Chương 6 Mô hình hóa bãi biển và đường bờ

CHƯƠNG 6 MÔ HÌNH HÓA BÃI BIỂN VÀ ĐƯỜNG BỜ 6.1 GIỚI THIỆU CHUNG Một trong những mục tiêu chính của kỹ thuật bờ biển là sử dụng các giải pháp công trình hoặc phi công trình để giải quyết các vấn đề có liên quan tới bờ biển. Phương pháp mô hình hóa có thể được sử dụng như một công cụ để đưa ra các dự báo đáng tin cậy về sự phát triển của đường bờ trong các thời đoạn khác nhau. Trong các chương trước, chúng ta đã xem xét sự vận chuyển bùn cát ở bờ biển và diễn biến bờ biển. chương này sẽ giới thiệu các kiến thức cơ bản về mô hình hóa bãi biển, và đường bờ nhằm mô phỏng và dự báo sự biến đổi của bãi biển và đường bờ dưới tác động của các điều kiện tự nhiên. Một cách lý tưởng, các mô hình này, với các điều kiện biên của sóng, bùn cát và địa hình thích hợp, sẽ cho phép dự báo diễn đường bờ trong một thời đoạn nhất định. Hơn thế nữa, nếu các công trình bờ biển hoặc công trình nuôi bãi được xây dựng tại bờ biển thì các mô hình sẽ có thể đánh giá được hiệu quả của công trình và ảnh hưởng của công trình làm thay đổi bờ biển trong tương lai. Có ba dạng mô hình hóa các diễn biến bờ biển là mô hình vật lý, mô hình giải tích và mô hình toán. Trong đó, mô hình vật lý là các mô hình thực được xây dựng trong phòng thí nghiệm với tỷ lệ thu nhỏ so với mô hình nguyên mẫu ngoài thực tế, các quá trình diễn biến bờ biển xảy ra trong thực tế sẽ được khảo sát trên mô hình vật lý với các điều kiện biên sóng, dòng chảy và mực nước được tái tạo lại trong phòng thí nghiệm giống như xảy ra trong tự nhiên. Dạng mô hình hóa thứ hai mô phỏng các hiện tượng vật lý diễn ra ở bờ biển hoàn toàn bằng các phương trình toán học, nghiệm của hệ các phương trình trên sẽ cho biết các diễn biến bờ biển. Tuy nhiên, các mô tả toán học các hiện tượng diễn ra trong tự nhiên ở bờ biển không phải lúc nào cũng thực hiện được, mặt khác, hệ phương trình được xây dựng có quá nhiều ẩn số và phụ thuộc vào nhiều biến ngẫu nhiên cũng không thể giải được bằng phương pháp toán học thông thường. Do vậy, mà chỉ có những hiện tượng chính, chi phối quá trình diễn biến bờ biển và hoàn toàn sáng tỏ về mặt bản chất vật lý mới được mô tả toán học, và người ta cũng đơn giản hóa các phương trình mô tả toán học này để có thể giải trực tiếp được chúng. Các mô hình hóa này được gọi là mô hình giải tích, mặc dù đơn giản, nhưng chúng lại là các công cụ mạnh trong phân tích và lý giải các hiện tượng tự nhiên diễn ra ở bờ biển. Dạng mô hình hóa cuối cùng là mô hình số, hay mô hình toán. Mô hình này cũng bao gồm các mô tả toán học các hiện tượng tự nhiên diễn ra ở bờ biển nhưng chi tiết hơn nhiều so với mô hình giải tích và chủ yếu được giải trên các máy tính cá nhân. Với sự 164 phát triển rất mạnh của máy tính cá nhân, với khả năng thực hiện hàng triệu phép tính trong một giây thì các mô hình toán cũng ngày càng phức tạp hơn, cho phép mô phỏng các hiện tượng tự nhiên ngày càng sát với thực tế hơn. Những hạn chế trước kia vì có quá nhiều ẩn số hay số lượng bước tính quá lớn, không thể thực hiện bằng phương pháp thủ công đã được giải quyết bằng mô hình toán. Cho tới nay, vẫn chưa có một mô hình mô phỏng nào có khả năng tái tạo lại hoàn chỉnh được những hiện tượng xảy ra trong tự nhiên vì bản thân các dạng mô phỏng nêu ở trên đều có những