Chương 2 Cơ chế thành tạo các cấu trúc bậc phức tạp của địa hình lòng sông

Ch−ơng 2 cơ chế thành tạo các cấu trúc bậc phức tạp của địa hình lòng sông 2.1. Cấu trúc dòng chảy rối Sự tồn tại cấu trúc tựa tuần hoàn cực trong dòng chảy lòng sông, kích th−ớc của nó đ−ợc so với độ sâu dòng chảy đã đ−ợc M. A. Velicanov [12] và N. A. Mikhailova [57] cùng cộng sự của họ công bố. Họ còn nghiên cứu sự ảnh h−ởng của chúng đến sự hình thành địa hình sóng trên đáy lòng sông bị bào mòn. A. B. Klaven [36, 37] đã chứng minh các cấu tạo phức tạp của các xoáy này: các xoáy nhỏ nhất (kích th−ớc cỡ độ sâu) kết hợp thành xoáy lớn (chiều dài xoáy cỡ độ sâu lớn nhất). Đo đạc nhiễu động vận tốc trong một khoảng thời gian dài đã cho cấu trúc tr−ờng vận tốc với chu kỳ từ 10 – 15 phút [19], chiều dài của nó đ−ợc so sánh với độ rộng của dòng chảy. N. A. Mikhailova [58] và O. P. Petrosan đã nhận đ−ợc các cấu trúc nh− vậy trong dòng chảy thực nghiệm. D. I. Grinvald và V. I. Nhicora [17] đã mô tả một loạt các ví dụ các nhiễu động vận tốc tần số thấp, cụ thể họ đã dẫn ra hàm mật độ phổ trong khoảng tần số từ 10 –7–100 rad/s đối với sông Dnhestr. Cấu trúc tần số thấp nhất trên miền phổ rối với chu kỳ ~ 10 phút theo trật tự chiều dài v−ợt quá độ rộng sông Dnhestr. Trên sông Terec sự đo đạc vận tốc đ−ợc tiến hành bởi tác giả (cùng với I.N. Gurin) trên một mái hạ t−ơng đối thẳng của một đoạn lòng sông uốn gấp. Để đánh giá cấu trúc dòng chảy trên một khoảng biến động tần số rộng nhờ các máy đo vận tốc nhỏ đã tiến hành hàng loạt đợt đo dài hơn 10 phút với việc ghi vận tốc từng 0,4 giây, nhờ máy l−u tốc GR–99, đo 2 giờ và ghi nhận vận tốc từng 10 giây và đo 16 giờ với ghi nhận vận tốc từng 600 giây. Hình 2.1. Hàm mật độ phổ của các nhiễu động tần số thấp của vận tốc dòng chảy 1 – Trong sông Terec (trạm Parabotrs); 2– trong lòng sông Protva. B−ớc sóng khuấy trộn: LM – bậc b−ớc uốn khúc; b – bậc độ rộng dòng chảy t; Lr – cỡ chiều dài sóng cát Trong các hàm mật độ phổ vận tốc dòng chảy (Hình 2.1, 1) 29 30 phân ra 3 vùng năng l−ợng xoáy kích th−ớc ~ 1000 m (cỡ b−ớc đ−ờng cong của lòng sông), ~ 100 m (cỡ độ rộng lòng sông) và 3– 5m (cỡ độ sâu lòng sông). ứng với các đới này là các đoạn phổ có sự thay đổi mật độ phổ (năng l−ợng dòng chảy) với số sóng tuân theo quy luật (–5/3). Đó là các khoảng quán tính, nơi mà sự truyền năng l−ợng theo bậc diễn ra không có tiêu hao. Trên sông Protva vận tốc đo bằng l−u tốc kế bé trong khoảng 15 phút, trong khoảng 3,5 giờ bằng l−u tốc kế GR–99 và trong khoảng 12 giờ – l−u tốc kế BPV –2r. Tại đây cũng làm rõ đ−ợc cực trị mật độ phổ t−ơng ứng với độ rộng của lòng sông (Hình 2.1, 2) K. V. Grisanhin [19] giả thiết rằng, các dao động tần số thấp của vận tốc dòng chảy là hậu quả của sự thay đổi tần số qua các xoáy chính tầm cỡ độ sâu dòng chảy. D. I. Grinvald và V. I. Nhicora [17] đã phân biệt đối với các xoáy này một khoảng biến động thành tạo rối đặc thù (rối vĩ mô) và gắn nó với sự xuất hiện với tính không ổn định của dòng chảy chính trong các quy mô t−ơng ứng. V.V. Kovalenco [40] bằng lý thuyết và thực nghiệm đã chứng minh rằng dao động vận tốc tần số thấp là đặc tính cho dòng chảy lòng sông trong miền đ−ờng n−ớc rút của mặt thoáng n−ớc. Cho dù bản chất cấu trúc t−ơng tự của dòng chảy nh− thế nào đi nữa, kích th−ớc của chúng, bậc độ sâu, chiều rộng dòng chảy các thứ khác đều dịch chuyển dọc lòng sông với vận tốc gần với vận tốc dòng chảy, và cực tiểu cỡ 3–5 lần lớn hơn so với vận tốc xáo trộn dạng lòng sông. Nhiễu động vận tốc dạng nh− thế không thể là nguyên nhân hình thành địa hình lòng sông. Trong khí quyển và đại d−ơng đã biết đến các cấu trúc xoáy với các kích th−ớc thẳng, thuộc cỡ lớn hơn chiều dày của tầng bình l−u và độ sâu đại d−ơng. Vận tốc của các thành tạo xoáy quy mô lớn (các hoàn l−u thuận và nghịch trong khí quyển, các vòng uốn lớn của dòng chảy đại d−ơng) nhỏ hơn vận tốc chuyển động tạo nên các dòng chảy đó rất nhiều, tức là khá ổn định. a) Hình 2.2. Tr−ờng vận tốc dòng chảy trên đụn cát trong lòng sông Niger vào đầu (a) và cuối (b) đ−ờng lũ rút. 1 – Điểm đo vận tốc ; 2– Đ−ờng đồng vận tốc; 3– Sự thay đổi vận tốc trung bình theo thuỷ trực dọc đụn cát; 4– sự thay đổi vận tốc đầu tiên (có ảnh h−ởng của địa hình đáy) theo dọc dòng chảy; 5– mặt đáy; 6– cuộn xoáy d−ới đụn cát. 31 32 Theo bản chất của mình, chúng là các thành tạo xoáy vĩ mô, tuân theo (với truyền tụng về quá trình hai chiều đang tồn tại) quy luật nhận đ−ợc từ rối quy mô nhỏ. Các cấu trúc xoáy này đ−ợc nghiên cứu bằng ph−ơng pháp cơ học chất lỏng thống kê, hơn nữa các kích th−ớc lớn và các vận tốc dịch chuyển xoáy nhỏ t−ơng đối cho phép áp dụng không chỉ phân tích thời gian mà còn cả phân tích không gian [6]. Trong dòng chảy sông ngòi các thành tạo xoáy ổn định đều nh− thế đ−ợc M. A. Velicanov [12] tách ra thành các chuyển động thứ sinh và gắn chúng với hoàn l−u ngang trên đoạn dòng chảy cong, dòng chảy sinh ra trên bãi vắt, các xoáy lớn với trục quay ngang và dọc (thí dụ, trên đoạn hội l−u). Các chuyển động này là thứ sinh so với dòng chảy nguyên thuỷ, nó mô tả bởi tr−ờng vận tốc trung bình. Đối với một đoạn sông đồng nhất cụ thể vận tốc nguyên thuỷ là vận tốc trung bình theo dọc đoạn và trong khoảng thời gian mà trong dòng chảy của nó vận tốc trung bình này ít thay đổi. Suy ra vận tốc thứ sinh có thể là vận tốc dòng chảy địa ph−ơng trung bình theo thời gian. b) Trên sông Niger , trong thời gian trận lụt năm 1978 đã tiến hành trắc đạc tr−ờng vận tốc quanh đụn cát và cù lao. Kích th−ớc không lớn của đụn cát cho phép bỏ qua lực kháng. Khi đó ảnh h−ởng của địa hình đến vận tốc dọc của dòng chảy trung bình theo thuỷ trực với điều kiện không thay đổi mực n−ớc