Chương 4 Điều khiển bền vững

Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 411 Chương 4 ðIỀU KHIỂN BỀN VỮNG 4.1 Giới thiệu 4.1.1 Khái niệm ñiều khiển bền vững Hệ thống ñiều khiển bền vững làm cho chất lượng của sản phẩm luôn ổn ñịnh, không phụ thuộc vào sự thay ñổi của ñối tượng cũng như của nhiễu tác ñộng lên hệ thống. Mục ñích của ñiều khiển bền vững là thiết kế các bộ ñiều khiển K duy trì ổn ñịnh bền vững không chỉ với mô hình danh ñịnh của ñối tượng (P0) mà còn thỏa với một tập mô hình có sai số ∆ so với mô hình chuẩn ( ∆P ). P0 :Mô hình chuẩn (mô hình danh ñịnh) ∆P :Mô hình thực tế với sai lệch ∆ so với mô hình chuẩn Hình 4.1 : Mô hình ñiều khiển bền vững Cho tập mô hình có sai số ∆P và một tập các chỉ tiêu chất lượng, giả sử P0 ∈ ∆P là mô hình danh ñịnh dùng ñể thiết kế bộ ñiều khiển K.Hệ thống hồi tiếp vòng kín ñược gọi là có tính : - Ổn ñịnh danh ñịnh: nếu K ổn ñịnh nội với mô hình danh ñịnh P0 - Ổn ñịnh bền vững: nếu K ổn ñịnh nội với mọi mô hình thuộc ∆P - Chất lượng danh ñịnh: nếu các mục tiêu chất lượng ñược thỏa ñối với mô hình danh ñịnh P0 Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 412 - Chất lượng bền vững: nếu các mục tiêu chất lượng ñược thỏa ñối với mọi mô hình thuộc ∆P Mục tiêu bài toán ổn ñịnh bền vững là tìm bộ ñiều khiển không chỉ ổn ñịnh mô hình danh ñịnh P0 mà còn ổn ñịnh một tập các mô hình có sai số ∆P 4.1.2 Chuẩn của tín hiệu 4.1.2.1 Khái niệm chuẩn Trong ñiều khiển nói riêng cũng như trong các công việc có liên quan ñến tín hiệu nói chung,thông thường ta không làm việc chỉ riêng với một tín hiệu hoặc một vài tín hiệu ñiển hình mà ngược lại phải làm việc với một tập gồm rất nhiều các tín hiệu khác nhau. Khi phải làm việc với nhiều tín hiệu khác nhau như vậy chắc chắn ta sẽ gặp bài toán so sánh các tín hiệu ñể chọn lọc ra ñược những tín hiệu phù hợp cho công việc. Các khái niệm như tín hiệu x1(t) tốt hơn tín hiệu x2(t) chỉ thực sự có nghĩa nếu như chúng cùng ñược chiếu theo một tiêu chuẩn so sánh nào ñó. Cũng như vậy nếu ta khẳng ñịnh rằng x1(t) lớn hơn x2(t) thì phải chỉ rõ phép so sánh lớn hơn ñó ñược hiểu theo nghĩa nào, x1(t) có giá trị cực ñại lớn hơn , có năng lượng lớn hơn hay x1(t) chứa nhiều thông tin hơn x2(t)…..Nói một cách khác ,trước khi so sánh x1(t) với x2(t) chúng ta phải gắn cho mỗi một tín hiệu một giá trị ñánh giá tín hiệu theo tiêu chuẩn so sánh ñược lựa chọn . ðịnh nghĩa: Cho một tín hiệu x(t) và một ánh xạ x(t) →||x(t)|| ∈R+ chuyển x(t) thành một số thực dương ||x(t)||.Số thực dương này sẽ ñược gọi là chuẩn của x(t) nếu nó thỏa mãn: a. ||x(t)|| ≥ 0 và ||x(t)|| = 0 khi và chỉ khi x(t) =0 (4.1) b. ||x(t)+y(t)|| ≤ ||x(t)|| + ||y(t)|| ∀ x(t), y(t) (4.2) c. ||ax(t)|| = |a|.