Chương II Quan hệ song song

CHƯƠNG II:QUAN HỆ SONG SONG CHỦ ĐỀ 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG. A.PHƯƠNG PHÁP: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó. B.VÍ DỤ: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ,đáy lớn AB.Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a)(SAC) và (SBD). b)(SAD) và (SBC). Ví dụ 2:Cho hình tứ diện ABCD.Điểm E thuộc AB,điểm F thuộc AC sao cho EF không song song với BC,điểm K nằm trong miền tam giác BCD.Xác định giao tuyến của mp(EFK) và mp(BCD). Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD,điểm M nằm trên cạnh SA.xác định các giao tuyến của mp(BMC) với tất cả các mặt của hình chóp S.ABCD. C.BÀI TẬP: Bài 1:Cho hai đường thẳng cắt nhau a,b và một điểm M không nằm trên mặt phẳng xác định bởi a và b.xác định giao tuyến của hai mp(M,a) và (M,b). Bài 2:Cho hình tứ diện ABCD,E là trung điểm AB,I và K là các điểm lần lượt nằm trong miền tam giác ABC và miền tam giác BCD.Tìm giao tuyến của mp(EIK) với các mặt phẳng chứa các mặt của hình tứ diện. Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD.Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của SA,BC,CD.Xác định giao tuyến của mp(IJK) với các mp(SAC) và (SBD). CHỦ ĐỀ 2: XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP A.PHƯƠNG PHÁP: Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mp(P) ta thực hiện theo ba bước: 1.Tìm mp(Q) chứa đường thẳng a. 2.Xác định giao tuyến b của (Q) và (P). 3.Trong (Q),tìm giao điểm của a và b ,đó chính là điểm cần tìm. B.VÍ DỤ: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD .M là một điểm nằm trên cạnh SA,O là giao điểm của AC và BD.Tìm giao điểm của CM và mp(SBD). Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD.Gọi M là trung điểm của AB,G là trọng tâm tam giác ACD.Xác định giao điểm của MG và mp(BCD). Ví dụ 3:Cho hình tứ diện ABCD.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,AC,AD;O là điểm nằm trong miền tam giác BCD.Xác định giao điểm của AO và mp(MNP). C.BÀI TẬP: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD,đáy ABCD có AB không song song với CD.Các điểm M,N lần lượt nằm trên SD và SC.Xác định giao điểm của CD và MN với mp(SAB). Bài 2:Cho tứ diện ABCD.Điểm M nằm trên cạnh BD,điểm I nằm trong miền tam giác ACD.xác định giao điểm của BI với mp(ACM). Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD.Điểm M,N,P lần lượt nằm trên cạnh AB,BC và SA sao cho MN cắt AD.Xác định giao điểm của SC,SD và mp(PMN). CHỦ ĐỀ 3: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG. A.PHƯƠNG PHÁP: *Chứng minh ba điểm đó nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng. *Đưa về một mặt phẳng và sử dụng các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học phẳng. B.VÍ DỤ: Ví dụ 1:Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC,AD.Gọi G,G1 lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD và MNP.Chứng minh A,G,G1 thẳng hàng. Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD .Gọi K là trung điểm CD,I là trung điểm AK,E là trọng tâm tam giác BCD,F là điểm thuộc AE sao cho 3FE=2AF.Chứng minh B,F,I thẳng hàng. C.BÀI TẬP: Bài 1:Cho tứ diện ABCD ,mặt phẳng (P) cắt các cạnh AB,BC,CD,DA lần lượt tại E,F,G,H.FG cắt EH tại J.Chứng minh B,D,J thẳng hàng. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD,AC cắt BD tại E,AD cắt BC tại I.Một mp(R) cắt các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt tại M,N,P,Q.MP cắt NQ tại F và NP cắt MQ tại J.Chứng minh S,F,E thẳng hàng và S,I,J thẳng hàng. Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.Gọi G,G1,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB,SAC,SCD.Chứng minh rằng G,G1,G2 thẳng hàng. CHỦ ĐỀ 4: CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY. A.PHƯƠNG PHÁP: Gọi giao điểm của hai đường thẳng là O,chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua O. B.VÍ DỤ: Ví dụ 1:Cho hình bình hành ABCD và điểm E không nằm trong mp (ABCD).Gọi M,N,O lần lượt là trung điểm của EC,ED,AC.Chứng minh rằng các đường thẳng EO,AM,BN đồng quy. Ví dụ 2:Cho hình tứ diện ABCD.Một mp(P) cắt các cạnh AB,AC,CD,DB lần lượt tại E,F,G,H sao cho các cặp đường thẳng :BC và EF,EF và HG,HG và BC cắt nhau từng đôi một.Chứng minh rằng BC,EF,HG đồng quy. Ví dụ 3:Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng .M và N là các điểm thuộc AC và BF sao cho AM/AC=BN/BF=1/3.Chứng minh AB,DM,EN đồng quy. C.BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD.Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của đáy.M,N là các điểm nằm trên cạnh SB và SD của hình chóp.Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P.Chứng minh rằng SO,MN,AP đồng quy. Bài 2:Chứng minh rằng trong hình tứ diện ,các đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm các mặt đối diện thì đồng quy. Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD,điểm M thuộc cạnh SA.Gọi O là giao điểm của AC với BD,K là giao điểm của SD với mp(MBC).Chứng minh SO,BK,MC đồng quy. CHỦ ĐỀ 5: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH A.PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh đường thẳng d đi qua điểm cố định ta chứng minh hai điểm A,B trên d thẳng hàng với một điểm M cố định. B.VÍ DỤ: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD ,đáy ABCD có AB cắt CD.Trên cạnh SA lấy điểm M.Mặt phẳng (MCD) cắt SB tại N.Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cạnh SA. Ví dụ 2:Mặt phẳng (P) cố định ,hai điểm A,B cố định ngoài mp(P),(AB không song song với mp(P)).Một điểm M di động trong không gian sao cho MA,MB cắt (P) lần lượt tại E,F.Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. Ví dụ 3:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB.Mặt phẳng (P) quay quanh AB cắt SC,SD tại E và F,BE và AF cắt nhau tại G.Chứng minh rằng SG luôn đi qua một điểm cố định. C.BÀI TẬP: Bài 1:Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD có AB cắt CD.Mặt phẳng (P) quay quanh AB cắt SC,SD tại P,Q,mặt phẳng (Q) quay quanh CD cắt SA,SB tại M,N.(P) cắt (Q) theo giao tuyến d.Chứng minh rằng các đường thẳng MN,PQ,d đi qua một điểm cố định. Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy nhỏ AB.Một mặt phẳng (P) quay quanh BD cắt SA,SC lần lượt tại M,N.Chứng minh MN đi qua một điểm cố định. CHỦ ĐỀ 6: THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP A.PHƯƠNG PHÁP: Để tìm thiết diện của một mặt phẳng với một hình chóp ,ta xác định giao tuyến của mặt phẳng với từng mặt của hình chóp. B.VÍ DỤ: Ví dụ 1:Cho tứ diện ABCD ,các điểm E,F,G lần lượt thuộc các cạnh AB,AC,BD sao cho EF không song song BC.Tìm thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (EFG). Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có AB cắt CD .M là điểm thuộc miền trong của tam giác SAB.Xác định thiết diện của hình chóp với mp(DMC). Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang ABCD có đáy lớn AB.M,O,P là các điểm lần lượt thuộc các cạnh SB,DA,CD (M không trùng với đỉnh của hình chóp).Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MOP). C.BÀI TẬP: Bài 1:Cho tứ diện ABCD .Gọi I là trung điểm của BC,G1,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD.Xác định thiết diện của tứ diện và mp đi qua I,G1,G2. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD.Gọi E,I lần lượt là trung điểm của AD,SE.G là trọng tâm tam giác SAB.Xác định thiết diện của hình chóp với mp qua C,I,G. Bài 3:Cho tứ diện ABCD.G là điểm thuộc CD;I,J là các điểm lần lượt nằm trên các miền tam giác ABC và ABD sao cho IJ cắt mp(BCD).Xác định thiết diện của tứ diện và mp đi qua G,I,J. CHỦ ĐỀ 7: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. A.PHƯƠNG PHÁP: *Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau (dùng phương pháp phản chứng).Giả sử hai đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng ,lập luận dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết hoặc định lý đã biết. *Chứng minh hai đường thẳng song song: -Đưa về một mặt phẳng và áp dụng các tính chất trong hình học phẳng. -Sử dụng các tính chất của hai đường thẳng song song ,đường thẳng song song với mặt phẳng,hai mặt phẳng song song. B.VÍ DỤ: Ví dụ 1:Cho tứ diện ABCD,gọi M,N,O, P lần lượt là trung điểm của AC,BC,BD,AD.Chứng minh: a)MN và BD chéo nhau. b)MNOP là hình bình hành. Ví dụ 2:Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng .Gọi G1,G2,G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC,ABE,ABF.Chứng minh: a)Hai đường thẳng AB và CE chéo nhau. b)G1G2//CE;G2G3//EF;G1G3//CF. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD.Các điểm I,J nằm trên AC,SC sao cho AI/AC=SJ/SC.Mặt phẳng (P) qua IJ cắt các cạnh AB,AD,SD,SB lần lượt tại E,F,G,H.Chứng minh HE//GF. C.BÀI TẬP: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD.Gọi M,N,P,Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB,SBC,SCD,SDA.Chứng minh MNPQ là hình bình hành. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD,AB cắt CD tại I.Mặt phẳng (P) song song với SI cắt SA,SB,SC,SD lần lượt tại E,F,G,H.Chứng minh: a)SI và EH chéo nhau. b)EF//HG. Bài 3:Cho hình bình hành ABEF tâm O và hình thang ABCD không cùng nằm trong một mặt phẳng. a)Chứng minh rằng BC và FD chéo nhau. b)Gọi S là giao điểm của BC và AD;K là điểm thuộc đoạn SO.xác định giao tuyến a của mp(OCD) và mp(KAB).Chứng minh a//EF. CHỦ ĐỀ 8: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MP A.PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) ta áp dụng một trong hai cách sau: *Chứng minh đường thẳng a không nằm trong mp (P) và a song song với một đường thẳng b nào đó nằm trong mặt phẳng (P). * Chứng minh đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung (dùng phương pháp phản chứng.) B.VÍ DỤ: Ví dụ 1:Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC,AD,MN.Chứng minh MN và PQ cùng song song với mặt phẳng (BCD). Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD ,đáy là hình bình hành ,G là trọng tâm tam giác SAB,M thuộc AC sao cho MC=2MA.Chứng minh rằng MG//(SCD). C.BÀI TẬP: Bài 1:Cho tứ diện ABCD,I là trung điểm CD;M,N lần lượt là trung điểm của AI và BI.Chứng minh MN//(ABC) và MN//(ABD). Bài 2: Cho tứ diện ABCD,gọi G,G1 lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD và BCD.Chứng minh GG1//(ABC). Bài 3:Cho hai hình bình hành ABCD tâm N và ABEF tâm M nằm trên hai mặt phẳng khác nhau. a)Chứng minh CE//mp(AFD) và MN//mp(BCE). b)Gọi I là trọng tâm tam giác AFB và K là điểm thuộc đường chéo AC của hình bình hành ABCD sao cho AC=3AK.Chứng minh IK//mp(ADF). CHỦ ĐỀ 9: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A.PHƯƠNG