Chương 4: Động lực học lưu chất

CHƯƠNG 4: ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT Cơ sở lý thuyết thiết lập các pt vi phân mô tả CĐ của LC • Định luật II Newton nguyên lý bảo toàn động lượng: pt động lượng. • Nguyên lý bảo toàn năng lượng: pt năng lượng. • Ứng dụng các phương trình cơ bản (pt liên tục, pt động lượng và pt năng lượng) cho dòng CĐ ổn định, không nén được, dưới tác động trọng lực . 1 CHƯƠNG 4: ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT 4.1.Phương trình vi phân chuyển động của LC lý tưởng (pt Euler) 4.2.Phương trình chuyển động của LC thực 4.3.Phương trình Bernoulli cho dòng chảy (DC) lưu chất thực 4.4.Phương trình biến thiên động lượng 4.5. Dòng tia 2 4.1.Phương trình vi phân chuyển động của lưu chất lý tưởng (pt Euler) 4.1.1. Phương trình Euler Nguyên lý biến thiên động lượng: Ngoại lực tác dụng lên một hệ thống LC bằng tốc độ thay đổi động lượng của khối lưu chất đó. dWuρ dt d dt Kd w     F 3 Lưu chất lý tưởng: =0  =0 • Ngoại lực tác dụng lên phần tử trên phương x: -Lực khối: -Lực mặt: x z F  y dx dy dz p,  2 dx x p p    2 dx x p p   xFdxdydz.. dxdydz x p    4.1.1 Phương trình Euler 4 4.1.1. Phương trình Euler Phương trình Định luật II Newton trên phương x cho phần tử: Suy ra: Tương tự:  z p F dt du z z     1  pdagrF dt ud    1  x p F dt du x x     1 y p F dt du y y     1 dt du ρδxδyδzzyx x p δxδyδzρFF xxx      5 4.1.1.Phương trình Euler Kết hợp với phương trình liên tục: Ta được: Tương tự:   zyyz x x uu u xt u x p F                  2 2 1 2 0           z u y u x u udiv z yx  xzzx y y uu u yt u y p F                  2 2 1 2 6 4.1.1. Phương trình Euler Viết dưới dạng vectơ:  Phương trình vi phân CĐ của LC lý tưởng dạng Lamb – Grômekô ux u dagr t u dpagrF      2 2 1 2       yxxy z z uu u zt u z p F                  2 2 1 2 7 4.1.2. Tích phân phương trình Euler dpagrdagr   1    dp ux dt udu dagr     2 2 2        8 4.1.2. Tích phân phương trình Euler 4.1.2.1 Trường hợp CĐ có thế, Tồn tại hàm thế vận tốc (x,y,t) sao cho: Suy ra: Phương trình Euler trên thành: Hay dagru   0  t dagr u dagr             2 2 0 2 2          u t dagr     t dagrdagr tt u             9 4.1.2. Tích phân phương trình Euler Hay: (tích phân Lagrange) Trong trường hợp CĐ ổn định, LC không nén được và chịu ảnh hưởng duy nhất của trọng lực:   = g.z;   C u t    2 2   C up gz  2 2   p  0   t   10 4.1.2. Tích phân phương trình Euler 4.1.2.2. Trường hợp lưu chất CĐ ổn định, tích phân dọc đường dòng. Lấy vi phân chiều dài đường dòng: • Nhân vô hướng nó với pt. Euler ° Hay: sd  s R O   n  b  u  sd  nd    sduxsdudagr   .2. 