Chủ đề phương trình -Toán 9

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH -TOÁN 9 A/ PHƯƠNG PHÁP XÉT KHOẢNG : + Nắm biết được phương pháp giải phương trình chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối + biết được cách xét dấu của nhị thức bậc nhất ax + b để ứng dụng vào việc giải phương trình chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối. I.KIẾN THỨC BỔ SUNG * Dấu của nhị thức bậc nhất ax + b x ax + b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a II.CÁC DẠNG BÀI TẬP * DẠNG 1 : (1) a < 0 , ta có Pt (1) : vô nghiệm a = 0 , ta có Pt (1) f(x) = 0 a > 0 , ta có Pt (1) Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : a) , b) giải: a) 2x – 1 = 0 x = ½ . Vậy : S = * DẠNG 2: b) .Vậy : S = Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : . Vậy : S = * DẠNG 3: Ví dụ 3: Giải các phương trình sau : + Với x , ta có Pt : 3x – 2 = 2x + 6 x = 8 ( nhận) + Với x < , ta có Pt : 3x – 2 = –2x – 6 x = - 4/5 ( nhận) Vậy : S = * DẠNG 4: + Dùng bảng xét dấu các giá trị biến là nghiệm của các đa thức , để khử dấu giá trị tuyệt đối , rồi giải các Pt Ví dụ 4.1: Giải các phương trình sau : x 1/2 1 2x – 1 – 0 + + X - 1 – – 0 + + Bảng xét dấu : Với x < ½ , ta có Pt : 1 – 2x – 3( 1 – x ) = 1 x = 3 ( loại ) Với ½ x < 1 , ta có Pt : 2x – 1 – 3(1 – x ) = 1 x = 1 ( loại ) Với x 1 , ta có Pt : 2x – 1 – 3(x – 1 ) = 1 x = 1 ( nhận ) Vậy : S = Ví dụ 4.2: Giải các phương trình sau : ; ĐK : x 1 (2) ; ( vì ) * Nếu x > 2 thì Pt (2) +1 + - 1 = 2 = 1 x = 2 (loại) * Nếu 1 thì Pt (2) +1 + 1 - = 2 0.x = 0 , Pt vô số nghiệm Vậy Pt đã cho có nghiệm 1 + Cách khác : Sau khi biến đổi đến Pt (2) ta có thể viết : Chú ý bất đẳng thức với điều kiện xảy ra ” =” là A 0 . Vì thế 1 - 0 1 x 2 Kết hợp với ĐK ban đầu ta có 1 Ví dụ 4.2: c) Giai : Û Û . (2) + Nếu, (2)Þ Û: vô nghiệm. + Nếu : , (2)Þ ÛÛ. + Nếu : , (2)Þ ÛÛ, (loại). + Nếu ; , (2)Þ Û: vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm . III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau : a) ; b) c) B/ PHƯƠNG PHÁP TỔNG CÁC SỐ KHÔNG ÂM + Sử dụng được tính chất tổng các số không âm để vận dụng vào việc giải phương trình. + Nhận dạng và biến đổi được các phương trình về dạng trên. I.CÁC DẠNG BÀI TẬP : * DẠNG 5 : A2 + B2 = 0 Ví dụ 5: Giải các phương trình sau : 2x2 + 2x + 1 = (*) Giải : ĐK : 4x + 1 0 x - ¼ (*) 4x2 + 4x + 2 = 2 4x2 + 4x + 1 – 2 +1 = 0 4x2 + ( - 1 )2 = 0 x = 0 ( nhận) . Vậy : S = Ví dụ 5’: Tìm các giá trị x, y, z biết : (1) + ĐK : x 2 ; y 3 ; z 5 (1) * DẠNG 6 : Ví dụ 6 : Giải các phương trình sau : (**) (**) x = 1 . Vậy : S = * DẠNG 7 : Ví dụ 7 : Giải các phương trình sau : x =1 . Vậy : S = II.