Chương 1 Đại cương về xác suất

 Không gian mẫu và biến cố  Định nghĩa xác suất  Xác suất có điều kiện  Công thức nhân xác suất  Các biến cố độc lập  Công thức Bayes Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT • Phép thử là một khái niệm cơ bản không định nghĩa. Ta hiểu phép thử là một thí nghiệm hay quan sát nào đó. • Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu ta không dự báo trước kết quả nào sẽ xảy ra. • Thường trong mỗi phép thử có thể có nhiều kết quả khác nhau. • Tập hợp gồm tất cả các kết quả của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được ký hiệu là S. Không gian mẫu và biến cố • Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố. • Biến cố chỉ gồm một kết quả được gọi là biến cố sơ cấp. • Chú ý: Thông thường ta xem biến cố sơ cấp và kết quả là một. • Ký hiệu:  : biến cố sơ cấp S : Không gian mẫu A, B, C,…: biến cố Không gian mẫu và biến cố Ví dụ : Gieo một con xúc xắc một lần. Gọi là kết quả “Mặt trên của nó có i chấm”. Xác định không gian mẫu. Ví dụ : Gieo một đồng tiền xu một lần. Xác định không gian mẫu. Ví dụ : Gieo một đồng tiền xu hai lần. Xác định không gian mẫu. Ví dụ : Gieo một con xúc xắc liên tiếp hai lần. Xác định không gian mẫu. iB Ví dụ : Gieo một con xúc xắc một lần. Gọi A là biến cố “mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn”. Xác định A. Không gian mẫu và biến cố • Phép thử có không gian mẫu S và biến cố A. Biến cố A xảy ra khi có một kết quả nào đó của A xảy ra. • S được gọi là biến cố chắc chắn; được gọi là biến cố không.  • Quan hệ kéo theo: A B • Quan hệ tương đương:      A B A B B A  A B,A B,AB• Tổng, hiệu, tích: AB• Xung khắc: A S A, • Đối lập: A B A.B,  A.B A B  Không gian mẫu và biến cố mà các biến cố sơ cấp đồng khả năng.  1 2 n, , ,    Phép thử có không gian mẫu Biến cố A gồm m là số biến cố sơ cấp có xác suất là Am P(A) n    Số m được gọi là số trường hợp thuận lợi cho A. Ví dụ : Gieo con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để: 1. Mặt trên con xúc xắc có một chấm; 2. Mặt trên con xúc xắc có số chấm là số chẵn. Định nghĩa xác suất cổ điển Ví dụ : Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 10 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người trực lớp. Tính xác suất của biến cố trong 3 người được chọn có đúng 1 người nữ. Ví dụ : Một lô hàng gồm 10 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm xấu. a. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng. Tính xác suất để lấy được sản phẩm tốt. b. Lấy ngẫu nhiên, không hoàn lại, 4 sản phẩm từ lô hàng. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm lấy ra có đúng 2 sản phẩm tốt. Định nghĩa xác suất cổ điển Độ đo: Ta gọi độ đo của một tập trên một đường là độ dài, trong một mặt là diện tích, trong không gian là thể tích của tập đó. Quy ước: Trong một mặt phẳng, tập nằm trên đường có độ đo bằng 0; trong một không gian, tập nằm trên mặt có độ đo bằng 0. Định nghĩa: Cho tập S, khác rỗng và D là tập con của S. Gọi A là biến cố “điểm M thuộc D”. Ta định nghĩa m(D) P(A) m(S)  m(D)độ đo của D. Định nghĩa xác suất bằng hình học Giả sử ta thực hiện n lần một phép thử, biến cố A xuất hiện k lần. Ta gọi là tần suất của biến cố A trong n phép thử. Ta định nghĩa n k f (A) n  n n P(A) lim f (A)   Ví dụ : Quan sát 10 000 em bé mới sinh, thấy có 5097 bé trai. Gọi A là biến cố em bé mới sinh là con trai. Tính P(A). Định nghĩa xác suất bằng thống kê P( ) 0 1. 