a) Bán kính hội tụ là R = 1.
x1 = chuỗi phân kì.
x1 =- chuỗi hội tụ (theo Leibnitz)
miền hội tụ là [ 1 ,1) -b) Bán kính hội tụ là R=1
taïi x1 =± chuỗi phân kì.
Miền hội tụ là (-1, 1).
16 trang |
Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 2149 | Lượt tải: 2
Bạn đang xem nội dung tài liệu Chuỗi số - Hàm số, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHUOÃI SOÁ – CHUOÃI HAØM
Tính toång n
n 1
x
¥
=
å vôùi :
a) nnx q (| q | 1)= < b) n
1x
n(n 1)
=
+
c) n 2
1x (n 2)
n 1
= ³
-
d)
( )n
1x
n 1 n n(n 1)
=
+ + +
. Giaûi:
Ñaët n 1 2 nS x x ... x= + + +
a) 2 n
n
n
1 qS q q ... q q
1 q
-
= + + + =
-
n nnn 1
qx limS
1 q
¥
®¥
=
= =
-å
b) Ta coù k
1 1x ,
k k 1
= -
+
töø ñoù
n
1 1 1 1 1 1S 1 ... 1
2 2 3 n n 1 n 1
æ ö æ ö æ ö= - + - + + - = -ç ÷ ç ÷ ç ÷+ +è ø è ø è ø
n nnn 1
x limS 1
¥
®¥
=
= =å
c) Ta coù k 2
1 1 1 1x , k 2
k 1 2 k 1 k 1
æ ö= = - ³ç ÷- - +è ø
n 2 3 n
1 1 1 1 1 1 1 1S x x ... x 1 ...
2 3 2 4 3 5 n 1 n 1
æ öæ ö æ ö æ ö æ ö= + + + = - + - + - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷- +è ø è ø è ø è øè ø
1 1 1 11
2 2 n n 1
æ ö= + - -ç ÷+è ø
n nnn 1
1 1 3x limS 1
2 2 4
¥
®¥
=
æ ö= = + =ç ÷
è ø
å
d) Ta coù
( )k
1 k 1 kx
k. k 1k 1 k k(k 1)
+ -
= =
++ + +
1 1
k k 1
= -
+
neân n
1 1 1 1 1 1S ...
1 2 2 3 n n 1
æ öæ ö æ ö= - + - + + -ç ÷ç ÷ ç ÷+è ø è øè ø
11
n 1
= -
+
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Vaäy n nnn 1
x limS 1
¥
®¥
=
= =å
Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa caùc chuoãi sau :
a) 2
n 1
1
n
¥
=
å b) n
n 1
1
2
¥
=
å
c) n
n 1
n
2
¥
=
å d)
n 1
1
n
¥
=
å
e)
n 2
1
ln n
¥
=
å f)
n n
n
n 1
2 3
6
¥
=
+å
. Giaûi:
a) 2
1 1
n n(n 1)
£
+
, n 1" ³ vaø
n 1
1
n(n 1)
¥
= -
å hoäi tuï neân 2
n 1
1
n
¥
=
å hoäi tuï.
b) n
n 1
1
2
¥
=
å = nqå vôùi 10 q 12< = < neân nn 1
1
2
¥
=
å hoäi tuï.
c) do
( )n n n2
n n 0
22
®¥
= ® neân
n
2
0n 2 , n n< " ³ .
Töø ñoù
n
2
0n n
n 2 , n n
2 2
£ ³
hay
( ) 0nn
n 1 , n n
2 2
£ ³
maø
( )n
1
2
å hoäi tuï neân n
n 1
n
2
¥
=
å hoäi tuï.
d) ñaët n
1 1S 1 ...
2 n
= + + +
vôùi 0
1
2
e = , vaø moïi soá nguyeân n Î N laây n N³ vaø m =2n
thì m n
1 1 1 1S S ... ( )
n 1 n 2 n n 2
- = + + + ³ = e
+ + +
do ñoù theo tieâu chuaån Cauchy, ( )n nS khoâng hoäi tuï, neân
1
nå phaân kyø.
e) Töø n ln n , n 2> ³ ta coù 1 1
ln n n
>
maø 1
nå phaân kyø neân n 2
1
ln n
¥
=
å phaân kyø.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
f) Vôùi
n n
n n n n
2 3 1 1x
6 3 2
+
= = + vaø caùc chuoãi : n
1
3å vaø n
1
2å hoäi tuï.
