Chương 1 Động học chất điểm

Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 15 Chương 1 ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM Động học là một phần của ngành Cơ học, nghiên cứu chuyển động của vật thể (vĩ mô) mà không chú ý đến nguyên nhân của chuyển động đó. Chương này nghiên cứu các tính chất tổng quát về chuyển động của chất điểm. Vì thế khi nói chuyển động của một vật hay vận tốc, gia tốc của vật, ta hiểu vật đó là chất điểm. §1.1 – CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUYỂN ĐỘNG 1 – Chuyển động cơ học – Chất điểm: Chuyển động cơ học (chuyển động cơ) là sự thay đổi vị trí của vật thể trong không gian theo thời gian. Chuyển động của vật có tính tương đối. Vì, vị trí của vật có thể thay đổi đối với vật này, nhưng lại không thay đổi đối với vật khác. Nghiã là vật có thể chuyển động so với vật này, nhưng lại là đứng yên so với vật khác. Ví dụ: Người ngồi trên xe lửa, đối với nhà ga thì người đó đang chuyển động cùng với xe lửa, nhưng đối với hành khách bên cạnh, thì người đó lại không hề chuyển động. Khi ta nói “vật A đang chuyển động” mà không nói rõ chuyển động so với vật nào thì ta ngầm hiểu là so với Trái Đất. Mọi vật đều có kích thước xác định. Tuy nhiên, nếu kích thước của vật quá nhỏ bé so với những khoảng cách mà ta khảo sát thì vật được coi như một chất điểm. Vậy, chất điểm là một vật thể mà kích thước của nó có thể bỏ qua so với những kích thước, những khoảng cách mà ta khảo sát. Chất điểm là một khái niệm trừu tượng, không có trong thực tế nhưng rất thuận tiện trong việc nghiên cứu chuyển động của các vật. Khái niệm chất điểm cũng mang tính tương đối. Nghĩa là trong điều kiện này vật được coi là chất điểm, nhưng trong điều kiện khác, nó lại không thể coi là chất điểm. Ví dụ: Khi nghiên cứu chuyển động của Trái Đất quanh Mặt Trời, ta có thể coi Trái Đất là chất điểm, nhưng nghiên cứu chuyển động tự quay quanh trục của nó thì Trái Đất không thể coi là chất điểm. 2 – Quĩ đạo, quãng đường và độ dời: Qũi đạo của chất điểm là tập hợp các vị trí của chất điểm trong quá trình chuyển động. Nói một cách khác, khi chất điểm chuyển động, nó sẽ vạch ra trong không gian một đường gọi là quĩ đạo. Căn cứ vào hình dạng quĩ đạo, ta có thể phân chia chuyển động của chất điểm là thẳng, cong hoặc tròn. Xét một chất điểm M chuyển động trên quĩ đạo cong bất kì từ vị trí M1 qua điểm A đến vị trí M2 (hình 1.1). Ta gọi độ dài của cung
1 2M AM là quãng đường 16 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện vật đi từ M1 đến M2 và được kí hiệu là s. Và ta gọi vectơ 1 2M M uuuuuur là vectơ độ dời (hay độ dời) của chất điểm từ điểm M1 đến điểm M2. Như vậy quãng đường s là một đại lượng vô hướng luôn dương; còn độ dời là một vectơ. Nếu vật chuyển động trên đường cong kín hoặc đổi chiều chuyển động sao cho vị trí đầu và cuối trùng nhau thì độ dời sẽ triệt tiêu nhưng quãng đường là khác không. Khi vật chuyển động trên đường thẳng theo một chiều duy nhất thì quãng đường vật đi được bằng với độ lớn của vectơ độ dời. 3 – Hệ qui chiếu, phương trình chuyển động – phương trình quĩ đạo: Muốn xác định vị trí của vật trong không gian, ta phải chọn một vật làm mốc, gắn vào đó một hệ tọa độ và một đồng hồ để đo