Chương 2 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Chương 2 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xá suất Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 65 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 2 1 Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên. 2 Quy luật phân phối xá suất ủa biến ngẫu nhiên. 3 Cá tham số đặ trưng ủa biến ngẫu nhiên. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 66 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 2 1 Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên. 2 Quy luật phân phối xá suất ủa biến ngẫu nhiên. 3 Cá tham số đặ trưng ủa biến ngẫu nhiên. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 66 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 2 1 Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên. 2 Quy luật phân phối xá suất ủa biến ngẫu nhiên. 3 Cá tham số đặ trưng ủa biến ngẫu nhiên. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 66 / 293 2. Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên (BNN) 2.1. Định nghĩa Một biến số đượ gọi là ngẫu nhiên nếu trong kết quả ủa php thử nó hỉ nhận một và hỉ một trong á giá trị ó thể ó ủa nó tùy thuộ vào sự tá động ủa á nhân tố ngẫu nhiên. Kí hiệu á BNN là X,Y,Z, ...,X 1 ,X 2 , ... Giá trị ó thể ó ủa BNN là x, x 1 , x 2 , ..., y, ... (X = x 1 ), (X = x 2 ), ... là á biễn ố ngẫu nhiên (X = x 1 ), (X = x 2 ), ..., (X = x n ) là hệ đầy đủ á biến ố. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 67 / 293 2. Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên (BNN) 2.1. Định nghĩa Một biến số đượ gọi là ngẫu nhiên nếu trong kết quả ủa php thử nó hỉ nhận một và hỉ một trong á giá trị ó thể ó ủa nó tùy thuộ vào sự tá động ủa á nhân tố ngẫu nhiên. Kí hiệu á BNN là X,Y,Z, ...,X 1 ,X 2 , ... Giá trị ó thể ó ủa BNN là x, x 1 , x 2 , ..., y, ... (X = x 1 ), (X = x 2 ), ... là á biễn ố ngẫu nhiên (X = x 1 ), (X = x 2 ), ..., (X = x n ) là hệ đầy đủ á biến ố. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 67 / 293 2. Định nghĩa và phân loại BNN Thí d 2.1. Gọi X là số hấm xuất hiện khi tung một on xú xắ . → X là biến số; và sau khi tung on xú xắ X nhận đúng 1 trong 6 giá trị (1, 2, 3, 4, 5, 6) → X là một BNN. Thí d 2.2. Gọi Y là số người đến đổ xăng tại một trạm xăng trong một ngày. → Y là BNN ó thể nhận á giá trị 0,1,2,... Thí d 2.3. Gọi Z là khoảng á h từ điểm viên đạn hạm bia đến tâm bia. → Z là một BNN, nhận giá trị trên đoạn [0,R℄. Thí d 2.4. Gọi T là thời gian hạy 100m ủa vận động viên A (xt 1 lần hạy bất kì). → T là một BNN. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 68 / 293 2. Định nghĩa và phân loại BNN Thí d 2.1. Gọi X là số hấm xuất hiện khi tung một on xú xắ . → X là biến số; và sau khi tung on xú xắ X nhận đúng 1 trong 6 giá trị (1, 2, 3, 4, 5, 6) → X là một BNN. Thí d 2.2. Gọi Y là số người đến đổ xăng tại một trạm xăng trong một ngày. → Y là BNN ó thể nhận á giá trị 0,1,2,... Thí d 2.3. Gọi Z là khoảng á h từ điểm viên đạn hạm bia đến tâm bia. → Z là một BNN, nhận giá trị trên đoạn [0,R℄. Thí d 2.4. Gọi T là thời gian hạy 100m ủa vận động viên A (xt 1 lần hạy bất kì). → T là một BNN. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 68 / 293 2. Định nghĩa và phân loại BNN Thí d 2.1. Gọi X là số hấm xuất hiện khi tung một on xú xắ . → X là biến số; và sau khi tung on xú xắ X nhận đúng 1 trong 6 giá trị (1, 2, 3, 4, 5, 6) → X là một BNN. Thí d 2.2. Gọi Y là số người đến đổ xăng tại một trạm xăng trong một ngày. → Y là BNN ó thể nhận á giá trị 0,1,2,... Thí d 2.3. Gọi Z là khoảng á h từ điểm viên đạn hạm bia đến tâm bia. → Z là một BNN, nhận giá trị trên đoạn [0,R℄. Thí d 2.4. Gọi T là thời gian hạy 100m ủa vận động viên A (xt 1 lần hạy bất kì). → T là một BNN. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 68 / 293 2. Định nghĩa và phân loại BNN Thí d 2.1. Gọi X là số hấm xuất hiện khi tung một on xú xắ . → X là biến số; và sau khi tung on xú xắ X nhận đúng 1 trong 6 giá trị (1, 2, 3, 4, 5, 6) → X là một BNN. Thí d 2.2. Gọi Y là số người đến đổ xăng tại một trạm xăng trong một ngày. → Y là BNN ó thể nhận á giá trị 0,1,2,... Thí d 2.3. Gọi Z là khoảng á h từ điểm viên đạn hạm bia đến tâm bia. → Z là một BNN, nhận giá trị trên đoạn [0,R℄. Thí d 2.4. Gọi T là thời gian hạy 100m ủa vận động viên A (xt 1 lần hạy bất kì). → T là một BNN. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 68 / 293 2. Định nghĩa và phân loại BNN 2.2. Phân loại biến ngẫu nhiên a. BNN rời rạ nếu á giá trị ó thể ó ủa nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặ đếm đượ . Thí d 2.5. BNN X,Y trong thí d 1, 2 là BNN rời rạ . b. BNN liên t nếu á giá trị ó thể ó ủa nó lấp đầy một khoảng trên tr số. Thí d 2.6. BNN Z,T trong thí d 3, 4 là BNN liên t . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 69 / 293 2. Định nghĩa và phân loại BNN 2.2. Phân loại biến ngẫu nhiên a. BNN rời rạ nếu á giá trị ó thể ó ủa nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặ đếm đượ . Thí d 2.5. BNN X,Y trong thí d 1, 2 là BNN rời rạ . b. BNN liên t nếu á giá trị ó thể ó ủa nó lấp đầy một khoảng trên tr số. Thí d 2.6. BNN Z,T trong thí d 3, 4 là BNN liên t . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 69 / 293 2. Định nghĩa và phân loại BNN 2.2. Phân loại biến ngẫu nhiên a. BNN rời rạ nếu á giá trị ó thể ó ủa nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặ đếm đượ . Thí d 2.5. BNN X,Y trong thí d 1, 2 là BNN rời rạ . b. BNN liên t nếu á giá trị ó thể ó ủa nó lấp đầy một khoảng trên tr số. Thí d 2.6. BNN Z,T trong thí d 3, 4 là BNN liên t . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 69 / 293 2. Định nghĩa và phân loại BNN 2.2. Phân loại biến ngẫu nhiên a. BNN rời rạ nếu á giá trị ó thể ó ủa nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặ đếm đượ . Thí d 2.5. BNN X,Y trong thí d 1, 2 là BNN rời rạ . b. BNN liên t nếu á giá trị ó thể ó ủa nó lấp đầy một khoảng trên tr số. Thí d 2.6. BNN Z,T trong thí d 3, 4 là BNN liên t . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 69 / 293 3. Quy luật phân phối xá suất (PPXS) ủa biến ngẫu nhiên 3.1. Định nghĩa Quy luật phân phối xá suất ủa biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa á giá trị ó thể ó ủa nó và á xá suất tương ứng với á giá trị đó. Sau đây là á phương thứ để mô tả quy luật phân phối xá suất ủa BNN. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 70 / 293 3. Quy luật phân phối xá suất (PPXS) ủa biến ngẫu nhiên 3.1. Định nghĩa Quy luật phân phối xá suất ủa biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa á giá trị ó thể ó ủa nó và á xá suất tương ứng với á giá trị đó. Sau đây là á phương thứ để mô tả quy luật phân phối xá suất ủa BNN. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 70 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN 3.2. Bảng phân phối xá suất Chỉ dùng để mô tả quy luật phân phối xá suất ủa á BNN rời rạ . Bảng PPXS ủa X ó dạng: X x 1 x 2 ... x i ... x n P p 1 p 2 ... p i ... p n trong đó á p i phải thỏa mãn điều kiện:0 6 pi 6 1 ∀in∑ i=1 p i = 1 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 71 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.7. Trong hộp ó 10 sản phẩm (6 hính phẩm, 4 phế phẩm). Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Tìm quy luật phân phối ủa số hính phẩm lấy đượ . Giải Gọi X là "số hính phẩm lấy đượ ". → X = 0, 1, 2 P(X = 0) = C 2 4 C 2 10 = 6 45 = 2 15 P(X = 1) = C 1 4 C 1 6 C 2 10 = 8 15 ; P(X = 2) = C 2 6 C 2 10 = 5 15 X 0 1 2 P 2/15 8/15 5/15 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 72 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.7. Trong hộp ó 10 sản phẩm (6 hính phẩm, 4 phế phẩm). Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Tìm quy luật phân phối ủa số hính phẩm lấy đượ . Giải Gọi X là "số hính phẩm lấy đượ ". → X = 0, 1, 2 P(X = 0) = C 2 4 C 2 10 = 6 45 = 2 15 P(X = 1) = C 1 4 C 1 6 C 2 10 = 8 15 ; P(X = 2) = C 2 6 C 2 10 = 5 15 X 0 1 2 P 2/15 8/15 5/15 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 72 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.7. Trong hộp ó 10 sản phẩm (6 hính phẩm, 4 phế phẩm). Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Tìm quy luật phân phối ủa số hính phẩm lấy đượ . Giải Gọi X là "số hính phẩm lấy đượ ". → X = 0, 1, 2 P(X = 0) = C 2 4 C 2 10 = 6 45 = 2 15 P(X = 1) = C 1 4 C 1 6 C 2 10 = 8 15 ; P(X = 2) = C 2 6 C 2 10 = 5 15 X 0 1 2 P 2/15 8/15 5/15 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 72 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.7. Trong hộp ó 10 sản phẩm (6 hính phẩm, 4 phế phẩm). Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Tìm quy luật phân phối ủa số hính phẩm lấy đượ . Giải Gọi X là "số hính phẩm lấy đượ ". → X = 0, 1, 2 P(X = 0) = C 2 4 C 2 10 = 6 45 = 2 15 P(X = 1) = C 1 4 C 1 6 C 2 10 = 8 15 ; P(X = 2) = C 2 6 C 2 10 = 5 15 X 0 1 2 P 2/15 8/15 5/15 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 72 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.7. Trong hộp ó 10 sản phẩm (6 hính phẩm, 4 phế phẩm). Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Tìm quy luật phân phối ủa số hính phẩm lấy đượ . Giải Gọi X là "số hính phẩm lấy đượ ". → X = 0, 1, 2 P(X = 0) = C 2 4 C 2 10 = 6 45 = 2 15 P(X = 1) = C 1 4 C 1 6 C 2 10 = 8 15 ; P(X = 2) = C 2 6 C 2 10 = 5 15 X 0 1 2 P 2/15 8/15 5/15 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 72 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.8. Bắn 4 viên đạn độ lập với XS trúng đều là 0,6. Nếu trúng 2 viên liên tiếp hoặ hết đạn thì dừng bắn. Lập bảng PPXS ủa số viên đạn đượ sử dng. Giải Gọi X là "số viên đạn đượ sử dng". → X = 2, 3, 4 A i = "viên thứ i