Chương 6. Mô hình hóa quá trình Phát tán

166 Chương 6. Mô hình hóa quá trình Phát tán 6.1 Giới thiệu Nói chung, các nghiên cứu phát tán nhằm mục đích định lượng độ pha loãng đạt được trong một thời gian nhất định, dưới những điều kiện khí quyển và hải dương đặc trưng. Mô hình toán học cung cấp phương tiện để tính toán sự pha loãng bằng cách sử dụng dữ liệu về mức độ tăng thể tích bị chiếm chỗ bởi một khối lượng đã cho của chất phát tán. Mức độ này thường được mô tả bởi những hệ số xáo trộn, mặc dù có thể áp dụng những phương pháp khác, như kỹ thuật lăng trụ thủy triều phác thảo trong mục 6.6.2. Những mô hình sẵn có với sự đa dạng về chủng loại, những khác biệt của chúng thường phụ thuộc vào cách mô tả sự hạn chế tăng trưởng bởi các biên dòng chảy. Chương này đưa một tổng quan chứ không mô tả chi tiết cấu trúc và ứng dụng của tất cả các loại mô hình khác nhau. Chỉ có các công thức tương đối đơn giản mô tả trước đây sẵn được giải trong chương này trên cơ sở những chi tiết đã cho - đối với những mô hình tiên tiến hơn, hầu hết đòi hỏi năng lực tính toán đáng kể, người làm mô hình có lẽ phải tham chiếu đến những tài liệu chuyên môn về kỹ thuật số. Những mô hình tiên tiến được đề cập trong chương này để bảo đảm rằng người đọc ý thức được phạm vi của những loại mô hình sẵn có. Trong một vài hoàn cảnh, phần mềm cho một mô hình như vậy có thể có sẵn, và nó sẽ quan trọng đối với người dùng để hiểu những quá trình phát tán đã được biểu thị bằng toán học trong mô hình ra sao. Chương này bắt đầu mô tả sự pha loãng ban đầu của một chất nổi thải vào môi trường biển, khi xuất hiện tại nguồn thải và những nguồn đổ vào khác tại đáy biển. Hai mục tiếp theo về phát tán những đốm loang và vệt loang cung cấp các công thức có thể sử dụng để đánh giá 'cốt lõi bên trong' của nồng độ, hoặc pha loãng mà không cần khả năng tính toán đáng kể. Mục tiếp theo mô tả kỹ thuật ngẫu hành, một phương pháp có các ứng dụng thực tế đa dạng nhưng cần một tài nguyên tính toán tốt. Phần còn lại của chương này phác thảo những loại mô hình có thể áp dụng trong các cửa sông và nước ven bờ. Mục về những mô hình một chiều đối với cửa sông bắt đầu với việc mô tả những mô hình lăng trụ thủy triều. Mặc dù kỹ thuật này đã được thay thế bởi những mô hình giải các phương trình cân bằng động lượng và khối lượng (các mục 2.4.2 và 4.2.3), quy trình được nhắc đến để chỉ ra việc có thể xét tác động thủy triều để suy luận sự pha loãng như thế nào khi xáo trộn được hạn chế bởi những giới hạn của một cửa sông. Trong phác thảo những mô hình tiên tiến ở nửa sau chương này, đưa ra một mô tả tiếp cận cho phép phá huỷ những chất dễ bị phân hủy sinh học. 167 6.2 Pha loãng và cuốn theo bằng Tia Trong khuyếch tán rối qua một mặt phân cách, có vận chuyển khối lượng nhưng không có vận chuyển thực tế của nước. 