Cái và cách trong dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE 2012, Vol. 57, No. 10, pp. 33-39 CÁI VÀ CÁCH TRONG DẠY HỌCMÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNGHỌC PHỔ THÔNG La Đức Minh Trường Dự bị Đại học Dân tộc Sầm Sơn Email: minhld.dbdhss@moet.edu.vn Tóm tắt. Bài viết đề cập đến cách hiểu “cái” và “cách” (theo quan điểm của Hồ Ngọc Đại) trong môn Toán. Tác giả tập trung phân tích mối quan hệ giữa “cái” và “cách” và khai thác sự chuyển hóa sư phạm giữa chúng để nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở Trường Trung học phổ thông (THPT). Từ khóa: Cái và cách, tri thức sự vật, tri thức phương pháp. 1. Mở đầu Theo Hồ Ngọc Đại [1], “cái” là các dụng cụ sinh hoạt và các công cụ thủ công. “Cái và cách” có quan hệ mật thiết với nhau, “cái” thông qua cách dùng nó. Trong dạy học Toán cũng vậy. Nếu hiểu rõ “cái” và “cách” học sinh sẽ hứng thú học tập, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán. Chính vì vậy giáo viên luôn phải hướng tới việc trang bị cho học sinh “cái” và “cách”. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. "Cái" trong dạy học Toán ở Trường THPT Theo Hồ Ngọc Đại, mỗi “cái” thể hiện một thao tác hay cách dùng theo đúng nghĩa của nó và trong thực tế, một “cái” được dùng vào nhiều việc khác nhau. Điều này nói lên rằng hình thức tồn tại của “cái” tự nó chưa cho ta biết gì về bản thân nó. Triết học duy vật biện chứng gọi trạng thái này của “cái” là trừu tượng. Trong đó, cái trừu tượng là hình thái tồn tại “phiến diện” của cái cụ thể, cái trừu tượng cô đọng hơn cái cụ thể. Cái trừu tượng và cái cụ thể là những phạm trù có tính tương đối, vì cái mà trong một quan hệ nào đó, có thể xuất hiện như một cái trừu tượng, lại có thể tồn tại như là cái cụ thể trong một quan hệ khác. Tuy nhiên, trong một quan hệ nhất định, chúng luôn luôn tồn tại như một thể thống nhất. Không có cái trừu tượng ngoài cái cụ thể và ngược lại, không có cái cụ thể nằm ngoài cái trừu tượng. Nó phản ánh những mặt bản chất trong mối liên hệ của các sự vật và hiện tượng. Trong môn Toán “cái” thường là một khái niệm (ví dụ khái niệm vectơ), một định lý(chẳng hạn định lý hàm số sin), một mệnh đề, cũng có khi là một yếu tố lịch sử, một ứng dụng Toán học,... Theo [3] đó chính là tri thức sự vật. 33 La Đức Minh Cần chú ý rằng các “cái” mà ta nói trên đây là những tri thức cụ thể trong dạy học Toán. Các khái niệm, định nghĩa, định lý. . . được trình bày trong sách giáo khoa phải được truyền thụ cho học sinh (HS) thông qua quá trình hoạt động (HĐ) dạy học Toán. Dạy Toán là dạy HĐ Toán học, do đó HS cần thiết được biết các quá trình hình thành các khái niệm, định lý, biết vận dụng kiến thức, có niềm tin vào khả năng Toán học của mình. Đặc trưng của tri thức Toán học là trừu tượng hoá cao độ và lôgic chặt chẽ. Vì vậy trong HĐ dạy học, ngoài suy diễn lôgic, cần thiết phải coi trọng nguyên tắc trực quan, quy nạp, trực giác toán học. Dạy học Toán cần phải cân đối các quan hệ giữa trực quan và trừu tượng, giữa ước lượng, dự đoán và các suy luận có lý. 2.2. Cách trong dạy học Toán ở Trường