Chương 3 Động học

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 1 CHƯƠNG I. HAI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT r0(x0, y0, z0) r(x, y, z) y x z Quỹ đạo 1. Phương pháp Lagrange (J.L de Lagrange, nhà toán học người Pháp,1736-1883) ¾Trong phương pháp Lagrage , các yếu tố chuyển động chỉ phụ thuộc vào thời gian , VD: u = at2+b ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = ⇔= )t,z,y,x(xz )t,z,y,x(xy )t,z,y,x(xx )t,r(fr 000 000 000 0 GG ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ⇔= dt dzu dt dyu dt dxu dt rdu z y x GG ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = = ⇔== 2 2 z 2 2 y 2 2 x 2 2 dt zda dt yda dt xda dt rd dt uda GGG ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = ⇔= )t,z,y,x(uu )t,z,y,x(uu )t,z,y,x(uu )t,z,y,x(uu zz yy xxGG Các đường dòng tại thời điểm t (x,y,z) ¾Phương trình đường dòng: zyx u dz u dy u dx == (L. Euler, nhà toán học người Thụy Sĩ, 1707-1783) 2. Phương pháp Euler PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 2 Ví dụ 1b: ux=x2y+2x; uy=-(y2x+2y); )y2xy( dy x2yx dx 22 +−=+ Trong trường hợp này ta không thể chuyển các số hạng có cùng biến x, y về cùng một phía, nên không thể lấy tích phân hai vế được, ta sẽ giải bài toán này sau trong chương thế lưu Ví dụ 1a: ux=3x2; uy=-6xy; uz=0 xy6 dy x3 dx 2 −= Thiết lập phương trình đường dòng: y dy x dx2 y dy x xdx2 2 −=⇔−= Chuyển các số hạng có biến x về vế trái, biến y về vế phải: CyxCln)yln()xln(2 y dy x dx2 2 =⇔+−=⇔ −= ∫∫Tích phân hai vế: Vậy phương trình đường dòng có dạng: Cyx2 = Thiết lập phương trình đường dòng: II. CÁC KHÁI NIỆM THƯỜNG DÙNG 3. Lưu lượng Q, Vận tốc trung bình m/ cắt ướt V: A QV udAdAuQ uot.c/AmAbatky n = == ∫∫ Abất kỳ u Am/c ướtø 1. Đường dòng, dòng nguyên tố dA ống dòng A A A P Dòng có áp Dòng không áp Dòng tia 2. Diện tích mặt cắt ướt A, Chu vi ướt P, Bán kính thủy lực R=A/P Nhận xét: Lưu lượng chính là thể tích của biểu đồ phân bố vận tốc : Biểu đồ phân bố vận tốc PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 3 ¾Thí nghiệm Reynolds III. PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG: 1. Theo ma sát nhớt: Chuyển động chất lỏng lý tưởng, : không có ma sát Chuyển động chất lỏng thực: có ma sát - Re=VD/ν=V4R/ν:tầng(Re2300) 2. Theo thời gian: ổn định-không ổn định. 3 Theo không gian: đều-không đều. 4 Theo tính nén được: số Mach M=u/a a: vận tốc truyền âm; u:vận tốc phần tử lưu chất dưới âm thanh (M<1) - ngang âm thanh (M=1) trên âm thanh (M>1) - siêu âm thanh (M>>1) masat quantinh F F Re = N    lưuđốiphầnthànhbộ-t.ph.cục z uu y uu x uu t u dt dua z u u y u u x u u t u dt du a z uu y uu x uu t u dt dua z z z y z x zz z y z y y y x yy y x z x y x x xx x ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂== ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂== ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂== t u dt uda)t,z,y,x(uu 000 ∂ ∂==⇒= GGGG IV. GIA TỐC PHẦN TỬ LƯU CHẤT : •Theo Euler: •Theo Lagrange: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 4 V. PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT: Trong hệ trục toạ độ O(x,y,z), xét vận tốc của hai điểm M(x,y,z) và M1(x+dx,y+dy,z+dz), vì hai điểm