Vaäy
n n
n
n 1
2 3
6
¥
=
+å hoäi tuï.
Chöùng minh raèng chuoãi:
2.4 2.4.61 ...
1.3 1.3.5
+ + + phaân kyø.
. Giaûi:
Soá haïng toång quaùt n
2.4.6...2nx
1.3.5...(2n 1)
=
-
>1
Þ daõy ( )n nx khoâng coù giôùi haïn laø 0 neân n
1
x
¥
å phaân kyø.
Cho ( )n
n 1
a
¥
=
å vaø ( )n
n 1
b
¥
=
å vôùi na 0 n³ "
nb 0 n³ "
vaø ( )n
n
n
alim c 0
b®¥
= ³ . CMR
a) c 0= , vaø ( )n
n 1
b
¥
=
å hoäi tuï thì ( )n
n 1
a
¥
=
å hoäi tuï.
b) c = ¥ , vaø ( )n
n 1
b
¥
=
å phaân kyø thì ( )n
n 1
a
¥
=
å phaân kyø.
c) 0 c< < ¥ thì ( )n
n 1
a
¥
=
å vaø ( )n
n 1
b
¥
=
å cuøng baûn chaát, nghóa laø cuøng phaân kyø hay cuøng
hoäi tuï, luùc ñoù seõ ghi n na ~ b (n )® ¥
. Giaûi:
a) do n
n
n
alim 0
b®¥
= neân 0n$ sao cho n n 00 a b , n n£ £ " ³
Vaäy ( )n
n 1
b
¥
=
å hoäi tuï daãn ñeán ( )n
n 1
a
¥
=
å hoäi tuï.
b) do n
n
n
alim
b®¥
= ¥ neân 0n$ sao cho n nb a£ , 0n n" ³
Vaäy ( )n
n 1
b
¥
=
å phaân kyø daãn ñeán ( )n
n 1
a
¥
=
å phaân kyø.
c) n
n
n
alim c
b®¥
= vôùi 0 c< < ¥ , 0n$ :
n n n
c 3cb a .b
2 2
£ £ , 0n n" ³
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
neáu ( )n
n 1
b
¥
=
å hoäi tuï thì n
n 1
3c .b
2
¥
=
å hoäi tuï, do ñoù ( )n
n 1
a
¥
=
å hoäi tuï
neáu ( )n
n 1
b
¥
=
å phaân kyø thì n
n 1
c .b
2
¥
=
å phaân kyø do ño ( )n
n 1
a
¥
=
å phaân kyø.
Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa caùc chuoãi sau:
a) 1
n(n 1)+å b) 2
1
1 n+å
c)
( )n
1
ln n
å d) 2
1
n(n n )+
å
e) 2
n!
nå f)
1
n ln nå
g)
n
n
x (x 0)
n
³å h)
nx
n!å
i) 2
n 4
2n 1
n 4n 3
¥
=
+
- +å j) n 1
1 sin
n n
¥
=
på
. Giaûi:
a) 1 1~ (n )
nn(n 1)
® ¥
+
vaø do
n 1
1
n
¥
=
å phaân kyø neân
n 1
1
n(n 1)
¥
= +
å phaân kyø.
b) 2 2
1 1
1 n n
£
+
neân 2
1
1 n+å hoäi tuï.
c) Ñaët
( )n n
1x
ln n
= ta coù
n n n
1x 0
ln n ®¥
= ® (< 1)
( )n
1
ln n
å hoäi tuï
d) 32
2
1 1~
n(n n ) n+
( n ® ¥ ) neân
2
1
n(n n )+
å hoäi tuï.
e) n 2
n!x
n
= töø ñoù ( )
( )
2 2
n 1
2
n
n 1 !x n n
x n! n 1n 1
+ += ´ = ® ¥
++
, neân chuoãi 2
n!
nå phaân kyø.
f) Xeùt
1
nn ln n
1 ln n
n
= ® ¥
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
maø 1
nå phaân kyø, vaäy
1
n ln nå phaân kyø.
g)
n
n
x
nå hoäi tuï theo tieâu chuaån Cauchy.
h)
nx
n!å hoäi tuï theo tieâu chuaån D’Alembert.
i) do ( )2
2n 1 1~ n
n 4n 3 n
+
® ¥
- +
neân 2
2n 1
n 4n 3
+
- +å phaân kyø
j) Xeùt
n
2
1 sin
n n n sin1 n
n
®¥
p
p
= ® p
neân ( )2
1n sin ~ n
n n
p
® ¥ . Vaäy 1 sin
n n
på hoäi tuï.
