Chương 5. Quá trình phát tán trượt

139 Chương 5. Quá trình phát tán trượt 5.1 Khái niệm Cơ bản Trong Chương 1 đưa ra những yêu cầu cơ bản cho việc đánh giá nồng độ chất tại một thời gian cho trước để biết được phân bố vận tốc dòng chảy và mức độ phát tán. Yếu tố phát tán thực chất là mức độ tăng thể tích bị chiếm chỗ bởi một khối lượng đã cho của chất. Trong Chương 4 đã chỉ ra rằng, vì phân bố nồng độ không đồng nhất, thể tích này được mô tả dưới dạng những biến thiên của phân bố nồng độ trong ba hướng tọa độ. Như vậy mức tăng thể tích phụ thuộc vào mức thay đổi các biến theo thời gian, và như đã thấy trong phương trình (4.16), mức tăng biến thiên trong một hướng tọa độ đã cho liên quan đến hệ số xáo trộn K theo hướng đó. Như vậy, việc đánh giá mức giảm nồng độ của chất trong môi trường biển phụ thuộc vào việc xác định độ lớn của những giá trị K dọc và ngang với dòng chảy, và hướng thẳng xuống từ mặt nước đến đáy. Trong Chương 1 (mục 1.3) thực hiện một phân biệt giữa thay đổi nồng độ của một phần tử chất hoà tan bởi tác động của phát tán trượt thay vì khuyếch tán rối thuần túy. Nhu cầu phân biệt những cơ chế này là rất quan trọng, vì như sẽ thấy trong Chương 8, những hệ số phát tán có thể lớn hơn những hệ số khuyếch tán rất nhiều trong môi trường biển dưới những điều kiện đặc trưng của dòng chảy. Một khi trượt vận tốc gây ra hiệu ứng phát tán có thể biến động, những nghiên cứu thực nghiệm và lý thuyết tìm cách phân tách ảnh hưởng trượt từ tác động của rối khi phát sinh pha loãng. Điều này cho phép đánh giá độ lớn phát tán trượt đối với những biến đổi không gian đặc trưng trong trường vận tốc. Chương này lần theo sự phát triển những nhận định lý thuyết này và thể hiện các sự trượt vận tốc khác nhau tiêu biểu cho các cửa sông và nước ven bờ sẽ ảnh hưởng đến mức độ phát tán như thế nào. Sự phát triển lý thuyết nguyên bản của khái niệm phát tán trượt là do Geoffrey Ingram Taylor (hình 5.1) đưa ra. Ông sinh ra trong một gia đình tài năng và thú vị có nguồn gốc từ thành phố Lincoln, nước Anh. Ông của Taylor là George Boole, từng có một sự nghiệp đáng nể, từ một người thợ ở Lincoln trở thành giáo sư toán học tại Queen's College, Cork, Ireland. George Boole đã phát triển những nguyên lý của Lôgic Boole, đã trở nên cơ bản đối với thiết kế máy tính. Taylor dành hầu hết sự nghiệp của mình tại Trường đại học Cambridge và hơn 60 năm ông là tác giả của một số công bố nguyên bản, nhiều trong số đó có tầm quan trọng đáng kể đối với khoa học về cơ chất lỏng. Ngoài những khả năng toán học, Taylor có một đầu óc rất thực tế và ông được mời làm cố vấn về vấn đề neo đậu những thủy phi cơ trong các cửa sông. Ông đề xướng một thiết kế mang tính cách mạng cho loại mỏ neo có hình dạng giống như một đôi lưỡi cày đối xứng cắm sâu vào trong đáy biển. Những mỏ neo dựa vào cách này là tương đối nhẹ, nhưng thiết kế 140 nguyên bản hiệu quả này được sử dụng cho những tàu nhỏ, những du thuyền và thuỷ phi cơ cho đến ngày nay. Hình 5.1 Geoffrey Ingram Taylor (ở tuổi 33). (ảnh của J. Russell và các con, London) Vào đầu những năm 1950 Taylor được một đồng nghiệp tại Trường đại học Cambridge mời làm cố vấn về vấn đề pha loãng chất ma tuý trong hệ thống tuần hoàn máu của con người. Điều này dẫn dắt Taylor đến thực nghiệm về sự xáo trộn những chất lỏng chảy trong ống và nhận thức được tầm quan trọng của phát tán trượt như một cơ chế đối với sự pha loãng một chất hoà tan. Những luận điểm cơ bản của Taylor (1953, 1954) đã nảy sinh từ việc ứng dụng khái niệm phát tán cho các nghiên cứu lý thuyết dòng chảy trong lòng dẫn hở (Elder, 1959) và nước ven bờ (Bowles và nnk., 1958). Khái niệm cơ bản về phát tán trượt được minh họa trong hình 5.2. Một cột chất chỉ thị thẳng đứng được giả thiết lúc đầu xáo trộn đồng nhất theo độ sâu và bề rộng của lòng dẫn đang chảy (hình 5.2 (a)). Xét một trạng thái lý tưởng, trong đó sức cản tại đáy lòng dẫn giả thiết phát sinh một biến đổi vận tốc tuyến tính theo độ sâu chứ không phải là dạng lôgarit hoặc tương tự. Trượt vận tốc này làm cho cột chất chỉ thị nghiêng đi bởi vì theo thời gian độ dịch chuyển tại mặt nước lớn hơn tại đáy (hình 5.2 (b)). Xáo trộn thẳng đứng của chất chỉ thị với nước ở trên và ở dưới tạo nên sự hình thành một cột xáo trộn mới rộng hơn cột ban đầu (hình 5.1 (c)), thể hiện rằng có một quá trình đã pha loãng chất 141 chỉ thị. Một sự pha loãng tương tự của cột có thể phát sinh bởi xáo trộn dọc do các xoáy rối. Tuy nhiên, không có xáo trộn dọc nào cần thiết để mở rộng cột; nó là kết quả trọn vẹn của tác động kết hợp xáo trộn thẳng đứng và trượt vận tốc. Trên thực tế sự trượt làm tăng diện tích mặt nước mà qua đó xáo trộn có thể xảy ra bởi các xoáy rối; điều này có thể xuất hiện khi không có các xoáy quy mô lớn. Trong thực tế, chuyển động rối thẳng đứng phải kèm theo rối ngang và sự pha loãng phát sinh bởi cả trượt thẳng đứng theo hướng dòng chảy lẫn xáo trộn rối hướng dọc. Điều mong muốn là tách những quá trình này ra để có thể định lượng mức độ đóng góp nhất định của trượt dòng chảy cho việc pha loãng một chất. Hình 5.2 Pha loãng phát sinh bằng việc kết hợp những hiệu ứng biến dạng do trượt vận tốc tuyến tính và xáo trộn thẳng đứng Tính hiệu lực của quá trình trượt lên việc pha loãng chất phụ thuộc vào thời gian, qua đó có sự biến dạng đáng kể của thể tích bị chiếm chỗ bởi vật chất so với thời gian để lan rộng khuếch tán chỉ do các xoáy rối; hình 5.3 minh họa khái niệm này. Thường thấy rằng sự trượt hướng đứng dọc theo dòng chảy trung bình mạnh hơn là ngang qua nó, như trong tình huống ví dụ này. Hình vẽ cho thấy sự thay đổi hình dạng theo thời gian của một đốm loang chất chỉ thị mà thoạt tiên là hình tròn, nhìn từ trên xuống. Trong thời gian ban đầu, đốm loang còn là vòng tròn khi nó lan rộng bởi những chuyển động rối và được vận chuyển bởi dòng chảy trung bình. Các xoáy rối này được giả thiết tác động đối xứng với trọng tâm của đốm loang đang trôi dạt (hình 5.3 (a)). Trong chu kỳ tiếp theo, sự trượt hướng đứng dọc theo hướng dòng chảy trung bình làm cho đốm loang bị biến dạng theo cách được minh họa trong hình 5.2 và tác động của xáo trộn thẳng đứng làm tăng cường phát tán dọc. Mặc dầu cùng lúc có thể xuất hiện trượt thẳng đứng vuông góc với hướng dòng chảy trung bình và khi kết hợp với xáo trộn thẳng đứng sẽ làm tăng cường khuếch tán ngang, hiệu ứng vẫn ít rõ ràng hơn. Trạng thái này xuất hiện bởi vì những dòng hướng ngang yếu hơn so với những dòng chảy dọc theo trục và như vậy sự trượt nhỏ hơn đáng kể. Hiệu ứng thực tế của phát tán khác nhau là đốm loang có dạng hình êlíp, như thấy trong hình 5.3 (b). Tại giai đoạn này đóng góp của sự trượt cho lan truyền vuông góc với hướng dòng chảy có thể có độ lớn tương tự với lan truyền phát sinh bởi khuyếch 142 tán thuần túy rối. Tuy nhiên, với những thời gian dài hơn sau khi bắt đầu khuyếch tán đốm loang, trượt ngang có vẻ vượt trội khuếch tán ngang do những chuyển động thuần túy rối và việc tăng diện tích đốm loang được kiểm soát bởi phát tán cả hướng dọc lẫn hướng ngang (hình 5.3 (c)). Như vậy, khi xét tầm quan trọng của hiệu ứng trượt, cần xét đến mức độ biến dạng phát sinh bởi những biến đổi vận tốc theo không gian khi so với mức độ khuyếch tán bởi tác động rối. Tỷ lệ của quy mô thời gian thể hiện những mức độ này được giới thiệu trong những mô tả toán học hiệu ứng trượt và tầm quan trọng của nó được thể hiện bằng thực nghiệm. Hình 5.3 Sự tăng đáng kể của biến dạng hướng ngang và hướng dọc theo thời gian khuyếch tán Trong nhiều cửa sông và vùng ven bờ, các nghiên cứu phát tán chỉ ra rằng hiệu ứng trượt thống trị hiệu ứng khuếch tán rối khi tạo ra sự pha loãng. Có lẽ trình bày đầu tiên vấn đề này đến từ các nghiên cứu của Pritchard (1954) trong cửa sông James nằm trên bờ biển phía Đông của Hoa Kỳ. Ông thấy rằng khuyếch tán dọc của muối bởi tác động rối là không đáng kể so với sự lan rộng của muối bởi phát tán, xuất hiện từ sự trượt thẳng đứng theo trục cửa sông kết hợp với xáo trộn thẳng đứng. Điều này cho phép đơn giản đáng kể phương trình cân bằng muối dưới điều kiện đặc trưng nào đó. Ưu thế của phát tán trượt thường thấy trong những thực nghiệm chất chỉ thị màu. Ví dụ, trong những khu vực nước nông có thủy triều, trượt thẳng đứng là một hiện tượng phổ biến do sức cản ma sát tại đáy và độ lớn của chúng lớn nhất theo hướng thành phần cơ bản của dòng chảy. Như vậy, một đốm loang chất chỉ thị màu thể hiện trong vùng nước nông ven bờ có xu hướng thay đổi hình dạng vòng tròn nguyên bản của nó theo thời gian và có dạng hình êlíp, với trục chính của nó hướng theo dòng chảy trung bình (hình 5.4). Giải thích sự dãn dài của đốm loang màu được hỗ trợ bởi những quan trắc, cho thấy rằng sự trượt suy ra từ sự lan rộng đốm loang có cùng bậc với sự trượt theo hướng của dòng thủy triều chính (Lewis, 1979). Sự trượt đặc biệt mạnh có thể xuất hiện khi thủy triều đảo hướng, khi sự khác pha làm cho hướng dòng chảy quay theo độ sâu. Quá trình này đã được quan trắc trong các hồ và những biển nông có thủy triều (Csanady, 1973: tr. 150; Bowden và Lewis,1973). 143 Những nguyên nhân khác gây ra trượt vận tốc trong biển là ứng suất gió tại mặt nước biển, chuyển động sóng và dòng chảy mật độ. Hình 5.4 Đốm loang màu dãn dài theo hướng dòng chảy khi triều xuống trong cửa sông Dart, phía Tây Nam nước Anh Trong thảo luận đề cập ở phần trước đã giả thiết ẩn rằng trượt vận tốc có thể bằng cách nào đó phân biệt từ trường rối. Trong thực tế, sự phân biệt có thể không rõ ràng - một xoáy lớn trong rối phải làm phát sinh sự biến đổi không gian của vận tốc, có thể giải thích như sự trượt 'bình thường' trong trường dòng chảy. Thuật ngữ 'lớn' dùng để tham chiếu đến các xoáy có quy mô trung gian so với quy mô của chất lan truyền. Trong trường rối, phải dự kiến rằng có một phạm vi kích thước rối và những quy mô lớn hơn là không thích hợp với bất kỳ hướng đặc trưng nào. Như vậy, bất kỳ biến dạng nào của đốm loang chất chỉ thị trong một trường như vậy là không bền vững và trong cả một chu kỳ thời gian có thể dự kiến lan truyền theo vòng tròn. Trong trường dòng chảy mà ứng suất trượt là đáng kể, sự trượt thích hợp với một hướng đặc trưng, thường là dọc theo hướng dòng chảy trung bình, và đốm loang chất chỉ thị thể hiện sự biến dạng liên tục. Như vậy là tính liên tục của trượt gây ra biến dạng là một biện pháp để phân biệt giữa sự lan rộng bởi tác động rối và hiệu ứng trượt. Hiệu ứng của các xoáy có quy mô khác nhau lên quá trình lan rộng được thảo luận trong chương trước đây (mục 4.3.3) với mô hình của Richardson cho một cụm hạt mở rộng hoặc một đốm loang chất chỉ thị. Quá trình mở rộng có thể thấy như đang được hỗ trợ bởi những biến dạng tạo ra do các xoáy có kích thước trung gian so với quy mô toàn bộ của 144 đốm. Một khi kích thước đốm loang tăng lên vượt quá quy mô của các xoáy rối lớn nhất đang có, bất kỳ biến dạng về sau nào của đốm loang cũng phụ thuộc vào những biến thiên hướng ngang của dòng chảy trung bình. Chính sự trượt có tổ chức hơn thường được xem là những nguyên nhân phát tán một cụm hoặc đốm loang khi nó trải qua giai đoạn lan rộng ban đầu. Như sẽ thấy về sau trong chương này, có thể đơn giản những mô hình phát tán bằng việc giả thiết rằng năng lượng của chuyển động là thấp đối với những quy mô nằm giữa những xoáy rối lớn nhất và sự trượt bình thường. 5.2 Phát tán Trạng thái ổn định 5.2.1 Trượt thẳng đứng dọc theo dòng chảy trung bình Lý thuyết trượt có giới hạn Công trình của Taylor (1953, 1954) xét một tình huống ở trạng thái ổn định trong đó nồng độ tại một điểm đã cho là hằng số, vì bình lưu của chất đến điểm này cân bằng với lượng bị mất của nó do xáo trộn rối. Taylor khảo sát hiệu ứng của quá trình phát tán trong giới hạn một cái ống và Elder (1959) mở rộng khái niệm đối với lòng dẫn hở. Tuy nhiên, tính hiệu lực của phát tán cũng phụ thuộc vào việc liệu có phải vật chất được xáo trộn giữa các biên, như theo độ sâu trong lòng dẫn hoặc khu vực thủy triều nước nông, hoặc liệu có phải nó nằm gần một biên. Bowden (1965) áp dụng lý thuyết phát tán trượt đối với biển và thể hiện hiệu ứng lên hệ số phát tán bằng việc xét sự biến đổi phân bố vận tốc tiêu biểu cho những trạng thái biển. Ông đơn giản vấn đề bằng việc xem xét sự lan rộng của một chất hoà tan như muối dưới những điều kiện trạng thái ổn định, trong đó xáo trộn thẳng đứng tác động với bình lưu để giữ cho phân bố thẳng đứng không thay đổi theo thời gian. Cách tiếp cận được phát triển về mặt lý thuyết, dựa vào lời giải phương trình cân bằng khối lượng đối với muối, có thể minh họa bằng cách tham chiếu đến hoàn lưu trung bình thủy triều ở cửa sông trong hình 3.3 (mục 3.2.3). Những điều kiện được giả thiết là đồng nhất qua cửa sông, và khi lấy một mặt cắt ngang hình chữ nhật, phân bố thẳng đứng của vận tốc chỉ ra dòng chảy thể tích qua một mặt cắt do hoàn lưu. Được lấy trung bình thủy triều, toàn