2 2           sduxud ds  .2 2 2         11 4.1.2. Tích phân phương trình Euler Vectơ tiếp tuyến với đường dòng, và vectơ luôn vuông góc với , nghĩa là cũng vuông góc với Do đó: ° Suy ra: ° Vậy: Trong trường trọng lực, LC không nén được: (Ptrình Bernoulli) C up gz  2 2  u  ux   u  sd    0sxdux    0 2 2        ds u d  C u        2 2  12 4.1.2. Tích phân phương trình Euler ° Ýnghĩa năng lượng của các số hạng tích phân. ° Xét pt Bernoulli. Quá trình thiết lập qua các bước: ° Các số hạng: °  Phương trình Bernoulli là pt bảo toàn năng lượng 0.2 2 2                sdu u grad t u    0 2 2        u d  C u  2 2  C g up z  2 2   ñöôøng Quaõng lchaát klöôïng 1ñv treân Löïc        lchaát klöôïng 1ñv töø ra sinh Coâng lchaát tlöôïng 1ñv cuûa löôïng aêngN cñoäng trong ñoåi thay khoâng noù vaø lchaát klöôïng 1ñv cuûa löôïng aêngN  gu 22 pz  tónh) aùp(coät lchaát tlöôïng 1ñv cuûa naêng Theá  toác) vaän aùp(coät lchaát tlöôïng 1ñv cuûa naêng Ñoäng g up z 2 2   lchaát tlöôïng 1ñv cuûa phaàn toaøn löôïng aêngN phaàn) toaøn aùp(coät 13 4.2. Phương trình vi phân CĐ của LC thực Phöông trình Navier-Stokes cho CĐ cuûa LC thöïc. ° Lưu chất thực : 0  0 Ngoại lực tác dụng lên phần tử trên phương x : ° Lực khối: ° Lực mặt: Viết pt định luật II Newton trên phương x cho phần tử => Giả thiết Stokes: vôùi  zzyyxxp   3 1                zyx F dt du zxyxxx x x   1 dxdydz zyx zxyxxx                x z F dx dy dz dz z zx zx      xx zx yx dy y yx yx      dx x xx xx      xFdxdydz.. ij l l i j j i ijij x u x u x u p                   3 2 14 ° Đưa tới phương trình Navier-Stokes trên trục x: Dưới dạng vector: ° Đối với LC không nén được: ° Lưu ý gia tốc được tính: °                                   z u y u x u xz u y u x u x p F dt du zyxxxx x x      3 11 2 2 2 2 2 2    ugradupgradF dt ud      3 11 2   upgradF dt ud   21    uu t u z u u y u u x u u t u dt ud zyx                   15 4.3. Phương trình bernoulli cho dòng chảy LC thực • Xét đoạn DC ổn định nằm giữa 2 mcắt ướt 1-1 và 2-2. • Xét 1 đường dòng trong đoạn DC. Nếu cho rằng LC là lý tưởng, pt Bernoulli cho đường dòng: ° Pt trên thể hiện tính bảo toàn. Nếu LC là “thực” thì: ° Bây giờ xét 1 DC nguyên tố. Năng lượng của nó biến đổi theo pt: ° Như vậy cho toàn bộ DC, năng lượng của nó sẽ biến đổi theo pt: 1 1 2 2 dQ dQ dQ Q g up z g up z 22 2 22 2 2 11 1   fh g up z g up z  22 2 22 2 2 11 1  dQhdQ g up zdQ g up z f                  22 2 22 2 2 11 1 lchaát) tlöôïng ñv 1 cuûa nlöôïngthaát toån :fh(               Q f AAAA dQhdQ g u dQ p zdQ g u dQ p z      2211 22 2 22 2 2 11 1 16 ° Thực hiện các tích phân: ° Thay vào cho kết quả: Ghi chú: Điều kiện áp dụng pt Bernoulli cho dòng chảy: =const; Tại hai mcắt áp dụng pt, DC phải là biến đổi chậm