PHÁP: Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng này lần lượt song song với mặt phẳng kia. B.VÍ DỤVí dụ 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của AB,EF,CD.Chứng minh rằng (ADF)//(BCE) và (AKF)//(ICJ). Ví dụ 2:Từ các đỉnh của tam giác ABC ,kẻ ba đường thẳng song song Ax,By,Cz.Trên Ax,By,Cz lấy A1,B1,C1 sao cho AA1=BB1=CC1.Gọi M,M1 là trung điểm BC và B1C1.Chứng minh: a)mp(ABC)//mp(A1B1C1). b)mp(AMC1)//mp(A1M1B). Ví dụ 3:Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1.Gọi M,N là trung điểm của CD và A1 B1.Chứng minh mặt phẳng (AMD1) song song với mặt phẳng (BNC1). B.BÀI TẬP: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang ABCD có CD//AB và CD=2AB.Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của CD,SC và SD.Chứng minh (IBJ)//(SAD) và mp(IAK)//(SBC). Bài 2:Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng .M,I,K lần lượt là các điểm thuộc AF,BF,AC sao cho MF=2MA;IF=2IB;KC=2KA.Chứng minh (MIK)//(CDFE). Bài 3:Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1.Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của AA1,AB,A1D1.Chứng minh (IJK)//(BA1C1). Bài 4:Cho hình lăng trụ ABC. A1B1C1.Gọi G1,G2,G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A1B1C1,ABB1.Chứng minh rằng: a)mp(G1G2G3)//mp(BB1C1C). b)mp(A1G3G2)//mp(AC1G1). CHỦ ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG . THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP .HÌNH LĂNG TRỤ. A.PHƯƠNG PHÁP: Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ta xác định: *Một điểm chung của hai mặt phẳng đó:M. *Phương của giao tuyến đó(song song với một đường thẳng d đã cho). *Giao tuyến cần tìm chính là đường thẳng đi qua M và song song với d. Thường sử dụng các định lý :Hai mp song song với nhau và cắt mp thứ ba thì hai giao tuyến song song ;hoặc a//(P),(Q) qua a cắt (P) theo giao tuyến b thì b//a. B.VÍ DỤ: Ví dụ 1:Cho hình tứ diện ABCD.Điểm M nằm trong miền tam giác BCD.Xác định giao tuyến của mp (P) qua M,song song với mp(ABC) của hình chóp. Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD ,K là trung điểm AB,J thuộc cạnh BC.(P) là mp qua J,song song với AB và KD.Xác định giao tuyến của: a)Mp(P) với mp(ABC). b)Mp(P) với mp(CKD). Ví dụ 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.Trong ABCD lấy một điểm I.Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi: a)Mp(P) qua I,song song (SDC). b)Mp(Q) qua I,song song (SAD),tìm giao tuyến hai thiết diện. Ví dụ 4:Cho lăng trụ ABC. A1B1C1.M là một điểm thuộc miền trong của mặt bên BB1C1C.xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mp(P) qua M,song song với AB,A1C1. Ví dụ 5: Cho lăng trụ ABCD. A1B1C1D1.Q là trung điểm BD1.Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mp(ACQ). C.BÀI TẬP: Bài 1:Cho tứ diện ABCD.Một mp(P) //BC cắt AB,AC,CD,DB lần lượt tại M,N,P,Q.Tứ giác MNPQ là hình gì?Vì sao? Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD,AB cắt CD tại I,AD cắt BC tại J.Một mp (P) cắt SA,SB,SC,SD lần lượt tại M,N,O,P. a)Chứng minh rằng :Điều kiện cần và đủ để MN//PO là (P)//SI. b)Tìm điều kiện cần và đủ để MNOP là hình bình hành. Bài 3:Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1.I là một điểm nằm trong tam giác B1C1D1.M,N lần lượt thuộc cạnh AB và AD.Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI). Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O,E là điểm thuộc cạnh bên SC.Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi: a)Mặt phẳng qua E,song song với SO và BC. b)Mặt phẳng qua E ,song song với AC và SB. Bài 5: Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1.Các điểm E,I,G lần lượt thuộc các cạnh AB,B1C1,DD1.Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (EIG). Bài 6: Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1.Điểm E thuộc AB,I thuộc A1C.Xác định thiết diện của hình hộp qua (EIC1). CHỦ ĐỀ 11: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM A.PHƯƠNG PHÁP: Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất (T) ta thực hiện theo bốn bước. *Phần thuận:Từ giả thiết M thỏa mãn tính chất (T) chứng minh M nằm trên hình (H). *Giới hạn:Cho các điểm di động đến vị trí đặc biệt suy ra M chỉ di động trên một phần của hình (H) hoặc toàn bộ (H). *Phần đảo:Lấy điểm M1 bất kỳ trên (H) chứng minh M1 thỏa mãn các điều kiện đầu bài. *Kết luận:Tập hợp điểm M là (H) hoặc một phần của (H). B.VÍ DỤ: Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD,AB không song song với CD.Điểm E nằm trên cạnh SA.Mặt phẳng (BCE) cắt SD tại F,BE cắt CF tại G,BF cắt CE tại K.Tìm tập hợp các điểm G,K khi E di động trên SA. Ví dụ 2:Cho hai tia Ax,By chéo nhau.Trên Ax và By lần lượt lấy các điểm C,D.Gọi E là trung điểm đoạn CD.Tìm tập hợp của điểm E nếu: a)D cố định,C chạy trên tia Ax. b)C chạy trên tia Ax,D chạy trên By sao cho AC=BD? C.BÀI TẬP: Bài 1:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD.Một mp (P) quay quanh AD cắt các cạnh SB,SC tại E,F.AF cắt DE tại G,AE cắt DF tại H.Tìm tập hợp các điểm G,H. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD,AB không song song với CD.Qua điểm E trên cạnh SB dựng mp (P)//(ABCD) cắt SC,SD,SA lần lượt tại F,G,H.EG cắt FH tại K,EH cắt FG tại I.Tìm tập hợp các điểm K và I khi E chạy trên cạnh SB. Bài 3: Cho hai tia Ax,By chéo nhau.Lấy điểm D thuộc Ax và điểm C thuộc By. a)Tìm tập hợp trung điểm I của CD khi AD+BC=2l không đổi. b)Tìm tập hợp các điểm I chia CD theo tỉ số k. BÀI TOÁN TỔNG HỢP VÍ DỤ 1:Cho tứ diện ABCD,gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD,M là điểm thuộc cạnh AC sao cho EM không song song với BC. a)Xác định giao điểm của BD với mặt phẳng (EMF). b)xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (EMF). c)Gọi G là trọng tâm tam giác ACD,I là trung điểm của EF.Chứng minh B,I,G thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD,M và N là các điểm lần lượt nằm trên cạnh AB,SD và không trùng với đỉnh hình chóp. a)Xác định giao điểm I,J của BN và MN với mặt phẳng (SAC). b)Chứng minh rằng A,J,I thẳng hàng. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD,AB không song song với CD,AC và BD cắt nhau tại O.Một mp (P) qua CD cắt SA,SB tại M,N. a)Tìm giao điểm K của SO với (P). b)Chứng minh D,K,N thẳng hàng. c)Chứng minh rằng khi (P) quay quanh CD thì MN luôn đi qua một điểm cố định. Ví dụ 4:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang ABCD có AD//BC và AD=2BC. a)Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P) qua B,song song với DC và SC. b)Gọi G là trọng tâm tam giác SCD,tìm giao điểm E của AG với (P),tính tỉ số AE/AG. c)Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (BCG) là hình gì? Ví dụ 5:Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi không có cặp cạnh nào song song.Gọi M,N là trung điểm của AB và CD.Gọi G1,G2,G3,G4 lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB,SCD,MCD,NAB.Chứng minh: a)G1G2 và BC chéo nhau. b)G2 G3//(SAB) và G1G4//(SCD). c)Diện tích tam giác SMN bằng 9 lần diện tích tam giác G1MG4. Ví dụ 6:Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1 