Chương 7 Ước lượng các tham số của biến ngẫu nhiên

Bài toán ước lượng tham số: Cho biến ngẫu nhiên gốc X với quy luật phân phối xác suất đã biết xong chưa biết tham số ? nào đó của nó. Phải ước lượng (xác định một các h gần đúng) giá trị ?.

pdf69 trang | Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 1796 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Chương 7 Ước lượng các tham số của biến ngẫu nhiên, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chương 7 ớ lượng á tham số ủa biến ngẫu nhiên Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 219 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 7 1 Phương pháp ướ lượng điểm 2 Phương pháp ướ lượng bằng khoảng tin ậy Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 220 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 7 1 Phương pháp ướ lượng điểm 2 Phương pháp ướ lượng bằng khoảng tin ậy Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 220 / 293 1. Mở đầu Bài toán ướ lượng tham số: Cho biến ngẫu nhiên gố X với quy luật phân phối xá suất đã biết xong hưa biết tham số θ nào đó ủa nó. Phải ướ lượng (xá định một á h gần đúng) giá trị θ. Để giải quyết bài toán này ần lập một mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n rồi từ đó xây dựng một thống kê θˆ để ướ lượng θ. Có hai phương pháp ướ lượng là phương pháp ướ lượng điểm và phương pháp ướ lượng bằng khoảng tin ậy. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 221 / 293 1. Mở đầu Bài toán ướ lượng tham số: Cho biến ngẫu nhiên gố X với quy luật phân phối xá suất đã biết xong hưa biết tham số θ nào đó ủa nó. Phải ướ lượng (xá định một á h gần đúng) giá trị θ. Để giải quyết bài toán này ần lập một mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n rồi từ đó xây dựng một thống kê θˆ để ướ lượng θ. Có hai phương pháp ướ lượng là phương pháp ướ lượng điểm và phương pháp ướ lượng bằng khoảng tin ậy. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 221 / 293 1. Mở đầu Bài toán ướ lượng tham số: Cho biến ngẫu nhiên gố X với quy luật phân phối xá suất đã biết xong hưa biết tham số θ nào đó ủa nó. Phải ướ lượng (xá định một á h gần đúng) giá trị θ. Để giải quyết bài toán này ần lập một mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n rồi từ đó xây dựng một thống kê θˆ để ướ lượng θ. Có hai phương pháp ướ lượng là phương pháp ướ lượng điểm và phương pháp ướ lượng bằng khoảng tin ậy. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 221 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm 2.1. Phương pháp hàm ướ lượng a. Khái niệm Cần ướ lượng tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X. Lập mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n: W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) Chọn lập thống kê θˆ = f(X 1 ,X 2 , ...,X n ) Lập một mẫu  thể và tính đượ giá trị  thể ủa θˆ là θˆ = f(x 1 , x 2 , ..., x n ) hính thì ướ lượng điểm ủa θ Vì thống kê θˆ là hàm ủa á biến ngẫu nhiên nên gọi phương pháp này là phương pháp hàm ướ lượng. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 222 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm b. Cá tiêu huẩn lựa họn hàm ướ lượng • ớ lượng không hệ h Định nghĩa: Thống kê θˆ ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng không hệ h ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu: E(θˆ) = θ Nếu E(θˆ) 6= θ thì θˆ gọi là ướ lượng hệ h ủa θ. Thí d 7.1. E(X) = m. E(f) = p. E(S2) = σ2 ( hứng minh). * Với θ˜ là một ướ lượng hệ h ủa θ thì độ hệ h ủa θ˜ đượ đo bởi giá trị: BS = |E(θ˜)− θ| Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 223 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm b. Cá tiêu huẩn lựa họn hàm ướ lượng • ớ lượng không hệ h Định nghĩa: Thống kê θˆ ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng không hệ h ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu: E(θˆ) = θ Nếu E(θˆ) 6= θ thì θˆ gọi là ướ lượng hệ h ủa θ. Thí d 7.1. E(X) = m. E(f) = p. E(S2) = σ2 ( hứng minh). * Với θ˜ là một ướ lượng hệ h ủa θ thì độ hệ h ủa θ˜ đượ đo bởi giá trị: BS = |E(θ˜)− θ| Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 223 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm b. Cá tiêu huẩn lựa họn hàm ướ lượng • ớ lượng không hệ h Định nghĩa: Thống kê θˆ ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng không hệ h ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu: E(θˆ) = θ Nếu E(θˆ) 6= θ thì θˆ gọi là ướ lượng hệ h ủa θ. Thí d 7.1. E(X) = m. E(f) = p. E(S2) = σ2 ( hứng minh). * Với θ˜ là một ướ lượng hệ h ủa θ thì độ hệ h ủa θ˜ đượ đo bởi giá trị: BS = |E(θ˜)− θ| Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 223 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm • ớ lượng hiệu quả + Định nghĩa: Thống kê ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng hiệu quả nhất ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu nó là ướ lượng không hệ h và ó phương sai nhỏ nhất so với mọi ướ lượng không hệ h khá đượ xây dựng trên ùng mẫu đó. + Nếu θˆ 1 và θˆ 2 đều là á ướ lượng không hệ h ủa θ thì ướ lượng nào ó phương sai nhỏ hơn là ướ lượng hiệu quả hơn. + Giả sử V(θˆ 1 ) < V(θˆ 2 ) thì độ hiệu quả ủa θˆ 1 so với θˆ 2 đượ xá định bằng biểu thứ : EF = V(θˆ 2 ) V(θˆ 1 ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 224 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm • ớ lượng hiệu quả + Định nghĩa: Thống kê ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng hiệu quả nhất ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu nó là ướ lượng không hệ h và ó phương sai nhỏ nhất so với mọi ướ lượng không hệ h khá đượ xây dựng trên ùng mẫu đó. + Nếu θˆ 1 và θˆ 2 đều là á ướ lượng không hệ h ủa θ thì ướ lượng nào ó phương sai nhỏ hơn là ướ lượng hiệu quả hơn. + Giả sử V(θˆ 1 ) < V(θˆ 2 ) thì độ hiệu quả ủa θˆ 1 so với θˆ 2 đượ xá định bằng biểu thứ : EF = V(θˆ 2 ) V(θˆ 1 ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 224 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm • ớ lượng hiệu quả + Định nghĩa: Thống kê ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng hiệu quả nhất ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu nó là ướ lượng không hệ h và ó phương sai nhỏ nhất so với mọi ướ lượng không hệ h khá đượ xây dựng trên ùng mẫu đó. + Nếu θˆ 1 và θˆ 2 đều là á ướ lượng không hệ h ủa θ thì ướ lượng nào ó phương sai nhỏ hơn là ướ lượng hiệu quả hơn. + Giả sử V(θˆ 1 ) < V(θˆ 2 ) thì độ hiệu quả ủa θˆ 1 so với θˆ 2 đượ xá định bằng biểu thứ : EF = V(θˆ 2 ) V(θˆ 1 ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 224 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Thí d 7.2. Từ mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n=3 ta xt hai ướ lượng sau đây ủa trung bình tổng thể m X = 1 3 (X 1 + X 2 + X 3 ); G = 1 3 X 1 + 1 2 X 2 + 1 6 X 3 ớ lượng nào hiệu quả hơn. Thí d 7.3. Từ tổng thể với biến ngẫu nhiên gố X ( ó trung bình là m, phương sai là σ2) lập 2 mẫu ngẫu nhiên độ lập kí h thướ n 1 , n 2 với á trung bình mẫu X 1 ,X 2 . Xt họ ướ lượng Gα = αX1 + (1− α)X2; 0 6 α 6 1. Chứng minh Gα là ướ lượng không hệ h ủa m. Với giá trị nào ủa α thì Gα là L hiệu quả nhất họ? Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 225 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Thí d 7.2. Từ mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n=3 ta xt hai ướ lượng sau đây ủa trung bình tổng thể m X = 1 3 (X 1 + X 2 + X 3 ); G = 1 3 X 1 + 1 2 X 2 + 1 6 X 3 ớ lượng nào hiệu quả hơn. Thí d 7.3. Từ tổng thể với biến ngẫu nhiên gố X ( ó trung bình là m, phương sai là σ2) lập 2 mẫu ngẫu nhiên độ lập kí h thướ n 1 , n 2 với á trung bình mẫu X 1 ,X 2 . Xt họ ướ lượng Gα = αX1 + (1− α)X2; 0 6 α 6 1. Chứng minh Gα là ướ lượng không hệ h ủa m. Với giá trị nào ủa α thì Gα là L hiệu quả nhất họ? Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 225 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Bất đẳng thứ Cramer - Rao: Nếu biến ngẫu nhiên gố X ó hàm mật độ xá suất f(x, θ) thỏa mãn một số điều kiện nhất định và θ∗ là một ướ lượng không hệ h bất kì ủa θ thì V(θ∗) > 1 nE [ ∂lnf(x, θ) ∂θ ] 2 Thí d 7.4. Trung bình mẫu X là ướ lượng hiệu quả nhất ủa kì vọng toán à ủa biến ngẫu nhiên gố X ∼ N(à, σ2) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 226 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Bất đẳng thứ Cramer - Rao: Nếu biến ngẫu nhiên gố X ó hàm mật độ xá suất f(x, θ) thỏa mãn một số điều kiện nhất định và θ∗ là một ướ lượng không hệ h bất kì ủa θ thì V(θ∗) > 1 nE [ ∂lnf(x, θ) ∂θ ] 2 Thí d 7.4. Trung bình mẫu X là ướ lượng hiệu quả nhất ủa kì vọng toán à ủa biến ngẫu nhiên gố X ∼ N(à, σ2) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 226 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm • ớ lượng vững Định nghĩa: Thống kê θˆ ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng vững ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu θˆ hội t theo xá suất θ khi n→∞. Nghĩa là với mọi ε > 0 b tùy ý ta luôn ó: lim n→∞ P(|θˆ − θ| < ε) = 1 Thí d 7.5. Từ tổng thể với biến ngẫu nhiên gố X ∼ N(à, σ2). Chứng minh rằng trung bình mẫu là ướ lượng vững ủa trung bình tổng thể. • ớ lượng đủ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 227 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm • ớ lượng vững Định nghĩa: Thống kê θˆ ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng vững ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu θˆ hội t theo xá suất θ khi n→∞. Nghĩa là với mọi ε > 0 b tùy ý ta luôn ó: lim n→∞ P(|θˆ − θ| < ε) = 1 Thí d 7.5. Từ tổng thể với biến ngẫu nhiên gố X ∼ N(à, σ2). Chứng minh rằng trung bình mẫu là ướ lượng vững ủa trung bình tổng thể. • ớ lượng đủ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 227 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm • ớ lượng vững Định nghĩa: Thống kê θˆ ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng vững ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu θˆ hội t theo xá suất θ khi n→∞. Nghĩa là với mọi ε > 0 b tùy ý ta luôn ó: lim n→∞ P(|θˆ − θ| < ε) = 1 Thí d 7.5. Từ tổng thể với biến ngẫu nhiên gố X ∼ N(à, σ2). Chứng minh rằng trung bình mẫu là ướ lượng vững ủa trung bình tổng thể. • ớ lượng đủ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 227 