Chương 2: Định thức - TS. Lê Xuân Đại

CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2011. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 1 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A = (aij) là một số, được ký hiệu là detA hoặc |A|. Vậy det : Mn(K )→ K A→ detA. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 2 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A = (aij) là một số, được ký hiệu là detA hoặc |A|. Vậy det : Mn(K )→ K A→ detA. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 2 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Mij là định thức con phụ của phần tử aij . Định thức Mij là định thức cấp (n − 1) thu được bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A| |A| = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1(j−1) a1j a1(j+1) . . . a1n ... . . . ... ... ... . . . ... a(i−1)1 . . . a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1) . . . a(i−1)n ai1 . . . ai(j−1) aij ai(j+1) . . . ain a(i+1)1 . . . a(i+1)(j−1) a(i+1)j a(i+1)(j+1) . . . a(i+1)n ... . . . ... ... ... . . . ... an1 . . . an)(j−1) anj an(j+1) . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ n×n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 3 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Mij là định thức con phụ của phần tử aij . Định thức Mij là định thức cấp (n − 1) thu được bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A| |A| = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1(j−1) a1j a1(j+1) . . . a1n ... . . . ... ... ... . . . ... a(i−1)1 . . . a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1) . . . a(i−1)n ai1 . . . ai(j−1) aij ai(j+1) . . . ain a(i+1)1 . . . a(i+1)(j−1) a(i+1)j a(i+1)(j+1) . . . a(i+1)n ... . . . ... ... ... . . . ... an1 . . . an)(j−1) anj an(j+1) . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ n×n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 3 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Mij là định thức con phụ của phần tử aij . Định thức Mij là định thức cấp (n − 1) thu được bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A| |A| = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1(j−1) a1j a1(j+1) . . . a1n ... . . . ... ... ... . . . ... a(i−1)1 . . . a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1) . . . a(i−1)n ai1 . . . ai(j−1) aij ai(j+1) . . . ain a(i+1)1 . . . a(i+1)(j−1) a(i+1)j a(i+1)(j+1) . . . a(i+1)n ... . . . ... ... ... . . . ... an1 . . . an)(j−1) anj an(j+1) . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ n×n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 3 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Mij = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1(j−1) a1(j+1) . . . a1n ... . . . ... ... . . . ... a(i−1)1 . . . a(i−1)(j−1) a(i−1)(j+1) . . . a(i−1)n a(i+1)1 . . . a(i+1)(j−1) a(i+1)(j+1) . . . a(i+1)n ... . . . ... ... . . . ... an1 . . . an(j−1) an(j+1) . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (n−1)×(n−1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 4 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Aij = (−1)i+jMij là phần bù đại số của phần tử aij . Định nghĩa (Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận vuông cấp n A = (aij) là một số bằng n∑ j=1 a1jA1j = a11A11 + a12A12 + . . .+ a1nA1n. detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = n∑ j=1 a1jA1j = n∑ j=1 (−1)1+ja1jM1j . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 5 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Aij = (−1)i+jMij là phần bù đại số của phần tử aij . Định nghĩa (Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận vuông cấp n A = (aij) là một số bằng n∑ j=1 a1jA1j = a11A11 + a12A12 + . . .+ a1nA1n. detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = n∑ j=1 a1jA1j = n∑ j=1 (−1)1+ja1jM1j . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 5 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức 1 n = 1,A = (a11)⇒ |A| = a11. 2 n = 2,A = ( a11 a12 a21 a22 ) ⇒ |A| = (−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 = a11a22 − a12a21. 3 n = 3,A =  a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 ⇒ |A| = (−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 + (−1)1+3a13M13 = (−1)1+1a11 ∣∣∣∣ a22 a23a32 a33 ∣∣∣∣+ (−1)1+2a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33 ∣∣∣∣+ (−1)1+3a13 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32 ∣∣∣∣ . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức 1 n = 1,A = (a11)⇒ |A| = a11. 2 n = 2,A = ( a11 a12 a21 a22 ) ⇒ |A| = (−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 = a11a22 − a12a21. 3 n = 3,A =  a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 ⇒ |A| = (−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 + (−1)1+3a13M13 = (−1)1+1a11 ∣∣∣∣ a22 a23a32 a33 ∣∣∣∣+ (−1)1+2a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33 ∣∣∣∣+ (−1)1+3a13 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32 ∣∣∣∣ . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức 1 n = 1,A = (a11)⇒ |A| = a11. 2 n = 2,A = ( a11 a12 a21 a22 ) ⇒ |A| = (−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 = a11a22 − a12a21. 3 n = 3,A =  a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 ⇒ |A| = (−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 + (−1)1+3a13M13 = (−1)1+1a11 ∣∣∣∣ a22 a23a32 a33 ∣∣∣∣+ (−1)1+2a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33 ∣∣∣∣+ (−1)1+3a13 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32 ∣∣∣∣ . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức 1 n = 1,A = (a11)⇒ |A| = a11. 2 n = 2,A = ( a11 a12 a21 a22 ) ⇒ |A| = (−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 = a11a22 − a12a21. 3 n = 3,A =  a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 ⇒ |A| = (−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 + (−1)1+3a13M13 = (−1)1+1a11 ∣∣∣∣ a22 a23a32 a33 ∣∣∣∣+ (−1)1+2a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33 ∣∣∣∣+ (−1)1+3a13 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32 ∣∣∣∣ . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 34 2 1 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 1 ta được |A| = 1.A11 + 2.A12 + 3.A13. A11 = (−1)1+1 ∣∣∣∣ 2 11 5 ∣∣∣∣ = 2.5− 1.1 = 9, A12 = (−1)1+2 ∣∣∣∣ 4 13 5 ∣∣∣∣ = −(4.5− 1.3) = −17, A13 = (−1)1+3 ∣∣∣∣ 4 23 1 ∣∣∣∣ = 4.1− 2.3 = −2. Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 7 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 34 2 1 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 1 ta được |A| = 1.A11 + 2.A12 + 3.A13. A11 = (−1)1+1 ∣∣∣∣ 2 11 5 ∣∣∣∣ = 2.5− 1.1 = 9, A12 = (−1)1+2 ∣∣∣∣ 4 13 5 ∣∣∣∣ = −(4.5− 1.3) = −17, A13 = (−1)1+3 ∣∣∣∣ 4 23 1 ∣∣∣∣ = 4.1− 2.3 = −2. Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 7 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 34 2 1 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 1 ta được |A| = 1.A11 + 2.A12 + 3.A13. A11 = (−1)1+1 ∣∣∣∣ 2 11 5 ∣∣∣∣ = 2.5− 1.1 = 9, A12 = (−1)1+2 ∣∣∣∣ 4 13 5 ∣∣∣∣ = −(4.5− 1.3) = −17, A13 = (−1)1+3 ∣∣∣∣ 4 23 1 ∣∣∣∣ = 4.1− 2.3 = −2. Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 7 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Tính chất của định thức Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ. detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = n∑ j=1 aijAij detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = n∑ i=1 aijAij TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 8 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Tính chất của định thức Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ. detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = n∑ j=1 aijAij detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = n∑ i=1 aijAij TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 8 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Tính chất của định thức Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ. detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = n∑ j=1 aijAij detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = n∑ i=1 aijAij TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 8 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 30 2 0 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 33 5 ∣∣∣∣ = 2(1.5− 3.3) = −8. Tính định thức detA với A =  1 2 32 1 0 3 1 0  Giải. Khai triển theo cột 3 ta được |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1)1+3 ∣∣∣∣ 2 13 1 ∣∣∣∣ = 3(2.1− 1.3) = −3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 30 2 0 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 33 5 ∣∣∣∣ = 2(1.5− 3.3) = −8. Tính định thức detA với A =  1 2 32 1 0 3 1 0  Giải. Khai triển theo cột 3 ta được |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1)1+3 ∣∣∣∣ 2 13 1 ∣∣∣∣ = 3(2.1− 1.3) = −3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 30 2 0 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 33 5 ∣∣∣∣ = 2(1.5− 3.3) = −8. Tính định thức detA với A =  1 2 32 1 0 3 1 0  Giải. Khai triển theo cột 3 ta được |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1)1+3 ∣∣∣∣ 2 13 1 ∣∣∣∣ = 3(2.1− 1.3) = −3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 30 2 0 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 33 5 ∣∣∣∣ = 2(1.5− 3.3) = −8. Tính định thức detA với A =  1 2 32 1 0 3 1 0  Giải. Khai triển theo cột 3 ta được |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1)1+3 ∣∣∣∣ 2 13 1 ∣∣∣∣ = 3(2.1− 1.3) = −3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 30 2 0 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 33 5 ∣∣∣∣ = 2(1.5− 3.3) = −8. Tính định thức detA với A =  1 2 32 1 0 3 1 0  Giải. Khai triển theo cột 3 ta được |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1)1+3 ∣∣∣∣ 2 13 1 ∣∣∣∣ = 3(2.1− 1.3) = −3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 30 2 0 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 33 5 ∣∣∣∣ = 2(1.5− 3.3) = −8. Tính định thức detA với A =  1 2 32 1 0 3 1 0  Giải. Khai triển theo cột 3 ta được |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1)1+3 ∣∣∣∣ 2 13 1 ∣∣∣∣ = 3(2.1− 1.3) = −3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Khai triển định thức theo cột 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n ... ... . . . ... 0 0 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1) 1+1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a22 a23 . . . a2n 0 a33 . . . a3n ... ... . . . ... 0 0 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = = a11.a22. . . . ann. Khai triển định thức theo hàng 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 0 0 0 a21 a22 . . . 0 ... ... . . . ... an1 am2 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1) 1+1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a22 0 0 0 a32 a33 . . . 0 ... ... . . . ... an2 an3 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = = a11.a22. . . . ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 10 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Khai triển định thức theo cột 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n ... ... . . . ... 0 0 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1) 1+1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a22 a23 . . . a2n 0 a33 . . . a3n ... ... . . . ... 0 0 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = = a11.a22. . . . ann. Khai triển định thức theo hàng 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 0 0 0 a21 a22 . . . 0 ... ... . . . ... an1 am2 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1) 1+1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a22 0 0 0 a32 a33 . . . 0 ... ... . . . ... an2 an3 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = = a11.a22. . . . ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 10 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Khai triển định thức theo cột 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n ... ... . . . ... 0 0 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1) 1+1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a22 a23 . . . a2n 0 a33 . . . a3n ... ... . . . ... 0 0 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = = a11.a22. . . . ann. Khai triển định thức theo hàng 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 0 0 0 a21 a22 . . . 0 ... ... . . . ... an1 am2 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1) 1+1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a22 0 0 0 a32 a33 . . . 0 ... ... . . . ... an2 an3 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = = a11.a22. . . . ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 10 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Khai triển định thức theo cột 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n ... ... . . . ... 0 0 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1) 1+1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a22 a23 . . . a2n 0 a33 . . . a3n ... ... . . . ... 0 0 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = = a11.a22. . . . ann. Khai triển định thức theo hàng 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 0 0 0 a21 a22 . . . 0 ... ... . . . ... an1 am2 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1) 1+1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a22 0 0 0 a32 a33 . . . 0 ... ... . . . ... an2 an3 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = = a11.a22. . . . ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 10 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A bằng định thức của ma trận A: detAT = detA. Ví dụ Cho A =  1 3 52 4 6 2 1 8 ⇒ AT =  1 2 23 4 1 5 6 8  . Khi đó detAT = detA = −16 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 11 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A bằng định thức của ma trận A: detAT = detA. Ví dụ Cho A =  1 3 52 4 6 2 1 8 ⇒ AT =  1 2 23 4 1 5 6 8  . Khi đó detAT = detA = −16 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 11 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A bằng định thức của ma trận A: detAT = detA. Ví dụ Cho A =  1 3 52 4 6 2 1 8 ⇒ AT =  1 2 23 4 1 5 6 8  . Khi đó detAT = detA = −16 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 11 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức 1 Nếu A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ B thì detB = −detA . 2 Nếu A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. 3 Nếu A hi→hi+λ.hj (ci→ci+λcj )−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ A trong đó i , j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0⇒ detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức 1 Nếu A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ B thì detB = −detA . 2 Nếu A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. 3 Nếu A hi→hi+λ.hj (ci→ci+λcj )−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ A trong đó i , j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0⇒ detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức 1 Nếu A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ B thì detB = −detA . 2 Nếu A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. 3 Nếu A hi→hi+λ.hj (ci→ci+λcj )−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ A trong đó i , j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0⇒ detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức 1 Nếu A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ B thì detB = −detA . 2 Nếu A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. 3 Nếu A hi→hi+