||x(t)|| ∀ x(t) và Ra ∈∀ . (4.3) 4.1.2.2 Một số chuẩn thường dùng trong ñiều khiển cho một tín hiệu x(t): - Chuẩn bậc 1: dttxtx ∫ ∞ ∞− = |)(|||)(|| 1 (4.4) - Chuẩn bậc 2: ∫ ∞ ∞− = dttxtx 22 |)(|||)(|| . (4.5) Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 413 Bình phương chuẩn bậc hai chính là giá trị ño năng lượng của tín hiệu x(t). -Chuẩn bậc p: p pp dttxtx ∫ ∞ ∞− = |)(|||)(|| với p ∈ N (4.6) - Chuẩn vô cùng: |)(|sup||)(|| txtx t = ∞ (4.7) ñây là biên ñộ hay ñỉnh của tín hiệu Khái niệm chuẩn trong ñịnh nghĩa trên không bị giới hạn là chỉ cho một tín hiệu x(t) mà còn ñược áp dụng ñược cho cả vector tín hiệu gồm nhiều phần tử và mỗi phần tử lại là một tín hiệu. Xét một vector tín hiệu: x(t) =           )( )(1 tx tx n M - Chuẩn 1 của vector x: ∑ = = n i ixx 1 1 (4.8) - Chuẩn 2 của vector x: ∑ = = n i ixx 1 2 2 (4.9) - Chuẩn vô cùng của vector x: ni ixx ,...,2,1 max = ∞ = (4.10) 4.1.2.3 Quan hệ của chuẩn với ảnh Fourier và ảnh Laplace: ðể phục vụ mục ñích sử dụng khái niệm chuẩn vào ñiều khiển ,ta cần quan tâm tới mối liên quan giữa chuẩn tín hiệu x(t) là ||x(t)|| với ảnh Fourier X(jω ) cũng như ảnh Laplace X(s) của nó. Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 414 ðịnh lí 4.1: (Parseval) Chuẩn bậc hai của một tín hiệu x(t) và ảnh Fourier X(jω ) của nó có quan hệ : ωω pi djXdttxtx 222 |)(| 2 1|)(|||)(|| 2 ∫ ∫ ∞ ∞− ∞ ∞− == (4.11) Cho tín hiệu nhân quả causal x(t). Gọi X(s) là ảnh Laplace của nó .Giả sử rằng X(s) có dạng thực -hữu tỷ với bậc của ña thức tử số không lớn hơn bậc ña thức mẫu số ,tức là: n n m m sasaa sbsbb sA sB sX +++ +++ == ..... ..... )( )()( 10 10 với m < n (4.12) ðịnh lí 4.2: Xét tín hiệu nhân quả causal x(t) có X(s) dạng (4.12) .ðể chuẩn bậc 1 của x(t) là một số hữu hạn ||x(t)||1= K < ∞ thì ñiều kiện cần và ñủ là tất cả các ñiểm cực của X(s) phải nằm bên trái trục ảo (có phần thực âm) . 4.1.3 ðại số ma trận 4.1.3.1 Một số ma trận thường gặp: - Một ma trận A=(aij) có số hàng bằng số cột ñược gọi là ma trận vuông. ðường chéo nối các phần tử aii trong ma trận vuông ñược gọi là ñường chéo chính .ðường chéo còn lại ñược gọi là ñường chéo phụ. A =             nnnn n n aaa aaa aaa L MMMM L L 21 22221 11211 (4.13) - Một ma trận vuông A=(aij) có aij = 0 khi i ≠ j ,tức là các phần tử không nằm trên ñường chéo chính ñều bằng 0, ñược gọi là ma trận ñường chéo. Ma trận ñường chéo ñược ký hiệu bởi: A =             nna a a L MMMM L L 00 00 00 22 11 = diag(aij) (4.14) Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 415 - Ma trận ñường chéo I = diag(1) =             100 010 001 L MMMM L L gọi là ma trận ñơn vị. - Ma trận vuông A=(aij) có aij = 0 khi i > j (hoặc i < j) ñược gọi là ma trận tam giác + Ma trận tam giác dưới A=             nnnn aaa aa a L MMMM L L 21 2221 11 0 00 (4.15) + Ma trận tam giác trên A=             nn n n a aa aaa L MMMM L L 00 0 222 11211 (4.16) 4.1.3.2 Các phép tính về ma trận: - Phép cộng / trừ: Cho hai ma trận A=(aij) và B=(bij) cùng có m hàng và n cột .Tổng hay hiệu A ± B = C =(cij) của chúng ñược ñịnh nghĩa là một ma trận cũng có m hàng và n cột với các phần tử cij = aij + bij i=1,2,…..,m và j=1,2,…..,n. - Phép nhân với số thực: Cho ma trận A=(aij) có m hàng và n cột và một số vô hướng thực(phức) x tùy ý .Tích B = xA = Ax = (bij) ñược hiểu là ma trận cũng có m hàng và n cột với các phần tử Bij = x.aij i=1,2,….m và j=1,2,…..,n - Phép chuyển vị: Ma trận chuyển vị của ma trận A=(aij) với m hàng và n cột là ma trận AT = (aji) có n hàng và m cột ñược tạo từ ma trận A qua việc hoán chuyển hàng thành cột và ngược lại cột thành hàng. - Phép nhân ma trận: Cho ma trận A=(aik) có m hàng và p cột và ma trận B=(bkj) có p hàng và n cột ,tức là : Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 416 + A=(aik) i=1,2,....,m và k=1,2,….,p + B=(bkj) k=1,2,….,p và j=1,2,…..,n Tích AB = C =(cij) của chúng là một ma trận có m hàng và n cột với các phần tử Cij = ∑ = p k kjik ba 1 Một ma trận vuông A nnR ×∈ ñược gọi là ma trận trực giao nếu ATA=AAT=I 4.1.3.3 Hạng của ma trận: Cho n vector vi i=1,2,…,n Chúng sẽ ñược gọi là ñộc lập tuyến tính nếu ñẳng thức a1v1+a2v2+…….+anvn=0 trong ñó ai là những số thực (hoặc phức) sẽ ñúng khi và chỉ khi a1 = a2 = …..=an = 0 Xét một ma trận A=(aij) bất kì có m hàng và n cột .Nếu trong số m vector hàng có nhiều nhất p ≤ m vector ñộc lập tuyến tính và trong số n vector cột có nhiều nhất q ≤ n vector ñộc lập tuyến tính thì hạng ma trận ñươc hiểu là: Rank(A) = min{p,q} Một ma trận vuông A kiểu (n×n) sẽ ñược gọi là không suy biến nếu Rank(A)=n .Ngược lại nếu Rank(A) <n thì A ñược nói là ma trận suy biến Hạng ma trận có các tính chất sau: - Rank(A) = min{p,q} (4.17) - Rank(AB) ≤ rank(A) và rank(AB) ≤ rank(B) (4.18) - Rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) (4.19) - Nếu B không suy biến thì rank(AB) = rank(B) (4.20) 4.1.3.4 Ma trận nghịch ñảo: Cho ma trận A=(aij),i=1,2,…,m ; j=1,2,…,n,trong ñó aij là những số thực (hoặc phức),nói cách khác A ∈ Rm× n(hoặc A ∈ Cm× n ).Nếu tồn tại một ma trận B thỏa mãn : AB = BA = I (ma trận ñơn vị) (4.21) Thì ma trận B ñược gọi là ma trận nghịch ñảo của A và ký hiệu là B = A-1. Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 417 Do phải tồn tại cả hai phép nhân AA-1 và A-1A cho ra kết quả có cùng kiểu nên ma trận A phải là một ma trận vuông,tức là phải có m = n.Hơn nữa do det(I) = 1 ≠ 0 nên: det(A)det(A-1) ≠ 0 => det(A) ≠ 0 và det(A-1) ≠ 0. (4.22) Vậy A phải là ma trận không suy biến. Ma trận nghịch ñảo A-1 của A có tính chất sau: - Ma trận nghịch ñảo A-1 của A là duy nhất (4.23) - Tập hợp tất cả các ma trận vuông cùng kiểu và không suy biến cùng với phép nhân ma trận tạo thành một nhóm (không giao hoán). (4.24) - Nghịch ñảo ma trận kiểu (2×2):       − − =      = − ac bd Adc ba A )det( 11 (4.25) - (AB)-1 = B-1A-1 (4.26) - (A-1)T = (AT)-1 (4.27) - Nếu A = diag(ai) và không suy biến thì A-1 = diag       ia 1 (4.28) - A-1 = )det(A Aadj (4.29) trong ñó Aadj là ma trận có các phần tử a ij = (-1)i+jdet(Aij) với Aij là ma trận thu ñược từ A bằng cách bỏ ñi hàng thứ j và như cột thứ i. - Cho ma trận A ∈ Rn× n không suy biến . Nếu U ∈ Rn× m và V ∈ Rn× m là hai ma trận làm cho (I+VTA-1U) cũng không suy biến thì (A+UVT)-1 = A-1 – A-1U(I+VTA-1U)-1VTA-1 (4.30) - Cho ma trận vuông A =       43 21 AA AA không suy biến,trong ñó A1,A2,A3,A4 cũng là các ma trận. Nếu A1 không suy biến và B = A4 – A3A1-1A2 cũng không suy biến thì       − −+ =      = − − − − −− −− − − − 11 13 1 1 2 1 1 1 13 1 21 11 1 1 43 211 BAAB BAAAABAAA AA AA A (4.31) Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 418 Nếu A4 không suy biến và C = A1 – A2A4-1A3 cũng không suy biến thì       +− − =      = − − −− − − − −− − − 1 32 1 3 1 4 1 4 1 3 1 4 1 42 111 43 211 AACAAAACAA AACC AA AA A (4.32) 4.1.3.5 Vết của ma trận: Cho ma trận vuông A=(aij) ,i,j=1,2,……,n kiểu (nxn).Vết của A ñược hiểu là tổng giá trị các phần tử trên ñường chéo chính của A và ñược ký hiệu bằng trace(A): trace=∑ = m i iia 1 (4.33) Vết của ma trận có các tính chất: a. trace(AB) = trace(BA) (4.34) b. trace(S-1AS) = trace(A) với S là ma trận không suy biến bất kì (4.35) 4.1.3.6 Giá trị riêng và vector riêng: Số thực λ ñược gọi là giá trị riêng và vector x ñược gọi là vector riêng bên phải ứng với giá trị riêng λ của A thỏa mãn: Ax = λ x ∀ x (4.36) ⇔ (A - λ I)x = 0 ∀ x (4.37) Giá trị riêng và vector riêng của ma trận A có những tính chất sau: a. Hai ma trận tương ñương A và S-1AS luôn cùng giá trị riêng, nói cách khác giá trị riêng của ma trận bất biến với phép biến ñổi tương ñương: det(A- λ I)=det(S-1AS- λ I) (4.38) b. Các giá trị riêng của ma trận bất biến với phép chuyển vị, tức là: det(A- λ I)=det(AT- λ I) (4.39) c. Nếu A không suy biến thì AB và BA có cùng các giá trị riêng ,tức là: det(AB- λ I)=det(BA- λ I) (4.40) d. Nếu A là ma trận ñối xứng (AT=A) thì các vector riêng ứng với những giá trị riêng khác nhau sẽ trực giao với nhau Trong Matlab ,sử dụng hàm eig(A) ñể tìm ma trận riêng và vector riêng. Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 419 4.1.3.7 Tính toán ma trận: Cho ma trận X = (xij) ∈ Cm× n là một ma trận thực (hoặc phức) và F(X) ∈ C là một vô hướng thực hoặc phức của X .