Chương 2 Điều khiển tối ưu

Chương 2: ðiều khiển tối ưu Trang 125 Chương 2 ðIỀU KHIỂN TỐI ƯU 2.1 CHẤT LƯỢNG TỐI ƯU 2.1.1 ðặc ñiểm của bài toán tối ưu 1. Khái niệm Một hệ ñiều khiển ñược thiết kế ở chế ñộ làm việc tốt nhất là hệ luôn ở trạng thái tối ưu theo một tiêu chuẩn chất lượng nào ñó ( ñạt ñược giá trị cực trị ) . Trạng thái tối ưu có ñạt ñược hay không tùy thuộc vào yêu cầu chất lượng ñặt ra , vào sự hiểu biết về ñối tượng và các tác ñộng lên ñối tượng , vào ñiều kiện làm việc của hệ ñiều khiển … Một số ký hiệu sử dụng trong chương 2. Hình 2.1: Sơ ñồ hệ thống ñiều khiển . Hệ thống ñiều khiển như hình trên bao gồm các phần tử chủ yếu : ñối tượng ñiều khiển ( ðTðK ) , cơ cấu ñiều khiển ( CCðK ) và vòng hồi tiếp ( K ) . Với các ký hiệu : r : tín hiệu ñầu vào, mục tiêu ñiều khiển, ñáp ứng mong muốn của hệ thống. u : tín hiệu ñiều khiển, luật ñiều khiển. x : tín hiệu ñầu ra, ñáp ứng ra của hệ thống. ε = r – x : sai lệch của hệ thống. f : tín hiệu nhiễu Chỉ tiêu chất lượng J của một hệ thống có thể ñược ñánh giá theo sai lệch của ñại lượng ñược ñiều khiển x so với trị ñáp ứng mong muốn r , lượng quá ñiều khiển ( trị số cực ñại xmax so với trị số xác lập ( )x ∞ tính theo phần trăm ) , thời gian quá ñộ … hay theo một chỉ tiêu hỗn hợp trong ñiều kiện làm việc nhất ñịnh như hạn chế về công suất , tốc ñộ , gia tốc … Do ñó việc chọn một luật ñiều khiển và cơ cấu ñiều khiển ñể ñạt ñược chế ñộ làm việc tối ưu J ñạt cực trị còn tùy thuộc vào lượng thông tin ban ñầu mà ta có ñược. Ở ñây chúng ta có thể thấy ñược sự khác biệt về kết quả nhận ñược chất lượng tối ưu khi lượng thông tin ban ñầu thay ñổi ( Hình 2.2 ) . Chương 2: ðiều khiển tối ưu Trang 126 Hình 2.2 : Tối ưu cục bộ và tối ưu toàn cục . Khi tín hiệu ñiều khiển u giới hạn trong miền [u1,u2] , ta có ñược giá trị tối ưu cực ñại 1J ∗ của chỉ tiêu chất lượng J ứng với tín hiệu ñiều khiển 1u ∗ . Khi tín hiệu ñiều khiển u không bị ràng buộc bởi ñiều kiện 1 2u u u≤ ≤ , ta có ñược giá trị tối ưu 2 1J J ∗ ∗> ứng với 2u ∗ . Như vậy giá trị tối ưu thực sự bây giờ là 2J ∗ . Tổng quát hơn , khi ta xét bài toán trong một miền [ ],m nu u nào ñó và tìm ñược giá trị tối ưu iJ ∗ thì ñó là giá trị tối ưu cục bộ . Nhưng khi bài toán không có ñiều kiện ràng buộc ñối với u thì giá trị tối ưu là ( )iJ extremum J∗ ∗= với iJ ∗ là các giá trị tối ưu cục bộ , giá trị J ∗ chính là giá trị tối ưu toàn cục . ðiều kiện tồn tại cực trị : • ðạo hàm bậc một của J theo u phải bằng 0 : 0= ∂ ∂ u J • Xét giá trị ñạo hàm bậc hai của J theo u tại ñiểm cực trị : 02 2 > ∂ ∂ u J : ñiểm cực trị là cực tiểu 02 2 < ∂ ∂ u J : ñiểm cực trị là cực ñại 2. ðiều kiện thành lập