bộ thể tích vận chuyển tại bất kỳ độ sâu nào là do những dòng chảy thể tích kết hợp lại từ nguồn vào của sông và hoàn lưu thẳng đứng. Thể tích vận chuyển về phía biển của nước mặt do hoàn lưu thẳng đứng cân bằng với suất vận chuyển hướng vào phía đất bởi cơ chế này, vậy là dòng chảy thực tế trung bình độ sâu đi qua bất kỳ mặt cắt nào là chỉ do sông đưa vào. Trong lý thuyết phát tán trượt, phương trình cân bằng khối lượng được biến đổi theo các trục chuyển động với vận tốc dòng chảy phát sinh bởi dòng chảy sông, cho nên chỉ có hiệu ứng hoàn lưu thẳng đứng được xét đến. Phương trình biến đổi sẽ giải được đối với độ mặn là một hàm của độ sâu, sử dụng những biến đổi thẳng đứng giả thiết trong hoàn lưu và hệ số xáo trộn thẳng đứng; điều này dẫn đến một phân bố độ mặn trung bình thủy triều có dạng giả thiết trong hình 3.3. Bằng việc kết hợp các hàm đối với phân bố thẳng đứng của vận tốc và độ mặn, một biểu thức cho dòng muối qua một mặt cắt chuyển động với dòng chảy sông được dẫn xuất, 145 phân bố dòng này phải giống như đã thấy trong hình 3.3. Hình vẽ chỉ ra rằng có sự vận chuyển thực tế của muối lên thượng lưu bởi cơ chế này, bởi vì thể tích lớp nước mặt chuyển động về phía biển mang nước có độ mặn thấp hơn thể tích như vậy chuyển động về phía bờ trong lớp thấp hơn. Điểm nhận thức then chốt là sự cân bằng thể tích, có nghĩa là dòng chảy thực tế không phải là dòng bình lưu, và bởi vậy, sự hình thành của dòng thực tế có thể coi như một quá trình phát tán. Sử dụng phương trình đối với dòng thực tế dẫn xuất từ lý thuyết phát tán trượt, cho ta một biểu thức liên hệ hệ số phát tán dọc với những tham số đặc trưng cho dòng chảy. ứng dụng này đối với quá trình hoàn lưu thẳng đứng chỉ là một ví dụ - lý thuyết đã chứng minh ý nghĩa của việc hiểu vai trò của trượt trong việc pha loãng chất đối với một số cơ chế không bình lưu. Việc xử lý lý thuyết phác thảo bởi Bowden giờ đây được đưa ra đầy đủ do tầm quan trọng của nó đối với việc lan truyền và pha loãng chất trong môi trường biển. Tuy nhiên, người đọc có thể muốn đi đến chi tiết và theo đuổi lời giải đơn giản đối với phân bố tuyến tính cho trong phương trình (5.21). Phương trình (4.14) đối với cân bằng khối lượng của một chất có thể đơn giản hóa nếu giả thiết rằng xáo trộn ngang không đáng kể, cho ta                           z s K zx s K xx s u t s zx (5.1) trong đó s là nồng độ chất, lấy giá trị muối cục bộ trong môi trường biển ở thảo luận này. Trong những trạng thái mà hiệu ứng trượt vượt trội quá trình lan rộng, hợp lý khi bỏ qua khuyếch tán theo hướng dòng chảy trung bình. Từ phương trình (5.1) có thể đơn giản thành                 z s K zx s u t s z . (5.2) Nếu giả thiết s/x độc lập với độ sâu, thì tích phân phương trình (5.2) theo độ sâu từ z = 0 đến z = h và sử dụng những điều kiện dòng muối qua biên mặt và biên đáy bằng không cho ta 0      x s u t s m m . (5.3) Độ muối và vận tốc có thể phân chia thành vm sss  (5.4) vm uuu  trong đó sv, uv thể hiện độ lệch từ những giá trị trung bình độ sâu sm, um. Thay thế những thành phần này vào phương trình (5.2) và trừ phương trình (5.3) đưa ra                       z s K zx s u t s u x s u t s v z v v m v v m v (5.5) theo định nghĩa, sm không đổi theo độ sâu và bởi vậy sm/z = 0. 