Cách chứng minh công thúc tính vận tốc và sức căng dây của con lắc đơn

CáCH CHứNG MINH CÔNG THúC TíNH VậN TốC Và SứC CĂNG DÂY CủA CON LắC ĐƠN PHƯƠNG PHáP: 1. Công thức tính vận tốc tại vị trí bất kỳ: Do con lắc chuyển động trong trường trọng lực nên cơ năng bảo toàn Chọn mốc thế năng h=o tại vị trí cân bằng O. áp dụng định luật Bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí A và B ta có

pdf8 trang | Chia sẻ: nguyenlinh90 | Lượt xem: 576 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Cách chứng minh công thúc tính vận tốc và sức căng dây của con lắc đơn, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 1 PHÇN I C¸CH CHøNG MINH C¤NG THóC TÝNH VËN TèC Vµ SøC C¡NG D¢Y CñA CON L¾C §¥N PH¦¥NG PH¸P: 1. C«ng thøc tÝnh vËn tèc t¹i vÞ trÝ bÊt kú: Do con l¾c chuyÓn ®éng trong tr−êng träng lùc nªn c¬ n¨ng b¶o toµn Chän mèc thÕ n¨ng h=o t¹i vÞ trÝ c©n b»ng O. ¸p dông ®Þnh luËt B¶o toµn c¬ n¨ng cho 2 vÞ trÝ A vµ B ta cã . WA=WB hay : 2 . 2 B A B m v mgh mgh= + (1) Chó ý : con l¾c ®¬n ®−îc th¶ kh«ng vËn tèc ban ®Çu tõ vÞ trÝ A Nªn vA=O Trong ®ã . . ( )A oh IO IH l l co s α= − = − . . ( )Bh IO IB l l co s α= − = − Nªn thay vµo biÓu thøc (1) ta cã: 2 .[ . ( )] [ . ( )] 2 B o m v mg l lco s mg l lco sα α− = − + T−¬ng ®−¬ng : [ ]2. . . ( ) . ( )B ov g l co s co sα α= − (2) Tõ ®ã ta cã c¸c tr−êng hîp sau x¶y ra : a. T¹i vÞ trÝ c©n b»ng gãc 0oα = cos(oo)=1 suy ra [ ] . 2. . 1 . ( )ma x ov g l co s α= − (3) ( T¹i VTCB vËn tèc ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i ) I Oα O B A α OαA H B trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 2 NÕu gãc 0 010 , 10oα α≤ ≤ ta sö dông c«ng thøc gÇn ®óng : 2 2 . ( ) 1 2.sin 1 2 2 co s α α α = − ≈ − Vµ 2 2 0 0 0. ( ) 1 2.sin 12 2co s α α α = − ≈ − Thay tÊt c¶ vµo (2) ta cã : 2 2 0.Bv g l α α = −  (4) Vµ c«ng thøc vËn tèc cùc ®¹i lóc nµy lµ : thay vµo (3) : 2 20 0 . 2. . 1 (1 2.sin ) 2. . 2.sin 2 2ma x v g l g lα α   = − − =        2 0 . 02. . .2. . .4ma x v g l g lα α≈ = (5) Do 2 2 0 0sin 2 4 α α ≈ T¹i vÞ trÝ biªn 0α α= nªn .minBv o= 2.C«ng thøc tÝnh søc c¨ng d©y T t¹i vÞ trÝ bÊt kú : xÐt t¹i vÞ trÝ biªn A ta cã c¸c lùc t¸c dông lªn vËt m lµ søc c¨ng sîi d©y T vµ träng lùc P. Theo ®Þnh luËt II NIUT¥N ta cã : .P T m a+ =    (6) trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 3 ChiÕu (6) lªn ph−¬ng sîi d©y h−íng vµo ®iÓm treo I chiÒu d−¬ng nh− h×nh vÏ : 2 . ( ) . BvPco s T m l α− + = (7) Thay (2) vµo (7) : [ ]03. . ( ) 2. . ( )T mg co s co sα α= − (8) T¹i VTCB 0oα = cos(oo)=1 nªn : [ ] . 