thời gian. Hệ thống đó được gọi là hệ qui chiếu. Tại mỗi thời điểm t, vị trí của chất điểm M sẽ được xác định bởi vectơ vị trí (hay vectơ tia, vectơ bán kính): →→ = OM)t(r (1.1) Phương trình (1.1) cho phép ta xác định vị trí của chất điểm ở từng thời điểm, nên gọi là phương trình chuyển động tổng quát của chất điểm. Trong hệ tọa độ Descartes, (1.1) có dạng: →→→→ ++= k.zj.yi.xr (1.2) Trong đó (x,y,z) là tọa độ của điểm M và i, j, kr r r là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Vì vị trí của chất điểm M thay đổi theo thời gian nên toạ độ của nó là hàm của thời gian: x = f(t); y = g(t); z = h(t) (1.3) (1.2), (1.3) là các phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ toạ độ Oxyz. Nếu khử tham số t trong các phương trình (1.3), ta được:    = = 0)z,y,x(G 0)z,y,x(F (1.4) y M O z x y z x Hình 1.2: Vị trí của chất điểm M trong hệ toạ độ Descartes → r → i → k → j Quãng đường s Độ dời 1 2M M uuuuuur M1 M2 Hình 1.1: Quan hệ giữa quãng đường và độ dời A Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 17 (1.4) biểu diễn tất cả các vị trí mà chất điểm sẽ đi qua trong quá trình chuyển động nên được gọi là phương trình qũi đạo của chất điểm. Vậy, phương trình chuyển động cho phép ta xác định được vị trí của chất điểm ở một thời điểm t bất kì; phương trình qũi đạo cho biết hình dạng qũi đạo của vật. Tùy theo việc chọn hệ qui chiếu và mốc thời gian, phương trình chuyển động và phương trình quĩ đạo của chất điểm sẽ có dạng tường minh khác nhau. Trên thực tế, khi giải các bài toán về chuyển động, người ta thường chọn hệ qui chiếu và gốc thời gian sao cho phương trình chuyển động ở dạng đơn giản nhất. Trong trường hợp đã biết trước qũi đạo của vật, ta có thể chọn điểm mốc O là một điểm nào đó nằm ngay trên qũi đạo, và vị trí của vật được xác định theo hoành độ cong:
s s(t) OM= = (1.5) Phương trình (1.5) được gọi là phương trình chuyển động của vật trên qũi đạo. Ví dụ 1.1: Chất điểm M chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình:    ϕ+ω= ϕ+ω= )tcos(Ay )tcos(Ax 22 11 . Hãy xác định dạng qũi đạo khi: a) ϕ1 – ϕ2 = k2pi; b) ϕ1 – ϕ2 = (2k + 1) 2 pi . Giải a) Ta có ϕ1 – ϕ2 = k2pi ⇒ ϕ1 = ϕ2 + k2pi ⇒ x = A1 cos(ωt + ϕ2 +k2pi) = A1 cos(ωt + ϕ2) ⇒ 1 2 1 2 21 A A v;axx A Ay A y A x ===⇒= a ôùi Vậy qũi đạo là đường thẳng y = ax, với – A1 ≤ x ≤ A1 b) Tương tự, ta có: 1 A y A x 2 2 2 2 1 2 =+ ⇒ Qũi đạo là Elíp. §1.2 – TỐC ĐỘ VÀ VẬN TỐC 1 – Tốc độ trung bình và vận tốc trung bình: Xét chất điểm M chuyển động trên quĩ đạo cong bất kì. Giả sử ở thời điểm t1, chất điểm ở vị trí M1 được xác định bởi vectơ vị trí 1r → ; ở thời điểm t2 vật ở vị trí M2 được xác định bởi vectơ vị trí 2r → . Gọi s là quãng đường vật đã đi và s O M Hình 1.3: Vị trí của chất điểm M được xác định theo hoành độ cong s. 18 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện 1 2 2 1r M M r r∆ = = − r uuuuuur ur ur là độ dời từ M1 đến M2. Ta định nghĩa tốc độ trung bình và vận tốc trung bình của chất điểm như sau : Tốc độ trung bình vs trên một đoạn đường nhất định của một chất điểm chuyển động là đại lượng đo bằng thương số giữa quãng đường s mà chất điểm đi được với khoảng thời gian t để chất điểm đi hết quãng đường đó. s s v t = (1.6) Nếu quãng đường s gồm nhiều quãng đường nhỏ s1, s2, …, sn và thời gian tương ứng để vật đi hết các quãng đường đó là t1, t2, …, tn thì (1.6) được viết dưới dạng: 1 2 2 s 1 2 n s s ... s v t t ... t + + + = + + + (1.7) Đôi khi tốc độ trung bình còn được kí hiệu bởi vtb hoặc v . Vận tốc trung bình của một chất điểm chuyển động trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 là đại lượng đo bằng thương số giữa vectơ độ dời và khoảng thời gian đó : 2 1 tb 2 1 r rr v t t t −∆ = = ∆ − ur urr uur (1.8) Tốc độ trung bình là đại lượng vô hướng, không âm, đặc trưng cho mức độ nhanh, chậm của chuyển động trên một đoạn đường nhất định ; còn vận tốc trung bình là một đại lượng vectơ đặc trưng cho sự thay đổi của vectơ độ dời trong một khoảng thời gian nhất định. Khi vật chuyển động liên tục trên đường thẳng theo một chiều duy nhất thì tốc độ trung bình bằng với độ lớn của vectơ vận tốc trung bình. Trong hệ SI, đơn vị đo tốc độ trung bình và vận tốc trung bình là mét trên giây (m/s) ; trên thực tế, người ta thường dùng đơn vị kilômét trên giờ (km/h). Ta có : 51km / h m / s 18 = . Từ (1.8) suy ra, khi chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox thì ta có thể tính được giá trị đại số của vận tốc trung bình theo công thức : 2 1 tb 2 1 x xx v t t t −∆ = = ∆ − (1.9) Trong trường hợp tổng quát, ta có thể chiếu (1.8) lên các trục tọa độ cần thiết để tìm các thành phần của vectơ vận tốc trung bình, từ đó tìm được độ lớn của vận tốc trung bình. Cần nhấn mạnh sự khác biệt của các công thức định nghĩa (1.6) và (1.8) là: đối với tốc độ trung bình, ta quan tâm đến quãng đường s mà chất điểm đã đi và thời gian t mà chất điểm dùng để đi hết quãng đường đó, không quan tâm đến thời r∆ r M1 M2 Hình 1.4 1r ur s 2r ur O Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 19 gian nghỉ ; còn đối với vận tốc trung bình, ta quan tâm đến vị trí và thời điểm đầu và cuối, không quan tâm đến quá trình diễn biến của chuyển động. Để phân biệt được hai khái niệm tốc độ trung bình và vận tốc trung bình, chúng ta khảo sát các ví dụ sau đây : Ví dụ 1.2: Một ôtô dự định đi từ A đến B với tốc độ 30km/h. Nhưng sau khi đi được 1/3 đoạn đường, ôtô bị chết máy. Tài xế phải dừng 30 phút để sửa, sau đó đi tiếp với tốc độ 40km/h và đến B đúng giờ qui định. Tính tốc độ trung bình của ôtô trên đoạn đường AB và thời gian dự định ban đầu. Có thể tính được độ lớn của vectơ vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ A đến B hay không ? Giải Giả sử ôtô chết máy tại C. Gọi t1, t2 là thời gian ôtô chuyển động trên các đoạn AC, CB. Tốc độ trung bình của ôtô trên đoạn đường AB là : 1 2 s 1 2 3 31 2 1 2 1 2 3v .vs AC BC AB 3.30.40 v 36km / hAB ABt t t 2v v 2.30 40 v v + = = = = = = + + ++ Vì ôtô đến B đúng giờ qui định nên thời gian dự định bằng thời gian thực tế: tdđ = tttế ⇒ 2 3 2 1 3 1 1 v AB5,0 v AB v AB ++= ⇒ AB = 90 km Vậy thời gian dự định ban đầu là: t = 1v AB = 3 (giờ). Với giả thiết của bài toán trên, ta không thể tính được độ lớn của vectơ vận tốc trung bình, vì không biết quĩ đạo từ A đến B là thẳng hay cong. Nếu quĩ đạo là đường thẳng thì tb B A | r | AB 90| v | 30m / s t t t 3 ∆ = = = = ∆ − r uur ; nếu quĩ đạo là đường cong thì chưa đủ dữ kiện để tính vận