Chương 8: Cơ học lượng tử

TS. Ngô Văn Thanh, Viện Vật lý. Chuyên ngành : Điện tử - Viễn thông , Công nghệ thông tin, Điện - Điện tử Chương 8: Cơ học lượng tử. 8.1 Lưỡng tính sóng-hạt của các vi hạt. 8.2 Hệ thức bất định Heisenberg. 8.3 Hàm sóng và ý nghĩa thống kê. 8.4 Phương trình Schrödinger và ứng dụng. @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý • Cơ học Newton – 3 định luật cơ học. • Không gian và thời gian là tuyệt đối. • Khối lượng là bất biến. • Vận tốc truyền tương tác là vô hạn. • Áp dụng cho thế giới vĩ mô chuyển động với vận tốc bé . Cơ học cổ điển • Nguyên lý tương đối của Galilean. • Lý thuyết tương đối của Einstein. • Không gian và thời gian có tính tương đối. • Khối lượng của vật phụ thuộc vào vận tốc. • Áp dụng cho thế giới vĩ mô chuyển động với vận tốc lớn. Cơ học lý thuyết • Các vi hạt mang lưỡng tính sóng-hạt (giả thuyết của de Broglie). • Hệ thức bất định Heisenberg. • Chuyển động của hạt được mô tả bởi hàm sóng (phương trình Schrödinger). • Áp dụng cho thế giới vi mô. Cơ học lượng tử 8.1 Lưỡng tính sóng-hạt của các vi hạt. Các giai đoạn lịch sử:  1900: Trong quá trình nghiên cứu về bức xạ của vật đen  M. Planck đưa ra giả thiết về tính gián đoạn của năng lượng bức xạ điện từ.  Năng lượng bức xạ điện từ bằng bội số nguyên của vi lượng  1905: A. Einstein đề xuất tính chất hạt của ánh sáng, hạt photon.  Giải thích được hiệu ứng quang điện.  1923: Hiệu ứng Compton đã kiểm chứng lý thuyết hạt của ánh sáng.  1913: N. Bohr cho rằng, năng lượng của nguyên tử của các vật liệu cũng gián đoạn và được gọi là các mức năng lượng.  1914: Franck và Hertz đã kiểm chứng giả thiết của Bohr bằng thực nghiệm.  1923: L. de Broglie đưa ra giả thiết về lưỡng tính sóng-hạt của các vi hạt như các electron, proton…  1927: Davisson và Germer quan sát bằng thực nghiệm thấy hiện tượng nhiễu xạ của chùm tia điện tử trên tinh thể.  1925: Heisenberg đưa ra hệ thức bất định.  1926: Schrödinger đưa ra phương trình chuyển động của vi hạt. @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý Giả thiết của L. de Broglie (1923):  Đưa ra giả thiết về lưỡng tính sóng hạt của electron và các vi hạt nói chung.  Một vi hạt tự do có năng lượng xác định, động lượng xác định tương ứng với một sóng phẳng đơn sắc xác định.  Năng lượng của vi hạt liên hệ với tần số dao động của sóng tương ứng theo các hệ thức:  Động lượng của vi hạt liên hệ với bước sóng của sóng hạt tương ứng theo hệ thức: Bước sóng  được gọi là bước sóng de Broglie. gọi là vector truyền (sóng). @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý  Xét một hạt có khối lượng m, theo thuyết tương đối của Einstein:  sử dụng suy ra  Mặt khác: Với E là động năng của hạt không tương đối.  Cuối cùng: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý Thí nghiệm nhiễu xạ sóng hạt electron: (Davisson và Germer -1927)  Cực đại nhiễu xạ:  Giả sử điện tử được tăng tốc bởi điện thế U, suy ra năng lượng của điện tử là eU.  Sử dụng biểu thức:  Ta có:  Biểu thức này đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm. @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý Thí nghiệm nhiễu xạ sóng hạt electron: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý Thí nghiệm tán xạ tia X trên tinh thể: (Tartakowski và Thomson)  Cực đại nhiễu xạ - điều kiện Wulf-Bragg:  Bán kính của vân giao thoa trên màn ảnh: suy ra:  Sử dụng biểu thức:  Cuối cùng ta có: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý Thí nghiệm nhiễu xạ tia X trên tinh thể: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý 8.2 Hệ thức bất định Heisenberg. Hệ thức bất định đối với tọa độ:  Vị trí và động lượng của hạt không được xác định đồng thời. Nếu vị trí của hạt càng xác định thì động lượng của hạt càng bất định.  Xét hiện tượng nhiễu xạ của chùm vi hạt qua một khe hẹp  Bề rộng khe hẹp bằng b, góc nhiễu xạ của hạt là .  Vị trí x của hạt trong khe hẹp x  (0, b).  Hình chiếu động lượng của hạt theo phương x:  Điều kiện cực tiểu nhiễu xạ: suy ra:  mặt khác:  Cuối cùng ta có: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý Khái niệm quỹ đạo:  Xét trường hợp trong nguyên tử, electron chuyển động trong phạm vi 10Ao.  Độ bất định về tọa độ của electron:  Độ bất định về vận tốc:  Độ bất định về vận tốc của electron là rất lớn, tức là :  electron không có vận tốc xác định.  Trong nguyên tử, electron không chuyển động theo một quỹ đạo xác định.  