Cho chuoãi soá
p
n 1
1.3.5...(2n 1)
2.4.6...2n
¥
=
-é ù
ê úë û
å
Chöùng minh raèng chuoãi hoäi tuï khi vaø chæ khi p > 2
. Giaûi:
Ñaët
p
p
n
1.3.5...(2n 1)x
2.4.6...2n
-é ù= ê úë û
ta coù 2n
1 3 5 (2n 1) 3 5 (2n 1) (2n 1) 1x . . ... .1. . ... . .
2 4 6 2n 2 4 (2n 2) 2n 2n 1
- - +
=
- +
1 1 1 1 1 1 11 1 ... 1 . 1 1 ... 1 .
2 4 2 2 4 2n 2n 1
æ öæ ö æ ö æ öæ ö æ ö= - - - + + +ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ +è øè ø è ø è øè ø è ø
2 2 2
1 1 1 11 1 ... 1 .
2 4 (2n) 2n 1
æ öæ öæ ö= - - -ç ÷ç ÷ç ÷ +è øè ø è ø
do
( )22 2 2k 1
1 1 1 1 1 1 1... 2
2 4 4 k 4 22n
¥
=
+ + + = £ =å
neân 2n
1 1x .
2 2n 1
³
+
maø vì 1 1.
2 2n 1+å phaân kyø, ta coù
2
nxå phaân kyø.
Töø ñoù suy ra
p 2£ : ta coù p 2n nx x³ neân
p
n
1
x
¥
å phaân kyø.
p 2> :
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Ta coù
p
p 2
p 2 2
n n 2 2 2
1 1 1 1x (x ) 1 1 .. 1
2 4 (2n) 2n 1
é ùæ öæ öæ ö= = - - -ê úç ÷ç ÷ç ÷ +è øè ø è øë û
( )
p
2
1
2n 1
£
+
maø p
n 1 2
1
(2n 1)
¥
= +
å hoäi tuï p( 1)2 > , neân
p
n
n 1
x
¥
+
å hoäi tuï.
Khaûo saùt söï hoäi tuï tuyeät ñoái cuûa
a)
( )
2n 1
2n 1 x( 1)
2n 1 !
+
+-
+å b) ( )
n
n 1
n
x( 1)
x 2
+-
+
å
. Giaûi:
a) Ñaët
( ) ( )
2n 12n 1
2n 1
n
xxa ( 1)
2n 1 ! 2n 1 !
++
+= - =
+ +
Ta coù
( )
( )
( ) ( )
2n 3 2
n 1
2n 1 n
n
x x2n 1 !a . 0
a 2n 3 ! 2n 2 2n 3x
+
+
+ ®¥
+
= = ®
+ + +
Vaäy naå hoäi tuï vôùi x" Î .
hay
( )
2n 1
2n 1 x( 1)
2n 1 !
+
+-
+å hoäi tuï tuyeät ñoái taïi x" Î .
b) Ñaët
( )
nn
n 1
n n n
xxa ( 1) ( x 2)
x 2 x 2
+= - = " ¹ -
+ +
.
n n
x
a
x 2
=
+
Ta coù
x
1 x x 2
x 2
< Û < +
+
x 1Û > -
x
1 x 1
x 2
> Û < -
+
x = -1 thì an =1 neân naå phaân kyø.
Vaäy
( )
n
n 1
n
x( 1)
x 2
+-
+
å hoäi tuï tuyeät ñoái khi vaø chæ khi x > -1
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Cho ( )n nb bò chaën vaø na 0, n³ " . Giaû söû naå hoäi tuï. CMR n na bå hoäi tuï.
. Giaûi:
Do ( )n nb bò chaën neân nM 0 : | b | M, n$ > £ "
neân n n nM.a | a .b |, n³ " ( na 0³ ).
vaø nMaå hoäi tuï neân n na bå hoäi tuï, do ñoù n na bå hoäi tuï.
Xeùt tính hoäi tuï cuûa ( )
k
p
ln n
nå vôùi k 1> vaø p 1>
. Giaûi:
Vôùi p > 1, ta coù p 1= + a trong ñoù 0a > .