rất sát nhau, nên ta có: vận tốc biến dạng dài vận tốc biến dạng góc và vận tốc quay vận tốc chuyển động tịnh tiến dz z udy y udx x uuu dz z u dy y u dx x u uu dz z udy y udx x uuu zzz z1z yyy y1y xxx x1x ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+= ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+= ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+= 1. Tịnh tiến Chuyển động 2. Quay 3. Biến dạng Vận tốc quay: uRot GG 2 1=ω ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ zyx uuu zyx kji GGG 2 1= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= z u y u yz x 2 1ω ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= x u z u zx y 2 1ω ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= y u x u xy z 2 1ω Biến dạng dài Suất biến dạng dài x u ε xxx ∂ ∂= y u ε yyy ∂ ∂= z u ε zzz ∂ ∂= Biến dạng góc Suất biến dạng góc ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂== z u y u 2 1 εε yzyzzy ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂== x u z u 2 1 εε zxzxxz ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂== y u x u 2 1 εε xyyxxy ¾Định lý Hemholtz PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 5 •Chuyển động quay của phần tử lưu chất: uyΔt x y dy dx uxΔt β α ∂ux/∂ydyΔ t ∂uy/∂xdxΔ t +z xy yx rotu 2 1 y u x u 2 1 dx tΔdx x u dy tΔdy y u tΔ2 1 tΔ 1 2 βα ω =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂− +∂ ∂ −=+−= 0)u(rot =G 0)u(rot ≠G chuyển động không quay (thế) chuyển động quay Ví dụ 2: Xác định đường dòng của một dòng chảy có : ux = 2y và uy = 4x yx u dy u dx = x dy y dx 42 = ydyxdx 24 = ydyxdx =2 Cyx +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 22 2 22 Cyx =− 222 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 6 Dòng chảy qua một đoạn ống thu hẹp dần với vận tốc dòng vào và ra lần lượt là 10 m/s và 50 m/s. Chiều dài của ống là 0,5m Hãy tìm quy luật biến thiên của vận tốc và gia tốc theo trục ống. Từ đó suy ra gia tốc tại đầu vào và ra của vòi Giả thiết dòng một chiều, và vận tốc biến đổi tuyến tính dọc theo trục ngang của ống. Ví dụ 3: Quy luật biến thiên vận tốc tuyến tính dọc theo trục ống: u = ax + b. a, b là hằng số Chọn trục x như hình vẽ, với gốc “0” ở đầu ống, ta có tại x=0, u =10 m/s; tại x=0,5m, u = 50 m/s. Thế cá điều kiện trên vào ta suy ra được a=80; b=10. Suy ra quy luật biến thiên vận tốc dọc theo trục x là: u = (80x + 10) m/s Từ đó suy ra quy luật biến thiên gia tốc như sau: Thế giá trị x=0 và x=0,5 vào ta suy ra được gia tốc tại đầu vào và ra của ống lần lượt là: 800 m/s2 và 4000m/s2. Lời Giải: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 7 VI ĐỊNH LÝ VẬN TẢI REYNOLDS- PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH KIỂM SOÁT A W u dw CV W: thể tích kiểm soát X : Đại lượng cần nghiên cứu k : Đại lượng đơn vị ( đại lượng X trên 1 đơn vị khối lượng) uk G= ∫∫∫ρ= W dWX ∫∫∫ ρ= W dWuX KK ∫∫∫ ρ= W 2 dW 2 uX Ví dụ: X là khối lượng: k=1 ; X là động lượng: X là động năng: k=u2/2 ; 1. Thể tích kiểm soát, và đại lượng nghiên cứu: ∫∫∫= W dWρkX Xét thể tích W trong không gian lưu chất chuyển động. W có diện tích bao quanh là A. Ta nghiên cứu đại lượng X nào đó của dòng lưu chất chuyển động qua không gian