THPT Theo K.Marx thì “cách” có hai nghĩa, “cách” dùng “cái”, “cách” làm ra “cái”. Các thời đại kinh tế khác nhau kông phải ở chỗ chúng sản xuất ra “cái” gì, mà ở chỗ chúng sản xuất bằng cách nào, với những tư liệu nào. Mỗi “cách” là một cột mốc đánh dấu trình độ đạt được của một thời đại cụ thể trên con đường phát triển tự nhiên của lịch sử hiện thực. Theo nghĩa rộng nhất, “cách” làm có thể hiểu như cung cách làm ăn. Đối với con người thì “cách” đặc trưng nhất là “cách tư duy”. Theo Engels: “Lịch sử bắt đầu từ đâu thì quá trình tư duy cũng bắt đầu từ đó”. Có nghĩa là khi con người xuất hiện thì đồng thời cũng xuất hiện qua trình tư duy. Cách tư duy hay còn gọi là phương pháp tư duy. Theo Hegel, toàn bộ triết học được thâu tóm thành phương pháp. Phương pháp là sức mạnh tuyệt đối nhất, duy nhất, tối cao, vô cùng tận, không một vật nào cưỡng lại được. Như vậy, chính phương pháp đã tạo ra “cái”; phương pháp mới tạo ra “cái”mới theo một nguyên lý mới. Trong dạy học toán ở Trường THPT thì “cách” có thể hiểu là cách thức, con đường là phương pháp. “Cách” định hướng trực tiếp cho HĐ và ảnh hưởng trực tiếp đến việc rèn luyện kĩ năng. Dạy học không chỉ hình thành cho HS các “cái”, tri thức về đối tượng nghiên cứu của môn học mà còn hình thành và phát triển hệ thống “cách” cho HS. Các “cách” khi được hình thành lại trở nên điều kiện thuận lợi để HS lĩnh hội, kiến tạo tri thức mới. - Những “cách” thực hiện những HĐ tương ứng với những nội dung toán học cụ thể như: tính đạo hàm, giải các bài về tính đồng biến, nghịch biến, các qui tắc tìm cực trị, giải các bài toán khảo sát hàm số... - Những “cách” thực hiện những HĐ toán học phức hợp như định nghĩa, chứng minh. . . - Những “cách” thực hiện những HĐ trí tuệ phổ biến trong môn Toán như hoạt động tư duy hàm, phân chia trường hợp. . . - Những thực hiện những hoạt động trí tuệ chung như so sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá. . . - Những “cách” thực hiện những HĐ ngôn ngữ logic như thiết lập mệnh đề đảo của mệnh đề cho trước, liên kết hai mệnh đề thành hội hay tuyển của chúng. . . “Cách” trong dạy học môn Toán ở Trường THPT đóng vai trò là cơ sở định hướng trực tiếp cho HĐ; Theo lý luận dạy học thì đó chính là tri thức phương pháp. 34 Cái và cách trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông 2.3. Mối liên hệ giữa cái và cách trong dạy học Toán ở Trường THPT Có thể hiểu “cách” là phương pháp đạt được mục đích. Bản thân “cách” cũng được hình thành từ sự hiểu biết, từ “cái”. Mỗi “cái” khi mới hình thành tự nó không trở thành “cách”. Tuy nhiên cái phản ánh bản chất của đối tượng nhận thức, phản ánh quy luật vận động của các sự vật, hiện tượng. Nắm được quy luật và vận dụng quy luật để suy ra hiện tượng, sự kiên mới là con đường nhận thức khoa học. Trong trường hợp này “cái” chuyển hóa thành “cách”. Sự chuyển hóa này được thực hiện trong quá trình quan sát, vận dụng “cái” trong những tình huống khác nhau. Chính tần suất lặp lại sự vận dụng “cái” là nhân tố quyết định hình thành nên “cách”. Một “cái” được vận dụng vào nhiều tình huống đa dạng sẽ làm cho sự chuyển hóa thành “cách” nhanh chóng hơn. Trong trường hợp đó hiệu lực của “cách” cũng vì thế được đánh giá cao hơn. Cũng có trường hợp, sự phối hợp của nhiều “cái” cũng làm nảy sinh một “cách”. Có thể nói một cách khái quát, quá trình chuyển hóa “cái” thành “cách” được thực hiện theo quy luật: từ sự thay đổi về lượng dẫn đến sự thay đổi về chất. Ví dụ 1: Cho hai cặp số thực (a1, a2, ..., an) và (b1, b2, ..., bn). Khi đó ta có: (a21 + a 2 2 + ...