Chương 3 Nội suy và bình phương cực tiểu

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK------------------------------------------------------------------------------------- PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK 2 0506 CHƯƠNG 3 NỘI SUY VÀ BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (04/2006) NỘI DUNG-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1- NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE 2- SAI SỐ NỘI SUY LAGRANGE 5- BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU 3- NỘI SUY NEWTON (MỐC CÁCH ĐỀU) 4- NỘI SUY GHÉP TRƠN (SPLINE) BẬC BA BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VỀ NỘI SUY --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- xk : mốc nội suy, yk : giá trị (hàm) nội suy Nội suy: Bảng chứa (n+1) cặp dữ liệu { (xk, yk) }, k = 0  n NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bảng chứa (n+1) cặp số liệu {(xk,yk)} , k = 0  n Cách 1: 3 mốc  n = 2  L(x) = ax2 + bx + c (3 hệ số cần tìm) Tìm đa thức nội suy Minh hoạ bảng 3 dữ liệu: {(xk,yk)} , k=02 Tại x = 3, ybảng ? ybảng  L(3) = 0.325 VÍ DỤ SAI SỐ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Giải: Kết quả: Nhắc lại: Sai số: luôn làm tròn lên! NHIỀU MỐC  ĐA THỨC NỘI SUY CƠ SỞ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CÔNG THỨC TỔNG QUÁT --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VÍ DỤ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- NỘI SUY NEWTON – MỐC CÁCH ĐỀU ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bảng {(xk,yk)} , k = 0  n, mốc nội suy cách đều: x0, x1 = x0 + h, x2 = x1 + h … xn = xn-1 + h. Lập bảng sai phân : ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tất cả sai phân: Nội suy Newton  Lagrange! Câu hỏi: Tính tại x = 54 với Nội suy tiến. Nhận xét? HIỆN TƯỢNG RUNGE ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giá trị L(0.95) = Giá trị chính xác f(0.95) = 0.04 KẾT QUẢ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- So sánh đồ thị hàm ban đầu f(x) và đa thức nội suy P4(x) Tăng số nút có thể khiến sai số tăng! NỘI SUY GHÉP TRƠN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ý TƯỞNG NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC 3 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ XÂY DỰNG HÀM NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC 3 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1/ Hàm dạng bậc 3 trên từng đoạn [xk,xk+1], k = 0  n –1 GIẢI THUẬT NỘI SUY SPLINE BẬC 3 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I/ Độ dài hk = xk+1 – xk, k = 0 … n –1. Hệ số ak = yk, k = 0 … n VÍ DỤ NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lập hàm nội suy spline bậc 3 g(x) thoả điều kiện biên tự nhiên và nội suy bảng sau BẢNG TÍNH NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bước II: c3 = g”(x3)/2  c = [c0, c1, c2, c3]T là nghiệm BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Thực nghiệm: Thống kê lượng mưa 12 tháng & vẽ đồ thị PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU (BPCT) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nhiều dữ liệu & yk có sai số: Aùp đặt L(xk) = yk: vô nghĩa! TRƯỜNG HỢP TUYẾN TÍNH --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD: Tìm hàm bậc 1 xấp xỉ bảng sau theo nghĩa BPCT ĐA THỨC BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU BẬC CAO ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HÀM MŨ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD: Xấp xỉ bảng số với p/pháp bình phương cực tiểu