Trong thế giới vi mô, không có khái niệm về quỹ đạo.  Hệ thức bất định Heisenberg chỉ áp dụng cho thế giới vi mô khi mà tọa độ và động lượng của hạt không được xác định đồng thời.  Hai đại lượng không được xác định đồng thời trong thế giới vi mô lại được xác định đồng thời trong thế giới vĩ mô.  Ví dụ, xét hạt vĩ mô có khối lượng m = 10-15 kg, x =10-8m. @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý Hệ thức bất định đối với năng lượng:  Năng lượng của hệ ở trạng thái nào đó càng bất định thì thời gian để hệ tồn tại ở trạng thái đó càng ngắn và ngược lại.  Trạng thái bền của một hệ là trạng thái mà hệ vẫn tồn tại ở trạng thái đó trong một khoảng thời gian dài. Ngược lại là trạng thái không bền.  Trạng thái có năng lượng bất định là trạng thái không bền, vì thời gian để hệ vẫn tồn tại ở trạng thái này là xác định.  Ngược lại, trạng thái có năng lượng xác định là trạng thái bền. Kết luận:  Trong cơ học lượng tử, không chỉ có các cặp đại lượng không được xác định đồng thời như "tọa độ" – "động lượng", "năng lượng" – "thời gian" mà còn có nhiều đại lượng khác cũng không xác định được một cách đồng thời.  Không có khái niệm quỹ đạo chuyển động của hạt vi mô, vị trí của hạt không thể xác định một cách chính xác, mà chỉ có thể đoán nhận vị trí của hạt với một xác suất nào đó.  Quy luật chuyển động của vi hạt tuân theo các quy luật thống kê. @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý 8.3 Hàm sóng và ý nghĩa thống kê. Hàm sóng:  Các vi hạt trong thế giới vi mô mang tính chất sóng (lưỡng tính sóng hạt).  Trạng thái hay tính chất sóng của vi hạt được mô tả dưới dạng hàm số theo tọa độ và thời gian, hàm số đó được gọi là hàm sóng.  Theo giả thiết của de Broglie, chuyển động của hạt tự do được mô tả bởi hàm sóng có dạng tương tự như sóng phẳng đơn sắc của ánh sáng.  Hàm sóng de Broglie trong đó  là biên độ của hàm sóng được xác định bởi biểu thức là liên hợp phức của @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý Ý nghĩa thống kê của hàm sóng:  Mật độ xác suất – xác suất tìm thấy hạt trong một đơn vị thể tích:  Xác xuất tìm thấy hạt trong thể tích dV nào đó:  Xác xuất tìm thấy hạt trong toàn không gian:  Biểu thức này được gọi là điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng.  Hàm sóng trong cơ học lượng tử mang tính chất thông kê, nó được sử dụng để tính xác suất tìm thấy hạt tại một trạng thái nào đó mà nó không mô tả một sóng thực như sóng cơ, sóng điện từ trong vật lý cổ điển.  Các quy luật thống kê trong cơ học lượng tử không chỉ áp dụng cho hệ nhiều hạt giống như trong vật lý phân tử, mà nó còn được áp dụng cho từng hạt riêng lẻ. @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý Điều kiện của hàm sóng:  Hàm sóng phải giới nội.  Suy ra từ điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng, tích phân phải giới nội.  Hàm sóng phải đơn trị.  Mỗi một trạng thái của hệ chỉ được đặc trưng bởi một giá trị xác suất tìm thấy hạt duy nhất.  Hàm sóng phải liên tục.  Xác suất tìm thấy hạt phải liên tục.  Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng cũng phải liên tục.  Hàm sóng thỏa mãn phương trình Schrödinger. @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý Sự liên hệ giữa sóng de Broglie và chuyển động hạt.  Vận tốc pha của sóng:  Vận tốc pha không phải là vận tốc truyền hạt hay vận tốc truyền năng lượng.  Chuyển động của các hạt trong cơ học lượng tử không thể mô tả bởi các sóng đơn sắc riêng biệt, mà nó ứng với một tập hợp sóng có tần số khác nhau. Tập hợp sóng đó được gọi là bó sóng.  Vận tốc nhóm của bó sóng: vận tốc chuyển động của toàn bộ bó sóng. Tóm lại: chuyển động của vi hạt có thể được mô tả bởi chuyển động của cả bó sóng. @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý 8.4 Phương trình Schrödinger và ứng dụng. Phương trình Schrödinger.  Hàm sóng de Broglie mô tả chuyển động của hạt tự do.  Trường hợp vi hạt chuyển động trong trường thế ngoài  Trong đó thành phần chỉ phụ thuộc vào tọa độ không gian thỏa mãn phương trình – phương trình Schrödinger:  Phương trình Schrödinger là phương trình vi phân tuyến tính, tổ hợp tuyến tính của các nghiệm cũng là nghiệm của nó. @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý  Trường hợp vi hạt chuyển động tự do.  Xét hàm sóng có dạng  Trong đó  Áp dụng toán tử Nabla suy ra  Mặt khác cuối cùng ta có @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý Ứng dụng.  