Trong đoạn dòng DC giữa 2 mcắt viết pt có turbine, máy bơm: Q p zdQ p z A                    chaäm bñoåi laø chaûy doøng Aöôùt mcaét taïi :kieän Ñieàu Q g V dQ g u A    22 22   ñnaêng, hchænh hsoá :  10,105,1 1 3         A dA V u A  QhdQh f Q f     lchaát tlöôïng ñv 1 cuûa löôïng naêngthaát toån :fh aùp)coät thaát (toån fh g Vp z g Vp z  22 2 22 2 2 11 1     0 t gF   BTff HHhh  17 4.3. Phương trình Bernoulli cho dòng chảy LC thực 4.4. Phương trình biến thiên động lượng dAnuudWu t dWu dt d dt Kd F W W S ).(..)(           V S u un un.dS n   S n dSuuFR ...   18 4.4. Phương trình biến thiên động lượng 2. Ptrình biến thiên đlượng cho DC ổn định của LC không nén được. Xét thể tích kiểm soát là đoạn DC giữa hai mcắt 1-1 và 2-2 Chia diện tích bao bọc S = A 1 + A 2 + S n Ptrình biến thiên động lượng thành: Tích phân thứ 3 bằng không còn hai tích phân đầu được viết lại thành: Các tích phân này được thực hiện: Thay vào cho kết quả: RdSuudSuudSuu nS n A n A n     21 2 2 1 1 Sn A2 A1 un=0 n  n  u  u  RdQudQu AA    21  QVdQu A     1122 VVQR    ñlöôïng, hchænh hsoá :  05,102,1 1 2         A dA V u A    111222 VQVQR   19 G  VD1: Cho 1 vòi có tiết diện A = 10cm 2, phun nước với vận tốc v = 30m/s vo tấm phẳng đặt nằm nghiêng 1 góc =600 so với phương ngang. Bỏ qua ma sát, không khí, hỏi: a ) Nếu tấm phẳng đứng yên (u =0), lực F tác dụng lên tấm phẳng, lưu lượng Q2, Q3. b) Nếu tấm phẳng di chuyển (u =10m/s), lực F tác dụng lên tấm phẳng, phản lực N của tấm phẳng Giaûi: a) Lấy thể tích kiểm soát như hình. Ngoại lực: b) Trọng lượng nước TTKS Phản lực của tấm phẳng Phương trình biến thiên động lượng cho TTKS Hay: Chấp nhận xấp xỉ: 'F  111333222 ' VQVQVQFG    (*)111333222 VQVQVQFG         )3,2,1( )(0 ivv FGG i )( F   u V 1 ,Q 1 V 2 ,Q 2 V 3 ,Q 3 F’ F 20 Chiếu (*) lên phương n: -F = -.Q1.1.v1.sin => F= .A. v 2 1.sin (**) Với Q1 = v1.A, 1=1 Hay F= .A. v2.sin . Thế số F = 1000.10.10-4.302.sin600=779,4 N Chiếu (*) lên phương : 0 = Q2 2v2 - Q3 3v3 - Q1 1v1cos Suy ra: 0 = Q2 –Q3 –Q1cos (1) ptltục: Q1 = Q2 +Q3 (2) (1) và (2): Q2 = Q1(1+cos )/2 ; Q3 = Q1(1-cos )/2 b)u = 10m/s Đổi hệ quy chiếu, xem tấm phẳng đứng yên, vòi CĐ giật lùi với vận tốc v1 = v-u. Suy ra: F = .A. (v-u)2.sin =346,4 N Công suất của tấm phẳng : N = F.u.sin =3000 W Công suất của vòi: Nv = Qv 2/2g = .A. v3/2 = 13500 W Hiệu suất tấm phẳng:  = N/Nv= 22,22% 21 22 Ví dụ 2 : Một ống pitôt dùng để đo vận tốc không khí. Độ chênh cột nước trong ống đo áp là h = 4mm. Xác định vận tốc không khí, biết khối lượng riêng không khí là 1,2kg/m3. Xem không khí là LC không nén được. Giải Phương trình Becnuli cho đường dòng qua hai điểm A và B Lưu chất trong hai ống