Chương 4 Công và năng lượng

Tích phân (4.3) được gọi là tích phân đường. Hệ thức đó chứng tỏ, trong trường hợp tổng quát, công phụ thuộc cả vào vị trí và đường đi. Tuy nhiên, trong một số trường lực, công không phụ thuộc vào đường đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối. Trường lực có tính chất như vậy, được gọi là trường lực thế. Trường hợp đặc biệt: Nếu các thành phần Fx, Fy, Fz chỉ phụ thuộc vào toạ độ tương ứng của nó, nghĩa là Fx= f(x), Fy= g(y), Fz= h(z) thì tích phân đường (4.3) được đưa về tổng các tích phân

pdf25 trang | Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 2843 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Chương 4 Công và năng lượng, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
114 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän Chương 4 CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG §4.1 CÔNG 1 – Định nghĩa: → F Công của lực trên đoạn đường vi cấp ds là: → F α )dA = Fs ds = Fds.cosα = (4.1) →→ sdF với Fs là hình chiếu của lực xuống qũi đạo; là vi phân của vectơ đường đi (cũng chính là vi phân của độ dời); α là góc tạo bởi hướng của lực và hướng của đường đi. → F → sd Hìmh 4.1: Công của lực. Suy ra, công của lực trên quãng đường s bất kì là: → F A = (4.2) ∫∫∫∫ α=== →→ ss s ss cosFdsdsFsdFdA Trong hệ toạ độ Descartes, , nên biểu thức tính công là: A = (4.3) )F,F,F(F);z,y,x(rdsd zyx=== →→→ ∫∫∫ ++== →→→→ s zyx ss dzFdyFdxFrdFsdF Tích phân (4.3) được gọi là tích phân đường. Hệ thức đó chứng tỏ, trong trường hợp tổng quát, công phụ thuộc cả vào vị trí và đường đi. Tuy nhiên, trong một số trường lực, công không phụ thuộc vào đường đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối. Trường lực có tính chất như vậy, được gọi là trường lực thế. Trường hợp đặc biệt: Nếu các thành phần Fx, Fy, Fz chỉ phụ thộc vào toạ độ tương ứng của nó, nghĩa là Fx = f(x), Fy = g(y), Fz = h(z) thì tích phân đường (4.3) được đưa về tổng các tích phân: A = (4.4) ∫∫∫ ++ 2 1 2 1 2 1 z z z y y y x x x dzFdyFdxF Công là đại lượng vô hướng, có thể âm, dương hoặc bằng không. Trong hệ SI, công có đơn vị jun (J). • Nếu lực luôn vuông góc với đường đi thì từ (4.2) suy ra A = 0: lực không sinh công. → F • Nếu tạo với dường đi một góc nhọn thì A > 0: công phát động. →F • Nếu tạo với dường đi một góc tù thì A < 0: công cản. →F Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG 115 Ví dụ 4.1: Tính công thực hiện bởi lực tác dụng vào một vật làm nó di chuyển từ điểm M(2; 3) đến N(3; 0). Các đơn vị đo trong hệ SI). )y4;x5(F =→ Giải Theo (4.4) ta có công cần tính là: ] ] =+=+= ∫∫ 0323220 3 3 2 y2x5,2ydy4xdx5A 12,5 – 18 = –5,5J 2 – Công của lực ma sát: Lực ma sát luôn tiếp xúc với qũi đạo và hướng ngược chiều chuyển động, nên cosα = – 1. Do đó, công của lực ma sát là: Ams = (4.5) ∫∫ −=α s ms s ms dsFcosdsF Nếu trên quãng đường s, lực ma sát có độ lớn không đổi thì ta