Hạt trong giếng thế:  Xét chuyển động của hạt theo phương x, hạt chuyển động tự do trong giếng thế và không thể vượt ra ngoài.  Xét phương trình Schrödinger cho hạt chuyển động trong thế năng:  Nghiệm tổng quát: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý  Xét điều kiện biên:  Thay vào biểu thức cho phương trình nghiệm ta có:  Vì B = 0 nên A phải khác 0, suy ra  Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng: ta tính được hệ số chuẩn hóa  Cuối cùng: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý  Vì  Suy ra năng lượng của hạt  Hạt có nhiều trạng thái khác nhau, mỗi một trạng thái ứng với một hàm sóng.  Năng lượng của hạt trong giếng thế là gián đoạn, tức là năng lượng bị lượng tử hóa.  Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý  Mật độ xác suất tìm thấy hạt trong giếng thế  Với n = 1 : xác suất tìm thấy hạt tại là lớn nhất.  Với n = 2 : xác suất tìm thấy hạt tại và là lớn nhất.  Xét trường hợp tổng quát, hạt trong giếng thế 3 chiều hình hộp lập phương với các cạnh là a1, a2, a3 @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý  Nghiệm của phương trình:  Từ điều kiện biên:  suy ra  Năng lượng của hạt: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý  Hiệu ứng đường ngầm:  Xét chuyển động của hạt theo phương x, từ trái sang phải.  Năng lượng của hạt: Theo quan điểm cơ học cổ điển thì hạt không thể vượt qua rào thế. Theo quan điểm của cơ học lượng tử thì hạt vẫn có thể xuyên qua hàng rào thế năng. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng chui ngầm.  Xét rào thế có dạng hình chữ nhật: miền I miền II miền III @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý  Phương trình Schrödinger cho từng miền của rào thế: Miền I: Miền II: Miền III:  Nghiệm của các phương trình này: : đặc trưng sóng tới. : đặc trưng sóng phản xạ trên bờ x = 0. : đặc trưng sóng truyền qua rào thế. : đặc trưng sóng phản xạ từ vô cực. @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý  Các hệ số A1, B1, A3 và B3 = 0 được gọi là biên độ sóng.  Hệ số truyền qua rào thế:  Theo điều kiện liên tục của hàm sóng tại x = 0 và x = a  Tại x = 0 :  Tại x = a :  Theo điều kiện liên tục của đạo hàm bậc nhất hàm sóng tại x = 0 và x = a  Tại x = 0 :  Tại x = a :  Giả thiết độ cao của hàng rào thế rất lớn hoặc bề rộng của rào thế rất lớn hoặc @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý 8.1 Lưỡng tính sóng-hạt của các vi hạt.  Giả thiết của de Broglie về lưỡng tính sóng hạt của electron và các vi hạt nói chung  Năng lượng của vi hạt liên hệ với tần số dao động của sóng  Động lượng của vi hạt liên hệ với bước sóng của sóng hạt - bước sóng de Broglie.  Vector truyền - số sóng  Động năng của hạt không tương đối liên hệ với bước sóng @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý 8.2 Hệ thức bất định Heisenberg. Hệ thức bất định đối với tọa độ  Vị trí và động lượng của hạt không được xác định đồng thời. Nếu vị trí của hạt càng xác định thì động lượng của hạt càng bất định.  Trong thế giới vi mô, không có khái niệm về quỹ đạo.  Hệ thức bất định Heisenberg chỉ áp dụng cho thế giới vi mô khi mà tọa độ và động lượng của hạt không được xác định đồng thời. Hệ thức bất định đối với năng lượng:  Năng lượng của hệ ở trạng thái nào đó càng bất định thì thời gian để hệ tồn tại ở trạng thái đó càng ngắn và ngược lại.  Trạng thái bền của một hệ là trạng thái mà hệ vẫn tồn tại ở trạng thái đó trong một khoảng thời gian dài. Ngược lại là trạng thái không bền. @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý 8.3 Hàm sóng và ý nghĩa thống kê.  Hàm sóng de Broglie  Mật độ xác suất – xác suất tìm thấy hạt trong một đơn vị thể tích  Điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng  Hàm sóng trong cơ học lượng tử mang tính chất thông kê.  Điều kiện của hàm sóng:  Hàm sóng phải giới nội và đơn trị.  Hàm sóng và đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục.  Vận tốc pha của sóng  Vận tốc nhóm của bó sóng: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý 8.4 Phương trình Schrödinger và ứng dụng.  Hàm sóng:  Phương trình Schrödinger cho hạt chuyển động trong trường thế năng.  Phương trình Schrödinger cho hạt chuyển động tự do Hạt trong giếng thế, năng lượng là gián đoạn  Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý  Mật độ xác suất tìm thấy hạt trong giếng thế: Hiệu ứng đường ngầm:  Hàm sóng:  Hệ số phản xạ và truyền qua rào thế: @2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý