Chương II Phân tích tần suất

22 Chương II Phân tích tần suất Như đã phân tích ở chương 1, chúng ta coi chuỗi thuỷ văn là ngẫu nhiên, độc lập và đồng nhất và có thể áp dụng lý thuyết xác suất thống kê trong phân tích tần suất. Kiểm định chặt chẽ hơn các giả thiết này sẽ được đề cập trong chương 3 và 5. 2.1. Đường tần suất kinh nghiệm Đường tần suất kinh nghiệm là đường cong tần suất vẽ theo các điểm kinh nghiệm biểu thị quan hệ giữa tần suất và giá trị quan trắc thực. Để vẽ được đường tần suất kinh nghiệm phải tính được tần suất kinh nghiệm. 2.1.1.Công thức tính tần suất kinh nghiệm Ban đầu người ta sử dụng công thức (1.2), nhưng sau đó thấy rằng ứng với số hạng cuối (khi m=n) nó luôn luôn cho tần suất không đổi là 100%, dù là chuỗi ngắn hay dài. Đây là điều không hợp lý. Vì vậy các nhà chuyên môn đã đề xuất các công thức khác để khắc phục nhược điểm này. Sau đây là một số công thức tính tần suất kinh nghiệm thường dùng hiện nay trong thuỷ văn. a. Công thức số trung bình (Hazen) %. , 100 50 1 n m P   (2.1) b. Công thức số giữa (Tsegođaev) %100. 4,0 3,0 2    n m P (2.2) c. Công thức số kỳ vọng %.100 1 3   n m P (2.3) Ví dụ 2.1: Theo 3 công thức trên tính toán cho chuỗi số liệu dòng chảy năm trạm Hoà Bình trên sông Đà (1956-2002) được kết quả như bảng 2.1 So sánh thấy rằng: Với PP2>P1 và P3 an toàn hơn. Với P>50% (dòng chảy nhỏ) cùng một giá trị X cho P3<P2<P1 và P3 an toàn hơn. Bảng 2.1: Tính tần suất kinh nghiệm chuỗi dòng chảy năm trạm Hoà Bình-sông Đà TT Năm Qi Qi Tần suất kinh nghiệm (%) 23 đã sắp xếp P1 P2 P3 1 1956 1800 2240 1,06 1,48 2,08 2 1957 1420 2180 3.19 3,59 4,17 3 1958 1550 2160 5,31 5,70 6,25 4 1959 1810 2120 7,45 7,81 8,33 5 1960 1590 2110 9,57 9,92 10,42 ....... .......... ........ ................. ........... .............. .............. 43 1998 1950 1360 90,42 90,08 89,58 44 1999 2240 1330 92,55 92,19 91,67 45 2000 1850 1260 94,68 94,30 93,75 46 2001 2120 1240 96,81 96,41 95,83 47 2002 2160 1230 98,94 98,52 97,92 Bảng 2.2: Tính tần suất kinh nghiệm dòng chảy lớn nhất năm trạm Dừa-sông Cả TT Năm Qi Qi đã sắp xếp Tần suất kinh nghiệm (%) 1 1959 1830 2489 1,19 2 1960 1959 2460 3,57 3 1961 2017 2366 5,95 4 1962 2284 2357 8,86 5 1963 2341 2341 10,71 ........ ............. ............ ...................... ...................... 38 1986 2313 1816 89,29 39 1987 1867 1753 91,67 40 1988 1619 1693 94,03 41 1989 1826 1672 96,43 42 1990 2076 1619 98,81 2.1.2. Phương pháp vẽ đường tần suất kinh nghiệm Bước đầu, để vẽ đường tần suất kinh nghiệm ta phải thực hiện các bước sau: - Sắp xếp chuỗi số liệu theo thứ tự giảm dần - Tính P theo công thức công thức kinh nghiệm tuỳ theo từng trường hợp. - Trên giấy kẻ ô, chấm các điểm quan hệ (thường chọn trục hoành X là giá trị P, trục tung Y là giá trị dòng chảy (hoặc hệ số môđun). - Vạch một đường cong trơn đi qua các nhóm điểm, được một đường có xu thế cong 2 chiều, có dạng như hình 2.1a,b. Ví dụ 2.2: Tính và vẽ tần suất kinh nghiệm cho chuỗi dòng chảy lớn nhất năm (1959-1990) trạm Dừa-sông Cả (bảng 2.2). 