Xeùt
( )
( )
k
k
p
n
2
1
2
ln n
ln nn 0 ( 0)1 2
n
n
a ®¥
a
+
a
= ® >
Maø
1
2
1
n
a
+
å hoäi tuï, neân ( )
k
p
n 2
ln n
n
¥
=
å hoäi tuï.
Khaûo saùt tính hoäi tuï cuûa
n 2
1 ( , 0)
n ln n
¥
a b
=
a b >å
. Giaûi:
Xeùt haøm soá 1f (x)
x ln xa b
= xaùc ñònh treân [2, )¥ vaø laø haøm soá giaûm.
Hôn nöõa ôû baøi taäp tích phaân, ta coù
1a >
2
dx
x ln x
¥
a bò hoäi tuï.
1a <
2
dx
x ln x
¥
a bò phaân kyø
1a =
- 1b >
2
dx
x ln x
¥
a bò hoäi tuï
- 1b £
2
dx
x ln x
¥
a bò phaân kyø
Töø ñoù
n 2
1
n ln n
¥
a b
=
å hoäi tuï khi vaø chæ khi 1a > hay 1a = vaø 1b >
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Cho 2naå vaø 2nbå hoäi tuï. CMR n na bå hoäi tuï
. Giaûi:
Ta coù
2 2
n n
n n
a ba b , n.
2
+
£ "
maø 2naå , 2nbå hoäi tuï neân 2 2n na b+å hoäi tuï vaø do ñoù
2 2
n na b
2
+å hoäi tuï vaäy
n na bå hoäi tuï, suy ra n na bå hoäi tuï.
Cho na 0, n³ " vaø naå phaân kyø
CMR n
n 1 n
a
1 a
¥
= +
å phaân kyø, coøn n2
n 1 n
a
1 n a
¥
= +
å hoäi tuï.
. Giaûi:
Giaû söû n
n
n
a 0
1 a ®¥
®
+
, neáu ngöôïc laïi thì n
n 1 n
a
1 a
¥
= +
å phaân kyø.
Ta coù : 0"e > , ñaët '
1
e
e =
+ e
'n0
n
an : n 0
1 a
$ ³ Þ < e
+
'
n 0'a , n n1
e
Þ < = e ³
- e
.
Vaäy nnlima 0=
töø ñoù n n 0a a , n N£ " ³ (N0 ñuû lôùn).
Suy ra luùc ñoù naå phaân kyø.
Hôn nöõa n n n n
n n
a a 1 a (a 0)
1 a 22 a
³ = >
+
Vaø n n
n
a 1 a
1 a 2
³
+
neáu an = 0.
do n
1 a
2å phaân kyø neân
n
n
a
1 a+å phaân kyø.
Deã daøng kieåm chöùng n 2 2
n
a 1 , n
1 a .n n
£ "
+
töø ñoù do 2
1
nå hoäi tuï, ta coù
n
2
n
a
1 n a+å hoäi tuï.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Cho na 0³ , n" vaø naå hoäi tuï. CM n
a
nå hoäi tuï.
. Giaûi:
Töø ( )2n na a=å å vaø 21nå hoäi tuï.
Theo , n
a
nå hoäi tuï.
Tìm mieàn hoäi tuï cuûa :
a) nnxå b)
n
n
x
nå
c) n n2 x-å d)
n
2
x
n 2n+å
. Giaûi:
a) nnn n na n a n 1®¥= Þ = ® taïi x 1= ± chuoãi phaân kyø
Vaäy mieàn hoäi tuï cuûa nnxå laø ( )1,1-
b) nn nn n
1 1a a 0
n n ®¥
= Þ = ®
chuoãi
n
n
x
nå coù mieàn hoäi tuï laø ( ),-¥ +¥
c) n nn n
1a 2 | a |
2
-= Þ =
n n2 x-å hoäi tuï treân x : | x | 2"
x=-2 : ( )
n
n
2
2
-
å phaân kyø.