+ a 2 n)(b 2 1 + b 2 2 + ... + b 2 n) ≥ (a1b1 + ...+ anbn)2, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a1 b1 = a2 b2 = ... = an bn . Cách 1: Xét tam thức bậc hai: f(x) = (a21 + a 2 2 + ... + a 2 n)X 2 − 2(a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)X + (b21 + b22 + ...+ b2n) Ta có: f(x) = (a1X − b1)2 + (a2X − b2)2 + ...+ (anX − bn)2 ≥ 0 ∀X Với a21 + a22 + ...+ a2n = 0⇒ a1 = a2 = ... = an = 0 Thì bất đẳng thức luôn đúng. Với a21 + a22 + ... + a2n > 0, do f(x) ≥ 0∀X nên theo định lý về dấu tam thức bậc hai ta suy ra: ∆′ = (a1b1 + ... + anbn)2 − (a21 + a22 + ...+ a2n)(b21 + b22 + ...+ b2n) ≤ 0 ⇒ (a21 + a22 + ... + a2n)(b21 + b22 + ...+ b2n) ≥ (a1b1 + ... + anbn)2. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm:  a1X − b1 = 0 a2X − b2 = 0 .................. anX − bn = 0 tức là a1 b1 = a2 b2 = ... = an bn . Cách 2: (a21 + a 2 2 + ...+ a 2 n)(b 2 1 + b 2 2 + ...+ b 2 n) ≥ (a1b1 + ...+ anbn)2 ⇔|a1b1 + ... + anbn| ≤ √ a21 + ... + a 2 n. √ b21 + ...+ b 2 n ⇔ |a1b1 + ... + anbn|√ a21 + ...+ a 2 n. √ b21 + ... + b 2 n ≤ 1 (2.1) Với a21 + a22 + ...+ a2n = 0 hoặc b21 + b22 + ...+ b2n = 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Với a21 + a22 + ...+ a2n > 0 và b21 + b22 + ...+ b2n > 0 ta có: 35 La Đức Minh |a1b1 + ... + anbn|√ a21 + ...+ a 2 n. √ b21 + ... + b 2 n ≤ |a1b1|√ a21 + ... + a 2 n. √ b21 + ...+ b 2 n + ...+ + |anbn|√ a21 + ...+ a 2 n. √ b21 + ... + b 2 n (2.2) Theo bất đẳng thức Côsi thì: |a1b1|√ a21 + ...+ a 2 n. √ b21 + ... + b 2 n ≤ a21 a21 + ...+ a 2 n + b21 b21 + ... + b 2 n 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (*) |anbn|√ a21 + ...+ a 2 n. √ b21 + ... + b 2 n ≤ a2n a21 + ...+ a 2 n + b2n b21 + ... + b 2 n 2 Cộng từng vế của n bất đẳng thức (*) ta có: |a1b1|√ a21 + ...+ a 2 n. √ b21 + ... + b 2 n + ... + |anbn|√ a21 + ...+ a 2 n. √ b21 + ... + b 2 n ≤ 1 (2.3) Từ (2.2) và (2.3) suy ra: |a1b1 + ... + anbn|√ a21 + ...+ a 2 n. √ b21 + ... + b 2 n ≤ 1 đpcm Ở đây “cái” chính là định lý về dấu của tam thức bậc hai và bất đẳng thức Côsi, “cách” chính là bất đẳng thức Bunhiacopski. Nhưng chúng ta cũng có thể hiểu “cái” chính là bất đẳng thức Bunhiacopski, còn “cách” chính là chứng minh: f(x) = (a21+a 2 2+ ...+a 2 n)X 2−2(a1b1+a2b2+ ...+anbn)X+(b21+b22+ ...