2. 3. P( ) 1  0 P(A) 1  Giả sử A và B là hai biến cố trong một phép thử. Ta có P(A B) P(A) P(B) P(AB)    (1) Công thức cộng xác suất Hệ quả: P(A B) P(A) P(B),AB    P(A) 1 P(A)  Khái quát cho (1) và (2)! (2) Công thức cộng xác suất Ví dụ : Một lớp có 50 học sinh trong đó có 20 học sinh giỏi văn, 25 học sinh giỏi toán, 10 học sinh giỏi cả văn và toán. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp. Tính xác suất học sinh này giỏi văn hoặc giỏi toán Ví dụ : Một hộp đựng 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp. Tính xác suất để: a. Không có bi đỏ b. Có ít nhất 1 bi đỏ. Công thức cộng xác suất Ví dụ : Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần. Gọi A là biến cố “lần gieo đầu xuất hiện mặt một chấm”, B là biến cố “tổng số chấm trong hai lần gieo không vượt quá 3”.Ta thấy  S (i, j) :1 i, j 6    A (1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);  B (1,1);(1,2);(2,1)  3 P(B) 36  6 P(A) 36  2 P(AB) 36 Biết B đã xảy ra hỏi A xảy ra khi nào? Tính xác suất của A khi B đã xảy ra, P(A |B) Xác suất có điều kiện 2 36 3 36 2 P(AB) P(A | B) 3 P(B)    Giả sử A và B là hai biến cố và Ta gọi tỉ số P(B) 0. P(AB) P(A | B) P(B)  là xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra. Xác suất có điều kiện Ví dụ: Một lớp có 50 sinh viên trong đó có 20 nữ và 30 nam. Trong kỳ thi môn Toán có 10 sinh viên đạt điểm giỏi, gồm 6 nam và 4 nữ. Gọi tên ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp. Tìm xác suất gọi được sinh viên giỏi môn Toán biết rằng sinh viên đó là nữ. Đáp số : 0,2. Hướng dẫn: A là biến cố “gọi được sinh viên nữ”, B là biến cố “gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn Toán”. Tính p(B/A). Xác suất có điều kiện Định lý: Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có P(AB) P(B)P(A |B) P(AB) P(A)P(B | A) Ví dụ: Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ra một bi. Sau đó lấy tiếp một bi từ số bi còn lại. Tính xác suất được hai bi đỏ P(ABC) P(A)P(B | A)P(C | AB) Ví dụ: Một hộp có 10 sản phẩm, gồm 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. Một người lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm cho tới khi gặp phế phẩm thì dừng. Tính xác suất để người này dừng lại ở lần thứ ba. Công thức nhân xác suất Ví dụ: Một lô hàng gồm 12 sản phẩm trong đó có 8 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. 1.Rút ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại hai sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để cả hai sản phẩm đó là sản phẩm tốt. 2.Rút ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng và không để ý tới sản phẩm đó. Rút tiếp sản phẩm thứ hai. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai là sản phẩm tốt. Đáp số : 1. 14/33; 2. 2/3 Hướng dẫn: A là biến cố “sản phẩm lấy ra lần 1 là sản phẩm tốt”, B là biến cố “sản phẩm lấy ra lần 2 là sản phẩm tốt”. Công thức nhân xác suất Ví dụ: Một lô hàng gồm 100 sản phẩm trong đó có 90 sản phẩm tốt và 10 phế phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại 5 sản phẩm từ lô hàng. Nếu có ít nhất một phế phẩm trong 5 sản phẩm kiểm tra đó thì không nhận lô hàng. Tìm xác suất để nhận lô hàng. Đáp số : Hướng dẫn: là biến cố “sản phẩm lấy ra lần i là sản phẩm tốt”, i=1,…,5; B là biến cố “nhận lô hàng”. iA 1 2 3 4 