X= 2 :
n
n
2
2å phaân kyø
Vaäy mieàn hoäi tuï laø ( )2, 2- .
d) nn n2 n 2 n
1 1a a 1
n 2n n 2n ®¥
= Þ = ®
+ +
n
na xå hoäi tuï vôùi x : | x | 1" <
vaø phaân kyø vôùi x : | x | 1" >
taïi x 1= ± chuoãi hoäi tuï.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Vaäy mieàn hoäi tuï laø [ ]1,1-
Tìm mieàn hoäi tuï cuûa
a)
nx
nå b)
nx ln nå
c)
( )
nx
4n 1 !-å d) ( )
n
n2 x
2n 7 !+å
. Giaûi:
a) Baùn kính hoäi tuï laø R = 1.
x 1= chuoãi phaân kyø.
x 1= - chuoãi hoäi tuï (theo Leibnitz)
mieàn hoäi tuï laø [ 1,1)-
b) Baùn kính hoäi tuï laø R=1
taïi x 1= ± chuoãi phaân kyø.
Mieàn hoäi tuï laø (-1, 1).
c)
( )n
1a
4n 1 !
=
-
, thì ( )
( ) ( ) ( )( )
n 1
n
4n 1 !a 2
a 4n 3 ! 4n 4n 1 4n 2 4n 3
+ -= =
+ + + +
Baùn kính hoäi tuï R = ¥
Mieàn hoäi tuï laø ( , )-¥ +¥
d)
( )
n
n
2a
2n 7 !
=
+
thì
( )
( )
( )( )
n 1
n 1
n
n
2n 7 !a 2 2
a 2n 9 ! 2 2n 8 2n 9
+
+ += ´ =
+ + +
mieàn hoäi tuï laø ( , )-¥ +¥ .
Chöùng minh raèng n
n 0
x
¥
=
å hoäi tuï ñeàu treân 1[0, ]2 vaø khoâng hoäi tuï ñeàu treân (0,
1).
. Giaûi:
Ta coù
n
n
1 1x , x [0, ]
2 2
æ ö£ " Îç ÷
è ø
Vaø n
1
2å hoäi tuï neân
nxå hoäi tuï ñeàu treân [ 10, 2 ]
ñaët 2 nnS (x) 1 x x ... x= + + + +
n 11 x
1 x
+-
=
-
x (0,1)" Î ta coù nn
1limS (x) S(x)
1 x
= =
-
xeùt
n 1
n
1 xS (x)
1 x 1 x
+
- =
- -
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
vôùi n cho tröôùc, ta coù :
n
x 1
xlim
1 x®
= ¥
-
neân
nxx : 1
1 x
$ >
-
Vaäy Sn(x) khoâng hoäi tuï ñeàu veà S(x) treân (0, 1).
CMR ( ) n
n 0
1 x x
¥
=
-å khoâng hoäi tuï ñeàu treân [0, 1].
. Giaûi:
Ñaët ( ) ( ) ( )
n 1
k n 1
n
k 0
1 xS x 1 x x 1 x 1 x (k 1)
1 x
+¥
+
=
-
= - = - = - ¹
-å
nS (x) 0= taïi x 1= .
Vaäy n
1, x 1
S (x) S(x)
0 , x 1
¹ì
® = í =î
do ñoù : ( ) nnf (x) 1 x x= - lieân tuïc treân [0, 1] vaø S(x) khoâng lieân tuïc treân [0, 1] neân
nS (x) khoâng hoäi tuï ñeàu veà S(x) treân [0, 1].
Chöùng minh 2 2
1
n x+å hoäi tuï ñeàu treân [0, )¥
. Giaûi:
Vôùi [ )n n2 2 2
1 1f (x) a , x 0,
n x n
= £ = " Î ¥
+
do naå hoäi tuï neân nf (x)å hoäi tuï ñeàu.
Chöùng minh sin nx
n nå hoäi tuï ñeàu treân .
. Giaûi:
Vôùi n
sin nxf (x)
n n
=
do n
1f (x)
n n
£ vaø 1
n nå hoäi tuï neân nf (x)å hoäi tuï ñeàu.
Xeùt tính hoäi tuï ñeàu cuûa n nxx e-å treân [ )0,¥
. Giaûi:
Xeùt haøm soá n nxnf (x) x e
-= ta coù ' nx n nxn n 1f (x) nx .e nx e
- -
-= -
= ( )n 1 nxnx e 1 x- - -
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Vaäy nn0 f (x) e
-£ £ [ ), x 0," Î ¥
maø ne-å hoäi tuï vaäy nf (x)å hoäi tuï ñeàu.
Chöùng minh chuoãi
n
n
x
1 x+å hoäi tuï ñeàu treân moïi ñoaïn [0, c] vôùi 0 c 1< < ,
nhöng khoâng hoäi tuï ñeàu treân [ )0,1 .
. Giaûi:
Vôùi moïi soá c (0,1)Î .
Xeùt haøm soá
n
n n
xf (x)
1 x
=
+
taêng (theo bieán x)
Do ñoù [ ]
n
n
n n
cf (x) c , 0,c
1 x
£ £ "Î
+
Do ncå hoäi tuï neân nf (x)å hoäi tu ñeàu treân [0, c].
Xeùt treân [0, 1)
Ñaët
kn
n k
k 1
xS (x)
1 x=
=
+å
m,n" cho tröôùc ta coù
( )
n 1 m 1
m n n 1 m 1
x xS (x) S (x) ... m n
1 x 1 x
+ +
+ +- = + + >+ +
do
n
nx 1
x 1lim
1 x 2®
=
+
neân [ )
n
n
x 1x 0,1 :
1 x 3
$ Î >
+
vaäy nf (x)å khoâng hoäi tuï ñeàu treân [0, 1).
Cho 2
n 1
1f (x)
1 n x
¥
=
=
+å
a) Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa f.
b) Xeùt tính lieân tuïc cuûa f.
. Giaûi:
a)
x = 0 , chuoãi khoâng hoäi tuï neân f khoâng xaùc ñònh.
x 0 1 +¥
'
nf (x) + 0 -
nf (x)
ne-
0 0
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
2
1x
n
= - , soá haïng toång quaùt 2
1
1 n x+
khoâng xaùc ñònh, haøm soá khoâng xaùc ñònh
2 2
1 1 1x \{0, , , ,...}
1 2 3
- - -
" Î ñöôïc choïn tröôùc ( )2 2
1 1~ n
1 n x n
® ¥
+
neân
2
1
1 n x+å hoäi tuï tuyeät ñoái , f xaùc ñònh.
Vaäy mieàn xaùc ñinh cuûa f laø 2 2
1 1 1D \{0, , , ,...}
1 2 3
- - -
=
b) Laáy x0 baát kyø treân D.
Toàn taïi [ ]0, : x , Da bÎ Î a b Ì
Do n 2
1f (x)
1 n x
=
+
giaûm (theo bieán x) treân [ ],a b neân
[ ]n n nf ( ) f (x) f ( ), x , , nb £ £ a " Î a b " Î N , vì vaäy n n n nf (x) max( f ( ) , f ( ) ) a£ b a =
Trong ñoù n na f ( )= a hay n na f ( )= b vaø coù naå hoäi tuï. Suy ra nf (x)å hoäi tuï ñeàu
treân [ ],a b , maø caùc haøm fn lieân tuïc treân [ ],a b , vaäy f lieân tuïc treân [ ],a b . Töùc laø f lieân
tuïc tai x0 vaø do ñoù f lieân tuïc treân D.
Xeùt tính lieân tuïc cuûa
2
3 3
nxf (x)
x n
=
+å treân [ )0,¥
. Giaûi:
Vôùi x 0³ thì :
2 2 2
3 3 3 2
nx nx x
x n x n
£ =
+
Vôùi baát kyø x 0³ toàn taïi a > 0 thoûa 0 x a£ £ neân
2 2 2
3 3 3 2
nx n.a a0
x n n n
£ £ =
+
maø
2
2
a
nå hoäi tuï
neân
2
3 3
nx
x n+å hoäi tuï ñeàu treân [0, a]
suy ra
2
3 3
nxf (x)
x n
=
+å lieân tuïc treân [0, a] (vì
2
n 3 3
nxf (x)
x n
=
+
lieân tuïc, n" )
Þ f lieân tuïc taïi moi [ )x 0,Î ¥ .
Tính ñaïo haøm cuûa 2 2
1f (x)
n x
=
+å
. Giaûi:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
vôùi n 2 2
1f (x)
n x
=
+
ta coù
( )
'
n 22 2
2xf (x)
n x
-
=
+
neân 'n 4
2 | x |f (x)
n
£
vôùi 0x Î cho tröôùc
'nf (x)å hoäi tuï ñeàu treân [ ]0 0x 1, x 1- +
nf (x)å hoäi tuï ñeàu treân [ ]0 0x 1, x 1- + , ta laïi coù caùc haøm 'nf lieân tuïc neân
[ ]
'
'
n n 0 0f (x) f (x), x x 1, x 1
é ù = " Î - +ê úë û
å å
vaäy
( )
'
22 2
2xf (x) , x
n x
-
= " Î
+
å
Tính caùc toång voâ haïn:
a) 3 5 k 2k 12x 4x 6x ... ( 1) 2k.x ...-- + - + + - | x | 1<
b)
2 n 1
2 3 n
1 2x 3x nx... ...
a a a a
-
+ + + + + | x | a<
c)
2 3 nx x xx ... ...