+b2n) ≥ 0∀X . Việc sử dụng “cách” để giúp khắc sâu quy trình thao tác khi vận dụng “cái”. Đây là cách phổ biến và hữu hiệu giúp cho học sinh nắm được các yếu tố then chốt trong quy trình vận dụng “cái” vào giải quyết một loại tình huống. Trong quá trình hướng dẫn học sinh vận dụng “cái”, giáo viên cần giúp học sinh nhận ra sự hiện diện của tri thức đã biết trong tình huống cụ thể, chỉ rõ quy trình thực hiện các thao tác trong quá trình vận dụng. Việc làm này theo quan điểm của Lí thuyết phát sinh nhận thức của J. Piaget có nghĩa là đang tạo tình huống để học sinh thực hiện sự đồng hóa tri thức. Quá trình này sẽ giúp nắm vững “cái”, rèn luyện kĩ năng, mở rộng phạm vi áp dụng kiến thức và hình thành thói quen thao tác chuẩn, “cách” được hình thành. Sử dụng “cái” làm công cụ, làm phương tiện giải quyết vấn đề đặt ra trong mỗi tình huống. Đây là cách giúp học sinh nhận ra sự giống nhau và sự khác nhau trong các tình huống vận “cái". Chính việc nhận ra sự giống nhau đã làm cho học sinh thấy giá trị, ý nghĩa và tiện ích do “cái” mang lại. Với cách này mỗi khi gặp một nhiệm vụ cần giải quyết trong một tình huống cụ thể tương tự học sinh biết cách huy động kiến thức đã học vào giải quyết. “Cái” đã được chuyển hóa thành công cụ, phương tiện thao tác của học sinh. “Cái” đó đã trở thành “cách”. 36 Cái và cách trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông Tuy nhiên trong khi tổ chức cho học sinh hoạt động giải quyết các nhiệm vụ nhận thức cần làm rõ sự phối hợp giữa suy luận có lí và quá trình huy động, vận dụng từng nhóm kiến thức. Việc làm này có tác dụng hình thành cho học sinh “cách” mang tính chất tìm đoán. “Cách” lúc này có vai trò định hướng hoạt động giải quyết vấn đề và khám phá, sáng tạo tri thức mới, sáng tạo phương pháp mới trong giải toán. Thông qua “cái” ta có thể luyện tập, bồi dưỡng cho học sinh cách huy động kiến thức theo các hướng khác nhau, chuyển đổi “cái” theo các ngôn ngữ khác nhau, nhìn nhận “cái” theo nhiều cách khác nhau từ đó dẫn đến “cách” khác nhau. Việc làm này có tác dụng rèn luyện tư duy linh hoạt, phá vỡ sức ỳ của tư duy. Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BB1. a. Chứng minh rằng: IJ⊥A1C. b. Tính góc tạo bởi hai đường thẳng IJ và AC1. Đối với bài toán là hình lập phương và yêu cầu của bài toán liên quan đến vấn đề vuông góc và góc giữa hai đường thẳng nên ta có thể nghĩ đến việc sử dụng hình học tổng hợp, cũng có thể nghĩ đến sử dụng phương pháp véc tơ và phương pháp toạ độ. Để giúp học sinh huy động kiến thức giải bài toán này, người giáo viên có thể đặt câu hỏi kiểu như: "Để chứng minh hai đoạn thẳng vuông góc ta có những cách nào?", "Để tính góc giữa hai đoạn thẳng ta có những cách nào?". . . Cách 1: (Dùng phương pháp tổng hợp) a. Gọi O là trung điểm điểm của BC1; Do DI và OJ song song và bằng nhau nên tứ giác IDOJ là hình bình hành. Suy ra IJ//DO (hình vẽ). Từ đó suy ra IJ// mp(BDC1). (1) Mặt khác, vì BD⊥(AA1C1C) Nên BD⊥A1C ⊃ (AA1C1C) (*); Do A1C⊥AC1 nên A1C⊥BC1(**); Từ (*) và (**)⇒ A1C⊥ mp(BDC1). (2) Từ (1) và (2) ta có IJ⊥A1C. b. Xác định góc tạo bởi IJ và AC1. Gọi K là điểm đối xứng với B1 qua C1. Vì AD,KC1 song song và bằng nhau nên tứ giác ADKC1 là hình bình hành. Suy ra DK//AC1. Do IJ//DO và DK//AC1 nên góc giữa IJ và AC1 chính là góc ODK. Áp dụng định lí hàm số cosin cho tam giác OKC1 ta có: OK2 = C1K 2 + OC21 − 2C1K.OC1 cos ÔC1K 37 La Đức Minh = a2 + ( a √ a 2 )2 + 2 a √ 2 2 cos 450 = 5a2 2 . Áp dụng định lí cosin cho tam giác OKD, ta có: OK2 = DK2 +DO2 − 2DK.DO cos ÔKD = ( a √ 3 )2 + ( a √ 6 2 )2 − 2a √ 3. a √ 6 2 cos K̂DO = 5a2 2 (trong đó: DO2 = IJ2 = −→ IJ2 = −−→ (IA + −→ AB + −→ BJ)2 = IA2 + AB2 + BJ2 = ( a √ 6 2 )2; DK2 = (a √ 3)2). Từ hệ thức trên suy ra cosK̂DO = √ 2 3 . Cách 2: (Phương pháp véc tơ) a. Để chứng minh IJ⊥A1C, ta cần chứng minh −→IJ.