24 Tổng số năm là n=42. Tính tần suất kinh nghiệm theo công thức số giữa (2.2) (bảng 2.2). Sau đó chấm các điểm kinh nghiệm lên giấy kẻ ô vuông (hệ toạ độ Đêcac) được hình 2.1a. Dạng khái quát chung như hình 2.1b. Hình 2.1a: Đường tần suất kinh nghiệm Qmax trạm Dừa sông Cả (giấy ô vuông) Hình 2.1b: Đường tần suất khái quát (giấy ô vuông) Tuy nhiên trong tính toán thuỷ văn thiết kế thì tần suất quy định thường ra khỏi phạm vi khống chế của chuỗi quan trắc và đường kinh nghiệm (P90%), trong khi dạng đường này lại có 2 hướng cong ở 2 đầu nên rất khó cho phân tích và ngoại suy. Vì vậy người ta tìm một đường cong toán học phù hợp với dạng đường kinh nghiệm trong phạm vi khống chế của chuỗi quan trắc để mô phỏng. Đường này gọi là đường tần suất “lí luận”, được xác định dựa trên một số đặc trưng thống kê cơ bản. Đồng thời cũng sử dụng loại giấy đặc biệt có lưới xác suất để uốn thẳng các đường tần suất. 2.2.Giấy xác suất (giấy tần suất) Trên giấy tần suất có lưới xác suất nhằm mục đích chuyển hoá các trục theo các thang tỷ lệ khác nhau để đường tần suất trở thành đường thẳng, tạo cho việc ngoại suy được dễ dàng. 2.2.1. Giấy tần suất theo luật phân bố chuẩn (giấy Hazen) 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 0 20 40 60 80 100 P K S e rie s1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 P(%) 25 Sử dụng đường tần suất của hệ số môđun K có phân bố chuẩn với các thông số là: K =1, Cv=1 và Cs=0. Đường vẽ trên hệ trục toạ độ vuông góc nẳm ở bên trái hình 2.2. Tiến hành chuyển hoá thang tỷ lệ trục hoành (tần suất) qua đường thẳng nằm bên phải hình 2.2. Thang độ của trục tung được giữ nguyên. Góc nghiêng của đường thẳng bên phải hình trên cho ta phạm vi và tỷ lệ của thang tần suất ở trục hoành. Hình 2.2. Sơ đồ vẽ giấy tần suất Hazen Chuỗi quan trắc thuỷ văn thường không có phân bố chuẩn nên đường vẽ trên giấy Hazen sẽ không thẳng. Nếu Cs >0 thì đường có dạng lõm (so với trục ngang-tần suất). Nếu Cs <0 thì đường có dạng lồi. Cs càng lớn thì đường có độ cong càng lớn. Hình 2.3: Đường tần suất kinh nghiệm Qmax trạm Dừa sông Cả (giấy tần suất) Hình 2.3: Đường tần suất kinh nghiệm Qmax trạm Dừa sông Cả (giấy tần suất) Với Cv khác nhau thì đường tần suất trên giấy Hazen sẽ cho ta góc nghiêng khác nhau. Cv càng lớn thì góc nghiêng càng lớn. Vì vậy có thể nói góc nghiêng của đường thẳng biểu thị phân bố chuẩn sẽ xác định hệ số biến đổi. Nếu Cv>0,3 thì đường tần suất vẽ trên giấy Hazen có một phần đi xuống dưới giá trị âm (<0), mâu thuẫn với bản chất vật lý của hiện tượng thuỷ văn, nên những giá trị âm không được phản ảnh trên giấy tần suất. Trên giấy Hazen ta xác định được đường tần suất kinh nghiệm Qmax trạm Dừa, sông Cả như hình 2.3. 2.2.2. Giấy tần suất theo phân bố nhị thức P.III (giấy Brokovich) 26 Chuỗi thuỷ văn thường có Cs 0, khi đó đường tần suất trên giấy Hazen có dạng cong, nên người ta muốn uốn thẳng đường này, trong đó chú ý đến trường hợp Cs=2Cv, khi mà đường Pearson III trùng với đường Kritski-Menkel. Chọn dạng phân bố P.III với các thông số: K =1, Cv=1 và Cs=2Cv. Xuất phát từ giấy Hazen, tức là trục hoành (P) giữ thang tỷ lệ theo Hazen, còn trục tung (trục K) được chia lại theo tỷ lệ để đường