2 3 n
+ + + + + | x | 1<
. Giaûi:
a) Xeùt chuoãi n 2n 1
n 1
( 1) 2nx
¥
-
=
-å (1) | x | 1<
vôùi n 2n 1nf (x) ( 1) 2nx
-= - coù moät nguyeân haøm laø
n 2nnF (x) ( 1) x= -
Chuoãi (1) coù baùn kính hoäi tuï laø R = 1, neân vôùi moïi 0x ( 1,1)Î -
[ ] ( )00 : x , 1,1$a > Î -a a Ì -
(1) hoäi tuï ñeàu treân [ ],-a a . Hôn nöõa nF (x)å cuõng hoäi tuï treân [ ],-a a neân:
[ ]
'
n n
1 n 1
F (x) f (x) , x ,
¥ ¥
=
æ ö = " Î -a aç ÷
è ø
å å
Vaø do ñoù ( )
'
n n
1 n 1
F (x) f (x) , x 1,1
¥ ¥
=
æ ö = " Î -ç ÷
è ø
å å
n 1 nS (x) F (x) ... F (x)= + +
2 n
2 4 n 2n 2
2
1 ( x )x x ... ( 1) x x
1 x
æ ö- -
= - + + + - = - ç ÷+è ø
töø ñoù ( )
2
n n 2n1
xF (x) limS (x) , x 1,1
1 x
¥
®¥
-
= = Î -
+å
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
neân
( )
'2
n 22 2
x 2xf (x)
1 x 1 x
¥ æ ö -
= - =ç ÷+è ø +
å
b) Chuoãi cho coù daïng nf (x)å vôùi
n 1
n n
nxf (x)
a
-
= vôùi | x | a<
coù nguyeân haøm laø
nn
n n
x x xF (x) , 1
a a a
æ ö= = <ç ÷
è ø
Lyù luaän nhö treân :
'n
n 2
x af (x)
a (a x)
æ öæ ö= =ç ÷ç ÷ç ÷ -è øè ø
å å
c) Chuoãi ñaõ cho coù daïng n
n 1
f (x)
¥
=
å vôùi
xn
n 1
n
0
xf (x) t dt
n
-= = ò
do n 1
n 1
t
¥
-
=
å hoäi tuï ñeàu treân [0, x], vôùi | x | 1<
neân
x x
n 1 n 1
n
n 1 n 10 0
f (x) t dt t dt
¥ ¥
- -
= =
æ ö= = ç ÷
è ø
å å åò ò
( )
x
0
dt ln 1 x
1 t
= = - -
-ò
Cho
2n 1
n
n 0
xf (x) ( 1)
(2n 1)!
+¥
=
= -
+å
vaø
2n
n
n 0
xg(x) ( 1)
(2n)!
¥
=
= -å
a) CMR f (0) 0= vaø f (0) 1=
b) f ,g khaû vi treân vaø
'
'
f (x) g(x)
g (x) f (x)
ì =ï
í
= -ïî
. Giaûi:
a) Baïn ñoïc töï kieåm tra.
b) Caùc chuoãi f (x),g(x) coù baùn kính hoäi tuï laø R = ¥ neân hoäi tuï ñeàu treân moïi ñoanj
[ ]a, b . Caùc haøm thaønh phaàn ( )
2n 1
n
n
xf (x) ( 1)
2n 1 !
+
= -
+
vaø
2n
n
n
xg (x) ( 1)
(2n)!
= -
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
khaû vi lieân tuïc treân .
Do 'n n 1f (x) g (x)-=
vaø 'n n 1g (x) f (x)-= -
Söï hoäi tuï ñeàu cuûa f (x),g(x) daãn ñeán söï hoäi tuï ñeàu cuûa 'nf (x)å vaø 'ng (x)å
Töø ñoù
'
' '
n n nf (x) f (x) f (x) g (x) g(x)
æ ö= = = =ç ÷
è ø
å å å
vaø
'
' '
n n ng (x) g (x) g (x) f (x) f (x)
æ ö= = + = - = -ç ÷
è ø
å å å .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version