đo áp ở trạng thái tĩnh, áp dụng phương trình thuỷ tĩnh ta có: 23 Ví dụ 3 Một chiếc xe đang chạy lấy nước từ một cái mương nhỏ bằng một ống có đường kính 10cm và đưa nước lên độ cao H = 3mm. Tốc độ của xe là V = 65km/h. a.Tính vận tốc tối đa của nước chảy ra khỏi ống và lưu lượng nước chảy ra. Có nhận xét gì về độ sâu đặt ống h. b.H phải lớn hơn bao nhiêu để nước không chảy ra khỏi ống? Khi đó ống hoạt động theo nguyên tắc ống gì Giải 24 Tính tốc độ tối đa mà lưu lượng nước chảy ra khỏi ống 25 Z1 = 0 Z2 = h+H+d 1 .( ) 2 du d P h  2 0duP  2 2 1 2 2 2 2 V Vd H g g     2 2 1 22 ( ) 2 d V g H V    26 2 2 1 2 ( ) 2 d V V g H    Nhận xét V2 không phụ thuộc h (độ sâu ống) V2=16,314(m/s) 2 3 3 2Q V .S 16,314. 0,128( / ) 128( / ) 128( ít / ) 4 d m s dm s l s     Khi nước không chảy ra khỏi ống: 2 2 1 2 ( ) 0 2 d V V g H     2 1 2 ( ) 0 2 d V g H    2 1 16,57( ) 2 2 V d H m g    Ống hoạt động theo nguyên tắc ống Pito 27 Ví dụ 4 : Quạt hút không khí ra ngoài, tại chỗ ra tiết diện có đường kính 150mm, vận tốc 20m/s. Vận tốc không khí vào V0 = 0. Bỏ qua mất năng. Xem như không khí không nén được có ρ = 1,225kg/m 3. a.Tính lực tác dụng của quạt hút lên giá đỡ. b.Tính lực tác dụng lên ống gió. a. Áp dụng phương trình động lượng:  FVQVQ 0011  )(659,8 4 15,0..20.225,1 22 111 NVQF    Lực hướng từ phải sang trái 28 b.Tính lực tác dụng lên ống gió: Áp dụng phương trình động lượng  FVQVQ 2211  222211 .APRVQVQ   67,3 35,0 15,0 .20 2 2 2 2 2 1 1 2 1 122211  D D V A A VVAPAP )(7,236225,1. 2 67,320 2 222 2 2 1 2 atm VV P       Vậy lực tác dụng lên ống gió là: 4 35,0 ..7,23667,3. 4 35,0 ..225,120. 4 15,0 .225,1 2 0 2 2 2 2 02  F F-2 = - 15,69 (N) , Lực có chiều ngược lại 4.5. DÒNG TIA 29 4.5.1.Định nghĩa và phân loại 4.5.2.Cấu tạo dòng tia 4.5.3. Động lực học của dòng tia 4.5.1.Định nghĩa và phân loại của dòng tia (DT)  Định nghĩa: dòng chất lỏng khi ra khỏi lỗ, vòi và chảy vào môi trường chất lỏng hay chất khí, gọi là dòng tia.  Phân loại: DT có thể chảy tự do hoặc chảy ngập. DT chất lỏng chuyển động trong môi trường chất lỏng là DT ngập VD: DT nước từ những vòi đặt ngầm dưới mặt nước sông để phá đất ở lòng sông. DT tự do (không ngập) là dòng tia chuyển động trong môi trường khí VD: DT nước của vòi chữa cháy, của máy làm mưa nhân tạo. Trong thực tế thường gặp DT chảy ở trạng thái chảy rối. 28 31 4.5.2.Cấu tạo dòng tia 4.5.2.1.Dòng tia ngập: Dòng tia có thể ngập trong môi trường chất lỏng cùng loại hoặc khác loại.  