hạn chế nhất định. Mặt khác, muốn mô phỏng được đúng với các hiện tượng diễn ra trong tự nhiên thì trước tiên, cần phải hiểu và nắm rõ được bản chất vật lý của các hiện tượng đó, điều mà không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được. Cho đến này, còn nhiều hiện tượng phức tạp ở bờ biển vẫn còn chưa hoàn toàn sáng tỏ về mặt bản chất và quy luật, nhất là các hiện tượng thủy động lực và hình thái động lực ở vùng sóng vỡ. Tuy nhiên, các mô hình nêu trên đã có những bước phát triển đáng kể và trở thành những công cụ hữu hiệu, giúp chúng ta tìm hiểu thêm các hiện tượng diễn ra trong tự nhiên ở bờ biển. Hiện tại và trong tương lai, có thể nói rằng, mô hình toán là những công cụ mạnh và cho kết quả mô phỏng tốt nhất và cũng là kinh tế nhất trong số các dạng mô hình hóa nêu ở trên. Nó cho phép lựa chọn các điều kiện biên và điều kiện ban đầu một cách mềm dẻo, đại diện được cho các lực ngẫu nhiên; các dạng mô hình này sẽ cho phép phát triển các quá trình diễn biến đường bờ đang thay đổi rất nhanh khi những hiểu biết của chúng ta về quá trình bờ biển ngày càng tăng. Ngay cả hiện nay, khi các phương trình mô tả các đặc tính của đường bờ biển là quá phức tạp khi muốn mô tả chúng một cách đầy đủ bằng một mô hình giải tích, hay mô hình vật lý thì đều bị cản trở bởi các ràng buộc về tỷ lệ mô hình và thường đỏi hỏi các chi phí xây dựng mô hình ban đầu rất cao. Các mô hình toán, đã giải quyết được các hạn chế trên bằng các khả năng tính toán ngày càng nhanh của máy tính điện tử, bằng sự phát triển của các thuật giải trong phương pháp số và bằng các mô hình hóa dựa vào kinh nghiệm trong thực tế và cho thấy nó sẽ mang lại cho người sử dụng các dự báo có độ tin cậy cao. Trong chương này, các mô hình toán, mô hình vật lý và mô hình giải tích mô phỏng các diễn biến bờ biển và địa hình vùng ven bờ sẽ được xem xét. Các phương pháp đo đạc diễn biến bờ biển ngoài hiện trường cũng sẽ được trình bày ở cuối chương này. Một số nội dung trong chương này được tham khảo từ tập bài giảng Coastal Engineering, của Trường Đại học Kỹ thuật Delft của Vander (1997 ); từ Komar (1998) và Dean (2002). 165 6.2 MÔ HÌNH HÓA BỜ BIỂN BẰNG MÔ HÌNH VẬT LÝ GIỚI THIỆU TỔNG QUÁT VỀ MÔ HÌNH VẬT LÝ Mô hình vật lý mô phỏng các quá trình diễn biến bờ biển trong tự nhiên sẽ gồm hai dạng: mô hình lòng cứng (cố định) và mô hình lòng động. Mô hình lòng cứng là các mô hình mô phỏng các hiện tượng diễn ra ở bờ biển mà không xét tới sự biến đổi địa hình đáy trong quá trình mô phỏng, lòng dẫn trong mô hình được coi như là cố định trong toàn bộ thời gian mô phỏng. Như vậy mô hình hoàn toàn không xét tới ảnh hưởng của hiện tượng vận chuyển bùn cát ở bờ biển đối với địa hình đáy cũng như đối với các hiện tượng cần nghiên cứu trong mô hình. Ngược lại, mô hình lòng động lại mô phỏng các quá trình diễn biến bờ biển có xét tới tác dụng vận chuyển bùn cát ở ven bờ do tác động của sóng và dòng chảy, như vậy lòng dẫn, hay địa hình đáy của mô hình sẽ thay đổi trong quá trình mô phỏng, chính vì vậy mà người ta gọi nó là mô hình lòng động. Với các đặc tính trên thì mỗi mô hình sẽ có phạm vi áp dụng và nghiên cứu riêng, tùy thuộc vào tính năng của mô hình. Ví dụ như để nghiên cứu các đặc trưng sóng ở lân cận một công trình bờ biển hoặc công trình cảng hay khảo sát dòng chảy do sóng tạo ra thì mô hình vật lý lòng cứng (cố định) sẽ là một công cụ được lựa chọn. Do nghiên cứu này không quan tâm tới hiện tượng vận chuyển bùn cát nên ở một chừng mực nào đó, có thể bỏ qua những ảnh hưởng bùn cát ven bờ tới hiện tượng nghiên cứu. Trường hợp cần mô hình hóa các đặc trưng của một hình dạng mặt cắt ngang bờ biển, một cửa sông vùng triều hay một đoạn bờ biển, thì mô hình vật lý lòng động lại là mô hình được sử dụng vì các quá trình tự nhiên trong nghiên cứu có liên quan chặt chẽ tới sự vận chuyển bùn cát và sự biến đổi địa hình đáy biển. Việc sử dụng các mô hình lòng động cho tới nay vẫn còn là một công việc phức tạp, cần nhiều tới kinh nghiệm và kỹ năng hơn là kiến thức đơn thuần về các hiện tượng nghiên cứu, bởi vì mô hình này có quá nhiều tham số có ảnh hưởng lớn tới sự sai khác lệch giữa mô hình với thực tế. Trong khuôn khổ của môn học, chương này sẽ chỉ đề cập một cách tóm tắt tới mô hình lòng cứng và một số chỉ tiêu tỷ lệ mô hình. Để mô hình hóa 1 mặt cắt ngang bãi biển hoặc của một đoạn bờ biển bằng mô hình vật lý, trước tiên, người ta phải chế tạo mô hình thu nhỏ của mô hình nguyên mẫu có ngoài tự nhiên trong phòng thí nghiệm tại một máng sóng hay bể sóng. Việc chế tạo mô hình vật lý thu nhỏ so với mô hình nguyên mẫu chỉ đơn giản là tính toán các kích thước của mô hình thu nhỏ bằng cách nhân tất cả các kích thước của mô hình nguyên mẫu với hệ số tỷ lệ được lựa chọn khi thiết kế xây dựng mô hình vật lý, hệ số này được gọi là tỷ lệ mô hình. Sau đó, để bắt đầu thí nghiệm, người ta phải tái tạo lại các hiện tượng xảy ra trong tự nhiên như tác động của sóng hay dòng chảy trong mô hình và cho nó tác động lên mô hình thí nghiệm đã được xây dựng và tiến hành đo đạc các thông số qua tâm trong quá trình thí nghiệm cũng như các kết quả cuối cũng về hình dạng sau khi kết thúc 166 thí nghiệm. Trong quá trình thí nghiệm, các thông số cơ bản như sóng, mực nước, dòng chảy và thời gian thí nghiệm sẽ được khống chế theo kịch bản thí nghiệm đã được xác định từ trước. Tuy vậy, bước đầu tiên khi xây dựng các mô hình thu nhỏ so với mô hình nguyên mẫu cũng là công việc hết sức phức tạp, một phần vì phải bảo đảm các mô hình thí nghiệm (trong điều kiện hạn chế về kích thước máng, hay bể sóng đã có) phải tái tạo lại được các hiện tượng giống như đã xảy ra trong thực tế và một phần vì chúng ta chưa tái tạo được cùng một loại trạng thái sóng theo mùa như nó xảy ra trong tự nhiên. Vấn đề đầu tiên là tỷ lệ mô hình, phải lựa chọn như thế nào cho phù hợp. Nếu chế tạo mô hình thí nghiệm bằng đúng với mô hình nguyên mẫu (tức là tỷ lệ mô hình sẽ là 1:1) thì kích thước mô hình sẽ quá lớn, không phù hợp với kích thước của phòng thí nghiệm hoặc chi phí để xây dựng mô hình sẽ tốn kém, khi thí nghiệm đòi hỏi phải có các thiết bị tạo sóng, dòng chảy nhân tạo rất lớn, đấy là chưa kể tới những hạn chế về mặt chế tạo thiết bị thí nghiệm, đồng thời chi phí vận hành đo đạc mô hình thí nghiệm cũng sẽ lớn hơn rất nhiều so với thông thường. Tuy nhiên, có những trường hợp do sự ràng buộc về mặt bản chất của hiện tượng mà bắt buộc phải thí nghiệm với tỷ lệ mô hình 1:1 (ví dụ thí nghiệm xói mái đê có lớp phủ là cỏ trên nền đất tại máng sóng ở Viện Thủy lực Delft, Hà Lan...). Nhưng thông thường, mô hình thí nghiệm