Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 - Chương 1

CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Phần 1: SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Bài 1.1: Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số Tìm TXĐ Tính y’. Tìm các điểm tới hạn. Lập bảng biến thiên Kết luận. Bài 1.2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R hoặc trên từng khoảng của tập xác định. Tìm TXĐ Tính y’ Hàm số ĐB trên Ró ( Hàm số nghịch biến trên R ó ) Từ đó suy ra điều kiện của m. Bài 1.3: Tìm m để hàm bậc 3 đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a,b) * Cách 1: + Hàm số ĐB trên (a,b) ó ó ( vì y’liên tục tại x = a và x =b) ó g(x) h(m) , ó (*) + Tính g’(x) . Cho g’(x) = 0 tìm nghiệm x0 Tính => + Từ (*) suy ra điều kiện của m. * Cách 2: (thường dùng khi tham số m có bậc 2) + Hàm số ĐB trên (a,b) ó Có 2 trường hợp : * TH1 : suy ra m * TH2 : y’ = f(x) =0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa .(điều kiện về x1, x2 để hàm số ĐB trên (a,b) – xem phần so sánh các số với nghiệm của tam thức bậc hai ) Suy ra m Kết hợp hai trường hợp trên ta được đáp số m cần tìm. Bài 1.4: Tìm m để hàm số ĐB , NB trên đoạn có độ dài bằng d. + Tìm TXĐ + Tính y’ + Hàm số có khoảng ĐB, NB ó y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 .suy ra m. (*) + Biến đổi thành Dùng định lí Viet đưa pt trên về pt theo m. Giải pt tìm m , so với đk (*) để được m cần tìm. Bài 1. 5 : Chứng minh bất đẳng thức P(x) > Q(x), bằng cách sử dụng tính đơn điệu ( Chuyển vế đưa BĐT về dạng : f(x) = P(x) – Q(x) >0 ) Xét hàm số f(x) = P(x) – Q(x) liên tục trên [a,b). Tính . Chứng tỏ Hàm số đồng biến trên [a,b). = Suy ra đpcm --------------------------------------------------------------- Phần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 2.1: Tìm cực trị của hàm số Quy tắc 1: + Tìm TXĐ + Tính y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có) +Lập bảng biến thiên + Kết luận : Hàm số đạt cực đại tại x = và yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu tại x = và yCT = Quy tắc 2 ( thường dùng đối với hàm lượng giác): + Tìm TXĐ + Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi + Tính y” Tính y”(xi) +Kết luận : y”(xi) >0 => hs đạt CT tại xi và yCT = y”(xi) hs đạt CĐ tại xi và yCĐ = Bài 2.2: Tìm m để hàm số có ( ko có )cưc trị. (Lưu ý : hàm số có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua nghiệm đó) Tìm TXĐ Tính y’ Hàm bậc ba có cực trị ( hoặc có CĐ, CT hoặc có 2 cực trị) ó pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt ó .suy ra m. - Hàm b3 ko có cực trị ó y’=0 có n0 kép hoặc vô n0. Hàm có cực trị ó pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt khác x0 ( với x0 là nghiệm ở mẫu) ( với g(x) = tử số của y’ ) Giải hệ tìm m. Bài 2.3 : Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0. Tìm TXĐ Tính y’ Cách 1: Hàm số đạt cực trị tại x = x0 => y’(x0) = 0 .tìm m Với mỗi giá trị m tìm được, ta thay vào y’. lập bảng biến thiên. Dựa vào BBT kết luận m đó có thỏa ycbt không. Cách 2 : Hàm số đạt cực trị tại x = x0 Giải hệ tìm m. Bài 2.4 : Tìm m để hàm số đạt cực đại ( CT ) tại x = x0 Tìm TXĐ Tính y’ , y” Hàm số đạt cực đại tại x = x0 ó ( Hàm số đạt cực tiểu tại x0 ó ) Giải hệ tìm m. Bài 2.5 : Tìm m để hàm số bậc 3 có hai cực trị (hoặc có cực đại và cực tiểu) thỏa điều kiện K ( đk về x1, x2) . + Tìm TXĐ + Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. (*) + Hoành độ cực đại và cực tiểu là nghiệm của pt y’ = 0 ( Ta có thể suy ra các hoành độ này hoặc tổng , tích của các hoành độ) + Tìm m để cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K. So với điều kiện (*) để được m thỏa ycbt. Bài 2.6 : Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 có hai điểm cực trị thỏa đk K cho trước ( VD: đt qua 2 cực trị vuông góc hoặc song song với đt cho trước,.) + Tìm TXĐ + Tính y’ + Tìm m để hàm số có 2 cực trị. (*) + Lấy y chia y’ ta được : y = y’.g(x) + (ax + b) Gọi là các điểm cực trị. => và Suy ra : , Do đó : đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là dm : y = ax +b + Tìm m thỏa điều kiện K. + So với (*) kết luận m cần tìm . Bài 2. 