Khi dòng tia CĐ, do tính nhớt và sự mạch động VT của DC rối mà xuất hiện các xoáy ở chỗ giáp của DT và môi trường xung quanh  Dựa vào biểu đồ phân bố VT trên các mặt cắt ngang DT ta thấy trong DT có hai phần: lõi và lớp biên chảy rối. 4.5.2.1.Dòng tia ngập: a) Lõi là phần trong cùng, trong đó VT trên các mặt cắt ngang DT đều không đổi. • Lõi bắt đầu từ miệng vòi phun đến mặt cắt quá độ, trên đó chỉ có điểm trên truc DT là có VT bằng VT ban đầu tại miệng vòi. Đường giới hạn lõi là đường thẳng (theo TN ). b) Phần được giới hạn bởi lõi và môi trường bao quanh DT gọi là lớp biên chảy rối, trong đó VT biến đổi liên tục cho đến khi bằng VT môi trường bên ngoài. Đường giới hạn lớp biên chảy rối với môi trường bao quanh cũng là đường thẳng (theoTN ). Theo chiều dài dòng tia có thể chia làm hai đoạn: • Đoạn đầu, từ miệng vòi phun cho đến mặt cắt quá độ • Đoạn cơ bản, từ mặt cắt quá độ trở đi. Đoạn cơ bản chỉ gồm lớp biên chảy rối, trong đó VT giảm dần dọc theo trục dòng tia. 32 4.5.2.2.Dòng tia tự do ( tia không ngập): 33 Một tia nước từ một vòi hình trụ tròn phun vào không khí ta thấy có ba phần rõ rệt: - Phần tập trung: DT vẫn giữ nguyên hình trụ tròn, chất lỏng vẫn liên tục. - Phần rời rạc: Trong phần này DT mở rộng hơn, sự liên tục của chất lỏng bị phá hoại. - Phần tan rã: Trong phần này DT tan thành những hạt rất nhỏ, như bụi. 4.5.2.3. Dòng tia thẳng đứng: 34 Một phần tử chất lỏng tại miệng vòi có vận tốc v sẽ có động năng là v2 /2g Khi VT của PTCL giảm đến bằng không, động năng biến hoàn toàn thành thế năng, thì đó là độ cao (nó đạt được tính từ miệng )- gọi là độ cao lý thuyết của DT thẳng đứng, H. Do sức cản không khí, của sức cản trong nội bộ DT và cửa trọng lực nên độ cao toàn bộ của DT phun thẳng đứng Hdt luôn luôn nhỏ hơn H 35 Ψ: hệ số, chủ yếu phụ thuộc đường kính d của miệng vòi phun, Ψ thường được xác định theo công thức: Ψ= 4.5.2.3. Dòng tia thẳng đứng: Bảng1. Giá trị hệ số Ψ của vòi phun Độ cao phần tập trung Httr tính theo công thức sau: Giá trị hệ số β dùng tính độ cao phần tập trung Httr của DT 36 4.5.3.Động lực học của dòng tia 4.5.3.1. Tính áp lực của DT lên vật chắn Giả thiết có DT từ một vòi hình trụ tròn phun vào vật chắn rắn cố định Khi gặp vật chắn thì DT phân ra hai nhánh chảy dọc theo vật chắn. Do thay đổi hướng DC áp suất chỗ tiếp xúc với vật rắn tăng lên, sinh ra tương tác giữa chất lỏng và vật rắn. DT tác dụng lên chỗ chạm vào mặt chắn một lực P, ngược lại DT chịu một phản lực R của vật chắn. Ta xác định phản lực R, từ đó sẽ tìm được lực P, vì P và R trực đối nhau 37 4.5.3.1. Tính áp lực của DT lên vật chắn 4.5.3.Động lực học của dòng tia Viết hình chiếu của pt động lượng(định lý Ơle I) lên phương n - n cho khối chất lỏng giữa các mặt cắt 0 - 0, 1 - 1 và 2 -2 Với : m0 , m1, m2 là khối lượng chất lỏng đi qua mặt cắt 0 - 0, 1 - 1 và 2-2 trong một đơn vị thời gian.