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau : a) ; b) x + y + 4 = 2+ 4 ; c) x + y + z + 4 = ; d ) C. PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP VÀ BẤT ĐẲNG THỨC : + Sử dụng được tính chất đối lập ở hai vế của phương trình. + Ngoài những bất đẳng thức của các số không âm ở bài trước , cần nắm thêm và sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc như BĐT Cô Si; BĐT Svacxơ; BĐT về giá trị tuyệt đối vào việc giải phương trình. I/KIẾN THỨC CƠ BẢN 1_ Sử dụng tính chất tính chất đối nghịch giá trị của hai vế Pt : * DẠNG 8 : Ví dụ 8 : Giải các phương trình sau : a) Mà (VT) = , dấu”=” xảy ra khi (x + 1)2 = 0 x = -1 Và (VP) = 5 – (x + 1)2 5 , dấu “=” xảy ra khi (x + 1)2 = 0 x = -1 Do đó : (x + 1)2 = 0 x = -1 . Vậy : S = b) ; ĐK : (VT) : A = A2 = 2 + 2 (Áp dụng BĐT Cô Si 2) Do đó A 2 (VP) : B = = (x – 8 )2 + 2 2 Theo đề bài A = B nên A = B = 2 . Do đó x – 7 = 9 – x ; x = 8 (nhận) II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Ví dụ 18 : Giải các phương trình sau : a) b) c) 2_ Sử dụng bất đẳng thức CÔ-SI cho hai số không âm * DẠNG 9 : Với hai số a ,b không âm ta có : Dấu “=” xảy ra khi a = b Ví dụ 9.1 : Giải các phương trình sau : ĐK : Vì 5x3 + 3x2 + 3x – 2 = (x2 + x + 1) (5x – 2) Mà x2 + x + 1 = (x + ½)2 + ¾ > 0 nên có nghĩa khi 5x – 2 x 2/5 ( theo BĐT Cô-Si cho hai số không âm) Dấu “ = ” xảy ra khi x2 + x + 1 = 5x – 2 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 1)(x – 3) = 0 x = 1 ; x = 3 . Vậy : S = Ví dụ 9.2 : Giải các phương trình sau : Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số không âm ta có :b Dấu “ = ” xảy ra khi x = 2 Mặt khác 3x2 – 12x +14 = 3(x2 – 4x + 4) + 2 = 3(x – 2)2 + 2 Dấu “ = ” xảy ra khi x – 2 = 0 x = 2 Vậy Pt có nghiệm duy nhất x = 2 3_ Sử dụng bất đẳng thức SVAC XƠ * DẠNG 10 : Dấu “=” xảy ra khi Ví dụ 10 : Giải các phương trình sau : ; ĐK : 2 x 10 Ta có (VT) = Nên : , dấu ‘=” xảy ra khi x = 6 Mà (VP) = , dấu ‘=” xảy ra khi x = 6 Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 6 4_ Sử dụng Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối : DẠNG 11 : Dấu “=” xảy ra khi A và B cùng dấu hay A.B 0 DẠNG 11’ : Dấu “=” xảy ra khi A 0 Ví dụ 11 : Giải các phương trình sau : Giải : Dấu “ =” xảy ra khi : (x – 2) (3 – x) 0 2 x 3 Vậy Pt đã cho có nghiệm là : 2 x 3 Ví dụ 11’ : Giải các phương trình sau : (1) Áp dụng BĐT dấu “=” xảy ra khi A 0 , ta có : (2) Do (1) nên phải xảy ra dấu “=” ở Pt (2) tức là nghiệm Pt CHỨNG TỎ PHƯƠNG TRÌNH VÔ NGHIỆM KHI CÓ 1 VẾ LUÔN NHỎ HƠN VẾ KIA 1) ; ĐK : x 1 Ta thấy vế phải lớn hơn vế trái , Pt 2) ; ĐK : 1 Ta thấy vế trái lớn hơn x , vế phải không lớn hơn x , Pt vô nghiệm 3) ĐK : x 1 , nên vế trái 2 ; vế phải 2 , suy ra hai vế bằng 2 , khi đó x = 1 II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Ví dụ 11 : Giải các phương trình sau : a) ; ĐK : x 0 , đưa về dạng Nghiệm : b) ; ĐK : x -2 , Đặt : đưa về dạng . Nghiệm : c) ; ĐK : x 2 , Đặt : đưa về dạng . Nghiệm : D. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ : + Biết thay thế một biểu thức chứa ẩn số trong phương trình bằng một ẩn số phụ để được một phương trình trung gian mà ta biết cách giải. + Biết tìm nghiệm số phụ từ đó suy ra nghiệm của phương trình. I/ NỘI DUNG : * DẠNG 12 : PT TRÙNG PHƯƠNG : ax4 + bx2 + c = 0 ( a 0 ) + Đặt : x2 = y 0 , ta có Pt : ay2 + by + c = 0 Ví dụ 12 : Giải các phương trình sau : x4 – x2 – 12 = 0 (1) Đặt : x2 = y 0 (1) y2 – y – 12 = 0 (y – 4)(y + 3) = 0 + Với y = 4 x2 = 4 x = 2 . Vậy : S = * DẠNG 13 : PT dạng : (x + a)(x + b)(x + c) (x + d) = m Với a + b = c + d + Đặt y = (x + a)(x + b) Ví dụ 13 : Giải các phương trình sau : (12x –1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) = 330 Giải : (12x –1)(12x – 2)(12x – 3)(12x – 4) = 330.2.3.4 (*) Đặt : y = 12x – 3 (*) (y + 2)(y +1)y (y -1) = 7920 (y2 + y - 2)(y2 + y) – 7920 = 0 (**) Đặt t = y2 + y -1 (**) (t – 1)(t + 1) = 7920 t2 = 7921 t = 89 + Với t = 89 thì ta có y2 + y – 90 = 0 + Với t = - 89 thì ta có y2 + y + 88 = 0 Pt vô nghiệm Vậy : S = * DẠNG 14 : PT dạng : (x + a)4 + (x + b)4 = k + Đặt : y = x + Ví dụ 14 : Giải các phương trình sau : ( x – 6)4 + (x – 8)4 = 16 (1) Giải : Đặt : y = x - 7 (1) ( y + 1)4 + (y – 1)4 = 16 khai triển rút gọn ta có : y4 + 6y2 – 7 = 0 (2) Giai Pt (2) ta được : x = 8 ; x = 6 * DẠNG 15 : Pt có hệ số đối xứng dạng : ax4 + bx3 cx2 + bx + a = 0 ( a 0 ) . + Vì x = 0 không phải nghiệm , nên ta chia 2 vế Pt cho x2 , Ta được Pt sau : a (x2 + ) + b ( x ) + c = 0 + Đặt : y = ( x ) , giải Pt ẩn y suy ra nghiệm x Ví dụ 15 : Giải các phương trình sau : x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 = 0 Giải : + Vì x = 0 không phải nghiệm , nên ta chia 2 vế Pt cho x2 , Ta được Pt sau : (x2 + ) + 3( x + ) + 4 = 0 (*) + Đặt : y = x + nên x2 + = y2 – 2 (*) y2 + 3y + 2 = 0 (y + 1)(y + 2) = 0 y = - 1 hoặc y = -2 + Với y = -1 ta có Pt : x + = -1 x2 + x + 1 = 0 Pt vô nghiệm . + Với y = -2 ta có Pt : x + = -2 x2 -2 x + 1 = 0 Pt có nghiệm x = -1 DẠNG 16 : Pt đẳng cấp bậc hai đối với u , v ( u, v phụ thuộc x ) Có dạng : au2 + buv + cv2 = 0 ( a 0 ) + xét v = 0 u = 0 + Xét v 0, chia hai vế cho v2 ta có Pt : Đặt y = ta có Pt bậc hai ẩn y : ay2 + by + c = 0 Ví dụ 16 : Giải các phương trình sau : (x2 – 3x – 1 )4 – 13x2 (x2 – 3x – 1)2 + 36x4 = 0 (*) Đặt : u = (x2 – 3x – 1)2 ; v = x2 (*) u2 – 13uv + 36v2 = 0 + Xét v = 0 u = 0 , ta có x + xét v 0 , chia hai cho v2 ta có Pt : Đặt y = ta có PTBh : y2 – 13y + 36 = 0 E-PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ( HAY PT VÔ TỈ ) DẠNG 1 : + a < 0 , Pt vô nghiệm . + a = 0 , f(x) = 0 + a > 0) _ Giải Pt - ĐK : f(x) 0 _ Bình phương hai vế _ Giải Pt , đối chiếu ĐK tìm nghiệm DẠNG 2: Ví dụ1. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Û Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3 DẠNG 3: (với a 0) Ví dụ 1. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Û Với điều kiện x ≤ 8. Ta có: (1) Û |x – 2| = 8 – x – Nếu x < 2: (1) Þ 2 – x = 8 – x (vô nghiệm) – Nếu 2 ≤ x ≤ 8: (1) Þ x – 2 = 8 – x Û x = 5 ; HD: Đáp số: x = 5. DẠNG 4: Ví dụ : Giải các phương trình sau : a) ; Giải Pt : 4x2 – 29x + 52 = 0 được x = 4 (nh) ; x = 13/4 (loại) b) DẠNG 4.1: Ví dụ 1: Giải phương trình: (2) Giải. Với điều kiện x ≥ 2. Ta có: (2) Û Û ( bình phương 2 vế ) Û Û Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 6 DẠNG 4.2: Ví dụ. Giải phương trình: (3) Giải: Với điều kiện 7 ≤ x ≤ 12. Ta có: (3) Û Û ( bình phương 2 vế ) Û Û 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 Û 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0 Û 5x2 – 84x + 352 = 0 Û x1 = ; x2 = 8 Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = 8 DẠNG 4.3: Ví dụ1. Giải phương trình: (4) Giải: Với điều kiện x ≥ 4. Ta có: (4) Û Û Û Û Û 45 + 14x + 14 = 0 Với x ≥ 4 Þ vế trái của phương trình luôn là một số dương Þ phương trình vô nghiệm Ví dụ 2. Giải phương trình (2) Giải: (2) Û Û Đặt y = (y ≥ 0) Þ phương trình đã cho trở thành: – Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y Û y = –1 (loại) – Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 Û y = 3 – Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm) Với y = 3 Û x + 1 = 9 Û x = 8 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8 BÀI TẬP : Giải các phương trình sau : 1/ ; KQ : S = 3/ ; KQ : S = 1. Phương pháp nâng lên lũy thừa a) Dạng 2: Û Ví dụ. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Û Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3 b) Dạng 2: c) Dạng 3: d) Dạng 4: 2/ ; KQ : S = F. PHƯƠNG TRÌNH CÓ NHIỀU DẤU CĂN THỨC : PP chính : Điều kiện cho Pt có nghĩa , chuyển vế cho hợp lí , bình phương hai vế , đối chiếu điều kiện chọn nghiệm . 1) ; ĐK1 : x _Chuyển vế ( bớt dấu - ) ,ta có : _ Bình phương hai vế rút gọn được : 2 – 7x = Đến đây có hai cách giải : Cách 1: ĐK2 : 2 – 7x 0 _ Bình phương hai vế rút gọn được : 11x2 – 24x + 4 = 0 (11x – 2)(x – 2) = 0 x1 = 2/11 (loại ) ; x2 = 2 ( loại ) . Vậy Pt vô nghiệm Cách 2 : ta có ĐK2 : 2 – 7x 0 x 2/7 trái với ĐK1 : x Vậy Pt vô nghiệm 2) ĐK: x 4 ; bình phương hai vế ta có KQ : S = 3) ;bình phương hai vế ta có KQ : S = 4) chuyển vế ; bình phương hai vế ta có KQ : S = 5) ; bình phương hai vế ta có KQ : 6) ; bình phương hai vế ta có KQ : Sau khi bình phương hai vế , rồi so sánh giá trị hai vế , rut ra nghiệm Pt 7) ; ĐK : x 2 .(1) Bình phương hai vế được 2x – 1 + x – 2 + 2 Phải x 2 (2) . Từ 1 & 2 ta có x = 2 , nghiệm đúng Pt 8) ĐK : x - 2 Chuyển vế , bình phương hai vế , xuất hiện ĐK : x -2 Do đó x = -2 , nghiệm đúng Pt 9) ; ĐK : x - 1 Bình phương hai vế , xuất hiện ĐK : x -1 . Nghiệm x = -1 G. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I.Phương trình vô tỉ bậc cao : 1) (1) ; ĐK: x2 + 7x + 7 0 Đặt : 0 x2 + 7x + 7 = y2 (1) 3y2 + 2y – 5 = 0 (y – 1)(3y + 5) = 0 y = -5/3 (loại) ; y = 1 (nhận) + x2 + 7x + 6 = 0 (x + 1)(x + 6) = 0 x = -1 ; x = -6 Với x = -1 ; x = -6 thỏa mãn x2 + 7x + 7 0 . Vậy nghiệm Pt x = -1 ; x = -6 2) (*) ; ĐK : x -2 Đặt ; Ta có : a + b = và a2 – b2 = Suy ra a – b = 1 . Từ đó a = ; b = (**) Từ (*) , (**) tính được x . nghiệm x = 2( loại giá trị x = -1) 3) Đặt : 2x2 – 9x + 4 = a 0 ; 2x – 1 = b 0 . Pt là Bình phương hai vế rồi rút gọn ta được b = 0 hoặc b = a . Nghiệm ½; 5 4) X2 + 3x + 1 = (x + 3) (1) Giải : Đặt t = , t 0 ; (1) t2 – (x + 3)t + 3x = 0 (2) = (x + 3)2 – 12x = (x - 3)2 0 Nên Pt (2) có nghiệm : t = x ; t = 3 + Với t = x thì = x , Pt vô nghiệm . + Với t = 3 thì = 3 , Pt có nghiệm x = Ví dụ 5. Giải phương trình (2) Giải: (2) Û Û Đặt y = (y ≥ 0) Þ phương trình đã cho trở thành: – Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y Û y = –1 (loại) – Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 Û y = 3 – Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm) Với y = 3 Û x + 1 = 9 Û x = 8 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8 II Phương pháp đưa về phương trình tích Ví dụ 1. Giải phương trình: Giải. ĐK: x ≥ 2. Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3. Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế của phương trình: Û Þ PT vô nghiệm Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) Giải. ĐK: | x | ≤ 1: (1) Û Û x1 = 0; x2 = Ví dụ 3. Giải phương trình: (1) Giải. Chú ý: x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1). (1) Û Û x = 2 III. Phương pháp đặt ẩn phụ a) Sử dụng một ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: (1) Giải: Đặt = y (y ≥ 0) Þ y2 = x + 1 Û x = y2 – 1 Û x2 = (y2 – 1)2 Þ (2) Û (y2 – 1)2 + y – 1 = 0 Û y(y - 1)(y2 + y - 1) = 0. Từ đó suy ra tập nghiệm của phương trình là: Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) HD: ĐK: x ≥ 1. Đặt = y (1) Û Û y3 + y2 – 2 = 0 Û (y – 1)(y2 + 2y + 2) = 0 Û y = 1 Û x = 1 Ví dụ3 : Điều kiện phương trình có nghĩa là ÛÛ. Đặt; Suy ra , thay vào phương trình (d), ta được : ÛÛÛ. Với và :Û Û ÛÛÛ. b) Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 (3) Giải. Đặt u = , v = (ĐK: x ≥ -1, u ≥ 0, v ≥ 0). Khi đó: u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + 1. Þ (3) Û 2(u2 + v2) = 5uv Û (2u - v)(u - 2v) = 0 Giải ra, xác định x. Kết quả là: x Î Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) Giải. ĐK: x ≥ –2. (1) Û Đặt: = u, = v (u, v ≥ 0)Þ u2 – v2 = 3. (1) Û (a – b)(1 + ab) = a2 – b2 Û (a – b)(1 – a + ab – b) = 0 Û (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0 Giải ra: x = –1 là nghiệm duy nhất Ví dụ 3. Giải phương trình: (1) Giải. ĐK: x ≥ 0. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) (1) Û b – a = a2 – b2 Û (a – b)(a + b + 1) = 0 Mà a + b + 1 > 0 Þ a = b Û x = là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 4. Giải phương trình: (1) Giải. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) (1) Û Û u – (v2 – u2) – v = 0 Û (u – v)(1 + u + v) = 0. Vì 1 + u + b > 0 nên: u = v. Giải ra ta được: x = 2 c) Sử dụng ba ẩn phụ Ví dụ 1 : Giải phương trình: (1) Giải. ĐK: x ≥ 2. (1) Û Đặt: = a, = b, = c (a, b, c ≥ 0): (1) Û ab + c = b + ac Û (a – 1)(b – c) = 0 Û a = 1 hoặc b = c. Thay ngược trở lại ta được x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 2. Giải phương trình : Giải. Đặt : ; ; (u ; v ; t ≥ 0) Þ x = 2 − u2 = 3 − v2 = 5 − t2 = uv + vt + tu Từ đó ta có hệ: Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ 0 nên: (4) Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến: Cộng từng vế của (5) ; (6) ; (7) ta có: (8) Kết hợp (8) với lần lượt (5) ; (6) ; (7) ta có: d) Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình Ví dụ 1. Giải phương trình + Cách 1: Giải tương tự bài 1. Ta được x = 5 + Cách 2: Đặt và . Ta có hệ: Û Û x = 5. Ví dụ: 2 Giải phương trình: Giải. ĐK: 0 ≤ x ≤ 25. Đặt = u , (u, v ≥ 0): ÞGiải ra ta có x = 1 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 3. Giải phương trình: Giải. ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) Þ Û . Thế ngược trở lại: x = 0 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 4. Giải phương trình: Giải. ĐK: – 4 ≤ x ≤ 1. Đặt (u, v ≥ 0) Þ Þ Ví dụ 5. Giải phương trình: Giải. ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt (u, v ≥ 0) Þ Giải ra ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)}. Từ đó thế ngược trở lại: x = ±2 6) Giải và biện luận phương trình vô tỉ Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình: Giải. Ta có: Û – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m ≠ 0: . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m Û ≥ m + Nếu m > 0: m2 + 4 ≥ 2m2 Û m2 ≤ 4 Û + Nếu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2 Û m2 ≥ 4 Û m ≤ –2 Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm – Nếu –2 2: phương trình vô nghiệm Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình với m là tham số: (Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000) . Ta có: – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m ≠ 0:. Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m Û + Nếu m > 0: m2 + 3 ≥ 2m2 Û m2 ≤ 3 Û + Nếu m < 0: m2 + 3 ≤ 2m2 Û m2 ≥ 3 Û m ≤ Tóm lại: – Nếu hoặc . Phương trình có một nghiệm: – Nếu hoặc : phương trình vô nghiệm Ví dụ 3. Giải và biện luận theo tham số m phương trình: Giải. Điều kiện: x ≥ 0 – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành Þ có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = 1 – Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với + Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = + Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m IV. Phương trình chứa căn thức bậc ba : I/ _ nâng lũy thừa 3 hai vế. II/ . Đặt suy ra hệ đối xứng theo và . 