bài toán tối ưu Chương 2: ðiều khiển tối ưu Trang 127 ðể thành lập bài toán tối ưu thì yêu cầu ñầu tiên là hệ thống phải có ñặc tính phi tuyến có cực trị . Bước quan trọng trong việc thành lập một hệ tối ưu là xác ñịnh chỉ tiêu chất lượng J . Nhiệm vụ cơ bản ở ñây là bảo ñảm cực trị của chỉ tiêu chất lượng J . Ví dụ như khi xây dựng hệ tối ưu tác ñộng nhanh thì yêu cầu ñối với hệ là nhanh chóng chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác với thời gian quá ñộ nhỏ nhất , nghĩa là cực tiểu hóa thời gian quá ñộ . Hay khi tính toán ñộng cơ tên lửa thì chỉ tiêu chất lượng là vượt ñược khoảng cách lớn nhất với lượng nhiên liệu ñã cho . Chỉ tiêu chất lượng J phụ thuộc vào tín hiệu ra x(t) , tín hiệu ñiều khiển u(t) và thời gian t . Bài toán ñiều khiển tối ưu là xác ñịnh tín hiệu ñiều khiển u(t) làm cho chỉ tiêu chất lượng J ñạt cực trị với những ñiều kiện hạn chế nhất ñịnh của u và x . Chỉ tiêu chất lượng J thường có dạng sau : 0 [ ( ), ( ), ] T J L x t u t t dt= ∫ Trong ñó L là một phiếm hàm ñối với tín hiệu x , tín hiệu ñiều khiển u và thời gian t . Lấy ví dụ về bài toán ñiều khiển ñộng cơ ñiện một chiều kích từ ñộc lập kt constΦ = với tín hiệu ñiều khiển u là dòng ñiện phần ứng iu và tín hiệu ra x là góc quay ϕ của trục ñộng cơ . Hình 2.3 : ðộng cơ ñiện một chiều kích từ ñộc lập . Ta có phương trình cân bằng moment của ñộng cơ : M u c q dk i M M dt ω − = (1) d dt ϕ ω = (2) Chương 2: ðiều khiển tối ưu Trang 128 trong ñó M Mk C const= Φ = ; Mq là moment quán tính ; ω là tốc ñộ góc ;ϕ là góc quay . Giả sử bỏ qua phụ tải trên trục ñộng cơ ( 0cM = ) thì : 2 2M u q dk i M dt ϕ = (3) Nếu xét theo thời gian tương ñối bằng cách ñặt : /M qt k Mτ = thì (3) có dạng : 2 2 u d i d ϕ τ = (4) Từ ñó ta có : 2 2 d x u dτ = (5) Vậy phương trình trạng thái của ñộng cơ ñiện là một phương trình vi phân cấp hai với tín hiệu ñiều khiển u là dòng ñiện phần ứng iư, tín hiệu ra là góc quay ϕ . • Bài toán tối ưu tác ñộng nhanh ( thời gian tối thiểu ) : Tìm luật ñiều khiển u(t) với ñiều kiện hạn chế 1u ≤ ñể ñộng cơ quay từ vị trí ban ñầu có góc quay và tốc ñộ ñều bằng 0 ñến vị trí cuối cùng có góc quay bằng 0ϕ và tốc ñộ bằng 0 với một khoảng thời gian ngắn nhất . Vì cần thời gian ngắn nhất nên chỉ tiêu chất lượng J sẽ là : 0 [ ( ), ( ), ] T J L x t u t t dt T= =∫ Rõ ràng từ phương trình trên ta phải có [ ( ), ( ), ] 1L x t u t t = . Như vậy , ñối với bài toán tối ưu tác ñộng nhanh thì chỉ tiêu chất lượng J có dạng : ∫ == T TdtJ 0 1 • Bài toán năng suất tối ưu : Năng suất ở ñây ñược xác ñịnh bởi góc quay lớn nhất của ñộng cơ trong thời gian T nhất ñịnh . Khi ñó chỉ tiêu chất lượng J có dạng : 0 0 0 [ ( ), ( ), ] ( ) T T TJ L x t u t t dt t dtϕ ϕ ϕ= = − =∫ ∫ & Do ñó [ ( ), ( ), ] ( ) ( )L x t u t t t x tϕ= =& & và ta sẽ có chỉ tiêu chất lượng J ñối với bài toán năng suất tối ưu như sau : ( ) 0 T J x t dt= ∫ & Chương 2: ðiều khiển tối ưu Trang 129 • Bài toán năng lượng tối thiểu : Tổn hao năng lượng trong hệ thống : 0 T u uQ U i dt= ∫ Dựa vào phương trình cân bằng ñiện áp : u u u eU i R k ω= + và phương trình cân bằng moment : M u c q dk i M M dt ω − = Ta tính ñược : 2 0 0 0 ( ) T T e c u u T u u M k MQ U i dt R i dt k ϕ ϕ= = − +∫ ∫ ðể có ñược tiêu hao năng lượng tối thiểu , ta chỉ cần tìm cực tiểu của J : 2 0 0 [ ( ), ( ), ] T T uJ L x t u t t dt i dt= =∫ ∫ Mà dòng ñiện phần ứng iu ở ñây chính là tín hiệu ñiều khiển u . Vì vậy chỉ tiêu chất lượng J ñối với bài toán năng lượng tối thiểu có dạng : 2 0 ( ) T J u t dt= ∫ 3. Tối ưu hoá tĩnh và ñộng Chúng ta cần phân biệt hai dạng bài toán tối ưu hoá tĩnh và tối ưu hóa ñộng . Tối ưu hóa tĩnh là bài toán không phụ thuộc vào thời gian . Còn ñối với tối ưu hóa ñộng thì thời gian cũng là một biến mà chúng ta cần phải xem xét ñến . 2.1.2 Xây dụng bài toán tối ưu 1. Tối ưu hóa không có ñiều kiện ràng buộc Một hàm chỉ tiêu chất lượng vô hướng ( )L u ñược cho trước là một hàm của một vector ñiều khiển hay một vector quyết ñịnh mRu ∈ . Chúng ta cần chọn giá trị của u sao cho L(u) ñạt giá trị nhỏ nhất . ðể giải bài toán tối ưu , ta viết chuỗi Taylor mở rộng cho ñộ biến thiên của L(u) như sau : )3( 2 1 OduLduduLdL uu TT u ++= (2.1) Với O(3) là số hạng thứ 3. Grad của L theo u là một vector m cột : Chương 2: ðiều khiển tối ưu Trang 130             ∂∂ ∂∂ ∂∂ = ∂ ∂∆ m u uL uL uL u LL / / / 2 1 M (2.2) và ñạo hàm cấp 2 của L theo u là một ma trận m x m ( còn gọi là ma trận Hessian ) :         ∂∂ ∂ = ∂ ∂∆ ji uu uu L u LL 2 2 2 (2.3) Luu ñược gọi là ma trận uốn . Một ñiểm cực trị hoặc ñiểm dừng xuất hiện khi sự biến thiên dL với thành phần thứ nhất tiến về 0 với mọi biến thiên du trong quá trình ñiều khiển . Vì vậy , ñể có ñiểm cực trị thì : 0=uL (2.4) Giả sử ñang ở tại ñiểm cực trị , có Lu = 0 như (2.4) . ðể ñiểm cực trị trở thành ñiểm cực tiểu , chúng ta cần có : )3( 2 1 OduLdudL uu T += (2.5) là xác ñịnh dương với mọi sự biến thiên du . ðiều này ñược ñảm bảo nếu ma trận uốn Luu là xác ñịnh dương : 0>uuL (2.6) Nếu Luu là xác ñịnh âm thì ñiểm cực trị chính là ñiểm cực ñại ; còn nếu Luu là không xác ñịnh thì ñiểm cực trị chính là ñiểm yên ngựa . Nếu Luu là bán xác ñịnh thì chúng ta sẽ xét ñến thành phần bậc cao hơn trong (2.1) ñể xác ñịnh ñược loại của ñiểm cực trị . Nhắc lại : Luu là xác ñịnh dương ( hoặc âm ) nếu như các giá trị riêng của nó là dương ( hoặc âm ) , không xác ñịnh nếu các giá trị riêng của nó vừa có dương vừa có âm nhưng khác 0 , và sẽ là bán xác ñịnh nếu tồn tại giá trị riêng bằng 0 . Vì thế nếu 0=uuL , thì thành phần thứ hai sẽ không hoàn toàn chỉ ra ñược loại của ñiểm cực trị . 