tần suất trở thành đường thẳng (cho Cs = 2Cv). Đường tần suất với các thông số đã chọn được vẽ trên giấy Hazen, chỉ ra ở phía dưới của hình 2.4. Góc nghiêng của đường thẳng chuyển hoá, chỉ ra ở phía trên của hình 2.4, xác định tỷ lệ thang tung độ. Trên cơ sở này Brokovich thiết lập các loại giấy tần suất ứng với các tỷ số Cs = 1,0Cv; Cs = 1,5Cv; Cs = 3,0Cv.....; Cs = mCv. Giá trị m càng lớn thì góc nghiêng của đường càng lớn. 2.2.3. Giấy tần suất theo luật phân bố log-chuẩn Loại giấy tần suất này có thể nhận được từ lưới xác suất theo quy luật phân bố chuẩn nhưng trục tung được chia theo logarit của K. Lưới này thường sử dụng khi chuỗi có phân bố rất không đối xứng, tương ứng với hệ thức Cs = 3,0Cv+Cv 3. Hình 2.4. Sơ đồ vẽ giấy tần suất Brokovich 2.2.4. Giấy tần suất theo luật phân bố Goodrich Có thể nhận được bằng cách chuyển hoá đường tần suất logK trên giấy kẻ ô vuông. Đường tần suất ban đầu có các thông số K =1, Cv=1,0 và Cs=2,0 (hình 2.5). Thang độ tần suất ở hoành độ có thể kết hợp với thang tung độ chia đều của logK hoặc thang tung độ logarit của K. Các bước thực hiện như sau: 27 Hình 2.5. Sơ đồ vẽ giấy tần suất Goodrich Vẽ đường tần suất logK - P trên giấy kẻ ô vuông. Giữ trục logK (hoặc thang độ logarit), chuyển trục P theo thang tỷ lệ mới để có đường thẳng. 2.2.5. Giấy tần suất theo luật phân bố Gumbel Giấy tần suất Gumbel có thể nhận được bằng cách chuyển hoá luật phân bố Gumbel. Sơ đồ chuyển hoá đường cong gốc không khác các phương pháp đã xét ở trên. Do phân bố Gumbel được đặc trưng bởi một giá trị cố định của hệ số không đối xứng nên không cần thiết chọn lưới như khi sử dụng phân bố nhị thức (hay Kritski-Menkel) (hình 2.6)[32]. Hình 2.6. Giấy tần suất theo luật phân bố Gumbel Hiện nay ở Việt Nam thường chỉ dùng giấy tần suất Hazen, vì thực tế để ngoại suy cho các tần suất nhỏ người ta sử dụng công thức tính và các bảng tra dựa trên các thông số thống kê. Đường tần suất trên giấy chỉ để mô tả hình dạng và phân tích hiệu chỉnh. 2.3. Đường tần suất lý luận 2.3.1. Khái niệm Là đường cong toán học phù hợp với dạng đường kinh nghiệm trong phạm vi của chuỗi quan trắc, cho phép ngoại suy đến các tần suất nhỏ và lớn mà chuỗi quan trắc ngắn không đủ khống chế . Đường tần suất lý luận được xác định theo các dạng hàm phân bố xác suất, tức là các phương trình biểu thị quan hệ giữa X, hoặc K với P. Mỗi đường tần suất được xác định bởi một số thông số thống kê xác định, trong thuỷ văn thường là 3 thông số chủ yếu X , CV và CS. Các thông số của hàm phân bố xác suất tương ứng đều có thể quy về 3 thông số cơ bản trên. 2.3.2. Các đường tần suất lí luận 28 Trước khi xem xét các đường tần suất lí luận chúng ta khảo sát một số hàm phân bố rời rạc, thường áp dụng trong thuỷ văn và là cơ sở ban đầu cho sự hình thành các phân bố liên tục hay đường tần suất sau này. a. Các phân bố rời rạc * Phân bố nhị thức Trong một số trường hợp tập hợp các biến thuỷ văn chỉ gồm 2 loại riêng rẽ xung khắc nhau, chẳng hạn mưa hay không mưa, lũ vượt hay không vượt một độ lớn đã cho, một giả thuyết đúng hay sai. Xác suất xuất hiện một biến cố là p và xác suất không