'Cuốn theo' khác với khuyếch tán ở chỗ vận chuyển khối lượng kèm theo chuyển động thực tế của nước. Sự cuốn theo có thể xuất hiện khi một chất lỏng đang lan truyền nhanh so với một chất lỏng kề bên; khác biệt vận tốc giữa những chất lỏng làm cho một chất lỏng sẽ bị kéo vào bên trong chất khác. Ví dụ, khi nước sông chảy ra biển trên nước chuyển động chậm và nhiều muối hơn ở một cửa sông, những chuyển động tương đối kéo nước mặn vào trong dòng chảy mặt, một hiệu ứng có thể làm tăng thể tích vận chuyển về phía biển của nước nhiễm mặn khoảng hai mươi lần lưu lượng thể tích đến cửa sông do các nguồn sông nhập vào (Bowden, 1967). Hình 6.1 Sự cuốn theo vào bên trong một tia đang trồi lên, được hình thành do việc thải liên tục một chất nổi tại đáy biển Do sự có mặt của một thể tích nước ngọt lớn, chất thải hoặc những chất thải công nghiệp nói chung có mật độ thấp hơn nước biển. Như vậy, những nguồn đổ xuống đáy biển dâng lên phía mặt nước và trở nên loãng bởi sự cuốn theo của nước biển ở vùng lân cận (hình 6.1). Nếu chuyển động hướng lên của chất thải chưa được ngăn ngừa bởi sự có mặt của một lớp có mật độ thấp, việc pha loãng tia tiếp tục tăng lên cho đến khi nó đạt đến mặt nước biển và lan rộng ra để hình thành một trường rộng. Trường này, được coi như một trường 'sôi', thường rõ ràng nhận ra như một khu vực biển mịn phía trên nguồn đổ. Những dòng thủy triều liên tục mang trường chất thải ra khỏi khu vực nguồn đổ, và do bị pha loãng bởi xáo trộn rối, nó hình thành một vệt loang mở rộng. Sự pha loãng bởi cuốn theo liên quan đến động năng và thế năng xả và giai đoạn này của quá trình pha loãng thường xác định từ công thức kinh nghiệm hơn là bằng cách giải những phương trình cân bằng thể tích và động lượng. Một họ tiêu biểu những đường cong pha loãng được thiết lập bởi Abraham (1963) trên cơ sở các thực nghiệm với tia trong những bể nước yên tĩnh. Những đường cong này liên hệ sự pha loãng một tia đang dâng lên theo tỷ lệ của độ sâu nước với đường kính của cửa thoát, và với 'số Froude tia' Fj của 168 dòng chảy. Số Froude liên quan đến mật độ tức thời của tia j, và mật độ nước bao quanh a, với vận tốc tia u bởi biểu thức   5,0' j j dg u F  (6.1) trong đó g' = g(a-j)/a và dj là đường kính của tia. Một công thức hữu ích đối với độ pha loãng D0 phát sinh do sự cuốn theo, cho một kết quả tương tự như những đường cong pha loãng của Abraham là 3/5 0 66,0 38,0 54,0          jj j Fd h FD (6.2) trong đó h là toàn bộ độ sâu nước (Cederwall, 1968). Ví dụ Với việc xả lưu lượng là 0,1 m3 s-1 từ một nguồn đổ có đường kính 0,3 m định vị tại đáy biển trong nước có độ sâu 12 m, đòi hỏi đánh giá độ pha loãng ban đầu tại mặt nước biển. Với mật độ của nguồn thải là 1005 kgm-3 và mật độ nước biển là 1020 kgm-3, gia tốc triết giảm do trọng lực lấy bằng g'= 9,81 x ( 1020 - 1005) /1020 = 0,144 ms-2. Vận tốc uj lấy bằng lưu lượng thể tích chia cho diện tích mặt cắt của nguồn đổ, cho ta u = 0,1/ x (0,3 / 2)2= 1,41 ms-1. Do đó từ phương trình (6.1), Fj = 1,41 /(0,144 x 0,3) 1/2 = 6,8. Từ phương trình (6.2), D0= 0,54 x 6,8 [( 0,38 x 12) /( 0,3 x 6,8) +0,66] 5/ 3 = 21,4 lần. Đây là tiêu biểu của độ pha loãng ban đầu do tăng độ nổi nhận được trong nước tương đối nông như vậy. Cần thấy rằng công thức hợp lý với nước yên tĩnh, như có thể thấy trong biển tại những thời gian thủy triều dừng khi hướng dòng chảy đảo ngược. Công trình thực nghiệm chỉ ra rằng có thể thu được những pha loãng ban đầu hơi cao hơn khi thải vào nước đang chuyển động. Đối với một tia