có: Ams = – Fms.s (4.6) Biểu thức (4.6) chứng tỏ công của lực ma sát là công cản và phụ thuộc vào quãng đường vật đã đi. Vậy lực ma sát không phải là lực thế. Ví dụ 4.2: Vật khối lượng m = 10kg trượt trên sàn ngang có hệ số ma sát µ = 0,2. Tính công của lực ma sát khi vật đi được 10 mét. Giải Ta có lực ma sát trượt: F = µN = µmg = 0,2.10.10 = 20N = const. Vậy công của lực ma sát là: Ams = – Fms.s = – 20.10 = – 200J. 3/ Công của lực đàn hồi: Xét biến dạng một chiều của lò xo. Lực đàn hồi của lò xo, có dạng: →→ −= xkF . Thay vào (4.2), ta có công của lực đàn hồi là: )xx(k 2 1xdxkxdxksdFA 22 2 1 x x x xs 2 1 2 1 −=−=−== ∫∫∫ →→→→ (4.7) Trong đó x1 , x2 chính là độ biến dạng tương ứng của lò xo tại vị trí đầu và cuối. Từ (4.7) suy ra, công của lực đàn hồi không phụ thuộc vào đường đi mà chỉ phụ thưộc vào vào vị trí đầu và cuối. Ta nói lực đàn hồi là một lực thế. ñh → F Ví dụ 4.3: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 10N/m, dao động điều hòa với phương trình: x = 10sin5πt (cm). Tính công của lực đàn hồi thực hiện trong khoảng thời gian: x2 O x1 Hình 4.2: Công của lực đàn hồi. a) Từ lúc t = 0 đến lúc t = 5,5s. b) Một chu kì. 116 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän Giải a) Tại thời điểm t1 = 0s toạ độ của vật là: x1 = 0 cm = 0m; Tại thời điểm t2 = 5,5s toạ độ của vật là: x2 = 10sin27,5π = – 10cm = – 0,1m Vậy công của lực đàn hồi đã thực hiện là: )1,00(100. 2 1)xx(k 2 1A 222 2 1 −=−= = – 0,5J. b) Trong một chu kì thì x2 = x1 . Vậy A = 0 (J). 4 – Công của lực hấp dẫn: Ta có lực hấp dẫn: →→ −= r r mmGF 3 21 hd Suy ra công của lực hấp dẫn mang vật từ vị trí (1) đến vị trí (2) là: ∫∫ →→ →→ −== )2( )1( 321 )2( )1( hd12 r rdrmGmrdFA mà xdx + ydy + zdz = ½ d(x=→→ rdr 2 + y2 + z2) = ½ d(r2) = rdr nên A12 = – Gm1m2 )r 1 r 1(mGm r dr 12 21 r r 2 2 1 −=∫ (4.8) Trường hợp riêng, ta tính công của trọng lực khi vật di chuyển từ vị trí có độ cao h1 đến vị trí có độ cao h2 so với mặt đất : m m h2 h1 AP = GMm 21 21 rr rr − (4.9) Với các độ cao không lớn lắm thì ta có: r1 . r2 = (R +h1).(R + h2) ≈ R2 r1 – r2 = h1 – h2 Hình 4.3: Công của trọng lực chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và cuối Vậy: AP = GMm 2 21 R hh − = mg(h1 – h2) (4.10) Từ (4.10) suy ra, khi vật đi xuống thì trọng lực sinh công dương; khi vật đi lên thì trọng lực sinh công âm; nếu vật chuyển động theo phương ngang thì trọng lực không sinh công. Hệ thức (4.8) và (4.10) chứng tỏ công của lực hấp dẫn chỉ phụ thuộc vị trí điểm đầu và điểm cuối. Vậy, trường hấp dẫn là một trường lực thế. Trong trường hợp tổng quát, ta cũng chứng minh được các trường lực xuyên tâm là các trường lực thế. 5 – Công của lực trong chuyển động quay: Trong chuyển động quay, lực tác dụng được phân tích thành ba thành phần (xem hình 3.11): . Thành phần song song với trục quay và tn// FFFF →→→→ ++= //F→ Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG 117 thành phần pháp tuyến luôn vuông góc với đường đi nên không tạo công, chỉ có thành phấn tiếp tuyến là tạo công . Do đó, công vi cấp: nF → → sd tF → ϕ=ϕ=== ∆ →→ dMRdFdsFsdFdA ttt (4.11) với dϕ là góc chắn cung ds; M∆ = FtR là mômen của lực đối với trục quay ∆. Suy ra, công của lực làm vật quay từ vị trí góc ϕ1 đến ϕ2 là : (4.12) ∫ ϕ ϕ ∆ ϕ= 2 1 dMA Nếu mômen của lực không đổi thì: A = M∆.