7 : Cực trị của hàm trùng phương + TXĐ : D = R + Tính y’ = 4ax3 +2bx Hàm số luôn đạt cực trị tại x = 0 Hàm số có 3 cực trị ó y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ó pt (*) có 2 nghiệm phận biệt khác 0 ó a.b <0 Hàm số có 2 CĐ và 1 CT ó y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a<0 ó Hàm số có 2 CT và 1 CĐ ó y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a>0 ó Hàm số có đúng 1 cực trị ó pt (*) vô nghịêm hoặc có nghiệm kép bằng 0. ó Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B ,C và A thuộc Oy thì tam giác ABC cân tại A. -------------------------------------------- Phần 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ Bài 3.1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a,b) Xét hàm số trên (a,b) Tính y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có ) Lập bảng biến thiên Dựa vào BBT kết luận . Bài 3.2 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b] Xét hàm số trên [a,b] Tính y’ Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi Tính Kết luận . Bài 3.3 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b] hoặc trên R, với f(x) là hàm lượng giác phức tạp Biến đổi f(x) về cùng một hàm số lượng giác của cùng một cung Đặt t = HSLG đó . điều kiện của t Ta được : g(t) = Tính g’(t) . Cho g’(t) = 0 tìm các nghiệm ti Tính g( ti) , Suy ra : Bài 3.4 : tìm m để hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN ) bằng d trên [a,b] Xét hàm số y = f(x) trên [a,b] Tính y’ . cho y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có ) Xét dấu y’ trên [a,b] ( thông thường ta cần chứng tỏ y’ >0 (hoặc y’ hàm số luôn ĐB (hoặc luôn NB) trên [a,b] ) Suy ra ( hoặc ) Cho = d (hoặc =d ) tìm m. Bài 3.5 : Ứng dụng của GTLN, GTNN vào giải toán VD : trong các hình chữ nhật có chu vi 12cm , tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Phần 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 4.1 : Khảo sát hàm bậc 3 , bậc 4 trùng phương B1 : Tập xác định : D = R B2: Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm nghiệm . B3 : Giới hạn : và B4: Bảng biến thiên Kết luận : Đồng biến , nghịch biến , cực đại, cực tiểu B5: Bảng giá trị : ( 5 điểm đặc biệt) B6 : Vẽ đồ thị. ( Nhận xét : Đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương nhận Oy làm trục đối xứng) Bài 4.2 : Khảo sát hàm B1 : Tập xác định : D = B2: Tính y’.Nhận xét y’>0 hoặc y’ <0, B3 : Giới hạn và tiệm cận : + y = là tiệm cận ngang. + và (-hoặc+) là tiệm cận đứng. B4: Bảng biến thiên . Kết luận : Hàm số đồng biến , nghịch biến trên từng khoảng xác định. Hàm số không có cực trị. B5 : Bảng giá trị : ( 4 điểm đặc biệt) B6 : Vẽ đồ thị. Bài 4.3 : Dựa vào đồ thị (C):đã vẽ, biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1) Đưa pt (1) về dạng : Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d : y = g(m) ( nằm ngang) Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của (C)và d. Dựa vào đố thị, lập bảng biện luận và kết luận. g(m) m Số nghiệm pt (1) - Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số * Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Pt tiếp tuyến của (C) tại điểm có dạng : * Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2). (C1) tiếp xúc với (C2)ó có n0 Bài 4.4 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) tại