tốc trung bình. Ví dụ 1.3: Một ôtô đi từ A đến B với tốc độ v1 = 30km/h rồi quay về A với tốc độ v2 = 50km/h. Tính tốc độ trung bình và vận tốc trung bình trên lộ trình đi – về. Giải Tốc độ trung bình trên lộ trình đi – về: 1 2 s di ve 1 2 1 2 2v vs AB BA 2AB 2.30.50 v 37,5km / h t t t AB / v AB / v v v 30 50 + = = = = = = + + + + Vận tốc trung bình trên lộ trình đi – về: 2 1 A A tb 2 1 2 1 r r r r v 0 t t t t − − = = = − − ur ur uur uur uur r A C B v1 = 30km/h v2 = 40km/h 20 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện 2 – Tốc độ tức thời và vận tốc tức thời: Tốc độ trung bình đặc trưng cho tính chất nhanh, chậm của chuyển động trên một đoạn đường s xác định. Để đặc trưng cho tính chất nhanh, chậm của chuyển động ở từng điểm trên quĩ đạo, ta dùng khái niệm tốc độ tức thời. Tốc độ tức thời (hay tốc độ) tại một điểm đã cho trên qũi đạo là đại lượng đo bằng thương số giữa quãng đường đi rất nhỏ tính từ điểm đã cho và khoảng thời gian rất nhỏ để vật đi hết quãng đường đó: t 0 s ds v lim t dt→ = = (1.10) Kí hiệu: ds là vi phân của đường đi, dt là vi phân của thời gian và tỉ số ds/dt là đạo hàm của quãng đường theo thời gian. Vậy tốc độ tức thời bằng đạo hàm của quãng đường theo thời gian. Một cách tương tự, vectơ vận tốc tức thời (hay vectơ vận tốc) là đạo hàm của vectơ độ dời theo thời gian: t 0 r dr v lim t dt → ∆ → ∆ = = ∆ r r (1.11) Để hiểu rõ ý nghĩa của vectơ vận tốc tức thời, ta xét chuyển động của một chất điểm trên một quĩ đạo cong (C) bất kì (xem hình minh họa 1.5). Giả sử ở thời điểm t, chất điểm ở vị trí M được xác định bởi vectơ vị trí r r và ở thời điểm t + dt, chất điểm ở vị trí M’ được xác định bởi vectơ vị trí r ' r dr= + ur r r . Theo định nghĩa (1.11), vectơ vận tốc luôn có hướng của độ dời dr r , nghĩa là có hướng của cát tuyến MM’. Khi thời gian dt rất nhỏ thì điểm M’ rất gần với điểm M. Lúc đó giới hạn của cát tuyến MM’ chính là tiếp tuyến với quĩ đạo tại điểm M. Vậy vectơ vận tốc tức thời tại mỗi điểm có phương tiếp tuyến với quĩ đạo tại điểm đó và có chiều là chiều chuyển động của chất điểm. Mặt khác, môdun của độ dời dr r chính là độ dài dây cung MM’ và quãng đường ds chính là độ dài cung
MM ' . Khi M’ tiến đến M thì | drr | = ds. Vậy: | dr | ds| v | v dt dt = = = r r (1.12) Nghĩa là độ lớn của vận tốc tức thời chính bằng tốc độ tức thời. Vậy, vectơ vận tốc tức thời v → có đặc điểm: - Phương: là tiếp tuyến với qũi đạo tại điểm khảo sát. - Chiều: là chiều chuyển động. - Độ lớn: bằng đạo hàm của quãng đường đối với thời gian. - Điểm đặt: tại điểm khảo sát. dr r M M’ Hình 1.5 r r ds r ' ur O v → (C) Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 21 Tốc độ tức thời là đại lượng vô hướng không âm, đặc trưng cho mức độ nhanh, chậm của chuyển động tại mỗi điểm trên quĩ đạo; còn vận tốc tức thời là đại lượng vectơ, đặc trưng cho cả phương, chiều và độ nhanh chậm của chuyển động tại mỗi điểm trên quĩ đạo. Khi nói vật chuyển động với tốc độ không đổi, ta hiểu vật chuyển động đều trên quĩ đạo thẳng hoặc cong bất kì, trong đó vật đi được những quãng đường bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau bất kì ; nhưng khi nói vật chuyển động với vận tốc không đổi thì ta hiểu chuyển động của