5B A A A A A Công thức nhân xác suất Định nghĩa: Hai biến cố A, B được gọi là độc lập nếu P(AB) P(A)P(B) Định lý: Hai biến cố A, B độc lập nếu và chỉ nếu P(A |B) P(A) hoặc P(B | A) P(B) Ví dụ: Tung 2 đồng xu. Gọi A = “đồng xu thứ nhất sấp”, B = “đồng xu thứ hai sấp”, C = “có ít nhất một mặt sấp”. Hỏi A và B có độc lập? Các biến cố độc lập Định nghĩa: Dãy n biến cố được gọi là độc lập toàn thể nếu ta lấy ra một dãy con bất kỳ các biến cố từ n biến cố trên thì xác suất của tích các biến cố của dãy con bằng tích xác suất của từng biến cố. 1 2 nA ,A , ,A Nếu từng đôi một trong dãy là độc lập thì dãy đó được gọi là độc lập từng đôi. Ví dụ: Tung 2 đồng xu. Gọi A = “đồng xu thứ nhất sấp”, B = “đồng xu thứ hai sấp”, C = “có ít nhất một mặt sấp”. Hỏi A, B và C có độc lập toàn thể? Các biến cố độc lập Ví dụ: Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập. Xác suất các máy trong ngày bị hỏng là : 0,1;0,2;0,15. Tính xác suất có một máy hỏng trong ngày. Đáp số :0,329. A, B độc lập A,B độc lập A,B độc lập A,B độc lập. Định lý    Các biến cố độc lập Ví dụ: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có hai phân xưởng: I và II. Phân xưởng II sản xuất gấp 4 lần phân xưởng I. Tỷ lệ bóng hư của phân xưởng I là 10%, của phân xưởng II là 20%. Mua một bóng đèn do nhà máy này sản xuất. a.Tính xác suất để mua được bóng tốt. b.Biết rằng mua được bóng tốt, tính xác suất để bóng đèn do phân xưởng I sản xuất. Công thức Bayes nk k k 1 P(A) P(B )P(A | B )   (1) Nếu có thêm p(A) 0 thì j j j n k k k 1 P(B )P(A | B ) P(B / A) P(B )P(A | B )    (2) (1) công thức XSTP; (2) công thức Bayes. Công thức Bayes A A.S   n k k k 1 P(B )P(A / B )  kP(A)P(B / A)   n k k 1 P(A) P(AB ) k kP(B )P(A / B ) 1 2 nAB AB AB     kP(AB )  k kk P(B )P(A / B ) P(B / A) P(A)    k k n k k k 1 P(B )P(A / B ) P(B )P(A / B )    1 2 nA(B B B ) Công thức Bayes Ví dụ: Có 3 lô sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm của từng lô tương ứng là 6%, 2%, 1%. Chọn ngẫu nhiên một lô, rồi từ lô này chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. 1. Tìm xác suất để lấy được phế phẩm. 2. Biết lấy được phế phẩm. Tìm xác suất được chọn của từng lô hàng. Đáp số : 1) 0,03. 2) 6/9;2/9;1/9 Hướng dẫn: A là biến cố “lấy được phế phẩm”, và kB là biến cố “sản phẩm lấy ra thuộc lô k”,k=1;2;3. Công thức Bayes Công thức Bayes Ví dụ: Trong một trạm cấp cứu phỏng có 80% bệnh nhân phỏng do nóng và 20% phỏng do hóa chất. Loại phỏng do nóng có 30% bị biến chứng. Loại phỏng do hóa chất có 50% bị biến chứng. 1. Tính xác suất khi bác sĩ mở tập hồ sơ của bệnh nhân gặp một bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng. 2. Biết gặp bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng. Tính xác suất do: a. Nóng gây nên; b. Hóa chất gây nên. Công thức Bayes Ví dụ: Trong một đám đông người mà số đàn ông bằng nửa số đàn bà. Xác suất để một người đàn ông bị bệnh bạch tạng là 0,06 và xác suất người đàn bà bị bệnh bạch tạng là 0,0036. 1. Tính xác suất để một cá thể bất kì bị bệnh bạch tạng. 2. Tính xác suất để một người bị bệnh bạch tạng trong đám đông đó là đàn ông. Ví dụ: Tỉ số ô tô tải và ô tô con đi qua đường có trạm bơm dầu là 2,5. Xác suất để một ô tô tải qua đường nhận được dầu là 0,1; xác suất để ô tô con qua đường nhận được dầu là 0,2. Có một ô tô vào trạm nhận dầu. Tìm xác suất để đó là ô tô tải.