [ ] . 2. . 1 . ( )ma x ov g l co s α= − (3) ( T¹i VTCB vËn tèc ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i ) I Oα O B A α OαA H B trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 2 NÕu gãc 0 010 , 10oα α≤ ≤ ta sö dông c«ng thøc gÇn ®óng : 2 2 . ( ) 1 2.sin 1 2 2 co s α α α = − ≈ − Vµ 2 2 0 0 0. ( ) 1 2.sin 12 2co s α α α = − ≈ − Thay tÊt c¶ vµo (2) ta cã : 2 2 0.Bv g l α α = −  (4) Vµ c«ng thøc vËn tèc cùc ®¹i lóc nµy lµ : thay vµo (3) : 2 20 0 . 2. . 1 (1 2.sin ) 2. . 2.sin 2 2ma x v g l g lα α   = − − =        2 0 . 02. . .2. . .4ma x v g l g lα α≈ = (5) Do 2 2 0 0sin 2 4 α α ≈ T¹i vÞ trÝ biªn 0α α= nªn .minBv o= 2.C«ng thøc tÝnh søc c¨ng d©y T t¹i vÞ trÝ bÊt kú : xÐt t¹i vÞ trÝ biªn A ta cã c¸c lùc t¸c dông lªn vËt m lµ søc c¨ng sîi d©y T vµ träng lùc P. Theo ®Þnh luËt II NIUT¥N ta cã : .P T m a+ =


(6) trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 3 ChiÕu (6) lªn ph−¬ng sîi d©y h−íng vµo ®iÓm treo I chiÒu d−¬ng nh− h×nh vÏ : 2 . ( ) . BvPco s T m l α− + = (7) Thay (2) vµo (7) : [ ]03. . ( ) 2. . ( )T mg co s co sα α= − (8) T¹i VTCB 0oα = cos(oo)=1 nªn : [ ] . 03 2. . ( )ma xT mg co s α= − (9) T¹i vÞ trÝ hai biªn 0α α= nªn : [ ]min 0. ( ) . . ( )T mg co s mg co sα α= = (10) NÕu gãc 0 010 , 10oα α≤ ≤ ta sö dông c«ng thøc gÇn ®óng : 2 2 . ( ) 1 2.sin 1 2 2 co s α α α = − ≈ − Vµ 2 2 0 0 0. ( ) 1 2.sin 12 2co s α α α = − ≈ − Suy ra : 22 2 20 03(1 ) 2.(1 ) . 1 3.2 2 2T mg mg αα α α     ≈ − − − = − +       T¹i VTCB 0oα = cos(oo)=1 nªn : (11) PX P α O B A α OαA H B T I T trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 4 [ ] 2 0 . 03 2. . ( ) . 3 2.(1 )2ma xT mg co s mg α α   = − = − −    Hay : 2 . 01ma xT mg α = +  (12) T¹i vÞ trÝ hai biªn 0α α= nªn : [ ] 2 2 0 min 0. ( ) . . ( ) .(1 ) .(1 )2 2T mg co s mg co s mg mg α α α α= = ≈ − = − PHÇN 2 (13) BiÕn thiªn chu kú cña con l¾c ®¬n theo nhiÖt ®é, ®é cao vµ vÞ trÝ trªn tr¸i ®Êt PH¦¥NG PH¸P: Dùa vµo c«ng thøc : 0 (1 . )2 . 2. l tlT g g α pi pi + = = Trong ®ã : ol : lµ chiÒu dµI d©y treo con l¾c ë 0 0 0t c= l : lµ chiÒu dµI d©y treo con l¾c ë 0t c α : lµ hÖ sè në dµI ë 0 0C Bµi to¸n 1: X¸c ®Þnh thêi gian con l¾c ch¹y sai trong mçi chu kú. TH1: Khi ë ®é cao nhÊt ®Þnh (cïng ®« cao ) cã g=const vµ nhiÖt ®é kh¸c nhau ( 1 2t t≠ ) Con l¾c ch¹y ®óng ë nhiÖt ®é t1 , ta cã chu kú T1 trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 5 0 1 1 (1 . )2. l tT g α pi + = Vµ chu ký T2 0 2 2 (1 . )2. l tT g α pi + = Suy ra : 1 1 2 2 1 . 