điểm Tìm x0, y0. Tính y’ . => y’(x0) Pt tiếp tuyến của (C) tại có dạng : Bài 4.5 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k. Gọi là tiếp điểm. Tiếp tuyến d cần tìm có dạng: d có hệ số góc k => = k. Giải tìm x0 . suy ra y0 = y(x0) Suy ra Pt tiếp tuyến d. Cách 2: Dùng đk tiếp xúc + Pt tiếp tuyến d có dạng : y = kx +b + d tiếp xúc với (C) ó có nghiệm + Giải hệ tìm b . Viết pttt d. Lưu ý : Hệ số góc của tiếp tuyến có thể được cho gián tiếp như sau : + d song song với => k = k2 + d vuông góc với => + d tạo với một góc thì +d tạo với chiều dương của trục hoành 1 gócthì k = tan Bài 4.6 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A (xA, yA) Gọi d là tiếp tuyến qua A (xA, yA) và có hệ số góc k . Suy ra : d : d tiếp xúc với (C) ó hệ pt sau có nghiệm : Giải hệ tìm x ( pp thế). => k . Viết pttt. Cách 2: tìm tọa độ tiếp điểm : Gọi là tiếp điểm.Khi đó Pt tiếp tuyến d tại M có dạng : Vì d qua A(xA, yA) nên : Giải pt tìm x0 . Từ đó viết pttt. Bài 4.7: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường: Cho 2 hàm số y = f(x, m) và y = g(x, m) có đồ thị lần lượt là . Biện luận theo m số giao điểm của (C1) và (C2): * B1 : Lập pt hoành độ giao điểm của và f(x,m) = g(x, m) (1) * B2: Biện luận theo m số giao điểm của và . Chú ý : * Nếu (1) là pt bậc hai thì ở bước 2 ta làm như sau: - Tính . - Biện luận theo => số nghiệm pt (1) => Số giao điểm của và . * Nếu (1) là pt bậc 3 thì ở bước 2 t a làm như sau : - Đoán 1 nghiệm của pt ( giả sử pt có nghiệm x = a) - Thực hiện phép chia đa thức ( Sơ đồ Hoocne). Ta có: (1) ó (x-a)(Ax2 +Bx + C) = 0 ó - Tính , Biện luận theo => Số nghiệm pt(2) => số nghiệm pt (1). Bài 4.8 : Nghiệm của pt bậc ba: Số n0 của pt b3 bằng số giao điểm của (C) với trục Ox Pt bậc 3 Đồ thị của hàm số và trục hoành Nếu Có 3 nghiệm tạo thành cấp số cộng Cắt tại 3 điểm cách đều nhau (hay 3 điểm lập thành CSC) f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và điểm uốn nằm trên trục Ox Có 3 n0 đơn phân biệt Cắt nhau tại 3 điểm phân biệt f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và yCĐ .yCT <0 Có 1 n0 kép, 1 n0 đơn Tiếp xúc nhau tại 1 điểm và cắt nhau tại 1 điểm f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và yCĐ .yCT = 0 Có duy nhất 1 n0 đơn Cắt nhau tại 1 điểm Có 2 trường hợp : * f ’(x) = 0 có n0 kép hoặc vô n0. * f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và yCĐ .yCT >0 Định lí Viet về pt bậc 3: Bài 4.9 : Tìm những điểm trên đồ thị hàm hữu tỉ có tọa độ nguyên * Phân tích , với A(x) là đa thức , a * Tọa đô điểm trên đồ thị nguyên ó x nguyên và a là bội của Q(x). * Thử lại các giá trị m tìm được => Kết luận. Bài 4.10 :Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x,m) Cách 1: Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm) có n0 Biến đổi pt theo ẩn m. Áp dụng đk pt có n0 ó các hệ số đồng thời bằng 0. giải tìm x0, y0. => Kết luận. Lưu ý :* ax + b = 0 , ó * Cách 2: Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm) (*) Đặt F(m) = f(x0,m) . F(m) = y0 không đổi => F’(m) = 0 . Giải pt tìm x0. Thay vào (*) tìm y0. Kết luận điểm cố định. Bài 4.11: Đồ thị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cho đồ thị (C) : y = f(x) . Dựa vào đồ thị (C) , vẽ đồ thị (C’) : a) , b) Vẽ đồ thị (C) : y = f(x) Đồ thị hàm số Ta có: +Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên trục hoành +Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành Suy ra đồ thị hàm số Đồ thị hàm số Ta có: là hàm số chẳn và +Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung +Bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái trục tung. Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung qua trục tung. Suy ra đồ thị hàm số