ðạo hàm của F(X) ñối với X ñược ñịnh nghĩa         ∂ ∂ = ∂ ∂ )()( XF x XF X ij (4.41) Cho A và B là những ma trận phức với không gian tương thích .Một số công thức ñạo hàm : ( ) ( ) ( ) 1 (4.42) ( ) (4.43) 2 ( ) (4.44) ( ) (4.45) ( ) (4.46) − ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = + ∂ ∂ = ∂ T T k k T T T T T T Trace AXB A B X Trace X k X X Trace XBX XB B B X X AX AX A X X Trace AX B BA X 4.1.3.8 Chuẩn của ma trận: Người ta cần ñến chuẩn của ma trận là nhằm phục vụ việc khảo sát tính giải tích của nó.Có nhiều chuẩn khác nhau cho một ma trận A=(aij) ,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n. Những chuẩn thông thường ñược sử dụng: - Chuẩn 1 của ma trận A ∑ = ≤≤ = m i ij nj aA 11 1 max (4.47) - Chuẩn 2 của ma trận A )(max * 12 AAA i ni λ ≤≤ = (4.48) - Chuẩn vô cùng của ma trận A Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 420 ∑ = ≤≤∞ = n j ij mi aA 11 max (4.49) - Chuẩn Euclide của ma trận A (chuẩn Frobenius) )(2 AAtraceaA T i j ijF == ∑∑ (4.50) với *A là ma trận chuyển vị và lấy liên hiệp. )( * AAiλ là trị riêng của ma trận AA* là một số thực không âm. 4.1.4 Trị suy biến của ma trận – ñộ lợi chính(Principal gain) Trị suy biến của ma trận A(m x l) ñược ký hiệu là )(Aiσ ñược ñịnh nghĩa như sau: kiAAA ii ,...2,1)()( * == λσ (4.51) với },min{ lmk = . Nếu chúng ta biểu diễn ma trận A dưới dạng A(s) và ñặt ωjs = )0( ∞<≤ ω , thì trị suy biến của )( ωjA là một hàm của ω và ñược gọi là ñộ lợi chính của A(s). Ở ñây chúng ta giả sử rằng iσ ñược sắp xếp theo thứ tự sao cho 1+≥ ii σσ . Như vậy, 1σ là trị suy biến lớn nhất và kσ là trị suy biến nhỏ nhất. Ký hiệu σ là trị suy biến lớn nhất và σ là trị suy biến nhỏ nhất. Ta có: )(max)(max)( * AAAA ii λσσ == 2A= (4.52) với 2 2 2 sup x Ax A = . ðộ lợi của hệ ña biến nằm giữa ñộ lợi chính lớn nhất và nhỏ nhất. Trong Matlab tìm trị suy biến của ma trận A dùng lệnh svd(A) Ví dụ: Cho ma trận A: Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 421 >> A =           7 8 4 2 6 9 ; >> S =svd(A) S = [14.9359 5.1883] S: vector của các giá trị suy biến của ma trận A       = 12998 98121 * AA 060052502 =+− λλ 082.981252,1 ±+=λ 9359.14082.223max)( ==Aσ 1883.5918.26)( ==Aσ Ý nghĩa vật lý của σσ , : với mọi giá trị tần số ω giá trị suy biến nhỏ nhất phải thỏa ñiều kiện của tiêu chuẩn tối ưu LQ: 1)]([ ≥+ ωσ jKGI Re 0 1 Biểu ñồ phân bố cực cho tiêu chuẩn tối ưu LQ [ ])(1 ωσ jKG+ Im 0=ω∞=ω Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 422 Re 0 1 PM Xác ñịnh ñộ dữ trữ pha của hệ ña biến Re Im 0 11 1 60 ðộ dữ trữ pha ñảm bảo của LQR [ ])(1 ωσ jKG+ [ ])(1 ωσ jKG+ Im ∞=ω 0=ω Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 423 4.1.5 Ổn ñịnh nội Ổn ñịnh nội là yêu cầu cơ bản ñối với một hệ thống hồi tiếp thực. Ý nghĩa của ổn ñịnh