03 2. . ( )ma xT mg co s α= − (9) T¹i vÞ trÝ hai biªn 0α α= nªn : [ ]min 0. ( ) . . ( )T mg co s mg co sα α= = (10) NÕu gãc 0 010 , 10oα α≤ ≤ ta sö dông c«ng thøc gÇn ®óng : 2 2 . ( ) 1 2.sin 1 2 2 co s α α α = − ≈ − Vµ 2 2 0 0 0. ( ) 1 2.sin 12 2co s α α α = − ≈ − Suy ra : 22 2 20 03(1 ) 2.(1 ) . 1 3.2 2 2T mg mg αα α α     ≈ − − − = − +       T¹i VTCB 0oα = cos(oo)=1 nªn : (11) PX P α O B A α OαA H B T I T trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 4 [ ] 2 0 . 03 2. . ( ) . 3 2.(1 )2ma xT mg co s mg α α   = − = − −    Hay : 2 . 01ma xT mg α = +  (12) T¹i vÞ trÝ hai biªn 0α α= nªn : [ ] 2 2 0 min 0. ( ) . . ( ) .(1 ) .(1 )2 2T mg co s mg co s mg mg α α α α= = ≈ − = − PHÇN 2 (13) BiÕn thiªn chu kú cña con l¾c ®¬n theo nhiÖt ®é, ®é cao vµ vÞ trÝ trªn tr¸i ®Êt PH¦¥NG PH¸P: Dùa vµo c«ng thøc : 0 (1 . )2 . 2. l tlT g g α pi pi + = = Trong ®ã : ol : lµ chiÒu dµI d©y treo con l¾c ë 0 0 0t c= l : lµ chiÒu dµI d©y treo con l¾c ë 0t c α : lµ hÖ sè në dµI ë 0 0C Bµi to¸n 1: X¸c ®Þnh thêi gian con l¾c ch¹y sai trong mçi chu kú. TH1: Khi ë ®é cao nhÊt ®Þnh (cïng ®« cao ) cã g=const vµ nhiÖt ®é kh¸c nhau ( 1 2t t≠ ) Con l¾c ch¹y ®óng ë nhiÖt ®é t1 , ta cã chu kú T1 trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 5 0 1 1 (1 . )2. l tT g α pi + = Vµ chu ký T2 0 2 2 (1 . )2. l tT g α pi + = Suy ra : 1 1 2 2 1 . 1 . T t T t α α + = + (14) Hay : ¸p dông c«ng thóc gÇn ®óng : víi 0 1ε< ≤ th× : 1 1 2 2 1 1 1 2 2 ε ε ε ε + ≈ + − + (15) thay (15) vµo (14) ta cã 1 1 2 2 ( )1 2 T t t T α − ≈ + Hay 1 1 2 2 ( )1 2 T t t T α − − ≈ ⇔ 1 2 1 2 2 ( ) 2 T T t t T α− − ≈ (16) NHËN XÐT: +)NÕu t1>t2 suy ra T1>T2 chu kú gi¶m ®ång hå ch¹y nhanh. +)NÕu t1<t2 suy ra T1<T2 chu kú t¨ng ®ång hå ch¹y chËm . +)§é biÕn thiªn t−¬ng ®èi trong mçi chu kú lµ: Tõ (16) suy ra 1 2 1 2 2 2 ( ) 2 T T t tT T T α− −∆ = = (17) KÕt luËn : Mçi ngµy ®ªm ®ång hå ch¹y sai mét kho¶ng 1 2 2 ( )86400. 86400. 