được lấy nhỏ hơn so với mô hình nguyên mẫu sao cho phù hợp và thuận tiện cho việc nghiên cứu. Tỷ lệ chiều dài theo phương ngang của mô hình được ký hiệu là lr, được định nghĩa là tỷ số giữa chiều dài đặc trưng trong mô hình (lm) với chiều dài của cùng đặc trưng đó ở nguyên mẫu (lp). Các tỷ lệ đặc trưng của mô hình thường là lr = lm/lp = 1:10 đến 1:100. Vấn đề hay gặp phải đối với mô hình có tỷ lệ thu nhỏ là một số lực trong mô hình thí nghiệm trở nên quá lớn (hoặc quá nhỏ) so với thực tế và làm cho hiện tượng được tái tạo lại trong phòng thí nghiệm sai khác hoàn toàn về mặt bản chất vật lý so với thực tế. Ví dụ như, chúng ta biết rằng trong thực tế, trọng lực là một lực quan trọng giúp tạo nên hiện tượng tái tạo và lan truyền sóng trong nước, nhưng trong phòng thí nghiệm, nếu mô hình có sử dụng các sóng đặc biệt ngắn thì sẽ gặp phải vấn đề sai số do lực căng bề mặt, vì lúc này trong mô hình, lực này trở nên lớn hơn và quan trọng hơn so với trọng lực, dẫn tới các tác động sóng không còn đúng với thưc tế nữa. Để hạn chế các ảnh hưởng do tỷ lệ mô hình gây ra, một số mô hình đã sử dụng hệ số tỷ lệ của chiều dài theo phương nằm ngang khác với hệ số tỷ lệ của chiều sâu theo phương thẳng đứng, người ta gọi mô hình loại này là mô hình biến dạng. Ví dụ, một mô hình có thể có hệ số tỷ lệ chiều dài theo phương nằm ngang là 1:100 và tỷ lệ chiều cao theo phương thẳng đứng là 1:10. Điều này có nghĩa là, độ sâu nước trong mô hình sẽ lớn hơn trong một hình có tỷ lệ không bị biến dạng. Mô hình biến dạng nhằm đảm 167 bảo rằng ảnh hưởng của ma sát đáy không trở thành yếu tố chi phối không mong muốn đối với dòng chảy trong mô hình. BỂ TẠO SÓNG VÀ MÁNG TẠO SÓNG Một khía cạnh quan trọng khác khi tiến hành các thí nghiệm trên mô hình vật lý là đưa các yếu tố nhân tạo vào một thực nghiệm bất kỳ sao cho giống như ngoài thực tế. Muốn vậy, phải dựa vào các thiết bị có khả năng tái tạo lại các trạng thái tự nhiên ngoài thực tế, như sóng và dòng chảy. Các thiết bị này được gọi là máng sóng, bể sóng hay máng dòng chảy, hoặc tích hợp cả sóng và dòng chảy. Trước kia, một chuỗi sóng đơn, có chu kỳ đều thường được dùng để tiến hành các thí nghiệm. Việc tái tạo nên các chuỗi sóng loại này trong phòng thí nghiệm cần phải thực hiện hết sức cẩn thận, do sự chuyển động hình sin của các cánh tay đòn tạo sóng tại một đầu của máng sóng có thể tạo nên chuỗi sóng không như mong muốn do ảnh hưởng của quá trình phi tuyến. Đối với các sóng có biên độ giới hạn với tỷ số kh > 1.36, thì theo Benjamin-Feir, hiện tượng mất ổn định sóng sẽ xuất hiện. Các sóng với các tần số khác biệt rất nhỏ khi được tạo thành sẽ phát triển và trao đổi năng lượng với chuỗi sóng thiết kế. Một vấn đề khác nảy sinh khi tái tạo các sóng đơn trong máng sóng là sự hình thành các sóng dài giới hạn dưới nhóm sóng (Ottesen Hansen et al. 1980), sự phản xạ sóng và sự tổn thất năng lượng sóng tại các tường bên của máng sóng hay bể tạo sóng do hiện tượng ma sát và độ nhám bề mặt thành bên. Hiện tại, rất nhiều phòng thí nghiệm đang tiến hành các thực nghiệm với các thiết bị tạo sóng ngẫu nhiên có phổ năng lượng sóng tương ứng như các sóng đo đạc được trong tự nhiên. Các phương pháp số đã được phát triển để bảo đảm rằng phổ năng lượng sóng trong bể sóng gần giống như trong tự