2. Tối ưu hóa với các ñiều kiện ràng buộc Cho hàm chỉ tiêu chất lượng vô hướng ( )uxL , , với vector ñiều khiển mRu ∈ và vector trạng thái nRx ∈ . Bài toán ñưa ra là chọn u sao cho hàm Chương 2: ðiều khiển tối ưu Trang 131 chỉ tiêu chất lượng L(x,u) ñạt giá trị nhỏ nhất và thỏa mãn ñồng thời các phương trình ñiều kiện ràng buộc . ( ) 0, =uxf (2.7) Vector trạng thái x ñược xác ñịnh từ một giá trị u cho trước bằng mối quan hệ (2.7) , vì thế f là một hệ gồm n phương trình vô hướng , nRf ∈ . ðể tìm ñiều kiện cần và ñủ của giá trị cực tiểu , ñồng thời thỏa mãn ( ) 0, =uxf , ta cần làm chính xác như trong phần trước . ðầu tiên ta khai triển dL dưới dạng chuỗi Taylor , sau ñó xác ñịnh số hạng thứ nhất và thứ hai là Lu & Luu. Thừa số Lagrange và hàm Hamilton . Tại ñiểm cực trị , dL với giá trị thứ nhất bằng 0 với mọi sự biến thiên của du khi df bằng 0 . Như vậy chúng ta cần có: 0=+= dxLduLdL Tx T u (2.8) 0=+= dxfdufdf xu (2.9) Từ (2.7) ta xác ñịnh ñược x từ giá trị u ñã có, ñộ biến thiên dx ñược xác ñịnh bởi (2.9) từ giá trị biến thiên du với ñiều kiện ma trận Jacobi là không kỳ dị 0≠xf . Như vậy , ma trận Jacobi fx không kỳ dị và : duffdx ux 1−−= (2.10) Thay dx vào (2.8) ta ñược : duffLLdL uxTxTu )( 1−−= (2.11) ðạo hàm riêng của L theo u chứa hằng số f ñược cho bởi phương trình : ( ) xTxTuuTuxTxTu df LffLffLL u L −− = −=−= ∂ ∂ 1 0 (2.12) với ( )TxTx ff 1−− = . Lưu ý rằng : u dx L u L = ∂ ∂ =0 (2.13) ðể thành phần thứ nhất của dL bằng không với giá trị du tùy ý khi 0=df , ta cần có : 0=− − x T x T uu LffL (2.14) ðây là ñiều kiện cần ñể có giá trị cực tiểu . Trước khi ñi tìm ñiều kiện ñủ , chúng ta hãy xem xét thêm một vài phương pháp ñể có ñược (2.14) . Viết (2.8) và (2.9) dưới dạng: 0=            =      du dx ff LL df dL ux T u T x (2.15) Chương 2: ðiều khiển tối ưu Trang 132 Hệ phương trình tuyến tính này xác ñịnh một ñiểm dừng , và phải có một kết quả [ ]TTT dudx . ðiều này chỉ xảy ra nếu ma trận hệ số ( ) ( )mnn +×+1 có hạng nhỏ hơn n+1 . Có nghĩa là các hàng của ma trận tuyến tính với nhau ñể tồn tại một vector λ có n số hạng như sau: [ ] 0.1 =      ux T u T xT ff LLλ (2.16) Hay: 0=+ x TT x fL λ (2.17) 0=+ u TT u fL λ (2.18) Giải (2.17) ta ñược λ : 1− −= x T x T fLλ (2.19) và thay vào (2.18) ñể có ñược (2.14) . Vector nR∈λ ñược gọi là thừa số Lagrange , và nó sẽ là công cụ hữu ích cho chúng ta sau này . ðể hiểu thêm ý nghĩa của thừa số Lagrange ta xét du = 0 , từ (2.8) và (2.9) ta khử dx ñể ñược : dffLdL xTx 1−= (2.20) Vì vậy: ( ) λ−== ∂ ∂ − = T x T x du fLf L 1 0 (2.21) Do ñó -λ là ñạo hàm riêng của L với biến ñiều khiển u là hằng số . ðiều này nói lên tác dụng của hàm chỉ tiêu chất lượng với biến ñiều khiển không ñổi khi ñiều kiện ràng buộc thay ñổi . Như là một cách thứ ba ñể tìm ñược (2.14), ta phát triển thêm ñể sử dụng cho các phân tích trong những phần sau. Kết hợp ñiều kiện ràng buộc và hàm chỉ tiêu chất lượng ñể thành lập hàm Hamilton . ( ) ( ) ( )uxfuxLuxH T ,,,, λλ += (2.22) Với nR∈λ là thừa số Lagrange chưa xác ñịnh . Muốn chọn x , u , λ ñể có ñược ñiểm dừng , ta tiến hành các bước sau . ðộ biến thiên của H theo các ñộ biến thiên của x , u , λ ñược viết như sau : λλ dHduHdxHdH TTuTx ++= (2.23) Lưu ý rằng : ),( uxfHH = ∂ ∂ = λλ (2.24) Giả sử chúng ta chọn các giá trị của u thỏa mãn: 0=λH (2.25) Chương 2: ðiều khiển tối ưu Trang 133 Sau ñó ta xác ñịnh x với giá trị của u ñã có bằng phương trình ñiều kiện ràng buộc ( ) 0, =uxf . Trong trường hợp này hàm Hamilton tương ñương với hàm chỉ tiêu chất lượng: LH f ==0 (2.26) Nhắc lại : nếu f = 0 , ta sẽ tìm ñược dx theo du từ (2.10) . Ta không nên xét mối quan hệ giữa du và dx ñể thuận tiện trong việc chọn λ sao cho : 0=xH (2.27) ðạo hàm (2.22) theo x: 0=+= ∂ ∂ λTxx fL x H (2.28) hay 1−−= x T x T fLλ . Nếu giữ nguyên (2.25) và (2.27) từ (2.23): duHdHdL Tu== (2.29) Vì H = L, ñể có ñược ñiểm dừng ta phải áp ñặt ñiều kiện: 0=uH (2.30) Tóm lại , ñiều kiện cần ñể có ñược ñiểm cực tiểu của L(x,u) thỏa mãn ñiều kiện ràng buộc f(x,u) = 0 gồm có : 0== ∂ ∂ fHλ (2.31a) 0=+= ∂ ∂ λTxx fL x H (2.31b) 0=+= ∂ ∂ λTuu fL u H (2.31c) Với ( )λ,,uxH xác ñịnh bởi (2.22) . Cách thường dùng là từ 3 phương trình ñã cho xác ñịnh x , λ , và u theo thứ tự tương ứng . So sánh 2 phương trình (2.31b) và (2.31c) ta thấy chúng tương ứng với 2 phương trình (2.17) và (2.18) . Trong nhiều ứng dụng , chúng ta không quan tâm ñến giá trị của λ , tuy nhiên ta vẫn phải ñi tìm giá trị của nó vì ñó là một biến trung gian cho phép chúng ta xác ñịnh các ñại lượng cần tìm là u , x và giá trị nhỏ nhất của L . Ưu ñiểm của thừa số Lagrange có thể tóm tắt như sau : trên thực tế , hai ñại lượng dx và du không phải là hai ñại lượng biến thiên ñộc lập với nhau , theo (2.10) . Bằng cách ñưa ra một thừa số bất ñịnh λ , chúng ta chọn λ sao cho dx và du có thể ñược xem là hai ñại lượng biến thiên ñộc lập với nhau . Lấy ñạo hàm riêng của H lần lượt theo các biến như trong (2.31) , như thế ta sẽ có ñược ñiểm dừng . Chương 2: ðiều khiển tối ưu Trang 134 Khi ñưa ra thừa số Lagrange , chúng ta có thể thay thế bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của L(x,u) với ñiều kiện ràng buộc f(x,u) = 0 , thành bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm Hamilton H(x,u,λ) không có ñiều kiện ràng buộc . ðiều kiện ñã (2.31) xác ñịnh một ñiểm dừng . Ta sẽ tiếp tục chứng minh ñây là ñiểm cực tiểu như ñã thực hiện trong phần trước . Viết chuỗi Taylor mở rộng cho ñộ biến thiên của L và f như sau : [ ] [ ] )3( 2 1 O du dx LL LL dudx du dx LLdL uuux xuxxTTT u T x +            +      = (2.32) [ ] [ ] )3( 2 1 O du dx ff ff dudx du dxffdf uuux xuxxTT ux +            +      = (2.33) Với: xu ff xu ∂∂ ∂ = ∆ 2 ðể ñưa ra hàm Hamilton , ta sử dụng các phương trình sau : [ ] [ ] [ ] )3( 2 11 O du dx HH HH dudx du dx HH df dL uuux xuxxTTT u T x T +            +      =     λ (2.34) Bây giờ , ñể có ñược ñiểm dừng ta cần có 0=f , và ñồng thời thành phần thứ nhất của dL bằng 0 với mọi sự biến thiên của dx và du . Vì 0=f nên 0=df , và ñiều này ñòi hỏi 0=xH và 0=uH như trong (2.31) . ðể tìm ñiều kiện ñủ cho ñiểm cực tiểu , chúng ta xét ñến thành phần thứ hai . ðầu tiên , ta cần xem mối quan hệ giữa dx và du trong (2.34) . Giả sử rằng chúng ta ñang ở ñiểm cực trị nên 0=xH , 0=uH và 0=df . Từ (2.10) suy ra: )2(1 Oduffdx ux +−= − (2.35) Thay vào (2.34) ta ñược : [ ] )3( 2 1 1 Odu I ff HH HH IffdudL ux uuux xuxxT x T u T +      −       −= − − (2.36) ðể ñảm bảo ñây là ñiểm cực tiểu , dL trong (2.36) phải dương với mọi sự biến thiên của du . ðiều này ñược ñảm bảo nếu như ma trận uốn với f luôn bằng 0 là xác ñịnh dương . [ ] uxxx T x T uuxuxxu T x T uuu ux uuux xuxxT x T ufuu f uu ffHffffHHffH I ff HH HH IffLL 11 1 −−−− − − ∆ +−−=       −       −== (2.37) Chương 2: ðiều khiển tối ưu Trang 135 Lưu ý rằng nếu ñiều kiện ràng buộc ( ) 0, =uxf với mọi x và u thì (2.37) ñược rút lại thành Luu ở phương trình (2.3) . Nếu (2.37) là xác ñịnh âm ( hoặc không xác ñịnh ) thì ñiểm dừng sẽ là ñiểm cực ñại ( hoặc ñiểm yên ngựa ) . 2.1.3 Ví dụ Tối ưu hóa không có ñiều kiện ràng buộc Ví dụ 2.1 : Không gian toàn phương . Cho 2Ru ∈ và : [ ]ussu qq qq uuL T 21 2212 1211 2 1)( +      = (1) uSQuu TT += ∆ 2 1 (2) ðiểm cực trị ñược xác ñịnh bởi : 0=+= SQuLu (3) SQu 1−∗ −= (4) với u* dùng ñể chỉ biến ñiều khiển tối ưu. Loại của ñiểm cực trị ñược xác ñịnh bằng cách xét ma trận hessian QLuu = (5) ðiểm u* là cực tiểu nếu Luu > 0 ( 011 >q và 02122211 >− qqq ) . Là ñiểm cực ñại nếu Luu − qqq ) . Nếu 0<Q , thì u* là ñiểm yên ngựa . Nếu 0=Q , thì u* là ñiểm kỳ dị , chúng ta không thể xác ñịnh ñược ñó là cực tiểu hay cực ñại từ Luu . Bằng cách thay (4) vào (2) ta sẽ tìm ñược giá trị của hàm chỉ tiêu chất lượng như sau : SQSSQQQSuLL TT 