vật là thẳng đều. Qua các khái niệm trên ta thấy rằng, tốc độ trung bình có ý nghĩa vật lý cụ thể hơn vận tốc trung bình nhưng tốc độ tức thời lại không có ý nghĩa vật lý đầy đủ bằng vận tốc tức thời. Do đó, khi nghiên cứu tính chất của chuyển động trên quãng đường dài, người ta thường sử dụng khái niệm tốc độ trung bình ; còn khi nghiên cứu tính chất của chuyển động tại từng vị trí trên quĩ đạo, ta sử dụng vận tốc tức thời. 3 – Biểu thức giải tích của vectơ vận tốc: Trong hệ toạ độ Descartes, ta có: →→→→ ++= k.zj.yi.xr Suy ra : d r dx dy dzv . i . j .k dt dt dt dt → → → → → = = + + (1.13) Hay: = → v →→→ ++ k.vj.vi.v zyx = (vx, vy, vz) (1.14) trong đó: 'z dt dz v;'y dt dy v;'x dt dx v zyx ====== (1.15) Suy ra, độ lớn của vectơ vận tốc: 2z 2 y 2 x vvvvv ++== → (1.16) 4 – Quãng đường vật đã đi: Từ (1.12), suy ra quãng đường vật đi được trong thời gian ∆t = t – to là: s = o t t vdt∫ (1.17) trong đó, v là độ lớn của vận tốc. Nếu trong khoảng thời gian ∆t, độ lớn của vận tốc không đổi (vật chuyển động đều) thì: s = v∆t = v(t – t0) (1.18) Trong một số trường hợp, ta có thể tính quãng đường dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân (1.17): quãng đường vật đi được bằng trị số diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị v = v(t) với trục Ot (hình 1.6). S t v t to Hình 1.6: Ý nghĩa hình học của đường đi. 22 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện Ví dụ 1.4: Vật chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình: )SI( t5y t15x 2    = = . Tính quãng đường vật đã đi kể từ lúc t = 0 đến lúc t = 2s. Giải Ta có: 25,2t10)t10(15v t10'yv 15'xv 222 y x +=+=⇒    == == (m/s) 2 0 22 2 0 2 2 0 |25,2tt|ln 2 25,225,2t 2 t10dt25,2t10vdts     ++++=+== ∫∫ (Lưu ý: 2 2 2u au adx u a ln | u u a | C 2 2 + = + + + + +∫ - toán cao cấp) Thay số vào ta tính được quãng đường là: s 37,4(m)= . Ví dụ 1.5: Vật chuyển động trên đường thẳng với vận tốc biến đổi theo qui luật cho bởi đồ thị hình bên. Tính quãng đường vật đã đi kể từ lúc t = 1s đến lúc t = 7,5s. Suy ra tốc độ trung bình trên quãng đường này và độ lớn của vận tốc trung bình trong khoảng thời gian đó. Giải Dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân (1.17), ta suy ra quãng đường phải tìm là: s = trị số (diện tích hình thang ABCD + diện tích tam giác DEF). 20.1. 2 130).5,25,5( 2 1 s ++=⇒ Vậy s = 130(m) Suy ra tốc độ trung bình trên quãng đường đó: s s 130 v 20(m / s) t 7,5 1 = = = ∆ − . Vì vật chuyển động trên đường thẳng và căn cứ đồ thị, ta thấy, từ t = 1s đến t = 6,5s vật chuyển động theo chiều dương của qũi đạo (do v > 0) còn từ t = 6,5s đến t = 7,5s vật chuyển động ngược chiều dương của qũi đạo (do v < 0) nên môdun của độ dời tính từ thời điểm t = 1s đến t = 7,5s là: | r |∆ =r trị số diện tích hình thang ABCD – diện tích tam giác DEF = 120 – 10 = 110m. Suy ra độ lớn của vận tốc trung bình: tb 2 1 | r | 110 v t t 7,5 1 ∆ = = = − − r 16,9m/s t (s) v (m/s) - 20 30 2,5 0 1 6,5 7,5 A B C D E F 5 Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 23 §1.3 – GIA TỐC 1 – Định nghiã: Gia tốc là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của vận tốc, đo bằng thương số giữa độ biến thiên của vận tốc và khoảng thời gian xảy ra sự biến thiên