nhiên, một số phương pháp thì sử dụng các thiết bị lọc nhiễu trên hình dạng của phổ sóng, trong khi các phương pháp khác lại dựa trên tổng số chuỗi sóng có các biên độ và pha khác nhau để tạo thành phổ sóng. Thêm vào đó, người ta cũng chế tạo các thiết bị có khả năng hấp thu các sóng phản xạ hình thành trong quá trình thí nghiệm và lắp đặt chúng lên các thiết bị tạo sóng hay ở phần cuới của máng sóng để hấp thụ và giảm bớt tác dụng của các sóng phản xạ xuất hiện trong bể sóng. Bể sóng cũng có thể tạo nên các chuyển động sóng không mong muốn do sự có mặt của các sóng phản xạ từ các tường bên, từ thiết bị tạo sóng và từ bãi biển nhân tạo được xây dựng trong bể hoặc do quá trình tạo sóng không tương ứng với các trạng thái trong thực tế. Các ví dụ về các sóng này bao gồm các loại sau: - Sóng ngang, là các sóng phi tuyến được tạo ra tại các cánh tay đòn tạo sóng có thể lan truyền vào trong bể tạo sóng 168 - Sóng có nguồn gốc từ các dao động cộng hưởng trong bể sóng, xuất hiện khi tần số của các thiết bị tạo sóng tương ứng với tần số dao động riêng của mực nước trong bể tạo sóng. - Sóng do sự cộng hưởng sinh ra các sóng dài, như hiện tượng tạo thành các sóng đứng trong bể tạo sóng có bãi biển dốc. - Các sóng giả triều là các sóng ngắn tạo ra do các thiết bị tạo sóng có hướng MÔ HÌNH LÒNG CỨNG Đối với các nghiên cứu sóng tại vùng lân cận một công trình bờ biển hoặc cảng biển hoặc nghiên cứu dòng chảy do sóng tạo ra, người ta thường sử dụng các mô hình lòng cứng (cố định) vì đây là công cụ phù hợp nhất cho thí nghiệm và trong nghiên cứu không quan tâm tới hiện tượng vận chuyển bùn cát. Vì địa hình đáy của mô hình thì nghiệm được xem như là cố định trong suốt quá trình thí nghiệm nên nó thường được chế tạo bằng bê tông hoặc các bọt polyurethane có trọng lượng riêng cao (loại nhựa tổng hợp dùng để chế tạo sơn) để tạo hình về phương diện hình học giống như nguyên mẫu nhưng với kích thước nhỏ hơn. Tỷ lệ mô hình theo phương thẳng đứng hr, được định nghĩa giống như tỷ lệ mô hình theo phương nằm ngang được trình bày ở phần trước; đây là tỷ số giữa độ sâu theo phương thẳng đứng giữa mô hình và nguyên mẫu. Nếu tỷ lệ mô hình theo phương thẳng đứng lớn hơn tỷ lệ mô hình theo phương nằm ngang thì mô hình được gọi là mô hình biến dạng. Các mô hình lòng cứng (cố định) thường yêu cầu phải tái tạo lại hiệu ứng sóng nước nông, khúc xạ sóng, nhiễu xạ sóng, phản xạ sóng và hiện tượng sóng vỡ đúng như trong tự nhiên. Điều này có nghĩa là mô hình buộc phải không có sự biến dạng về tỷ lệ (lr = hr), khi các sóng ngắn được dùng để thí nghiêm trong mô hình. Có thể giải thích vấn đề này như sau. Đối với các chất điểm nước chuyển động trong sóng, người ta thường sử dụng hệ số tỷ lệ Frút, ' UF gh = (6.1) Trong đó vận tốc U là vận tốc có lên quan tới sóng, hay nói cách khác là vận tốc chuyển động của các chất điểm nước, g là gia tốc trọng trường, h là đặc trưng của độ sâu. Để đảm bảo tính chính xác của mô hình thu nhỏ thì số Frút trong mô hình phải bằng với giá trị của số Frút ngoài thực tế, từ đó có thể suy ra rằng tỷ số giữa lực quán tính và trọng lực phải giống nhau ở cả mô hình và nguyên mẫu. Tỷ lệ chiều dài (cả chiều rộng, độ sâu, chiều cao) trong mô hình thường là đã xác định, ta cần xác định tương quan tỷ lệ còn lại như tỷ lệ của vận