xuất hiện là q=1-p. Sự xuất hiện được coi là thành công, trái lại sự không xuất hiện được coi là thất bại. Dĩ nhiên ta có p+q=1. Thông thường giả định là các kết quả thành công hình thành một chuỗi biến số độc lập và ngẫu nhiên. Mỗi biến ngẫu nhiên như thế gọi là biến Bernoulli, và mỗi lần thực hiện là phép thử Bernoulli, tức là phép thử mà mỗi lần biến ngẫu nhiên chỉ nhận giá trị 1 hay 0 (tức là chỉ thành công hay thất bại) với các xác suất là p và q=1-p, nghĩa là xác suất p{x=1} = p và p{x=0} = q. Xác suất thành công của mỗi phép thử là p. Chúng ta tìm xác suất P(m) để trong n phép thử có m lần thành công, còn lại (n-m) lần thất bại. Xác suất đó chính là hàm mật độ: mnmmnmnm qp mnm n qpCmP    )!(! ! )( (2.4) nghĩa là bằng số hạng thứ (n-m) hay số hạng chứa đại lượng pm trong khai triển của nhị thức (q+p)m.Vì vậy phân bố được gọi là phân bố nhị thức. Một trường hợp đặc biệt khi mà xác suất thành công hay thất bại bằng nhau và bằng 1/2, nghĩa là p=q=1/2. khi đó (2.4) đưa đến: )!(! ! )!(! ! )( mnm n qp mnm n mP n mnm      2 (2.5) - Hàm luỹ tích: Trong thực tế cũng yêu cầu xác định xác suất xuất hiện không quá r lần thành công, hay ngược lại không quá r lần thất bại trong n phép thử, tức là ta phải xác định hàm phân bố luỹ tích của nó:    r m mnmn m qpCrmP 0 )( (2.6) Nhưng trong thuỷ văn thường xác định xác suất vượt hay tần suất, do đó: )()( rmPrmP  1 (2.7) Dạng đường phân bố như hình (2.7). 29 Hình 2.6. Đường phân bố nhị thức - Các thông số phân bố Nếu mỗi phép thử thứ i được biểu thị bằng một biến số xi thì phân bố nhị thức có những thông số thống kê sau: Số trung bình: M(x)=np; (2.8) Phương sai: D(x)=npq; (2.9) Khoảng lệch chuẩn: npqD  ; (2.10) Hệ số biến đổi: np q CV  ; (2.11) Hệ số không đối xứng: q np npq pq CS 5)(    ; (2.12) Hệ số nhọn: 3 61    npq pq Ce . (2.13) - Tính chất: Bị chặn bởi x=0 và x=1. Người ta cũng lập bảng tra cho phân bố nhị thức như phụ lục (2.1). Phân bố nhị thức thường được dùng khi xác định các sự kiện thuỷ văn hiếm như khô hạn hay ngập lụt. Ví dụ 2.3[32]: Xác định xác suất để trong 20 năm quan trắc dòng chảy xẩy ra không quá 5 năm khô cạn. Thực tế quan trắc trên nhiều sông thấy rằng trong 20 năm thường có 4 năm khô hạn, như vậy p=4/20=0,2. Chúng ta có n=20; r=5; p=0,2 và q=1- p=0,8. Từ công thức (2.6) tính được:     mmm m mnmn m CqpCmP 20 20 5 0 80205 ,,)( 0,808, và theo (2.7) được xác suất để trong 20 năm xẩy ra hơn 5 năm khô cạn là: )()( 515  mPmP  =1-0,808=0,192, tức là xác suất khá nhỏ. n=10, p=1/4 và q=3/4 PHÂN bố Nhị THứC 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n=10, p=q=1/2    rnrqp rnr n rxp    !! ! )( 30 * Phân bố Poisson Phân bố này biểu diễn xác suất xuất hiện các biến cố rời rạc, tức thời và độc lập trong một khoảng thời gian (hay không gian) đã cho. Phân bố Poisson được suy ra từ phân bố nhị thức khi n và np= hữu hạn và không đổi. Thực vậy, từ phân bố nhị thức ta có: mnmmnmmnmn m pp m mnnnn qp mnm n qpCmP       )( ! ))...()(( )!(! ! )( 1 121 ( 2.14) Nhân tử và mẫu của (2.14) với nm và đổi biến np= ta có: mnm m p mn mnnnn mP    )( ! ))...