trúng" (i=1, 2, 3) P(X = 2) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) = 0, 62 = 0, 36 P(X = 3) = P(A 1 A 2 A 3 ) = 0, 4.0, 6.0, 6 = 0, 144→ P(X = 4) = 0, 496 X 2 3 4 P 0,36 0,144 0,496 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 73 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.8. Bắn 4 viên đạn độ lập với XS trúng đều là 0,6. Nếu trúng 2 viên liên tiếp hoặ hết đạn thì dừng bắn. Lập bảng PPXS ủa số viên đạn đượ sử dng. Giải Gọi X là "số viên đạn đượ sử dng". → X = 2, 3, 4 A i = "viên thứ i trúng" (i=1, 2, 3) P(X = 2) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) = 0, 62 = 0, 36 P(X = 3) = P(A 1 A 2 A 3 ) = 0, 4.0, 6.0, 6 = 0, 144→ P(X = 4) = 0, 496 X 2 3 4 P 0,36 0,144 0,496 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 73 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.8. Bắn 4 viên đạn độ lập với XS trúng đều là 0,6. Nếu trúng 2 viên liên tiếp hoặ hết đạn thì dừng bắn. Lập bảng PPXS ủa số viên đạn đượ sử dng. Giải Gọi X là "số viên đạn đượ sử dng". → X = 2, 3, 4 A i = "viên thứ i trúng" (i=1, 2, 3) P(X = 2) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) = 0, 62 = 0, 36 P(X = 3) = P(A 1 A 2 A 3 ) = 0, 4.0, 6.0, 6 = 0, 144→ P(X = 4) = 0, 496 X 2 3 4 P 0,36 0,144 0,496 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 73 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.8. Bắn 4 viên đạn độ lập với XS trúng đều là 0,6. Nếu trúng 2 viên liên tiếp hoặ hết đạn thì dừng bắn. Lập bảng PPXS ủa số viên đạn đượ sử dng. Giải Gọi X là "số viên đạn đượ sử dng". → X = 2, 3, 4 A i = "viên thứ i trúng" (i=1, 2, 3) P(X = 2) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) = 0, 62 = 0, 36 P(X = 3) = P(A 1 A 2 A 3 ) = 0, 4.0, 6.0, 6 = 0, 144→ P(X = 4) = 0, 496 X 2 3 4 P 0,36 0,144 0,496 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 73 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.8. Bắn 4 viên đạn độ lập với XS trúng đều là 0,6. Nếu trúng 2 viên liên tiếp hoặ hết đạn thì dừng bắn. Lập bảng PPXS ủa số viên đạn đượ sử dng. Giải Gọi X là "số viên đạn đượ sử dng". → X = 2, 3, 4 A i = "viên thứ i trúng" (i=1, 2, 3) P(X = 2) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) = 0, 62 = 0, 36 P(X = 3) = P(A 1 A 2 A 3 ) = 0, 4.0, 6.0, 6 = 0, 144→ P(X = 4) = 0, 496 X 2 3 4 P 0,36 0,144 0,496 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 73 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN 3.3. Hàm phân bố xá suất Dùng ho ả BNN rời rạ và BNN liên t . a. Định nghĩa. Hàm phân bố xá suất ủa biến ngẫu nhiên X, kí hiệu F(x), là xá suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số thự bất kì. F(x) = P(X < x), ∀x ∈ R Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạ thì: F(x) = ∑ i:x i <x p i Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 74 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.9. Tìm hàm phân bố xá suất ủa biến ngẫu nhiên X trong thí d 2.7 và vẽ đồ thị ủa hàm này. Giải Từ bảng ta tìm đượ hàm phân bố XS: F(x) =  0 với x 6 0 2 15 với 0 < x 6 1 10 15 với 1 < x 6 2 1 với 2 < x Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 75 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.9. Tìm hàm phân bố xá suất ủa biến ngẫu nhiên X trong thí d 2.7 và vẽ đồ thị ủa hàm này. Giải Từ bảng ta tìm đượ hàm phân bố XS: F(x) =  0 với x 6 0 2 15 với 0 < x 6 1 10 15 với 1 < x 6 2 1 với 2 < x Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 75 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Đồ thị ủa hàm F(x) như sau 0 1 2 x F(x) 2/15 10/15 1 Nhận xt. Đồ thị ủa ó dạng bậ thang Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 76 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm phân bố xá suất. Tính hất 1. 