(ϕ2 – ϕ1) = M∆θ (4.13) Trong đó: θ = ϕ2 – ϕ1 là góc mà vật đã quay được. Nếu trong (4.11), ta thay M∆ = Iβ = dt dI ω thì dA = dt dI ω .dϕ = Iωdω Suy ra: )(I 2 1dIA 21 2 2 2 1 ω−ω=ωω= ∫ ω ω (4.14) (4.14) là công thức tổng quát tính tổng công của các ngoại lực trong chuyển động quay của vật rắn quanh một trục ∆ cố định . Trường hợp muốn tính công của một lực (hay hệ lực) nào đó, ta dùng (4.12) hoặc (4.13), với M∆ là mômen của lực (hay hệ lực) đó đối với trục quay ∆. Ví dụ 4.4: Một vô lăng hình trụ đồng nhất, bán kính R = 20cm, khối lượng m = 20kg đang quay với vận tốc ω = 4πrad/s thì bị hãm và dừng lại. Tính công của lực hãm trong quá trình đó. Giải Ta có ω1 = ω = 4πrad/s; ω2 = 0 (vì dừng lại); I = ½ mR2 Áp dụng (4.14), ta có công của lực hãm là: A = ¼ mR2(ω22 - ω12) = – ¼ .20. 0,22.(4π)2 = – 32 J § 4.2 CÔNG SUẤT 1 – Định nghĩa: Đại lượng đo bằng công sinh ra trong một đơn vị thời gian gọi là công suất. Công suất trung bình: Ptb = t A (4.15) Công suất tức thời: P = dt dA (4.16) Công suất của một máy nào đó đặc trưng cho khả năng sinh công của máy đó trong một đơn vị thời gian. Trong hệ SI, đơn vị của công suất là oát (W). 118 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän Trước đây người ta thường so sánh khả năng sinh công của máy móc với khả năng sinh công của con ngưạ. Vì thế, trong kĩ thuật, người ta còn dùng đơn vị công suất là mã lực, kí hiệu là CV hoặc HP. Ta có: 1 HP ≈ 736 W. Từ biểu thức tính công suất trung bình (4.15), ta có thể ước lượng công sinh ra trong thời gian t là A = Pt. Vì thế ta còn đo công bằng đơn vị kilô oát giờ (kWh): 1 kWh = 103 W . 3600 s = 3,6.106 (J). Bảng 4.1: Một vài giá trị công suất Tên động cơ Công suất P Tên động cơ Công suất P Người Ngựa Ôtô Đầu máy xe lửa 40 – 80W Cỡ 700W 20 – 300kW 1 – 3MW Tên lửa Mặt trời Nhà máy thủy điện Hòa Bình 20MW 3,7.1020 MW 5GW 2 – Liên hệ giữa công suất, lực và vận tốc: Ta có : P = →→ → → →→ === vF dt sdF dt sdF dt dA (4.17) Vậy: Công suất bằng tích vô hướng của lực tác dụng với vận tốc của vật. Nếu lực tác dụng luôn cùng hướng với vận tốc thì ta có: P = F.v (4.18) Công thức (4.18) là cơ sở để chế tạo ra hộp số của xe máy và xe hơi: Do công suất của động cơ đốt trong có một giá trị nhất định, nên khi xe lên dốc, ta cần lực phát động lớn, muốn vậy, phải giảm vận tốc của xe; ngược lại, khi xe chạy trên đường ngang, ta không cần lực phát động lớn, vì thế vận tốc của xe phải lớn. Bộ hộp số được được chế ra nhằm đáp ứng yêu cầu trên. Trong chuyển động quay, ta có quan hệ giữa công suất, mômen lực và vận tốc góc như sau: ω=ϕ== ∆∆ Mdt dM dt dAP (4.19) Hay (4.20) → ∆ → ω= .MP Ví dụ 4.5: Một động cơ có công suất cơ học 500W, rôto quay với vận 300 vòng/phút. Tính mômen của lực từ đã tạo ra công suất trên. Giải Ta có: P = 500W; ω = 300 vòng/ phút = 10π rad/s Từ (4.19) suy ra mômen của lực từ là: m/N16 10 500PM =π=ω=∆ . Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG 119 § 4.3 NĂNG LƯỢNG 1 – Khái niệm năng lượng: Tất cả các dạng cụ thể của vật chất đều có năng lượng. Theo nghĩa chung nhất, năng lượng là một thuộc tính cơ bản của vật chất, đặc trưng cho mức độ vận động của vật chất. Mỗi hình thức vận động cụ thể của vật chất sẽ tương ứng với một dạng năng lượng cụ thể. Ví dụ: trong vận động cơ, ta có cơ năng; vận động nhiệt, ta có nhiệt năng, nội năng; vận động điện từ, ta có năng lượng điện từ; … Năng lượng thường kí hiệu là E (Energy). Trong hệ SI, đơn vi đo năng lượng là jun (J). Theo Einstein, năng lượng và khối lượng của vật quan hệ với nhau bởi: E = mc2 (4.21) với c = 3.108 m/s là vận tốc ánh sáng trong chân không. 2 – Định luật bảo toàn năng lượng: Vì vật chất vận động dưới nhiều hình thức, nên năng lượng của một vật hay hệ vật cũng tồn tại dưới nhiều dạng và trong quá trình vận động, năng lượng có thể chuyển hoá từ dạng này sang dạng khác, nhưng năng lượng tổng cộng của một hệ cô lập luôn không đổi. Đó là nội dung cơ bản của định luật bảo toàn năng lượng. Suy rộng ra trong toàn vũ trụ, ta có định luật bào toàn và chuyển hoá năng lượng: Năng lượng không tự nhiên sinh ra và cũng không tự nhiên mất đi, mà nó chỉ chuyển hoá từ dạng này sang dạng khác hoặc truyền từ vật này sang vật khác, còn tổng năng lượng không thay đổi. 3 – Ý nghĩa của định luật bảo toàn năng lượng: - Định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng phản ánh một thuộc tính cơ bản của vật chất không thể tiêu diệt, đó là sự vận động. - Từ định luật bảo toàn năng lượng suy ra: không thể có một hệ nào sinh công mãi mãi mà không nhận thêm năng lượng từ bên ngoài. Nói cách khác, không tồn tại động cơ vĩnh cửu – một loại máy mà con người đã có một thời tổn hao trí lực và tiền của để nghiên cứu chế tạo nhưng vô ích. - Định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng là định luật có phạm vi áp dụng rộng nhất. Nó đúng trong mọi lĩnh vực, mọi hình thức vận động của vật chất từ vĩ mô đến vi mô. 4 – Quan hệ giữa năng lượng và công: Như trên đã giới thiệu, năng lượng có rất nhiều dạng. Trong phạm vi Cơ học, khi nói “năng lượng”, ta ngụ ý muốn nói đến “cơ năng”. Một hệ cơ học ở trạng thái xác định sẽ có năng lượng xác định. Khi hệ biến đổi từ trạng thái này sang trạng thái khác thì năng lượng của hệ cũng biến đổi từ giá trị E1 sang E2 . Trong quá trình biến đổi đó, hệ có thể nhận công hoặc sinh công A. Thực nghiệm chứng tỏ: E2 – E1 = A (4.22) 120 