và độ rộng của dòng cơ sở đ−ợc mô tả bởi ph−ơng trình liên tục: 0=∂ ∂+∂ ∂ x U H x H U còn vận tốc ban đầu U0 (đối với sự hình thành sóng cát) có thể tính theo công thức: ( )HHqUUo ∆− ∆−= Φ với – vận tốc dòng chảy đo đạc trung bình theo thuỷ trực; q – l−u l−ợng n−ớc riêng trên sóng cát; ΦU ∆ – độ cao sóng cát trên hõm tại điểm đo vận tốc; H – độ sâu dòng chảy tại hõm. Các tính toán đã chứng tỏ rằng (Hình 2.2), trong phạm vi sóng cát các vận tốc dòng chảy nguyên thuỷ giảm từ bụng sóng đến đỉnh sóng và sau đó tăng lên, tức là tồn tại sự thay đổi vận tốc dòng chảy dạng sóng (tính rối cấu trúc) với b−ớc sóng gần với b−ớc hình thành sóng cát. Trên miền suy giảm vận tốc diễn ra sự tích tụ phù sa và hình thành sóng cát, nó làm thay đổi dạng của tr−ờng vận tốc ban đầu. 33 34 Hình 2.3. Địa hình đáy (a) vận tốc dòng chảy vào thời kỳ đỉnh lũ, b– vận tốc dòng chảy ban đầu sau khi tính ảnh h−ởng của địa hình và c– dòng chảy quanh cù lao Tr−ờng vận tốc nguyên thuỷ rõ ràng nhất trên đụn cát đ−ợc tách từ đầu đ−ờng lũ xuống; vào cuối lũ và vào thời gian cấu trúc sóng của tr−ờng vận tốc nguyên thuỷ ch−a có. Trong vùng của cù lao lớn sông Niger ảnh h−ởng của địa hình đến vận tốc dòng chảy thể hiện trong hệ quả chủ yếu của sự tăng kháng trở khi giảm độ sâu. Vận tốc ban đầu có thể tính nhờ công thức: ( )[ ]( )323235 /tb//o HHHb/QUU −−= Φ với Q – l−u l−ợng n−ớc trong lòng sông; b – chiều rộng, Htb– độ sâu dòng chảy trung bình Tr−ờng vận tốc ban đầu trong miền hình thành cù lao có tính chất sóng và xoáy. Miền vận tốc cực tiểu (tích tụ phù sa cực đại) phân bố ở miền trung tâm cù lao (Hình 2.3), khi đó cực tiểu của vận tốc ban đầu của dòng chảy sẽ sâu hơn so với sau khi hình thành cù lao. Trong xấp xỉ đầu tiên tr−ờng vận tốc trong cấu trúc dòng chảy t−ơng tự nh− thế có thể tính đ−ợc nhờ vào lý thuyết xoáy Karman [46]. Nó không ít lần đ−ợc sử dụng để mô tả động lực của sóng cát [20], hình thái và động lực của khúc uốn lòng sông [53, 87]. Tr−ờng vận tốc trong đó tạo thành các dạng đáy, hình thành các đ−ờng xoáy, đối xứng qua đ−ờng đáy (Hình 2.4). Đối với dòng chảy có bề mặt n−ớc tự do ít biến dạng, công thức đối với vận tốc dòng chảy nhận đ−ợc bởi Rozenkhed [130]: ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −θ −θ−+θ +θΓ+= ∞ idz idz idz idz bi UU '' 1 1 1 1 4 với (tham số hàm θ); 2b – khoảng cách giữa các xoáy trong một sóng; 2a – khoảng cách giữa các t−ờng chắn; b/ci);b/(ad);b/()yix(z 222 =τ=+= 1θ – hàm Jacobian dạng thứ nhất; – vận tốc dòng chảy không xoáy. ∞U 35 36 Hình 2.4. Đ−ờng Karman của các xoáy đối xứng giới hạn (a) và sự hình thành tr−ờng vận tốc bởi chúng (b) Hình 2.5. Sơ đồ nguyên lý của các xoáy ổn định đều sinh ra rối vĩ mô của dòng chảy lòng sông. Hoàn l−u Γ, theo số liệu của công trình [46] có thể tính theo công thức: a/qb−=Γ với q – l−u l−ợng n−ớc riêng Nếu trong