111** 2 1)( −−− ∆ −== SQS T 1 2 1 − −= (6) Giả sử cho L như sau: [ ]uuuL T 10 21 11 2 1 +      = (7) Khi ñó giá trị u tối ưu sẽ là:       − =            − −= 1 1 1 0 11 12 *u (8) Chương 2: ðiều khiển tối ưu Trang 136 là một cực tiểu , vì Luu > 0 . Từ (6) giá trị nhỏ nhất của L là L* = -1/2 . Các ñường ñồng mức của L(u) trong (7) ñược vẽ trong Hình 2.4 , với u = [u1 u2]T . Các mũi tên là gradient .       ++ + =+= 12 21 21 uu uu SQuLu (9) Lưu ý rằng gradient luôn luôn vuông góc với các ñường ñồng mức và có hướng là hướng tăng L(u) . Chúng ta dùng dấu “*” ñể chỉ giá trị tối ưu của u và L cần tìm . Tuy nhiên ta thường bỏ qua dấu “*” . Hình 2.4 : Các ñường ñồng mức và vector gradient . Ví dụ 2.2 : Tối ưu hóa bằng tính toán vô hướng . Phần trên chúng ta ñã ñề cập phương pháp giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng các vector và gradient . Sau ñây ta sẽ tiếp cận bài toán với một cách nhìn khác , xem chúng như là những ñại lượng vô hướng . ðể chứng minh , ta xét (7) ở dạng: 2 2 221 2 121 2 1),( uuuuuuuL +++= (1) Với 21 ,uu là các ñại lượng vô hướng . ðiểm cực trị xuất hiện khi ñạo hàm riêng của L theo tất cả các ñối số phải bằng 0 : 021 1 =+= ∂ ∂ uu u L (2a) Chương 2: ðiều khiển tối ưu Trang 137 012 21 2 =++= ∂ ∂ uu u L (2b) Giải hệ phương trình trên ta ñược : 1,1 21 −== uu (3) Vậy , ñiểm cực trị là (1 ,-1) . Biểu thức (1) là một dạng mở rộng của biểu thức (7) trong ví dụ 2.1 , như vậy chúng ta vừa tìm ñược một kết quả tương tự bằng một cách khác . Tối ưu hóa có ñiều kiện ràng buộc Ví dụ 2.3 : Không gian toàn phương với ñiều kiện ràng buộc tuyến tính . Giả sử hàm chỉ tiêu chất lượng ñược cho bởi ví dụ 2.1 với các ñại lượng vô hướng 21 ,uu ñược thay thế bằng ux, : [ ] [ ]       +            = u x u x uxuxL 10 21 11 2 1),( (1) Với ñiều kiện ràng buộc : ( ) 03, =−= xuxf (2) Hàm Hamilton sẽ là : )3( 2 1 22 −++++=+= xuuxuxfLH T λλ (3) với λ là một ñại lượng vô hướng . ðiều kiện ñể có ñiểm dừng theo (2.31) là : 03 =−= xH λ (4) 0=++= λuxH x (5) 012 =++= uxH u (6) Giải (4) , (5) , (6) ta ñược : x = 3 , u = -2 , λ = -1 . ðiểm dừng là : ( ) ( )2,3, −=∗ux (7) ðể xác ñịnh (7) là ñiểm cực tiểu , tìm ma trận uốn theo (2.3) : 2=fuuL (8) 0>=fuuL , vì thế ( ) ( )2,3, −=∗ux là ñiểm cực tiểu . Các ñường ñồng mức của L(x,u) và ñiều kiện ràng buộc (2) ñược vẽ trong Hình 2.5 . Grad của f(x,u) trong hệ tọa ñộ (x,u) ñược viết như sau:       =      0 1 u x f f (9) ñược vẽ trong Hình 2.5 . Và grad của L(x,u) : Chương 2: ðiều khiển tối ưu Trang 138       ++ + =      12ux ux L L u x (10) Tại ñiểm cực tiểu (3,-2) , grad L(x,u) sẽ có giá trị :       =      0 1 u x L L (11) Cần lưu ý rằng gradf và gra