1 . T t T t α α + = + (14) Hay : ¸p dông c«ng thóc gÇn ®óng : víi 0 1ε< ≤ th× : 1 1 2 2 1 1 1 2 2 ε ε ε ε + ≈ + − + (15) thay (15) vµo (14) ta cã 1 1 2 2 ( )1 2 T t t T α − ≈ + Hay 1 1 2 2 ( )1 2 T t t T α − − ≈ ⇔ 1 2 1 2 2 ( ) 2 T T t t T α− − ≈ (16) NHËN XÐT: +)NÕu t1>t2 suy ra T1>T2 chu kú gi¶m ®ång hå ch¹y nhanh. +)NÕu t1<t2 suy ra T1<T2 chu kú t¨ng ®ång hå ch¹y chËm . +)§é biÕn thiªn t−¬ng ®èi trong mçi chu kú lµ: Tõ (16) suy ra 1 2 1 2 2 2 ( ) 2 T T t tT T T α− −∆ = = (17) KÕt luËn : Mçi ngµy ®ªm ®ång hå ch¹y sai mét kho¶ng 1 2 2 ( )86400. 86400. 2 t tT T αθ −∆= = (18) trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 6 TH2: kh¸c ®é cao ( khi g# const , nhiÖt ®é vµ chiÒu dµi = const) +)ë mÆt ®Êt ®ång hå ch¹y ®óng : 2 0 0 .2 . 2 . . l l RT g G M pi pi= = (19) Trong ®ã g0 lµ gia tèc r¬i tù do ë gÇn mÆt ®Êt . M, R lµ khèi l−îng vµ b¸n kÝnh tr¸i ®Êt . l lµ chiÒu dµi d©y treo con l¾c. a) ë ®é cao h chu kú cña con l¾c 2 .( )2 . 2 . . h h l l R hT g G M pi pi + = = (20) Gia tèc träng tr−êng ë mÆt ®Êt 0 2 .G Mg R = (21) Gia tèc träng tr−êng ë ®é cao h : 2 . ( )h G Mg R h = + (22) ë ®©y ta coi tr¸i ®Êt h×nh cÇu, b¸n kÝnh R, khèi l−îng M , vËt ®øng c¸ch mÆt ®Êt mét kho¶ng h tÝnh tõ mÆt ®Êt. Tõ (19), (20), (21), (22) Suy ra : 0 0 1h h T g R T g R h = = < + suy ra T0<Th Chu kú t¨ng ®ång hå ch¹y chËm §é biÕn thiªn t−¬ng ®èi trong mçi chu kú : 0 1h h h T TT h T T R h −∆ = = < + Mçi ngµy ®ªm ®ång hå ch¹y chËm mét kho¶ng : O R h trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 7 86400. 86400. h T h T R h θ ∆= = + (23) b) ë ®é sau h’(so víi mÆt ®Êt) chu kú cña qu¶ l¾c : 2 ' ' .( ')2 . 2 . . ' h h l l R hT g G M pi pi − = = (24) Trong ®ã gh’ lµ gia tè träng tr−êng ë ®é s©u h’ 2 . ' ' ( ')h G Mg R h = − (25) M’ lµ khèi l−îng cña phÇn tr¸i ®Êt giíi h¹n bëi mÆt cÇu cã b¸n kÝnh (R-h’) Gia tèc träng tr−êng ë mÆt ®Êt : 0 2 .G Mg R = (26) Tõ(25) vµ (26) suy ra 32 2' 30 4 . ( ') . ' 3 . .( )4' ' . . . 3 h R hg R M R g R h M R hR pi ρ pi ρ −   = =  − −  (ë ®©y v× tr¸i ®Êt h×nh cÇu nªn khèi l−îng ®−îc tÝnh nh− trªn) Hay ' 0 'hg R h g R − = (27) lÊy (19) chia ch0 (24) vÕ theo vÕ vµ ®Ó ý ®Õn (27) ta cã : 20 ' ' 0 . ' ' ' ' .( ) 1 1 1 . ' 2. h h T g G M R R h h h T g G M R h R R R − = = = = − ≈ − < − trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 8 ( Do ¸p dông c«ng thøc gÇn ®óng : ( )121 1 1 2 ε ε ε± = ± ≈ ± Suy ra T1<T2 Chu kú t¨ng ®ång hå ch¹y chËm . §é biÕn thiªn t−¬ng ®èi trong mçi chu kú : 0 ' ' ' ' 2 h h h T TT h T T R −∆ = = VËy mçi ngµy ®ªm ®ång hå ch¹y sai mét kho¶ng : ' '86400. 86400. 2h T h T R θ ∆= = Chó ý : c¸c c«ng thøc gÇn ®óng sö dông trong bµi : víi 0 1ε< ≤ th× 1 1 2 2 1 1 1 2 2 ε ε ε ε + ≈ + − + hoÆc : ( )121 1 1 2 ε ε ε± = ± ≈ ± hoÆc: ( )1 1n nε ε± ≈ ± hoÆc : 1 1 21 ε ε ≈ ± ∓ hoÆc : 1 '1 2 21 ' ε ε ε ε + ≈ + − − hoÆc : '1 . 1 ' 1 2 2 ε ε ε ε+ + ≈ + +