miền vận tốc hạ thấp xảy ra sự lắng đọng phù sa, thì tạo nên các sóng cát dạng elip, nằm ở dạng bất đối xứng (xem hình 2.4 b). Phụ thuộc vào vận tốc trầm tích phù sa tới hạn uH cứ 3 xoáy tạo nên 4 sóng cát (với uH nhỏ), hoặc 2 sóng cát (với uH lớn). Sử dụng l−ới Karman, chặn bởi các t−ờng chắn, đối với các xoáy với trục đứng cho phép nhận đ−ợc các sóng cát dạng elip trên bề mặt. Các dạng này khác nhau phụ thuộc vào sự phân bố xoáy trên đ−ờng Karman – đối xứng hay bất đối xứng. Sơ đồ 37 38 nguyên lý của các cuộn xoáy ổn định đều có thể hình thành dạng địa hình đáy sóng cát đặt trên hình 2.5. Sự bất ổn định của các cuộn xoáy này có thể dẫn đến sự hình thành các vòng xoáy, bứt ra khỏi cấu trúc ổn định đều và trôi về phía bề mặt dòng chảy, gây ra tính rối quy mô lớn. 2.2. Phát triển các xáo trộn nhỏ trong dòng chảy lòng sông Cơ chế cảm nhận tr−ờng vận tốc các cấu trúc xoáy trong đáy bào mòn của dòng chảy, đã đ−ợc Dj. Đacxy [109], M. A, Velicanov [12], N. I. Macaveev [52] N.A. Rdjanhix−n [73] mô tả từ những năm 50 đã khám phá nhờ ph−ơng pháp xáo trộn nhỏ, mà nó không lâu tr−ớc đó đã cho các kết quả cơ bản khi giải quyết vấn đề chuyển từ chuyển động của dòng chảy phân tầng sang chuyển động rối.Dùng ph−ơng pháp này cho phép về lý thuyết dựa trên sự xuất hiện các pha phát triển địa hình lòng sông với các chế độ dòng chảy khác nhau [117], tạo ra các mối liên hệ của các tham số hình thái nh− là dạng vi địa hình [111] cũng nh− dạng địa hình vừa [113] vào các đặc tr−ng thuỷ lực chính. Các kết quả chính nhận đ−ợc nhờ ph−ơng pháp xáo trộn nhỏ đã đ−ợc phân tích không ít lần [21, 26, 90]. Cho nên dừng lại ở các công trình này, phát triển nó cho phép làm rõ mọi sự đa dạng của các dạng địa hình lòng sông. Các công trình đầu tiên của nhóm này thuộc về Kallander [107], Parker [128], Engelund, Skovgaard [112], Phredco [113]. Trong các công trình của Kallander, Parker và Phredco đã phân tích ph−ơng trình thuỷ lực màng mỏng Saint – Vernant: 0=ρ τ+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ H g x Z g y U V x U U t U o ; 0=ρ τ+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ H g U V y Z g y V V x V U t V o ; (2.1) 0=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ t H y HV x HU ; 0=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ t Z y q x q obs . Trong các ph−ơng trình này, các vận tốc ngang và dọc U và V, cao độ bề mặt n−ớc tự do Z, cao độ đáy Z0, độ sâu H, ứng suất đáy oτ , l−u l−ợng phù sa theo ph−ơng dọc qs và ngang qb ở dạng tổng hai thành phần: trung bình và xáo trộn: 'uUU += ; 'vVV += ; 'zZZ += ; ' ooo zZZ += ; (2.2) 'hHH += ; 'τττ += oo ; ' sss qqq += ; ' bbb qqq += ; Thế công thức (2.2) vào hệ (2.1) sau khi tính các ph−ơng trình để trung bình các số hạng và tuyến tính hoá (bỏ qua các thành viên chứa tích xáo trộn) dẫn tới hệ ph−ơng trình: 0 2 =ρ τ−ρ τ+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ H 'h g H ' g x 'z g x 'u U t 'u o ; 0=ρ τ+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ HU 'v g y 'z g x 'v U t 'v o ; (2.3) 0=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ t 'h y 'v H x 'h U x 'u H ; 0=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ t z y q x q 'o ' b ' s . Xáo trộn các đặc tr−ng thuỷ lực }'q,'q,,'z,'z,'h,'v,'u{'W bsτ0 39 40 trong xấp xỉ đầu tiên thể hiện d−ới dạng các sóng hình sin dịch chuyển theo dòng chảy với biên độ tăng dần theo thời gian. ( ) ( )ctxikexpyW'W −= . (2.4) Sau khi thế biểu thức (2.4) vào hệ (2.3) và bỏ qua các biến ta nhận đ−ợc ph−ơng trình vi phân th−ờng bậc hai: ( ) 022 =λ+ Wdy/Wd , (2.5) với λ – hàm tổng các đặc tr−ng thuỷ lực, các số sóng ngang và dọc: và và vận tốc tổ hợp c. 11 2 L/k π= 22 2 L/k π= Ph−ơng trình (2.5) khảo sát từ các giá trị riêng. Lời giải phụ thuộc vào việc lựa chọn các điều kiện biên. Kallander lấy điều kiện biên là đẳng thức không tổng hợp biên độ xáo trộn cao độ đáy bằng 0 tại bờ lòng sông. Parker và Phredco – đẳng thức đồng dạng biên độ xáo trộn vận tốc ngang dòng chảy bằng 0 ở các bờ lòng sông. ( ) ( ) 00 == bWW . Các điều kiện biên nh− thế dẫn tới các giá trị riêng dạng: b/mπ=λ , m = 1, 2, 3… (2.6) và các hàm thay đổi các đặc tr−ng thuỷ lực riêng ngang lòng sông . Ví dụ nh− sự xáo trộn vận tốc dòng chảy ngang v'đ−ợc viết bởi ph−ơng trình: b/ymsin~'v π (2.7) Nh− vậy, định đề rời rạc hoá các tham số đo đạc hình thái dạng lòng sông (trong mọi tr−ờng hợp các đo đạc trắc ngang) phụ thuộc chuỗi tự nhiên m. Suy ra từ công thức (2.7), khi m =1 hình thành lòng sông đơn nhánh, với m > 2, lòng sông phân nhánh. Biểu thức để xác định λ phụ thuộc vào dạng công thức để tính toán cũng nh− mức độ tính đến các đại l−ợng nhỏ. Trong mọi tr−ờng hợp, đẳng thức (2.6) dẫn tới hệ thức rời rạc – quan hệ vận tốc tổng cộng c với số sóng k bs 'q,'q,'0τ 1 và k2. Giải hệ thức ph−ơng sai là giải bài toán về tính ổn định của chuyển động. Từ công thức (2.4) suy ra rằng sự tăng biên độ xáo trộn các đặc tr−ng thuỷ lực, tức là sự phát triển các dạng lòng sông diễn ra với các giá trị nh− k1 và k2, khi mà phần nhỏ nhất của vận tốc tổng hợp Im (c) >0. Nội trong khoảng số sóng khá rộng thoả mãn điều kiện này, Kenedi [117] đề nghị tách số sóng k1M t−ơng ứng với cực trị vận tốc tăng biên độ xáo trộn [k1Im(c)]. Giả thiết rằng các xáo trộn nhỏ của cao độ đáy với biên độ phát triển nhanh trở thành các dạng lòng sông có kích th−ớc v−ợt trội. Trong các công trình của Kalander, Paker cũng nh− của Egenlund và Skovgaard thu đ−ợc quan hệ k1Im(c) = f (k1) đối với các giá trị m khác nhau. Tất cả các quan hệ này đều có cực đại, tức là coi nh− đối với dạng hình thái lòng sông, xác định bởi số m, tìm đ−ợc chiều dài và chiều rộng các dạng lòng sông chủ đạo. Tuy nhiên khi đó chỉ định số m (dạng hình thái lòng sông) hoàn toàn tuỳ ý, nó không bị chi phối bởi các đặc tr−ng thuỷ lực của dòng chảy. Phân tích trọn vẹn nghiệm của hệ ph−ơng trình (2.3), áp dụng cho các công trình này chứng tỏ rằng cực trị [k1Im(c)] tăng với sự tăng của m, tức là trong cùng một và chỉ một điều kiện thuỷ lực, xác suất hình thành nhiều hơn các dạng nhỏ nhất ở các lòng sông phân nhánh lớn. Thực tế, khi thực hiện các cách tiệm cận của Kalander và Paker nhận đ−ợc sự thành tạo đồng đều theo xác suất các dạng lòng sông với các kích th−ớc rất khác nhau (Hình 2.6). A. E. Mikhinov [59] đã kịp làm sáng tỏ, trên nền sự phong phú các dạng lòng sông, các lớp địa ph−ơng các dạng lòng sông nhỏ. Ông đã sử dụng hệ ph−ơng trình chuyển động của dòng chảy trên bề mặt của Bussinhesk với sự tính đến sóng trên bề 41 42 mặt thoáng của dòng chảy: ( ) 02 1 2 21 3 2 2 2 2 1 3 213 1 3 2 13 21 3 22 1 3 122 1 3 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂+ +⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂∂∂ ∂+∂∂ ∂+∂∂ ∂++ +∂ ∂+∂ ∂α−+∂ ∂α+∂ ∂α+∂ ∂ xx H U xx H UU x H Uc txx H U tx H Uc tx H cH HC UU g x Z t H H U x U U x U U t U o 0 2 2 1 1 =∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ x HU x HU t H ; 01 1 2 21 1 =∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂ t Z q U U xx q o ;(2.8) ;Fdddc;dF ∫ η∫ η∫ η=∫ η=α η η 0 11 0 1 1 0 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ η+∫ ηη+∫ η∫ η∫ η= ηηη η 000 11 0 2 FdFd dF Fdddc ; ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ ηη+∫ η∫ η∫ η= ηη η 00 11 0 3 d dF FdFddc ; ( ) ( ) 11 0 3 =∫ ηη−=η dF;H/Zx o , với C0 – Hệ số Chezi; các chỉ số 1 và 2 là các thành phần vận tốc và toạ độ theo chiều ngang và dọc. Để nhận đ−ợc ph−ơng trình chuyển động đối với thành phần vận tốc ngang U2 cần thiết trong ph−ơng trình thứ nhất của hệ (2.8) thay thế chỉ số 1 bằng chỉ số 2. Hình 2.6. Phổ vận tốc 2 chiều tăng biên độ xáo trộn nhỏ cao trình đáy lòng sông c khi giải ph−ơng trình chuyển động dòng chảy mặt Saint – Vernant. Đối với phân bố vận tốc bậc thang :U)n(U n * ii η+= 1 43 44 ( )131 += n/nc ; ( )( ) ( )( )[ ]23133612 ++++= nn/nnc ; ( ) ( )nn/nc 231 223 ++= ; ( ) ( )nn/n 21 22 ++=α . Tiếp tục, khi phân tích tính ổn định của các xáo trộn nhỏ A. E. Mikhinov sử dụng các điều kiện biên là các giá trị 0 của xáo trộn nhỏ của vận tốc ngang v' trên các biên dòng chảy và t−ơng ứng chấp nhận gải thuyết về cấu trúc ngang rời rạc của địa hình lòng sông. Dạng đầy đủ hơn của ph−ơng trình chuyển động dẫn tới một dạng phức tạp hơn của hệ thức ph−ơng sai. Trên các hàm quan hệ k1Im(c) = f (k1) đối với mỗi giá trị m nhận đ−ợc 2 cực đại chỉ ra sự xuất hiện trên đáy sông 2 lớp sóng: ngắn (gợn) và dài (chắn) mà A. E. Mikhinov [59] t−ơng ứng liệt vào địa hình đáy vi mô và trung bình. Khảo sát số hệ thức ph−ơng sai cho phép A. E. Mikhinov [60] xây