2 t tT T αθ −∆= = (18) trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 6 TH2: kh¸c ®é cao ( khi g# const , nhiÖt ®é vµ chiÒu dµi = const) +)ë mÆt ®Êt ®ång hå ch¹y ®óng : 2 0 0 .2 . 2 . . l l RT g G M pi pi= = (19) Trong ®ã g0 lµ gia tèc r¬i tù do ë gÇn mÆt ®Êt . M, R lµ khèi l−îng vµ b¸n kÝnh tr¸i ®Êt . l lµ chiÒu dµi d©y treo con l¾c. a) ë ®é cao h chu kú cña con l¾c 2 .( )2 . 2 . . h h l l R hT g G M pi pi + = = (20) Gia tèc träng tr−êng ë mÆt ®Êt 0 2 .G Mg R = (21) Gia tèc träng tr−êng ë ®é cao h : 2 . ( )h G Mg R h = + (22) ë ®©y ta coi tr¸i ®Êt h×nh cÇu, b¸n kÝnh R, khèi l−îng M , vËt ®øng c¸ch mÆt ®Êt mét kho¶ng h tÝnh tõ mÆt ®Êt. Tõ (19), (20), (21), (22) Suy ra : 0 0 1h h T g R T g R h = = < + suy ra T0<Th Chu kú t¨ng ®ång hå ch¹y chËm §é biÕn thiªn t−¬ng ®èi trong mçi chu kú : 0 1h h h T TT h T T R h −∆ = = < + Mçi ngµy ®ªm ®ång hå ch¹y chËm mét kho¶ng : O R h trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 7 86400. 86400. h T h T R h θ ∆= = + (23) b) ë ®é sau h’(so víi mÆt ®Êt) chu kú cña qu¶ l¾c : 2 ' ' .( ')2 . 2 . . ' h h l l R hT g G M pi pi − = = (24) Trong ®ã gh’ lµ gia tè träng tr−êng ë ®é s©u h’ 2 . ' ' ( ')h G Mg R h = − (25) M’ lµ khèi l−îng cña phÇn tr¸i ®Êt giíi h¹n bëi mÆt cÇu cã b¸n kÝnh (R-h’) Gia tèc träng tr−êng ë mÆt ®Êt : 0 2 .G Mg R = (26) Tõ(25) vµ (26) suy ra 32 2' 30 4 . ( ') . ' 3 . .( )4' ' . . . 3 h R hg R M R g R h M R hR pi ρ pi ρ −   = =  − −  (ë ®©y v× tr¸i ®Êt h×nh cÇu nªn khèi l−îng ®−îc tÝnh nh− trªn) Hay ' 0 'hg R h g R − = (27) lÊy (19) chia ch0 (24) vÕ theo vÕ vµ ®Ó ý ®Õn (27) ta cã : 20 ' ' 0 . ' ' ' ' .( ) 1 1 1 . ' 2. h h T g G M R R h h h T g G M R h R R R − = = = = − ≈ − < − trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 8 ( Do ¸p dông c«ng thøc gÇn ®óng : ( )121 1 1 2 ε ε ε± = ± ≈ ± Suy ra T1<T2 Chu kú t¨ng ®ång hå ch¹y chËm . §é biÕn thiªn t−¬ng ®èi trong mçi chu kú : 0 ' ' ' ' 2 h h h T TT h T T R −∆ = = VËy mçi ngµy ®ªm ®ång hå ch¹y sai mét kho¶ng : ' '86400. 86400. 2h T h T R θ ∆= = Chó ý : c¸c c«ng thøc gÇn ®óng sö dông trong bµi : víi 0 1ε< ≤ th× 1 1 2 2 1 1 1 2 2 ε ε ε ε + ≈ + − + hoÆc : ( )121 1 1 2 ε ε ε± = ± ≈ ± hoÆc: ( )1 1n nε ε± ≈ ± hoÆc : 1 1 21 ε ε ≈ ± ∓ hoÆc : 1 '1 2 21 ' ε ε ε ε + ≈ + − − hoÆc : '1 . 1 ' 1 2 2 ε ε ε ε+ + ≈ + +
Tài liệu liên quan