chất lỏng nổi từ một nguồn trong biển, tính liên tục thể tích đòi hỏi rằng bduQD v 00  (6.3) trong đó D0 là độ pha loãng ban đầu do cuốn theo, Qv là lưu lượng thể tích thải qua miệng tia, u0 là vận tốc dòng chảy bao quanh đi qua điểm thải, b là chiều rộng ban đầu của trường nổi và d là độ sâu của nó (hình 6.1). Những biểu thức này cho thấy chiều rộng và độ sâu ban đầu của trường phụ thuộc vào vận tốc dòng chảy ra sao, và khi dòng chảy bao quanh được chỉ rõ, có thể sử dụng để đánh giá những biến này nếu các đặc trưng khác đã xác định. Một xấp xỉ thường sử dụng là giả thiết rằng phân bố nồng độ ngang qua trường là Gauss và phân bố thẳng đứng là bán Gauss. Dạng phân bố nồng độ Gauss được cho trong hình 4.3; dạng bán Gauss liên quan đến một nửa phân bố này, lấy từ một đường đối xứng qua nồng độ cực đại. Một thuộc tính hữu ích của phân bố nồng độ Gauss là chiều rộng b giữa các điểm, bằng một phần mười nồng độ cực đại, bằng 4,3 lần độ lệch chuẩn của phân bố, độ lệch chuẩn được xác định trong mục 6.3.1; giá trị này được làm tròn thành 4,0 đối 169 với đa số các ứng dụng thực tế. Tương tự, đối với phân bố nồng độ bán Gauss trong hướng thẳng đứng, độ tách ra d giữa mặt nước và độ sâu mà nồng độ tại đó băng một phần mười cực đại, xấp xỉ bằng hai lần độ lệch chuẩn của phân bố (hình 6.2). Như vậy 4 0 b y  2 0 d z  (6.4) trong đó y0 và z0 là các độ lệch chuẩn ban đầu của trường mặt nước. Nhớ rằng nồng độ cực đại xuất hiện tại vị trí y = 0, người đọc có thể muốn chứng minh rằng yếu tố thật sự là 4,3 trong quan hệ giữa y0 và b, bằng cách sử dụng công thức đối với phân bố Gauss đã cho trong phương trình (6.8) dưới đây. Hình 6.2 Độ sâu d tại đó nồng độ bằng 1/10 nồng độ mặt nước đối với phân bố bán Gauss Kết hợp những phương trình (6.3) và (6.4), độ lệch chuẩn thẳng đứng ban đầu của trường nguồn đổ cho bằng 00 0 0 8 y v z u QD    . (6.5) Đối với những mục đích mô hình hoá, thường cần đánh giá độ lệch chuẩn hướng đứng và hướng ngang tại lúc cuối giai đoạn pha loãng ban đầu. Trong nhiều trường hợp chiều rộng b của trường có thể đánh giá tại giai đoạn này, hoặc bởi vết loang thấy được trên mặt nước, hoặc bởi việc thải thông qua một máy khuếch tán nhiều cổng có độ dài cho trước cắt qua dòng chảy, có thể giả thiết bằng b. Với việc sử dụng phương trình (6.4), có thể tính toán độ lệch chuẩn hướng ngang y0, và sau đó độ lệch chuẩn ban đầu của phân bố thẳng đứng, tính toán từ phương trình (6.5). Đây là điểm bắt đầu để tính toán sự pha loãng thứ cấp tiếp theo trong một vệt loang liên tục. 6.3 phát tán đốm loang 6.3.1 Phương pháp thể hiện Gauss Những mô hình dự đoán nồng độ tại giai đoạn nào đó trong quá trình khuếch tán dựa vào giả thiết rằng, mặc dù thể tích bị chiếm chỗ bởi vật chất tăng theo thời gian, toàn bộ khối lượng là không đổi. Nếu biết khối lượng của vật chất, thì vấn đề giảm thiểu tới 170 việc xác định kích thước của thể tích sau thời gian khuyếch tán xác định nào đó. Phân bố nồng độ trong một hướng đã cho thường có dạng hình chuông, có thể giống với hàm Gauss, và mức trải rộng của phân bố này có thể biểu thị bởi độ biến thiên của nó. Thông thường mô tả độ biến thiên của phân bố nồng độ như sau       cdy dycy y 2 2 (6.6) trong đó c là nồng độ tại bất kỳ vị trí y nào. Trong biểu thức này mẫu số thể hiện toàn bộ khối lượng của chất trong một đoạn có độ dày dx và độ sâu dz. Nếu M là toàn bộ khối lượng của chất thải thì       cdxdydzM . (6.7) Khi phân bố thực sự là Gauss, hàm f(y) mô tả sự biến đổi theo hướng y bằng            2 2 2 exp 2 1 yy y yf  (6.8) trong đó những biểu thức tương đương áp dụng trong những hướng tọa độ khác. Nếu một đốm loang chất khuếch tán không có bất kỳ sự đối xứng nào trong phân bố nồng độ của nó, như có thể xuất hiện với một tập hợp của các hạt khuếch tán độc lập, thì sự lan rộng theo trục y có thể mô tả bằng            dxdydzytzyxc M y 22 ,,, 1  . (6.9) Biểu thức này là một số đo chiều rộng toàn bộ đốm loang nhưng đòi hỏi một đặc trưng trường nồng độ trong ba chiều (Csanady, 1973: tr. 27). Đối với nhiều mục đích, có thể thực hiện sự đơn giản hóa là biến thiên của một phân bố trong một hướng sẽ độc lập với hai hướng khác. Dưới những hoàn cảnh như vậy, nồng độ tại bất kỳ điểm nào có thể viết    zfyfxMftzyxc 321 )(),,,(  (6.10) trong đó những hàm số fi thể hiện những phân bố Gauss có dạng đã cho trong phương trình (6.8). Như vậy nồng độ này có thể viết                  2 2 2 2 2 2 2/3 2 1 exp )2( ),,,( zyxzyx zyxM tzyxc  . (6.11) Biểu thức này mô tả phân bố nồng độ trong ba chiều khi sự lan rộng của đốm loang vật chất chưa được chặn bởi những biên hoặc những lớp phân tầng trung gian. Một số nghiên cứu phát tán chất chỉ thị màu phát quang đã chỉ ra rằng trong những điều kiện rối sự phân bố chất chỉ thị là một xấp xỉ tốt với Gauss trong mặt phẳng nằm ngang 171 (Csanady, 1973: tr. 82; Bowden và nnk., 1974). Nói chung, hiệu ứng của cấu trúc mật độ thẳng đứng cản trở phân bố thẳng đứng do việc lấy dạng Gauss. Tuy nhiên, để mô tả phân bố nồng độ của đốm loang vật chất bằng những số hạng toán học, tiện lợi hơn là giả thiết phân bố đó là Gauss trong tất cả ba hướng. Trong điều kiện xáo trộn mạnh đốm loang có thể nằm tại mặt nước, hoặc có thể gần đáy, cho nên sự lan rộng thẳng đứng bị hạn chế. Có thể tính đến hiệu ứng của biên lên phân bố bằng việc lấy một nửa độ lan rộng như đã cho bằng hàm số f3(z), sao cho phân bố thẳng đứng đó là 'bán Gauss' (hình 6.2) và    zfyfxMftzyxc 321 )(2),,,(  (6.12) và tại tâm đốm loang zyx M tc  2/32 ),0,0,0(  . (6.13) Một trong những ưu điểm của việc sử dụng những hàm độc lập đã cho trong phương trình (6.10) là nếu phân bố là đồng nhất trong một hướng toạ độ, thì hàm số trong hướng đó đơn giản đến một độ dài nghịch đảo. Ví dụ, nếu phân bố đồng nhất theo độ sâu f3( z) = 1/h, trong đó h là toàn bộ độ sâu, và nồng độ tại tâm đốm loang này trở thành yxh M tc  ),0,0( . (6.14) Trong thực tế, h có thể là độ sâu xuống đến mặt phân cách mật độ nào đó mà ngăn chặn xáo trộn rối thẳng đứng. Tỷ lệ của những độ lệch chuẩn hướng dọc so với hướng ngang tại bất kỳ thời điểm nào là một số đo tiện lợi về mức độ của ưu thế phát tán trượt theo một trong số hai hướng thành phần này. Tỷ lệ rv này xác định bằng y x vr    (6.15) phải bằng 1 nếu những điều kiện là đẳng hướng theo hướng ngang và làm cho đốm loang có hình tròn. 6.3.2 Nguồn có chiều rộng hữu hạn Công thức nói trên giả thiết rằng vật chất đổ xuống như một nguồn điểm. Trong thực tế, trường hình thành bởi một sự thải rời rạc vật chất sẽ có kích thước hữu hạn trước khi sự lan rộng khuếch tán thật sự bắt đầu. Điều này phải được tính đến trong việc thiết lập một mô hình để mô tả sự thay đổi nồng độ theo thời gian khuyếch tán, mà thường được đo từ thời gian mà tại đó một phần tử hình thành một phần của trường trên mặt. Giả thiết rằng những biến thiên ban đầu vào thời gian t = 0 có một độ lớn hữu hạn bằng việc chấp nhận những phương trình 22 0 2 xtxx   (6.16) trong đó những chỉ số dưới 0 và t quy về những biến thiên của trường ban đầu tại mặt nước và phần của phân bố kế tiếp do xáo trộn thuần túy rối gây ra. Những biểu thức 172 tương ứng có thể phát biểu đối với những hướng thành phần khác. Tại t = 0, xt bằng không nên x0 2 thể hiện sự biến thiên phân bố dọc của trường ban đầu. Phương trình (6.16) có thể thay vào phương trình (6.11) để cung cấp một biểu thức cho nồng độ của đốm loang có kích thước hữu hạn ban đầu. Một dạng đặc biệt hữu ích đối với nồng độ trên mặt tại tâm đốm loang, lan rộng từ một trường ban đầu có kích thước hữu hạn 2/122 0 2/122 0 2/122 0 2/3 )()()(2 ),0,0,0( ztzytyxtx M tc    . (6.17) Hình 6.3 Vệt loang được mô tả như (a) sự xếp chồng một đợt các đốm loang rời rạc, hoặc (b) một đợt các lát mỏng Để áp dụng phương trình (6.17), một đánh giá biến thiên ban đầu của đốm loang có thể xác định từ kích thước của nó khi sử dụng phương trình (6.4), và những biến thiên kế tiếp sau thời gian khuyếch tán t nào đó sẽ xác định từ các mối quan hệ của các hệ số xáo trộn, như đã cho trong những phương trình (5.23) và (5.24). 6.4 phát tán những vệt loang 6.4.1 Vệt loang Gauss Vệt loang hình thành bởi việc thải liên tục có thể xấp xỉ bằng sự chồng kế tiếp lên nhau của các đốm loang riêng biệt (hình 6.3 (a)). Hợp lý khi giả thiết rằng sự xáo trộn lẫn nhau giữa những mặt cắt kề bên của một vệt loang trong hướng x không có hiệu ứng đáng kể lên nồng độ vì những gradient nồng độ theo hướng đó phải tương đối thấp so với những gradient trong hướng đứng và ngang. Thấy rằng một vệt loang có thể xét như một đợt những lát mỏng, qua đó không có vận chuyển khuếch tán (hình 6.3 (b)). Trong mỗi lát những phân bố nồng độ có thể vẫn lấy như Gauss và nồng độ tại một điểm trong vệt loang chưa bị hạn chế bởi bất kỳ biên nào như mặt nước hoặc đáy biển, bằng )()()/(),,( 320 zfyfuQtzyc  (6.18) 173 trong đó Q là lưu lượng khối lượng và u0 là vận tốc của dòng chảy tại nguồn. Tỷ lệ Q/u0 thể hiện khối lượng vật chất đưa vào trong mỗi lát mỏng trong mặt phẳng y-z. Có thể thấy rằng nếu dòng chảy chậm, khối lượng đổ xuống trong một đơn vị thời gian đi vào thể tích sẽ nhỏ hơn so với khi dòng chảy nhanh, và như vậy làm cho nồng độ ban đầu cao hơn. Thay thế biểu thức đối với phân bố hướng ngang, đã cho trong phương trình (6.8), và một biểu thức tương đương đối với phân bố thẳng đứng dẫn đến                  2 2 2 2 0 2 1 exp 2 ),,( zyzy zy u Q tzyc  . (6.19) Đây là phương trình cơ bản mô tả một vệt loang vật chất mở rộng trong dòng chảy ổn định khi không có hạn chế lên sự lan rộng hướng ngang hoặc đứng của nó. Tuy nhiên, nếu vệt loang được định vị tại mặt biển để nó chỉ có khả năng xáo trộn xuống dưới, thì mô hình như vậy có thể áp dụng khi giả thiết có sự phản xạ hoàn toàn lên mặt phẳng hình thành bởi mặt nước, chứng tỏ rằng nồng độ được gấp đôi. Điều này dẫn đến một phương trình sửa đổi                  2 2 2 2 0 2 1 exp),,( zyzy zy u Q tzyc  . (6.20) Dọc theo trục vệt loang y = 0 và z = 0, và xác định nồng độ c(0, 0, t) dọc trục này theo cp, phương trình (6.20) có thể viết                  2 2 2 2 2 1 exp),,( zy p zy ctzyc  (6.21) trong đó zy p u Q tcc  0 ),0,0(  . (6.22) Biểu thức này đối với cp đơn giản phát biểu rằng nồng độ tại mặt biển phụ thuộc vào sự lan rộng, xác định bởi độ lệch chuẩn của một khối lượng chất nhất định Q/u0 trong mỗi phần tử thể tích đi qua điểm xả trong một đơn vị thời gian. Nếu xáo trộn đủ mạnh để nồng độ của chất hoà tan đồng nhất theo độ sâu, phương trình (6.19) ở trên có thể tích phân để có nồng độ trung bình độ sâu. Nồng độ này bằng        yy m y hu Q tyc 2 2 0 2/1 2 1 exp )2( ),(  (6.23) trong đó, trong ví dụ này, u0 là dòng chảy trung bình độ sâu. 6.4.2 Cho phép đối với giới hạn biên Vật chất đổ liên tục xuống mặt biển sẽ trở nên xáo trộn xuống tới đáy. Trước khi đạt đến một trạng thái đồng nhất thẳng đứng hoàn toàn, nồng độ tại mặt biển bị ảnh 174 hưởng bởi vật chất xáo trộn ngược từ đáy. Quá trình này có thể biểu thị bằng việc xem xét phân bố phản xạ từ biên đáy cho nên những phương trình (6.21) và (6.22) cho ta                                2 2 2 2 2 2 )2( 2 1 exp 2 1 exp 2 1 exp),,( zzy p hzzy ctzyc  (6.24) trong đó h là toàn bộ độ sâu. Lý luận cũng áp dụng đối với xáo trộn xuống đến mặt phân cách mật độ tại độ sâu trung gian nào đó dưới mặt nước. Sự xấp xỉ này có thể cải thiện bằng việc bổ sung thêm một chuỗi các số hạng để cho phép nhiều phản xạ (Pasquill và Smith, 1983: tr. 328). Khi y = 0 và z = 0, phương trình ( 6.24) đơn giản thành                2 22 exp1),0,0( z p h ctc  . (6.25) Biểu thức này chỉ ra sự cho phép hiệu ứng phản xạ từ đáy lên nồng độ theo trục của vệt loang tại mặt biển có thể thực hiện ra sao. Có thể viết ra một phương trình tương đương để mô tả ảnh hưởng của phản xạ mặt nước lên nồng độ tại đáy biển đối với việc thải tại sàn đáy biển. Hình 6.4 Phân bố nồng độ theo trục c(0, z, t) của vệt loang với phân bố bán Gauss theo hướng thẳng đứng so với nồng độ cm(0, t) với phân bố xáo trộn thẳng đứng hoàn toàn Phương trình (6.24) khá phức tạp, và đối với những ứng dụng thực tế trong môi trường biển tốt hơn hết là áp dụng phương trình (6.20) trong hai giai đoạn khác nhau: Giai đoạn 1: z < 0,8 h, xáo trộn thẳng đứng không bị ảnh hưởng bởi đáy và z trong phương trình (6.20) lấy bằng z = (2Kzt) 1/ 2. Giai đoạn 2: z  0,8 h, giả thiết xáo trộn thẳng đứng sẽ hoàn toàn và z lấy bằng 0,8 h trong phương trình (6.20). 175 Ví dụ Hình 6.4 chỉ ra nồng độ c(0, z, t) lúc đâù có phân bố bán Gauss theo độ sâu như thế nào. Xáo trộn thẳng đứng làm cho nồng độ mặt nước giảm trong khi nồng độ đáy biển tăng lên - những phân bố tiêu biểu đưa ra tại các thời gian t1 và t2 trong quá trình xáo trộn. Trước khi một chất hoà tan xáo trộn tới đáy,