dựng quan hệ của các tham số đo đạc hình thái – b−ớc gợn Lp và sóng cát Lgr vào các đặc tr−ng thuỷ lực của dòng chảy, sau khi đơn giản hệ thức ph−ơng sai thu đ−ợc các quan hệ này ở dạng giải tích: HFr,Lp 45= ; (2.9) Fr/H,Lrp 61= . (2.10) Phân tích chi tiết nghiệm của hệ ph−ơng trình chuyển động trên mặt phẳng của Bussinesk chỉ ra rằng (Hình 2.7), mảng cơ bản của sóng phát triển trên đáy dòng chảy trùng với tr−ờng liên tục làm rõ từ phân tích hệ ph−ơng trình chuyển động bề mặt Saint – Vernant. Tuy nhiên sự hiện diện của các thành phần tính đến bề mặt thoáng của n−ớc dẫn tới sự xuất hiện trên nền liên tục này các cấu tạo lòng sông có cấu trúc phân biệt rõ ràng: sóng ngắn hai chiều với b−ớc sóng cỡ độ sâu dòng chảy, liệt vào dạng gợn sóng. Phân tích các công trình chính, trong đó khảo sát tính ổn định các đặc tr−ng thuỷ lực dòng chảy của các xáo trộn nhỏ chỉ ra rằng trong các ph−ơng trình càng tính đầy đủ chi tiết động lực dòng chảy và hình học lòng sông càng làm rõ hơn cấu tạo địa hình lòng sông. Xuất phát từ điều này viết ph−ơng trình thuỷ lực phẳng dạng hoàn chỉnh nhất do N.A. Kartvelisvili [34] nhận đ−ợc: ;gHj x Z L gH x Z L U dxU xL dxUUL x dxUUL xLL J dxUUJ dxUUJdxdUUL x dxdUUL LLxL dxU t J dxdU xtL dxU x L LL dxU x L L dxUUL xLL dxULL xLL dxU t Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z x Z Z Z x Z Z Z Z Z x Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z oo oo oo oo oo oo oo 01 1 11 11 11 1 1 1111 2 3 3 2 3 11 3231 2 3132 121 1 3232 31313231 2 3132 2111 331 33 1 2 1 3 2 2 1 2 21 3 2 1 1 1 2 1 321 2 1 22 2 1 3 2 121 12 2 1 31 3 3 3 =+∂ ∂+∂ ∂+ +∫∂ ∂− ⎥⎥⎦ ⎤ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫∂ ∂+ + ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫∂ ∂+ ⎭⎬ ⎫∫+ +∫+⎥⎥⎦ ⎤ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ ∫ ξ∂ ∂+ +⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ ∫ ∫ ξ∂ ∂+∫∂ ∂+ +∫ ∫ ξ∂∂ ∂+∫∂ ∂− −∫∂ ∂−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫∂ ∂+ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫∂ ∂+∫∂ ∂ (2.11) 01 2 21 1 12 21 =∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂ t H x HUL x HUL LL ; 01 2 21 1 12 21 =∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂ t Z x qL x qL LL o . 45 46 Ph−ơng trình chuyển động đối với U2 nhận đ−ợc do việc thay chỉ số 1 bằng 2 trong ph−ơng trình thứ nhất của hệ (2.11). Khi đó 1 1 x z J o∂ ∂= ; 2 2 x z J o∂ ∂= ; HC UU j o 2 1 1 = ; HC UU j o 2 2 2 = ; 2221 UUU += ; Li – hệ số Lamme Thể hiện các đặc tr−ng thuỷ lực cơ bản ở dạng tổng các thành phần trung bình trong thành phần xáo trộn: 'uUU 111 += ; 'uU 22 = ; 'uU 33 = ; (2.12) 'zZZ += ; ' ooo zZZ += , còn các đặc tr−ng thuỷ lực trung bình theo thuỷ trực ký hiệu bằng dấu sao (*). Đối với các đặc tr−ng trung bình xét tr−ờng hợp đơn giản nhất: chuyển động đều trong lòng sông thẳng với các mặt