−−→A1C = 0. Thật vậy ta có: −→ IJ = −→ IA+ −→ AB + −→ BJ ; −−→ A1C = −−→ A1A + −→ AB + −−→ BC Do đó: −→ IJ. −−→ A1C = ( −→ IA + −→ AB + −→ BJ).( −−→ A1A+ −→ AB + −−→ BC) = −→ IA. −−→ BC + −−→ AB2 + −→ BJ. −−→ A1A = −IA.BC + AB2 −BN.AA1 = −a 2 2 + a2 − a 2 2 = 0 ⇒ IJ⊥A1C. b. Gọi ϕ giữa hai đường thẳng IJ và A1C, ta có: −→ IJ. −−→ AC1 = IJ.AC1. cosϕ = ( −→ IA+ −→ AB + −→ BJ).( −→ AB + −−→ BC + −−→ CC1) = −→ IA. −−→ BC + −−→ AB2 + −−→ BJ. −−→ CC1 = −a 2 2 + a2 + a2 2 = a2 Như vậy: IJ.AC1. cosϕ = a2 (2.4) Mặt khác: IJ2 = −→ IJ2 = −−→ (IA+ −→ AB+ −→ BJ)2 = IA2+AB2+BJ2 = ( a √ 6 2 )2 ⇒ IJ = a √ 6 2 . Ta lại có: AC1 = a √ 3. Thay vào (2.4) ta có: a2 = a √ 6 2 .a √ 3. cosϕ Do đó: cosϕ = √ 2 3 . Cách 3: (Dùng phương pháp toạ độ) Chọn hệ trục toạ độ Đề các Oxyz sao cho A1(0; 0; 0) ≡ O; B1(1; 0; 0); A(0; 0; 1), với giả thiết cạnh của hình lập phương bằng 1. 38 Cái và cách trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông a. Ta có: −−→ A1C = (1; 1; 1); I(0; 1 2 ; 1); J(1; 0; 1 2 )⇒ −→IJ = (1;−1 2 ;−1 2 ). Theo biểu thức toạ độ của tích vô hướng ta có: −→ IJ. −−→ A1C = 1.1 + 1.(−1 2 ) + 1.(−1 2 ) = 0⇔ IJ⊥A1C. b. Ta có: A(0; 0; 1); C1(1; 1; 0) suy ra −−→ AC1 = (1; 1;−1). Gọi ϕ giữa hai đường thẳng IJ và AC1, ta có: cosϕ = ∣∣∣∣1− 12 + 12 ∣∣∣∣ √ 12 + 12 + (−1)2. √ 12 + ( −1 2 )2 + ( −1 2 )2 = √ 2 3 . 3. Kết luận Trên đây chúng tôi đã đề cập đến cái và cách; mối liên hệ giữa chúng và sự chuyển hóa từ “cái” thành “cách” trong quá trình dạy học môn toán. Sự chuyển hóa này phải thông qua một quá trình và phải luôn coi trọng việc hiểu đúng “cái” và sự luyện tập củng cố sẽ hình thành “cách”. Thông qua việc dạy học môn Toán, người giáo viên tổ chức cho học sinh các hoạt động tìm tòi khám phá, chủ động, tích cực hoạt động nhận thức là cơ sở để đạt được các mục đích dạy học. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồ Ngọc Đại, 2010. Cái và cách. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [2] Edgarmorin, 2006. Tri thức về tri thức (Lê Diên dịch). Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. [3] Nguyễn Bá Kim, 2006. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. [4] Bùi Văn Nghị, 2009. Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ thông. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. [5] Đào Tam, Trần Trung, 2010. Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. ABSTRACT ‘What’ and ‘How’ in teaching mathematics in high school The article refers to an understanding of ‘what’ and ‘how’ in mathematics according to Ho Ngoc Dai. The author focused on analyzing the relationship between ‘what’ and ‘how’ and developed a transformation pedagogy between them in order to improve the efficiency of teaching mathematics in high school. 39