tốc, thời gian và lực. Đối với mô hình tuân theo quy luật Frút thì các tương quan tỷ lệ thời gian và vận tốc là 169 1 rr r r UF g h = = (6.2) Do trọng lực sẽ là như nhau ở cả trong mô hình lẫn ngoài nguyên mẫu (gr =1) nên từ (6-2) ta có thể rút ra Ur = rh . Nếu chúng ta biểu diễn vận tốc dưới dạng tỷ số giữa chiều dài theo phương ngang với thời gian, thì sẽ thu được rr r lt h = (6.3) Hay nói cách khác, chúng ta biết rằng chiều dài sóng của một con sóng thì phụ thuộc vào chu kỳ sóng và độ sâu nước từ tương quan tiêu tán năng lượng có dạng sau 2 tanh ( ) 2 gTL π= kh (6.4) trong đó (k = 2πh/L), là số sóng. Đối với vùng nước sâu, tỷ lệ chiều dài sóng sẽ bằng Lr = Tr2. Do đây là tỷ lệ chiều dài nên Lr = lr = T2. Giải công thức cho Tr, thu được Tr = tr = rl . So sánh với biểu thức trước của tr, thì cần có hr = Lr = lr. Yêu cầu này đối với một mô hình không biến dạng cũng được áp dụng cho vùng độ sâu chuyển tiếp do công thức (6.4) có điều kiện áp dụng là (kh)r = 1, hay, thế vào số sóng, ta thu được hr = Lr = lr. Do vậy, đối với các sóng ngắn, mô hình nhất thiết phải là mô hình không biến dạng. Tuy vậy, đối với các sóng dài, điều kiện này là không bắt buộc vì vận tốc của pha sóng được xác định từ độ sâu nước cục bộ chứ không phụ thuộc vào chu kỳ sóng như trong công thức (6.4), chiều dài sóng thì được xác định bằng công thức TghL= , và công thức (6.3) được dùng để xác định tỷ lệ thời gian. Đối với các mô hình thủy triều mô phỏng ở các cửa sông hình tam giác châu lớn, thì bắt buộc mô hình phải sử dụng có tỷ lệ biến dạng. Ví dụ như mô hình vịnh hay đầm phá được đặt trong phòng phí nghiệm có diện tích mặt bằng là 56,700 m2 với tỷ lệ chiều dài theo phương ngang là 1:1000 và tỷ lệ độ sâu theo phương thẳng đứng là 1:100. Với tỷ lệ này thì độ sâu lớn nhất trong mô hình sẽ vào khoảng 0,4m. Nếu mô hình không sử dụng tỷ lệ biến dạng thì độ sâu lớn nhất sẽ chỉ là 0.04m, và hầu như mô hình sẽ chịu sự chi phối rất lớn do ảnh hưởng của độ nhớt chất lỏng và ma sát đáy làm sai lệch các hiện tượng dòng chảy và sóng trong mô hình và đưa đến những kết quả không đúng như trong thực tế. Một hệ quả khác của tỷ lệ biến dạng mô hình là ma sát đáy thường xuyên quá nhỏ trong mô hình và so với các kiểm định chi tiết với số liệu đo đạc tại hiện trường của vận tốc dòng chảy. Thông thường, để làm tăng ma sát khi kiểm định mô hình, người ta có thể dùng các mẩu kim loại gắn ở đáy để làm tăng độ nhám. 170 6.3 MÔ HÌNH HÓA ĐƯỜNG BỜ BẰng PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH Mặc dù không mềm dẻo và có tính ứng dụng cao như mô hình toán, hay trực quan như mô hình vật lý, nhưng phương pháp giải tích có thế mạnh là cho phép hiểu rõ bản chất vật lý của hiện tượng được mô hình hóa và có lời giải rõ ràng. Các nghiên cứu bờ biển sử dụng phương pháp giải tích thường đơn giản hóa các phương trình toán mô tả các hiện tượng tự nhiên để có thể giải trực tiếp hệ phương trình và cho nghiệm giải tích. Trong phần này, lý thuyết đường đơn của Pelnard-Considere (1956) mô phỏng sự biến đổi đường bờ biển sẽ được trình bày. Mặc dù đây là một lý thuyết đơn giản, đã có từ lâu và chỉ có thể áp dụng trong một số rất ít các trường hợp có trong tự nhiên và bản thân lý thuyết cũng sử dụng rất nhiều giả thiết và có nhiều hạn chế, nhưng đây lại là cơ sở để