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm . Một vài kết luận + Trung bình mẫu X là L không hệ h, hiệu quả nhất và vững ủa trung bình tổng thể và đồng thời là L tuyến tính không hệ h tốt nhất, do đó nếu hưa biết m ó thể dùng X để L nó. + Tần suất mẫu f là L không hệ h, hiệu quả nhất và vững ủa tần suất tổng thể p và đồng thời là L tuyến tính không hệ h tốt nhất, do đó nếu hưa biết p ó thể dùng f để L nó. + Vì phương sai mẫu S 2 và phương sai S ∗2 đều là á L không hệ h ủa phương sai tổng thể σ2 do đó ó thể dùng húng để L phương sai σ2. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 228 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm 2.2. Phương pháp ướ lượng hợp lý tối đa Biết hàm mật độ xá suất f(x, θ) ủa BNN gố X. Cần ướ lượng tham số θ nào đó ủa X. Lập mẫu ngẫu nhiên : W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) Ta xây dựng hàm hợp lý L ủa tham số θ như sau: L(θ) = L(x 1 , x 2 , ..., x n , θ) = f(x 1 , θ)f(x 2 , θ)...f(x n , θ) trong đó (x 1 , x 2 , ..., x n ) là một giá trị  thể ủa mẫu. Giá trị ủa thống kê θˆ tại điểm đó là θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) đượ gọi là ướ lượng hợp lý tối đa ủa θ nếu ứng với giá trị này ủa θ, hàm hợp lý đạt ự đại. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 229 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Cá bướ tìm giá trị ủa θ để hàm hợp lý đạt ự đại Vì hàm L và lnL đạt ự đại tại ùng một giá trị ủa θ nên ta sẽ tìm θ để lnL đạt ự đại như sau: + Tìm L và lnL, rút gọn + Tìm đạo hàm bậ nhất và bậ hai ủa lnL theo θ. + Giải phương trình dlnL dθ = 0. Giả sử nó ó nghiệm là θ = θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) + Nếu d 2 lnL dθ2 ∣∣ θ=θˆ < 0 thì tại θˆ hàm lnL đạt ự đại. Khi đó θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) là ướ lượng hợp lý tối đa ần tìm ủa θ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 230 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Cá bướ tìm giá trị ủa θ để hàm hợp lý đạt ự đại Vì hàm L và lnL đạt ự đại tại ùng một giá trị ủa θ nên ta sẽ tìm θ để lnL đạt ự đại như sau: + Tìm L và lnL, rút gọn + Tìm đạo hàm bậ nhất và bậ hai ủa lnL theo θ. + Giải phương trình dlnL dθ = 0. Giả sử nó ó nghiệm là θ = θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) + Nếu d 2 lnL dθ2 ∣∣ θ=θˆ < 0 thì tại θˆ hàm lnL đạt ự đại. Khi đó θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) là ướ lượng hợp lý tối đa ần tìm ủa θ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 230 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Cá bướ tìm giá trị ủa θ để hàm hợp lý đạt ự đại Vì hàm L và lnL đạt ự đại tại ùng một giá trị ủa θ nên ta sẽ tìm θ để lnL đạt ự đại như sau: + Tìm L và lnL, rút gọn + Tìm đạo hàm bậ nhất và bậ hai ủa lnL theo θ. + Giải phương trình dlnL dθ = 0. Giả sử nó ó nghiệm là θ = θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) + Nếu d 2 lnL dθ2 ∣∣ θ=θˆ < 0 thì tại θˆ hàm lnL đạt ự đại. Khi đó θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) là ướ lượng hợp lý tối đa ần tìm ủa θ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 230 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Cá bướ tìm giá trị ủa θ để hàm hợp lý đạt ự đại Vì hàm L và lnL đạt ự đại tại ùng một giá trị ủa θ nên ta sẽ tìm θ để lnL đạt ự đại như sau: + Tìm L và lnL, rút gọn + Tìm đạo hàm bậ nhất và bậ hai ủa lnL theo θ. + Giải phương trình dlnL dθ = 0. Giả sử nó