146 Giả thiết độ mặn gần như đồng nhất theo độ sâu nên sv nhỏ hơn sm, và uvsv/x nhỏ so với những số hạng khác trong phương trình và có thể bỏ qua. Trong một hệ quy chiếu đang chuyển động với vận tốc trung bình độ sâu um, phương trình (5.5) trở thành              z s K zx s u vzv (5.6) trong đó giả thiết trạng thái ổn định (tức là sv/t = 0) Phương trình này mô tả sự cân bằng nồng độ được duy trì tương đối so với dòng chảy trung bình ra sao. Mức độ nhận được hoặc mất đi của muối do bình lưu sẽ cân bằng với mức độ vận chuyển muối thẳng đứng do khuyếch tán rối. Phương trình này thích hợp với một cột chất chỉ thị có nồng độ s, liên tục được thải từ một nguồn theo đường thẳng đứng từ một con thuyền đang trôi với vận tốc dòng chảy trung bình độ sâu. Phân bố của chất chỉ thị đạt đến trạng thái ổn định, tại đó mức đưa vào cân bằng với mức bị mất bởi phát tán tương đối với nguồn trôi. Giả thiết phân bố vận tốc có dạng  ζfuu s (5.7) trong đó us là dòng chảy mặt và f() là một hàm của độ sâu phân số , xác định bằng  = z / h. Thấy rằng độ lệch của dòng chảy từ trung bình độ sâu bằng  ζvsv fuu  (5.8) trong đó    ζζ fffv  . (5.9) Sự biến đổi của hệ số khuyếch tán thẳng đứng theo độ sâu có thể biểu thị bởi hàm )(gKK zmz  (5.10) trong đó Kzm là giá trị cực đại của Kz trong mặt cắt thẳng đứng và 0 < g() < l. Vì vận chuyển thẳng đứng phải bằng không tại mặt nước và đáy biển, Kz giảm đến không tại những mực này và giá trị cực đại, Kzm xuất hiện tại một độ sâu trung gian, nói chung xấp xỉ một nửa độ sâu toàn bộ. Chấp nhận những biểu thức này đối với uv và Kz, phương trình (5.6) có thể viết              ))()( 2     vzmvs s g h K x s fu . (5.11) Sắp xếp lại và tích phân )()( 2  HF xK shu s zm s v     (5.12) trong đó   ζζ)ζ())ζ(/1()ζ( ddfgF v  . (5.13) Thoạt tiên biểu thức F() có vẻ rất phức tạp. Tuy nhiên, có thể tính toán giá trị hữu ích đối với F() bằng cách sử dụng giả thiết đơn giản như hằng số Kz phân bố theo độ 147 sâu và một dạng đơn giản cho phân bố vận tốc. Một dẫn xuất tương đương cho phân bố vận tốc tuyến tính được đưa ra trong mục 5.4.2. Từ phương trình (5.12) sự khác biệt độ mặn tại bất kỳ độ sâu nào với giá trị tại mặt nước cho bằng )(0 Hss  . (5.14) Lấy trung bình độ sâu cho cả hai vế của phương trình )(ζHss 0  . (5.15) Trừ phương trình (5.15) từ (5.14), cho ta )()(  HHss  (5.16) và bởi vậy từ phương trình (5.12)  )()( 2  FF x s K hu ss zm s     . (5.17) Suất vận chuyển trung bình của muối qua một mặt cắt cố định bằng tích số của vận tốc với độ mặn, theo cách thức sử dụng trong lý thuyết rối (mục 4.2.1), và từ những phương trình (5.8) và (5.17) có thể thấy rằng thông lượng trạng thái ổn định bằng )()( ζζ Ff x s K hu su v zm 22 s vv    . (5.18) Nếu không xét đến sự biến đổi của u và s theo độ sâu, thông lượng này phải quy về chuyển động rối tác động tương đối lên dòng chảy trung bình. Bởi vậy thông lượng có thể liên hệ với gradient độ mặn hướng dọc và hệ số khuếch tán rối trong hướng x bởi quan hệ x s Ksu xevv    . (5.19) Chỉ số dưới 'e' được sử dụng để nhấn mạnh rằng thông lượng là 'khuyếch tán hiệu quả', phát sinh bởi hiệu ứng kết hợp của trượt thẳng đứng theo hướng dòng chảy và xáo trộn