này. Đại lượng X của lưu chất trong không gian W được tính bằng: A B C Diện tích A1 Diện tích A2 W W1 nn . Định lý vận tải Reynolds- phương pháp thể tích kiểm soát: Tại t: lưu chất vào chiếm đầy thể tích kiểm soát W. Tại t+Δt: lưu chất từ W chuyển động đến và chiếm khoảng không gian W1. ¾Nghiên cứu sự biến thiên của đại lượng X theo thời gian khi dòng chảy qua W t )XX()XX(lim t XX lim t XXlim t Xlim dt dX tB t A tt C tt B 0t WW 0t ttt 0t0t 1 Δ +−+=Δ −=Δ −=Δ Δ= Δ+Δ+ →Δ→Δ Δ+ →Δ→Δ t XXlim t XXlim t XXlim t )XX()XX(lim tt A tt C 0t t W tt W 0t tt A tt C 0t t B t A tt A tt B 0t Δ −+Δ −= Δ −+Δ +−+= Δ+Δ+ →Δ Δ+ →Δ Δ+Δ+ →Δ Δ+Δ+ →Δ ∫∫ ∫∫∫∫ +∂ ∂= + +∂ ∂= → A n W A n A n 0tΔ W dAuρk t X tΔ dAuρktΔdAuρktΔ lim t X 12 ∫∫ ρ+∂∂= A nW dAukt X dt dX PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 8 0 z u y u x u0)u(div zyx =∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂⇔= 0dW)u(divdW t Adu t dW dt dX WWGauss.d.bA n W =ρ+∂ ρ∂=ρ+∂ ρ∂ = ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫ 0)u(div t =ρ+∂ ρ∂ Hay: : dạng vi phân của ptr liên tục VII ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TTKS •Nếu ρ=const→ ptr vi phân liên tục của lưu chất không nén được: ƒDòng nguyên tố chuyển động ổn định: → ptr liên tục của dòng nguyên tố chuyển động ổn định: 222111 A n dAudAu0Adu ρ=ρ⇔=ρ∫∫ dA1 u1 u2 dA2 X là khối lượng: theo đ. luật bảo toàn khối lượng: 0 dt dX = 1. PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC ∫∫ ρ+∂∂= A nW dAukt X dt dX •Đối với toàn dòng chuyển động ổn định (có một m/c vào, 1 m/c ra), lưu chất không nén được: → ptr liên tục cho toàn dòng lưu chất không nén được chuyển động ổn định: constQhayQQ 21 == = iQQ đđến •Đối với toàn dòng chuyển động ổn định (có một m/c vào, 1 m/c ra) → ptr liên tục cho toàn dòng lưu chất chuyển động ổn định dạng khối lượng: 21222 2A 111 A MMdAudAu 1 =⇔ρ=ρ ∫∫ M1: khối lượng lưu chất vào m/c A1 trong 1 đv t.gian M2: khối lượng lưu chất ra m/c A2 trong 1 đv t.gian •Trong trường hợp dòng chảy có nhiều mặt cắt vào và ra, c. động ổn định, lưu chất không nén được, tại một nút, ta có: → ptr liên tục tại một nút cho toàn dòng lưu chất không nén được chuyển động ổn định: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 9 2. PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG Khi X là năng lượng của dòng chảy có khối lượng m (ký hiệu là E, bao gồm nội năng, động năng và thế năng (thế năng bao gồm vị năng lẫn áp năng), ta có: X = E = Eu + 1/2mu2+ mgZ với Z=z+p/γ Như vậy, năng lượng của một đơn vị khối lượng lưu chất k bằng: ρ+++= pgzuek u 2 2 1 trong đó: eu là nội năng của một đơn vị khối lượng. 1/2u2 là động năng của một đơn vị khối lượng. gz là vị năng của một đơn vị khối lượng. p/ρ là áp năng của một đơn vị khối lượng. Định luật I Nhiệt động lực học: số gia năng lượng được truyền vào chất lỏng trong một đơn vị thời gian (dE/dt) , bằng suất biến đổi trong một đơn vị thời gian của nhiệt lượng (dQ/dt) truyền vào khối chất lỏng đang xét, trừ đi suất biến đổi công (dW/dt) trong một đơn vị thời gian của khối chất lỏng đó thực hiên đối với môi trường ngoài (ví dụ công của lực ma sát): dt dW dt dQ dt dE −= ∫∫ ρ+∂∂= A nW dAukt X dt dX Như vậy ∫∫∫∫∫ ρρ++++ρρ+++∂∂=− A nuw u dAu) pgzue(dw)pgzue( tdt dW dt dQ 22 2 1 2 1 Dạng tổng quát của P. tr NL 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG uk G= ∫∫∫ ρ= W dWuX KKKhi X là động lượng: Định biến thiên động lượng: biến thiên động lượng của lưu chất qua thể tích W (được bao quanh bởi diện tích A) trong một đơn vị thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên khối lưu chất đó: ∫∫∫∫∫∑ +∂∂= A nw dAuρ)u(dwρ)u(tFngoạilực Dạmg tổngquát của p.tr ĐL Như vậy, từ kết quả của pp TTKS: ; ta có: ∫∫ ρ+∂∂= A nW dAukt X dt dX ngoạilực∑= FdtXd PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 10 Ví dụ 4: Một dòng chảy ra khỏi ống có vận tốc phân bố dạng như hình vẽ, với vận tốc lớn nhất xuất hiện ở tâm và có giá trị Umax = 12 cm/s . Tìm vận tốc trung bình của dòng chảy Giải: Lưu lượng : 3 Ruπ 3 r 2 Rr R uπ2rdrπ2)rR( R uQ 2 max Rr 32 max R 0 max =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=−= = ∫ Tại tâm ống, u=umax; tại thành ống, u=0. Ta có trên phương r,; vận tốc dòng chảy phân bố theo quy luật tuyến tính: )rR( R uu max −= Umax dr dA=2πrdr r 3 u A QV max== s/cm4V = Ví dụ 5: ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= 2 2 1 R r1uu Lưu chất chuyển động ổn định trong đường ống có đường kính D. Ở đầu vào của đoạn ống, lưu chất chuyển động tầng, vận tốc phân bố theo quy luật : u1: vận tốc tại tâm ống khi chảy tầng. r : được tính từ tâm ống (0 ≤ r ≤ D/2) u2: vận tốc tại tâm ống khi chảy rối y : được tính từ thành ống (0 ≤ y ≤ D/2) Tìm quan hệ giữa u1 và u2 Giải: dy)yR(π2 R yuQ;rdrπ2 R r1uQ 7 1R 0 22 R 0 2 2 11 −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= ∫∫ Theo phương trình liên tục: 21 QQ = Khi lưu chất chuyển động vào sâu trong ống thì chuyển sang chảy rối, với phân bố vận tốc như sau : r u1 o u2 R r o dr dA=2π rdr ( ) 2 Ruπ )R(4 r 2 ruπ2rdrπ2 R r1uQ 2 1 Rr 2 42 1 R 0 2 2 11 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= = ∫ 2 2 Ry 7 17 15 7 67 8 2 7 1R 0 7 1R 0 22 Ruπ60 49R 15 y7R 8 y7uπ2dy R yydy R yRuπ2Q =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−= = −∫∫ 7/1 2 R yuu ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 21 u30 49u =⇒ PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 11 Ví dụ 5: Giải: Chất lỏng lý ltưởng quay quanh trục thẳng đứng (oz). Giả sử vận tốc quay của các phân tố chất lỏng tỷ lệ nghịch với khoảng cách từ trục quay trên phương bán kính (V=a/r; a>0 là hằng số. Chúng minh rằng đây là một chuyển động thế. Tìm phương trình các đường dòng 0 y u x u xy =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂0)u(rot z =Gchuyển động không quay (thế) O r u y x 222y 222x yx ax r ax r x r a)oy,ucos(uu ; yx ay r ay r y r a)ox,ucos(uu +==⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛== + −=−=−== Suy ra: 222 22 222 22 22 x 222 22 222 22 22 y )yx( )xy(a )yx( )y2(ay)yx(a yx ay yy u ; )yx( )xy(a )yx( )x2(ax)yx(a yx ax xx u + −=+ ++−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + − ∂ ∂=∂ ∂ + −=+ −+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂=∂ ∂ Vậy: 0)u(rot0 y u x u z xy =⇔=∂ ∂−∂ ∂ Đây là chuyển động Một chuyển động thế trên mặt phẳng xOy Phương trình các đường dòng: C)yx( dx yx axdy yx aydxudyu 22 2222yx =+⇔ +=+ −⇔=