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän Vậy: độ biến thiên năng lượng trong một quá trình nào đó bằng công mà hệ nhận được hoặc sinh ra trong quá trình đó. Nếu hệ nhận công từ bên ngoài (A > 0) thì năng lượng của hệ tăng; nếu hệ sinh công (A < 0) thì năng lượng của hệ giảm. Như vậy, công đặc trưng cho độ biến thiên năng lượng của hệ trong một quá trình nhất định. Công bao giờ cũng tương ứng với một quá trình biến đổi cụ thể, ta nói công là hàm của quá trình. Còn năng lượng có giá trị xác định khi hệ ở một trạng thái xác định, ta nói năng lượng là một hàm của trạng thái. Khi hệ biến đổi nó sẽ trao đổi năng lượng với bên ngoài bằng cách nhận công hoăc sinh công. Vậy công là số đo phần năng lượng đã chuyển hoá từ hệ (cơ học) ra ngoài hoặc từ bên ngoài vào hệ. 5 – Hiệu suất của máy: Máy là thiết bị biến đổi dạng năng lượng này thành dạng năng lượng khác dễ sử dụng hơn. Năng lượng cung cấp cho máy hoạt động (năng lượng đầu vào) được gọi là năng lượng toàn phần E; năng lượng mà máy sinh ra (năng lượng đầu ra) được gọi là năng lượng có ích Ei . Tỉ số giữa năng lượng có ích và năng lượng toàn phần được gọi là hiệu suất của máy: E EH i= (4.23) Năng lượng cung cấp cho máy luôn lớn hơn năng lượng mà máy sinh ra, vì trong quá trình hoạt động của máy, một phần năng lượng bị hao phí do ma sát hoặc do sự vận hành của máy tiêu tốn năng lượng. Do đó Ei < E , suy ra hiệu suất của máy luôn nhỏ hơn 100%. Ví dụ: Động cơ điện là thiết bị biến điện năng thành cơ năng. Khi động cơ điện họat động, một phần điện năng bị tiêu tốn do tỏa nhiệt trên các cuộn dây của động cơ và do ma sát ở trục động cơ, … nên cơ năng sinh ra luôn nhỏ hơn điện năng cung cấp cho động cơ. Kết quả hiệu suất nhỏ hơn 100%. Tuy nhiên, động cơ điện là loại động cơ có hiệu suất cao nhất trong các loại động cơ. § 4.4 ĐỘNG NĂNG 1 – Định nghĩa động năng: Xét một chất điểm khối lượng m chuyển dời từ vị trí (1) đến vị trí (2) dưới tác dụng của lực . Công của lực trong quá trình đó là: → F → F ∫∫∫ → → →→→→ === )2( )1( )2( )1( )2( )1( sd dt vdmsdamsdFA ∫∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=== →→→ → )2( )1( 2)2( )1( )2( )1( 2 mvdvdvmvd dt sdm Suy ra: A = 2 mv 2 mv 21 2 2 − (4.24) So sánh (4.22) với (4.24) ta suy ra 2 mv vaø 2 2 2 mv21 chính là năng lượng của vật tại vị trí (1) và (2). Ta gọi năng lượng đó là động năng của vật tương ứng với các vị trí (1) và (2). Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG 121 Vậy: Động năng của một chất điểm là năng lượng tương ứng với sự chuyển động của chất điểm đó, có giá trị bằng nửa tích khối lượng với bình phương vận tốc của chất điểm. Eđ = 2 mv2 (4.25) Trong hệ SI, động năng có đơn vị jun (J). Đối với hệ chất điểm, động năng của hệ bằng tổng động năng của các chất điểm trong hệ: ∑= i 2 ii vm2 1Eñ (4.26) Đối với vật rắn chỉ có chuyển động tịnh tiến, động năng là: ∑ ∑ ∑ ==== 2Gi2G2Gi2iitt mv21mv21vm21vm21E (4.27) với m là khối lượng vật rắn, vG là vận tốc tịnh tiến của khối tâm. Trong chuyển động quay của vật rắn quanh trục ∆ cố định, so sánh (4.14) và (4.22) ta có động năng quay: 2q I2 1E ω= ∆ (4.28) Khi vật rắn có chuyển động phức tạp, ta có thể coi chuyển động đó gồm hai chuyển động đồng thời: tịnh tiến của khối tâm G và quay quanh khối tâm G. Do đó động năng của vật rắn trong trường hợp này bằng tổng động năng tịnh tiến và động năng quay quanh khối tâm: 2G 2 Gqtt I2 1mv 2 1EEE ω+=+=ñ (4.29) Ví dụ 4.6: Một quả cầu đặc đồng nhất, khối lượng m = 5kg đang lăn (không trượt) với vận tốc 2m/s. Tính động năng của quả cầu. Giải Chuyển động của quả cầu được phân tích thành hai chuyển động đồng thời: tịnh tiến của khối tâm G với vận tốc v = 2m/s và quay quanh khối tâm G với vận tốc góc ω = v/R (do lăn không trượt nên vận tốc dài của điểm tiếp xúc bằng với vận tốc tịnh tiến của khối tâm). Vậy động năng của quả cầu là: 2G 2 Gqtt I2 1mv 2 1EEE ω+=+=ñ Mà IG = 2mR 5 2 , nên 22222 mv 5 1mv 2 1mR 5 2. 2 1mv 2 1E +=ω+=ñ ⇒ Eđ = 22 2.5. 10 7mv 10 7 = = 14J. 2 – Định lý về động năng: 122 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän Từ (4.24) ta có định lý: “Độ biến thiên động năng của vật (hay hệ vật) sau một quá trình nào đó bằng tổng công của các ngoại lực tác dụng vào vật (hay hệ vật) trong quá trình đó”: ∆Eđ = E2 – E1 = 2 mv 2 mv 21 2 2 − = A12 (4.30) Ví dụ 4.7: Một ô tô khối lượng 2 tấn đang chuyển động trên đường ngang với vận tốc 72km/h thì hãm phanh rồi dừng lại. Tính động năng ban đầu của ô tô và công của lực hãm sinh ra trong quá trình đó (coi ôtô như một chất điểm). → P → N → hF Giải Ta có: m = 2 tấn = 2.103 kg; vo = 72km/h = 20m/s; v = 0 (dừng) Hình 4.4 Động năng ban đầu: Eđ1 = J10.420.10.2. 2 1mv 2 1 5232 0 == Động năng lúc sau: Eđ2 = 0 (vì dừng lại) Áp dụng định lí động năng: ∆Eđ = Angoại lực = AN + Ap + Ah Vì trọng lực và phản lực vuông góc với đường đi nên: Ap = AN = 0. Do đó, công của lực hãm là: Ah = Eđ2 – Eđ1 = – 4.10 5 J. § 4.5 THẾ NĂNG 1 – Định nghĩa thế năng: Ta biết, công của trường lực thế không phụ thuộc vào đường đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối của đường đi. Để đặc trưng cho tính chất thế của trường lực, ta dùng hàm vô hướng Et(x,y,z) mô tả vị trí các điểm trong trường lực, sao cho hiệu hai giá trị của hàm tại hai điểm M, N bất kì bằng công của lực thế thực hiện giữa hai điểm đó. Hàm Et(x,y,z) có tính chất như vậy được gọi là hàm thế, hay thế năng của trường lực thế đó. Vậy, Thế năng của chất điểm trong trường lực thế là hàm phụ thuộc vào vị trí của chất điểm, sao cho hiệu các giá trị của hàm tại hai điểm M, N chính bằng công của lực thế đã thực hiện trong quá trình chất điểm di chuyển từ M đến N. )r(E → Et (M) – Et (N) = AMN (4.31) Trong hệ SI, thế năng có đơn vị là jun (J). Với khái niệm (4.31), ta thấy có rất nhiều hàm thế, các hàm này sai khác nhau một hằng số cộng C. Do đó, thế năng của vật không xác định đơn giá mà sai khác nhau một hằng số cộng. Tuy nhiên, hiệu thế năng tại hai điểm luôn xác định đơn giá. Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG 123 Nếu chọn gốc thế năng ở vô cùng (Et(∞ ) = 0) thì thế năng tại điểm M sẽ xác định đơn giá và có biểu thức tính: (4.32) →∞ → ∞ ∫== sdFA)M(E )M( Mt Tổng quát, thế năng tại điểm M(x,y,z) trong trường lực thế có biểu thức tính: (4.33) CrdFsdF)M(E t +−=−= →→→→ ∫∫ với C hà hằng số, phụ thuộc vào điểm chọn gốc thế năng. Ví dụ 4.8: Một trường lực hút xuyên tâm mà độ lớn của lực tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ điểm khảo sát đến tâm trường. Tìm thế năng của trường lực này trong hai trường hợp: a) chọn gốc thế năng ở vô cùng; b) chọn gốc thế năng tại điểm Mo cách tâm trường một khoảng ro. Giải Theo bài, ta có: r r r kF 2 → → −= , với k là hệ số tỉ lệ, k > 0. Dấu “–“ biểu diễn lực hút. a) Chọn gốc thế năng ở vô cùng, theo (4.31) thì thế năng tại điểm M cách tâm trường một khoảng r là: ∫ ∫∫∫ ∞ ∞ →→ →∞→→∞→ −=−=−=== r r 23 rr t r k r drk r rdrkrdFsdFE b) Theo (4.32), ta có: C r kC r drkCrdF)M(E 2t +−=+=+−= ∫∫ →→ vì 00 0t r kC0C r k0)M(E =⇔=+−⇔= . Vậy: r k r k)M(E 0 t −= 2 – Quan hệ giữa thế năng và lực thế: So sánh (4.31) và (4.2) ta có mối quan hệ giữa thế năng và lực thế ở dạng tích phân: (4.34) )N(E)M(EsdF tt MN −=∫ →→ Vế trái (4.34) được gọi là lưu thông của vectơ lực từ điểm M đến N doc theo một đường cong bất kì nào đó; còn vế phải là hiệu thế năng tại M, N. Vậy: Lưu thông của lực thế dọc theo một đường cong bất kì từ điểm M đến N bằng hiệu thế năng giữa hai điểm đó. Lưu thông của lực thế dọc theo một đường cong kín bất kì thì bằng không: 0sdF )C( =∫ →→ (4.35) Các công thức (4.34) và (4.35) biểu diễn tính chất thế của trường lực ở dạng tích phân. Ở dạng vi phân, ta có: A12 = Et1 – Et2 = - ∆Et hay dA = - dEt 124 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän Mà: dA = = F →→→→ = rdFsdF xdx + Fydy + Fzdz; Et = Et(x,y,z) và vi phân cùa hàm thế : t t tt E E EdE .dx .dy .dz x y z ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ Nên: Fxdx + Fydy + Fzdz = ( )dz. z E dy. y E dx. x E ttt ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂− Suy ra: z E F; y E F; x E F tz t y t x ∂ ∂−=∂ ∂−=∂ ∂−= (4.36) Trong giải tích vectơ, người ta xây dựng một vectơ grad dẫn xuất từ một hàm vô hướng – gọi là gradien: →→→ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= k. z E j. y E i. x E )E(grad tttt (4.37) Do đó (4.36) được viết là: (4.38) )E(gradF t−= → (4.36) và (4.38) là mối quan hệ giữa lực thế và thế năng E → F t ở dạng vi phân. Vì gradEt là vectơ luôn hướng theo chiều tăng của hàm thế nên lực thế luôn hướng theo chiều giảm của hàm thế. → F Trường hợp riêng, thế năng chỉ là hàm một biến, ví dụ )x(EE tt = , thì ta có: dx )x(dE F t−= (4.38a) Ví dụ 4.9: Thế năng của một hạt trong trường lực