nội là khi ñầu vào hệ thống bằng không thì tất cả các trạng thái hệ thống ñều phải về không từ mọi giá trị ban ñầu. Mọi hệ thống tự ñộng ñều phải bảo ñảm ổn ñịnh nội mới hoạt ñộng ñược. Hình 4.2 : Sơ ñồ hệ thống dùng ñể phân tích ổn ñịnh nội ðịnh nghĩa : Hệ hồi tiếp hình 4.2 ñược gọi là ổn ñịnh nội nếu tất cả các hàm truyền ñạt từ w1, w2 ñến e1, e2 ñều ổn ñịnh. ðiều kiện ổn ñịnh nội chặt hơn ñiều kiện ổn ñịnh dựa trên hàm truyền vào- ra thông thường, vì nó tránh việc khử các cực và zero không ổn ñịnh giữa các khâu liên tiếp nhau. Khi thành lập hàm truyền vào-ra, có thể xảy ra hiện tượng khử cực và zero không ổn ñịnh của các khâu liên tiếp nhau. Như vậy, ñiều kiện ổn ñịnh nội bảo ñảm các tín hiệu bên trong hệ thống ñều hữu hạn khi tín hiệu vào là hữu hạn. Ví dụ, ta khảo sát ñiều kiện ổn ñịnh nội của hệ thống hình 4.2: 2 1 1 1 2 212122 2 1 1 1 1 121211 )()( )()( wGKIGwGKIe GKeGwwGewe KwKGIwKGIe KGeKwwKewe −− −− −+−=⇒ ++=+= −+−=⇒ ++=+= G K w1 e1 e2 w2 + + + + Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 424 Suy ra: 1 1 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) e w e w − − − −  − −    =      − −     I KG I KG K I GK G I GK ðiều kiện ổn ñịnh nội của hệ là các hàm truyền 1( )−−I KG , 1( )−−I KG K , 1( )−−I GK G , 1( )−−I GK ñều ổn ñịnh. 4.1.6 ðịnh lý ñộ lợi nhỏ (Small Gain Theorem) Cho hệ thống ñược biểu diễn như hình 4.3: Gọi λi là trị riêng của G Hình 4.3 : Hệ thống hồi tiếp vòng kín ðịnh lý ñộ lợi nhỏ ñược phát biểu như sau: Giả thiết rằng G(s) ổn ñịnh, ρ(G(jω)) là bán kính phổ của G(jω). Hệ thống vòng kín ổn ñịnh nếu ( ) 1max))(( <= ijG λωρ , hoặc ( ) 1,G jω ω∞ < ∀ ðối với hệ SISO thì 1)())(( <= ωωρ jGjG (4.53) ðịnh lý ñộ lợi nhỏ chỉ là ñiều kiện ñủ ñể xét ổn ñịnh của hệ thống. ðiểm mạnh của ñịnh lí này là nó không yêu cầu những thông tin chi tiết về hệ thống.Vì vậy nó không chỉ ứng dụng ñược cho hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian mà còn ứng dụng ñược cho hệ thống phi tuyến, thay ñổi theo thời gian. 4.1.7 Ổn ñịnh bền vững 4.1.7.1 ðịnh lý ổn ñịnh bền vững ðây là mô hình cơ bản dùng ñể phân tích tính ổn ñịnh bền vững của một hệ thống. Nếu hệ danh ñịnh ổn ñịnh thì M ổn ñịnh và ∆ là sai số có thể làm cho hệ thống mất ổn ñịnh. ðịnh lý sau thiết lập ñiều kiện của M ñể cho hệ thống vẫn ổn ñịnh dưới ảnh hưởng của ∆ G r y - u Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 425 K v - G + ∆ Aδ w M Hình 4.4 : Sơ ñồ cấu trúc phân tích ổn ñịnh bền vững ðịnh lý ổn ñịnh bền vững: Giả sử M và ∆ ổn ñịnh, hệ thống vòng kín hình 4.4 sẽ ổn ñịnh khi và chỉ khi biểu ñồ cực của ñường cong Nyquist det(I-M∆) không bao ñiểm gốc. Khi ñó hệ thống vòng kín sẽ ổn ñịnh bền vững với mọi ∆ )1)(( ≤∆σ nếu và chỉ nếu khi một trong các ñiều