0 6 F(x) 6 1. Tính hất 2. Với x 2 > x 1 thì F(X 2 ) > F(x 1 ). Hệ quả 1. P(a 6 X < b) = F(b)− F(a). Hệ quả 2. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên t thì P(X = x) = 0. Hệ quả 3. Với X là biến ngẫu nhiên liên t thì: P(a 6 X 6 b) = P(a 6 X < b = ... = P(a < X < b) Tính hất 3. F(−∞) = 0; F(+∞) = 1 Hệ quả 4. Nếu X hỉ nhận giá trị trong đoạn [a, b] thì + với x 6 a,F(x) = 0 và + với x > b,F(x) = 1 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 77 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm phân bố xá suất. Tính hất 1. 0 6 F(x) 6 1. Tính hất 2. Với x 2 > x 1 thì F(X 2 ) > F(x 1 ). Hệ quả 1. P(a 6 X < b) = F(b)− F(a). Hệ quả 2. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên t thì P(X = x) = 0. Hệ quả 3. Với X là biến ngẫu nhiên liên t thì: P(a 6 X 6 b) = P(a 6 X < b = ... = P(a < X < b) Tính hất 3. F(−∞) = 0; F(+∞) = 1 Hệ quả 4. Nếu X hỉ nhận giá trị trong đoạn [a, b] thì + với x 6 a,F(x) = 0 và + với x > b,F(x) = 1 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 77 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm phân bố xá suất. Tính hất 1. 0 6 F(x) 6 1. Tính hất 2. Với x 2 > x 1 thì F(X 2 ) > F(x 1 ). Hệ quả 1. P(a 6 X < b) = F(b)− F(a). Hệ quả 2. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên t thì P(X = x) = 0. Hệ quả 3. Với X là biến ngẫu nhiên liên t thì: P(a 6 X 6 b) = P(a 6 X < b = ... = P(a < X < b) Tính hất 3. F(−∞) = 0; F(+∞) = 1 Hệ quả 4. Nếu X hỉ nhận giá trị trong đoạn [a, b] thì + với x 6 a,F(x) = 0 và + với x > b,F(x) = 1 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 77 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm phân bố xá suất. Tính hất 1. 0 6 F(x) 6 1. Tính hất 2. Với x 2 > x 1 thì F(X 2 ) > F(x 1 ). Hệ quả 1. P(a 6 X < b) = F(b)− F(a). Hệ quả 2. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên t thì P(X = x) = 0. Hệ quả 3. Với X là biến ngẫu nhiên liên t thì: P(a 6 X 6 b) = P(a 6 X < b = ... = P(a < X < b) Tính hất 3. F(−∞) = 0; F(+∞) = 1 Hệ quả 4. Nếu X hỉ nhận giá trị trong đoạn [a, b] thì + với x 6 a,F(x) = 0 và + với x > b,F(x) = 1 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 77 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm phân bố xá suất. Tính hất 1. 0 6 F(x) 6 1. Tính hất 2. Với x 2 > x 1 thì F(X 2 ) > F(x 1 ). Hệ quả 1. P(a 6 X < b) = F(b)− F(a). Hệ quả 2. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên t thì P(X = x) = 0. Hệ quả 3. Với X là biến ngẫu nhiên liên t thì: P(a 6 X 6 b) = P(a 6 X < b = ... = P(a < X < b) Tính hất 3. F(−∞) = 0; F(+∞) = 1 Hệ quả 4. Nếu X hỉ nhận giá trị trong đoạn [a, b] thì + với x 6 a,F(x) = 0 và + với x > b,F(x) = 1 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 77 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.10. Biến ngẫu nhiên X ó hàm phân bố xá suất như sau F(x) =  0 với x 6 2 1 2 x− 1 với 2 < x 6 4 1 với 4 < x a. Tìm P(X 2, 6) b. Tìm P(2 6 x < 3) . ý nghĩa. Hàm phân bố xá suất phản ánh mứ độ tập trung xá suất ở về phía bên trái một số thự x nào đó. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 78 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.10. Biến ngẫu nhiên X ó hàm phân bố xá suất như sau F(x) =  0 với x 6 2 1 2 x− 1 với 2 < x 6 4 1 với 4 < x a. Tìm P(X 2, 6) b. Tìm P(2 6 x < 3) . ý nghĩa. Hàm phân bố xá suất phản ánh mứ độ tập trung xá suất ở về phía bên trái một số thự x nào đó. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 78 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN 3.4. Hàm mật độ xá suất Chỉ dùng ho biến ngẫu nhiên liên t . a. Định nghĩa. Hàm mât độ xá suất ủa biến ngẫu nhiên liên t X, kí hiệu f(x), là đạo hàm bậ nhất ủa hàm phân bố xá suất ủa biến ngẫu nhiên đó. f(x) = F′(x) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 79 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm mật độ xá suất Tính hất 1. f(x) > 0, ∀x. Tính hất 2. +∞∫ −∞ f(x)dx = 1. Tính hất 3. F(x) = x∫ −∞ f(x)dx. Tính hất 4. P(a < X < b) = b∫ a f(x)dx. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 80 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm mật độ xá suất Tính hất 1. f(x) > 0, ∀x. Tính hất 2. +∞∫ −∞ f(x)dx = 1. Tính hất 3. F(x) = x∫ −∞ f(x)dx. Tính hất 4. P(a < X < b) = b∫ a f(x)dx. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 80 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm mật độ xá suất Tính hất 1. f(x) > 0, ∀x. Tính hất 2. +∞∫ −∞ f(x)dx = 1. Tính hất 3. F(x) = x∫ −∞ f(x)dx. Tính hất 4. P(a < X < b) = b∫ a f(x)dx. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 80 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm mật độ xá suất Tính hất 1. f(x) > 0, ∀x. Tính hất 2. +∞∫ −∞ f(x)dx = 1. Tính hất 3. F(x) = x∫ −∞ f(x)dx. Tính hất 4. P(a < X < b) = b∫ a f(x)dx. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 80 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN b. Cá tính hất ủa hàm mật độ xá suất Tính hất 1. f(x) > 0, ∀x. Tính hất 2. +∞∫ −∞ f(x)dx = 1. Tính hất 3. F(x) = x∫ −∞ f(x)dx. Tính hất 4. P(a < X < b) = b∫ a f(x)dx. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 80 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Chú ý Từ tính hất 1 và 2 ta ó điều kiện để hàm f(x) là hàm mật độ XS ủa một BNN là: f(x) > 0 +∞∫ −∞ f(x)dx = 1 Thí d 2.11. Hàm mật độ XS ủa BNN liên t X: f(x) = { 0 với x /∈ (5; 15) k với x ∈ (5; 15) a. Xá định k. Vẽ đồ thị ủa f(x). b. Xá định F(x). . Tìm XS để X nhận giá trị thuộ (5;6) và (6;7) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 81 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Chú ý Từ tính hất 1 và 2 ta ó điều kiện để hàm f(x) là hàm mật độ XS ủa một BNN là: f(x) > 0 +∞∫ −∞ f(x)dx = 1 Thí d 2.11. Hàm mật độ XS ủa BNN liên t X: f(x) = { 0 với x /∈ (5; 15) k với x ∈ (5; 15) a. Xá định k. Vẽ đồ thị ủa f(x). b. Xá định F(x). . Tìm XS để X nhận giá trị thuộ (5;6) và (6;7) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 81 / 293 3. Quy luật PPXS ủa BNN Thí d 2.12. Cho biến ngẫu nhiên liên t X ó h