()(( )( 1 121  (2.15) Lại chia tử số cho nm ta được: m nm p p mn m nn mP )( )( ! ))...()(()(    1 11 1 2 1 1 1  (2.16) Đưa từng phần của biểu thức (2.16) tới giới hạn. Ta biến đổi biểu thức:                       p np pn ppp 11 111 )()()( và lấy giới hạn khi 0p : Lim p 0            pp 1 1 )( = e Tiếp tục lấy giới hạn của phần còn lại khi n và 0p : 1 1 1 1 2 1 1 1 0       m p n p n m nn Lim )( ))...()(( Đưa 2 giới hạn trên vào công thức (2.16) ta được hàm mật độ phân bố Poisson. - Hàm mật độ (Hình 2.3):    e m mxPxf m ! )()( , (2.17) hoặc xexf  )( (2.18) Hình 2.8. Phân bố Poisson 31 - Hàm luỹ tích: Là xác suất vượt (tần suất) hoặc không vượt của m biến cố trong n phép thử:    m i m ipmxPP 0 )()( , (2.19) và m mi m PipmxPQ     1 1 )()(  (2.20) Hàm luỹ tích có thể thu được từ họ đường cong như hình (2.8) với giá trị trung bình  =np mà không cần tính toán theo các công thức ở trên. - Các thông số: Chỉ có một thông số  , được xác định từ thực nghiệm. Các đặc trưng thống kê thường dùng trong thuỷ văn có thể suy ra từ  : Kỳ vọng: m(x) =  ; (2.21) Phương sai: D(x)=  2 , do đó :   ; (2.22) Hệ số biến đổi:  1 vC ; (2.23) Hệ số bất đối xứng:   121   /vs CC ; (2.24) Hệ số nhọn:  1 3 eC (2.25) Dạng đường tần suất không khác nhiều với phân bố nhị thức, ngay cả khi dung lượng mẫu tương đối nhỏ, đặc biệt khi  giảm (hình 2.9). - Tính chất: Bị giới hạn dưới: 0x . - Bảng phân bố Poisson, có thể lập bảng tra sẵn ứng với  và m. Bảng này có ở nhiều sách giáo khoa, ở đây đưa ra bảng với số hạng của hàm !m e m [10] (phụ lục 2.2). Cũng có thể tính theo hàm trong bảng tính Excel. - ứng dụng: Phân bố Poisson được dùng trong việc xác định các hiện tượng thuỷ văn hiếm, vận chuyển ô nhiễm hay quá trình xẩy ra mưa. 1-Luật nhị thức p=0,2, n=25; 2- Luật nhị thức p=0,1, n=50; 3- Phân bố Poisson =5 32 Hình 2.9: So sánh phân bố Poisson và nhị thức Ví dụ 2.4 [32]: Nếu coi những thời kỳ nhiều nước hoặc ít nước kéo dài là hiện tượng thuỷ văn hiếm và giả thiết thêm rằng giữa dòng chảy các năm không có quan hệ thì có thể tìm được xác suất để trong n năm xuất hiện m lần nhóm năm nhiều nước hay ít nước có độ dài không nhỏ hơn k năm theo phân bố Poisson. Khi đó  có thể tính theo công thức gần đúng: 12   k n  . Với chuỗi dòng chảy n=85 năm của trạm Ypha, sông Belaia, khi m=2 và k=7 thì 172 85   =0,332, và : 332,0 2 7 !2 332,0 )2(  emP =0,04=4%, tức là khá nhỏ. Còn xác suất để chỉ xuất hiện 1 lần (m=1) là : 24,0)1( 7 mP =24%, tức là khá lớn. Xác suất để trong n năm xuất hiện ít nhất một lần nhóm năm nhiều nước hay ít nước có độ dài không nhỏ hơn k năm sẽ là : 121011    k n kk emPmP )()( (2.26) Vơi số liệu trên ta có     33202 85 7 111 17 ,)( eemP 1-0,723=0,277=27%. b. Đường tần suất Pearson III (P.III) Đường này do Karl Pearson, một nhà thống kê sinh vật học người Anh, phát hiện. Ông thấy nhiều số liệu thực nghiệm phù hợp với hàm mật độ dạng quả chuông, chỉ có một số đông và 2 đầu giảm dần, tiệm cận với hoành độ. Ông đưa ra dạng phương trình mô tả phân bố này. 2 210 xbxbb ydx dx dy    )( (2.27) Giải phương trình bậc 2 ở dưới mẫu số của biểu thức trên được các loại nghiệm khác nhau, tương ứng với các đường cong khác nhau và ông chia ra làm 13 loại. Đường P.III là một đường trong số các đường trên, ứng với b2 = 0, nghĩa là ứng với phương trình: xbb ydx dx dy 10    )( (2.28) -Hàm mật độ: Chính là tích phân phương trình (2.28)(Hình 2.10). d x d a e a x yyxf   )()( 10 (2.29) 33 Hình 2.10. Hàm mật độ tần suất Pearson III trong đó: a: khoảng cách từ khởi điểm của đường cong (trị số nhỏ nhất x0) đến số đông xđ,; y0: Xác suất xuất hiện số đông (tung độ lớn nhất của đường cong); d: khoảng cách từ xđ đến x . Viết tổng quát ta có hàm mật độ của đường cong Pearson III: xexxf        1 )( )( (2.30) - Hàm tần suất        x x x dxexdxxfxP     1 )( )()( (2.31) Có tài liệu [32] cho rằng phân bố P.III là khái quát của phân bố nhị thức cho trường hợp biến x là liên tục và tăng lên vô hạn. Tuy nhiên cũng có ý kiến [10] cho rằng không phải như vậy, vì khi n thì phân bố nhị thức tiến tới phân bố Poisson và phân bố chuẩn (chỉ cần n100), còn với phân bố P.III khi n tăng thì hệ số CS vẫn không giảm tới không, tức là chuỗi không đối xứng. Phân bố có hàm Gama ở trong các biểu thức của hàm tần suất và có 3 thông số xo,  và  nên đôi khi gọi là phân bố Gama 3 thông số. Khi Cs=2Cv thì xo= 0, chỉ còn 2 thông số  và  nên người ta gọi là phân bố Gama 2 thông số. - Các thông số Theo dạng tổng quát có thể xác định  và  theo các mômen trung tâm: 2 3 3 24     ; 3 22     , (2.32) trong đó: chỉ số dưới là bậc của các mômen, còn chỉ số trên là bậc luỹ thừa của các mômen đó. Các hệ số Cv, Cs cũng được xác định theo các mômen trên nên có quan hệ tương ứng giữa 3 thông số thông dụng với các thông số  và  SCd a 4 1  ; SV CCd 21  (2.33) Theo dạng (2.29) thì đường P.III có 3 thông số là a,d và y0. 3 thông số này có quan hệ với các thông số thường dùng như sau: 34 x CC d sv        2 ; d C xC a s v  2 ;                    2 4 4 2 0 4 1 4 2 2 2 s C v C s s C eC C C y S S (2.34) - Tính chất Phân bố có giới hạn 1 đầu: xmin < x < ; Có một số đông xđ và không đối xứng; Hệ số bất đối xứng có giới hạn: minK C CC vsv 1 2 2  với x x K minmin  (2.35) Khi Cs=2Cv thì giới hạn dưới xmin=0, trên giấy Hazen được đường thẳng; Khi Cs>2Cv thì giới hạn dưới xmin>0, trên giấy Hazen được đường cong lõm (so với trục p); Khi Cs<2Cv thì giới hạn dưới xmin<0, trên giấy Hazen được đường cong lồi (so với trục p). Đường phân bố P.III xuất hiện trị số âm, điều này không có ỹ nghĩa vật lý. Tuy nhiên nếu đường phù hợp với các điểm thực nghiệm thì vẫn chấp nhận được và phần giá trị âm không xét tới. - Công thức hệ số tần suất Khi có 3 thông số cơ bản ta sẽ được hàm mật độ tần suất P.III, và sau đó tích phân hàm mật độ sẽ được đường tần suất luỹ tích. Tuy nhiên tích phân trực tiếp gặp nhiều khó khăn. Để xác định đường tần suất luỹ tích (tức là tìm các tung độ ứng với tần suất p) được thuận lợi người ta sử dụng công thức hệ số tần suất của Ven Te Chow[15]: Tp Kxx  (2.36a) hay:  xx p (2.36b) Nếu chia 2 vế của (2.36b) cho x ta được: vp CK  1 , (2.37) trong đó : KT hay  gọi là hệ số tần suất, hay hệ số lệch. KT phụ thuộc vào độ lặp lại T, còn  phụ thuộc tần suất p ),( pCf C K s v p    1 (2.38) Hệ số KT trong một số phân bố có t