ó nghiệm là θ = θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) + Nếu d 2 lnL dθ2 ∣∣ θ=θˆ < 0 thì tại θˆ hàm lnL đạt ự đại. Khi đó θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) là ướ lượng hợp lý tối đa ần tìm ủa θ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 230 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Cá bướ tìm giá trị ủa θ để hàm hợp lý đạt ự đại Vì hàm L và lnL đạt ự đại tại ùng một giá trị ủa θ nên ta sẽ tìm θ để lnL đạt ự đại như sau: + Tìm L và lnL, rút gọn + Tìm đạo hàm bậ nhất và bậ hai ủa lnL theo θ. + Giải phương trình dlnL dθ = 0. Giả sử nó ó nghiệm là θ = θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) + Nếu d 2 lnL dθ2 ∣∣ θ=θˆ < 0 thì tại θˆ hàm lnL đạt ự đại. Khi đó θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) là ướ lượng hợp lý tối đa ần tìm ủa θ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 230 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Chú ý: đối số ủa hàm hợp lý là θ hứ không phải là (x 1 , x 2 , ..., x n ) nên nếu thay giá trị ủa mẫu bằng bản thân mẫu ngẫu nhiên (X 1 ,X 2 , ...,X n ) thì kết quả vẫn đúng và nó hính là hàm ướ lượng hợp lý tối đa. Thí d 7.6. Tìm ướ lượng hợp lý tối đa ủa tham số λ trong quy luật phân phối Poisson P(λ). Thí d 7.7. Tìm ướ lượng hợp lý tối đa ủa tham số à ủa biến ngẫu nhiên X ∼ N(à, σ2) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 231 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Chú ý: đối số ủa hàm hợp lý là θ hứ không phải là (x 1 , x 2 , ..., x n ) nên nếu thay giá trị ủa mẫu bằng bản thân mẫu ngẫu nhiên (X 1 ,X 2 , ...,X n ) thì kết quả vẫn đúng và nó hính là hàm ướ lượng hợp lý tối đa. Thí d 7.6. Tìm ướ lượng hợp lý tối đa ủa tham số λ trong quy luật phân phối Poisson P(λ). Thí d 7.7. Tìm ướ lượng hợp lý tối đa ủa tham số à ủa biến ngẫu nhiên X ∼ N(à, σ2) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 231 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Chú ý: đối số ủa hàm hợp lý là θ hứ không phải là (x 1 , x 2 , ..., x n ) nên nếu thay giá trị ủa mẫu bằng bản thân mẫu ngẫu nhiên (X 1 ,X 2 , ...,X n ) thì kết quả vẫn đúng và nó hính là hàm ướ lượng hợp lý tối đa. Thí d 7.6. Tìm ướ lượng hợp lý tối đa ủa tham số λ trong quy luật phân phối Poisson P(λ). Thí d 7.7. Tìm ướ lượng hợp lý tối đa ủa tham số à ủa biến ngẫu nhiên X ∼ N(à, σ2) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 231 / 293 3. Phương pháp ướ lượng bằng khoảng tin ậy 3.1. Khái niệm Định nghĩa: Khoảng ngẫu nhiên (G 1 ,G 2 ) đượ gọi là khoảng tin ậy ủa tham số θ nếu với xá suất (1− α) ho trướ thì khoảng (G 1 ,G 2 ) thỏa mãn điều kiện P(G 1 < θ < G 2 ) = 1− α Xá suất (1− α) đượ gọi là độ tin ậy ủa ướ lượng . I = G 2 −G 1 là độ dài khoảng tin ậy. Cơ sở ủa phân phối ướ lượng bằng khoảng tin ậy hính là nguyên lý xá suất lớn. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 232 / 293 3. Phương pháp ướ lượng bằng khoảng tin ậy 3.1. Khái niệm Định nghĩa: Khoảng ngẫu nhiên (G 1 ,G 2 ) đượ gọi là khoảng tin ậy ủa tham số θ nếu với xá suất (1− α) ho trướ thì khoảng (G 1 ,G 2 ) thỏa mãn điều kiện P(G 1 < θ < G 2 ) = 1− α Xá suất (1− α) đượ gọi là độ tin ậy ủa ướ lượng . I = G 2 −G 1 là độ dài khoảng tin ậy. Cơ sở ủa phân phối ướ lượng bằng khoảng tin ậy hính là nguyên lý xá suất lớn. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 232 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng Cá bướ tìm khoảng tin ậy (G 1 ,G 2 ): a. Lập mẫu ngẫu nhiên : W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) và xây dựng thống kê G = f(X 1 ,X 2 , ...,X n , θ) sao ho quy luật phân phối xá suất ủa G không ph thuộ vào á đối số ủa nó và hoàn toàn xá định. b. Với độ tin ậy (1− α) ho trướ , tìm đượ ặp giá trị không âm α 1 và α 2 sao ho α 1 + α 2 = α. Từ đó tìm đượ ặp giá trị tới hạn g 1−α 1 và gα 2 thỏa mãn: P(G > g 1−α 1 ) = 1− α 1 và P(G > gα 2 ) = α 2 Do đó ta ó P(g 1−α 1 < G < gα 2 ) = 1− (α 1 + α 2 ) = 1− α Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 233 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng Cá bướ tìm khoảng tin ậy (G 1 ,G 2 ): a. Lập mẫu ngẫu nhiên : W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) và xây dựng thống kê G = f(X 1 ,X 2 , ...,X n , θ) sao ho quy luật phân phối xá suất ủa G không ph thuộ vào á đối số ủa nó và hoàn toàn xá định. b. Với độ tin ậy (1− α) ho trướ , tìm đượ ặp giá trị không âm α 1 và α 2 sao ho α 1 + α 2 = α. Từ đó tìm đượ ặp giá trị tới hạn g 1−α 1 và gα 2 thỏa mãn: P(G > g 1−α 1 ) = 1− α 1 và P(G > gα 2 ) = α 2 Do đó ta ó P(g 1−α 1 < G < gα 2 ) = 1− (α 1 + α 2 ) = 1− α Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 233 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng . Bằng á php biến đổi tương đương bao giờ ũng ó thể đưa biểu thứ trên về dạng P(G 1 < θ < G 2 ) = 1− α d. Thự tế thường yêu ầu độ tin ậy (1− α) khá lớn nên theo nguyên lý xá suất lớn biến ố (G 1 < θ < G 2 ) hầu như hắn hắn sẽ xảy ra khi thự hiện một php thử. Do đó với mẫu  thể w = (x 1 , x 2 , ..., x n ) ta tìm đượ á giá trị  thể ủa G 1 ,G 2 tương ứng là g 1 , g 2 . Kết luận: với độ tin ậy (1− α) tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X sẽ nằm trong khoảng (g 1 , g 2 ). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 234 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng . Bằng á php biến đổi tương đương bao giờ ũng ó thể đưa biểu thứ trên về dạng P(G 1 < θ < G 2 ) = 1− α d. Thự tế thường yêu ầu độ tin ậy (1− α) khá lớn nên theo nguyên lý xá suất lớn biến ố (G 1 < θ < G 2 ) hầu như hắn hắn sẽ xảy ra khi thự hiện một php thử. Do đó với mẫu  thể w = (x 1 , x 2 , ..., x n ) ta tìm đượ á giá trị  thể ủa G 1 ,G 2 tương ứng là g 1 , g 2 . Kết luận: với độ tin ậy (1− α) tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X sẽ nằm trong khoảng (g 1 , g 2 ). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 234 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng 3.2. ớ lượng kì vọng toán ủa biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật huẩn Giả sử biến ngẫu nhiên gố X ∼ N(à, σ2) với à hưa biết. Để ướ lượng à ta lập mẫu ngẫu nhiên W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) Để họn thống kê G ta xt á trường hợp sau: a. Nếu đã biết phương sai σ2 Ta họn thống kê G = U = (X− à)√n σ ∼ N(0; 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 235 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng 3.2. ớ lượng kì vọng toán ủa biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật huẩn Giả sử biến ngẫu nhiên gố X ∼ N(à, σ2) với à hưa biết. Để ướ lượng à ta lập mẫu ngẫu nhiên W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) Để họn thống kê G ta xt á trường hợp sau: a. Nếu đã biết phương sai σ2 Ta họn thống kê G = U = (X− à)√n σ ∼ N(0; 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 235 /
Tài liệu liên quan