1) (1) Giải : Cách 1 :áp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Lập phương hai vế , áp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) 2x + 1 + x + (2) Thay vào Pt (2) có x (2x + 1) = -x3 x(2x + 1 + x2 ) = 0 x(x + 1)2 = 0 x = 0 ; x = -1 Thử lại : x = 0 thỏa mãn ; x = -1 không thỏa mãn . Vậy S = Cách 2: Đặt ẩn phụ Đặt : ; , rồi tìm a , b . Thì 2x + 1 = a3 ; x = b3 nên a3 – 2 b3 = 2x + 1 – 2x = 1 Cần tìm a , biết a + b = 1 và a3 – 2 b3 = 1 a3 – 2(1 – a)3 = 1 a3 –1- 2(1 – a)3 = 0 (a – 1 )[ a2 + a + 1) + 2 (a – 1)2 ] = 0 Dễ thấy ( a2 + a + 1) + 2 (a + 1)2 > 0 nên a = 1 , suy ra b = 0 . Vậy S = 2) + Cách 1 :lập phương 2 vế , biến đổi đưa Pt tích +Cách 2 : Đặt ; Ta có : a + b = 2 và a3 + b3 = 8 3a2 – 6a = 0 . KQ : -1 ; 7 3) +Cách 1 : Đặt ; Ta có : a – b = 1 và a3 + b3 = 9 (b – 1)(2b2 + 5b + 8) = 0 được b = 1 Nghiệm x = 5 + Cách 2 : Đổi dấu , giải tương tự 4) Cách 1: Đặt y3 = x + 2 , thế vào và chuyển vế ta có : , lập phương 2 vế có y3 = y. * Với y = 0 , có nghiệm x = -2 * Với y 0 , có y2= lập phương 2 vế , vô ngh Cách 2 : x = -2 nghiệm đúng Pt Với x -2 Pt vô nghiệm . Xem bảng sau : X Vế trái X< -2 < -1 < 0 < 1 < 0 X > -2 > -1 > 0 > 1 > 0 Ví dụ 5. Giải phương trình: (1) Giải: Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) Þ (1) Û Ví dụ 7. Giải phương trình: Giải. Đặt (1) Û Þ kết quả 8 ) + Đặt : = a 9) 7) PHƯƠNG TRÌNH KHÁC 1) 2) ĐK : 3 – 2x 0 x Pt trở thành Giải Pt đươc : x = - 13/2 (nhận ) ; x = -11 ( loại) c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nhất) Ví dụ 1. Giải phương trình: Giải: điều kiện x ≥ Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình – Nếu : VT = . Mà: VP > – Nếu x > 2: VP = 2x2 + > 2.22 + = . VT < Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2 Ví dụ 2. Giải phương trình: Giải: Thử với x = 2. Ta có: (1) Û Nếu x > 2: VT < VP Nếu x VP Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 3. Giải phương trình: Giải: ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x = là nghiệm của phương trình. Ta cần chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Thật vậy: Với x < : và Þ . Tương tự với < x < 2: Ví dụ 4. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Nếu 3x = –(2x + 1) Û x = thì các biểu thức trong căn ở hai vế bằng nhau. Vậy x = là một nghiệm của phương trình. Hơn nữa nghiệm của (1) nằm trong khoảng . Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Với : 3x < –2x – 1 < 0 Þ (3x)2 > (2x + 1)2 Þ Suy ra: Þ (1) không có nghiệm trong khoảng này. Chứng minh tương tự, ta cũng đi đến kết luận (1) không có nghiệm khi d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt Ví dụ. Giải phương trình Giải: điều kiện Áp dụng bất đẳng thức với ab > 0 Với điều kiện . Nên: . Dấu “=” xảy ra Û Û BÀI TẬP 1.