đó (thương số này còn được gọi là tốc độ biến thiên của vectơ vận tốc): Gia tốc trung bình: otb 0 v v v a t t t → → → → ∆ − = = ∆ − (1.19) Gia tốc tức thời: 2 2 0t dt rd dt vd t vlima →→→ →∆ → == ∆ ∆ = (1.20) Vectơ gia tốc tức thời đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc ở từng thời điểm; còn vectơ gia tốc trung bình đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc trong khoảng thời gian ∆t khá lớn. 2 – Biểu thức giải tích của vectơ gia tốc: Trong hệ tọa độ Descartes, tương tự như vectơ vận tốc, ta có: →→→→ ++= k.aj.ai.aa zyx = (ax, ay, az) (1.21) với          === === === ''z dt zd dt dv a ''y dt yd dt dv a ''x dt xd dt dv 2 2 z z 2 2 y y 2 2 x xa (1.22) Suy ra, độ lớn của vectơ gia tốc : 2z 2 y 2 x aaaaa ++== → (1.23) Ví dụ 1.5: Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình: )SI( t8y t 3 4 t3x 32     = −= a) Xác định vectơ gia tốc tại thời điểm t = 3s. b) Có thời điểm nào gia tốc triệt tiêu hay không? Giải Ta có: |t86|aaa 0''ya t86''xa 2 y 2 x y x −=+=⇒    == −== a) Lúc t = 3s thì : → a = (-18; 0) và độ lớn a = 18m/s2. 24 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện b) s75,0t0t860a =⇔=−⇔= Vậy lúc t = 0,75 giây thì gia tốc bằng không. 3 – Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến: Trong chuyển động cong, ngoài biểu thức giải tích của vectơ gia tốc, người ta còn mô tả vectơ gia tốc theo thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến với qũi đạo. Ta biết vectơ vận tốc luôn nằm trên tiếp tuyến của qũi đạo, nên ta có thể viết: →→ τ= .vv (1.24) trong đó → τ là vectơ đơn vị nằm trên tiếp tuyến. Suy ra: d v d(v. ) dv da . v. dt dt dt dt → → → → →τ τ = = = τ + (1.25) Thành phần: →→ τ= . dt dv a t (1.26) nằm trên tiếp tuyến qũi đạo nên gọi là gia tốc tiếp tuyến. Vì: 1)(1 2 =τ⇒=τ →→ 0 dt )(d 2 = τ ⇒ → ⇒ 0 dt d ..2 =ττ → → dt d → → τ⊥τ⇒ Mà → τ nằm trên tiếp tuyến nên vectơ dt d → τ nằm trên pháp tuyến của qũi đạo. Do đó, thành phần: dt d .va n → → τ = (2.27) nằm trên pháp tuyến qũi đạo nên được gọi là gia tốc pháp tuyến. Mặt khác, vectơ →→→ τ−τ=τ 'd luôn hướng vào bề lõm của qũi đạo (hình 1.7), suy ra gia tốc pháp tuyến luôn hướng vào bề lõm của qũi đạo. Do 1' =τ=τ →→ nên R dsd 2 d .1.2d =ϕ=ϕ=τ → (xem hình 1.7 và 1.8) → τ' → τ → τd ) 2 dϕ Hình 1.8: Quan hệ giữa | →τd | và dϕ. → τ → τ' R dϕ → τ' → τd dϕ Hình 1.7: Biến thiên của vectơ đơn vị trên tiếp tuyến qũi đạo. Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 25 Suy ra: R v dt ds R 1 dt d == τ → (2.28) và 2 n v v a v. R R = = , với R là bán kính chính khúc của qũi đạo. Tóm lại: Trong chuyển động cong, vectơ gia tốc → a được phân tích thành hai thành phần vuông góc nhau: thành phần tiếp tuyến → ta và thành phần pháp tuyến → na . Vậy ta viết: →→→ += nt aaa (1.29) trong đó: dt dv a t = và R v a 2 n = (1.30) và độ lớn của vectơ gia tốc là: a = 2n 2 t aa + (1.31) Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến đổi về độ lớn của vectơ vận tốc; gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến đổi về phương của vectơ vận tốc. Gia tốc tiếp tuyến luôn nằm trên tiếp tuyến qũi đạo và hướng theo chiều chuyển động, nếu chuyển động là nhanh dần và hướng ngược chiều chuyển động, nếu chuyển động là chậm dần; gia