kiện sau thỏa mãn: a. )1(,0))(( ≤∆∀∀≠∆− σωωjMIDet (4.54) b. )1(,1))(( ≤∆∀∀<∆ σωωρ jM (4.55) c. ωωσ ∀<= ∞ 1))(( jMM (4.56) 4.1.7.2 ðiều kiện ổn ñịnh bền vững ñối với sai số cộng: Với ωωσδ ∀≤∆∆=∆ 1))((),()()( jsss AA , (4.57) Hình 4.5 : Sai số cộng Ta có: ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )]Av s K s s w s G s v sδ= − + (4.58) v M ∆ w Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 426 hay 1( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )Av s I K s G s K s s w sδ−= − + (4.59) vậy )]()([ )()()( sGsKI ssK sM A + −= δ (4.60) Kết luận: Hệ thống vòng kín hình 4.5 ổn ñịnh bền vững khi và chỉ khi: )( ωσ j =||M(s)||∞= 1)]()([ )()( < + ∞ sGsKI ssK Aδ (4.61) 4.1.7.3 ðiều kiện ổn ñịnh bền vững ñối với sai số nhân ở ñầu ra Hình 4.6 : Sai số nhân ở ñầu ra Với ωωσδ ∀≤∆∆=∆ 1))((),()()( jsss OO , (4.62) Ta có: ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )]Ov s G s K s s w s v sδ= − + (4.63) hay 1( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )Ov s I G s K s G s K s s w sδ−= − + (4.64) K v - G + ∆ 0δ w M Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 427 vậy )()( )()()( sKsGI ssKsGM O + −= δ (4.65) Kết luận: Hệ thống vòng kín hình 4.6 ổn ñịnh bền vững khi và chỉ khi: 1)()( )()()( < + ∞ sKsGI ssKsG Oδ (4.66) 4.2 Phương pháp LQG (Linear Quadratic Gaussian) 4.2.1 ðặt vấn ñề Cho hệ thống Rt tDxtz tvtCxty twtButAxtx ∈ = += ++= )()( )()()( )()()()( γ& (4.67) Ngõ ra y là ngõ ra hồi tiếp và ño ñược. Ngõ ra z là ñiều khiển ñược. Tín hiệu nhiễu w là nhiễu hệ thống và v là nhiễu ño . Tín hiệu v và w là những quá trình nhiễu trắng .Trạng thái ban ñầu của x(0) ñược giả sử là một vector ngẫu nhiên . Biến trạng thái x(t)∈Rn, ngõ ra ño ñược y(t)∈Rp và ngõ ra ñiều khiển ñược z(t)∈Rm là những quá trình ngẫu nhiên. Biểu thức sai số toàn phương: 0)()()()( ≥+ ttRututQztz TT (4.68) là một quá trình ngẫu nhiên. Vấn ñề của ñiều khiển hệ thống là giá trị mong ñợi của tích phân dttRututQztzE T TT ])()()()([ 0 ∫ + (4.69) là nhỏ. Chương 4 : ðiều khiển bền vững Trang 428 ðây là vấn ñề ñiều khiển tuyến tính nhiễu loạn. Khoảng thời gian [0 T] là xác ñịnh nhưng thật sự chúng ta xem xét trường hợp T ∞→ . Tại bất kỳ thời gian t toàn bộ tín hiệu ño ñược ở quá khứ ñược giả sử có giá trị cho hồi tiếp. Hình (4.7) làm rõ trường hợp này : Hình 4.7 : Hồi tiếp LQG 4.2.2 Bộ quan sát Xem xét hệ thống quan sát : n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t Ax t Bu t y t Cx t x t R = + = ∈ & (4.70) ðây là hệ thống (4.67) nhưng không có nhiễu hệ thống w và nhiễu ño v. Trạng thái x của hệ thống (4.70) không thể sử dụng ñược trực tiếp bởi vì chỉ ngõ ra y là ño ñược. Xây dựng lại trạng thái với sự chính xác tùy ý bởi việc kết nối một bộ quan sát : RttxCtyLt