có tất cả các cạnh bằng nhau.các điểm M,N,P lần lượt thuộc AA1,AB,CD sao cho AM=AN=DP. a)Chứng minh rằng MP//(A1BC). b)Tìm giao điểm của AC1 với mp(MNP). c)Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mp(P) qua M,P và song song với BD. Ví dụ 7:Cho tứ diện ABCD .Từ điểm O nằm trong miền tam giác BCD kẻ các đường thẳng lần lượt song song với các cạnh AB,AC,AD cắt các mặt bên lần lượt tại M,N,P.chứng minh rằng:OM/AB+ON/AC+OP/AD=1. C.BÀI TẬP: Bài 1:Cho hình chóp S.ABCD,AC và BD cắt nhau tại O.M,N lần lượt là trung điểm của SA và SD,Q là điểm bất kỳ trên SB. a)Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (MNP). b)Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP). c)Gọi O1 là giao điểm của MP và NQ,chứng minh rằng S,O,O1 thẳng hàng. Bài 2:Cho tứ diện ABCD,gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AC và BC,điểm P nằm trên cạnh BD sao cho NP không song song với CD. a)Xác định giao tuyến PQ(Q thuộc AD) của mp(MNP) với mp(ABD). b)Chứng minh các đường thẳng MQ,NP,CD đồng quy. c)Gọi I,J là hai điểm tùy ý trên AB và CD,tìm giao điểm của IJ với mp(MNP). Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD.Gọi E,F là các điểm lần lượt thuộc SA và BC. a)Tìm giao điểm của EF với mặt phẳng (SBD). b)Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (DEF). Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD,AC cắt BD tại O.Gọi M,P,Q lần lượt là trung điểm của SD,AB,BC. a)xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MPQ). b)Tìm giao điểm của SO với mặt phẳng thiết diện. Bài 5:Cho hình thang ABCD và hình bình hành ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau.Gọi O là giao điểm AE và BF. a)*Xác định giao tuyến OK của các mặt phẳng (CBF) và (EDA). * Xác định giao tuyến OP của các mặt phẳng (BDF) và (ACE). * Xác định giao tuyến KP của các mặt phẳng (CAF) và (DBE). b)Gọi S là giao điểm của AD và BC,Chứng minh S,K,O thẳng hàng. Bài 6:Cho hình chóp S.ABCD,M là một điểm nằm trong miền tam giác SAD.Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (BCM). Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. a)Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng : (SAB) và (SCD);(SAD) và (SBC). b)Gọi M là điểm thuộc cạnh SD,I là điểm thuộc DB kéo dài.Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua IM và song song với AC. Bài 8:Từ các đỉnh của hình bình hành ABCD kẻ các tia song song với nhau: Ax,By,Cz,Dt.Lấy các điểm M trên Ax,N trên By,Q trên Dt sao cho BN=DQ khác AM. a)Xác định giao điểm P của Cz với mp(MNQ). b)Gọi I là giao điểm của MQ và DA;J là giao điểm của PM và CA;K là giao điểm của NM và BA,L là giao điểm của PQ và CD.Chứng minh rằng I,J,K,L thẳng hàng. c)Tứ giác NQLK là hình gì? Bài 9: Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1,tâm ABCD là O và tâm A1B1C1D1 là O1.Trên đường thẳng OO1 lấy điểm S(O1 nằm giữa O và S). a)Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(A1B1C1D1),thiết diện là hình gì? b)Xác định giao điểm E của SC1 và mp(ABCD),chứng minh DE//A1N (với N là giao điểm của SB với B1D1). c)Khi SO1=O1O,hãy tính diện tích thiết diện ở câu a,biết rằng diện tích ABCD bằng a2. Bài 10:Cho hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy là một nửa hình lục giác đều ,O là trung điểm AD và O1 là trung điểm A1D1. a)Chứng minh (O1AB)//(D1OC). b)Tìm giao điểm của A1C với mặt phẳng (O1AB). c)Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng qua trung điểm I của DD1 và song song với A1C và D1C. Bài 11:Từ các đỉnh A,B,C của tam giác ABC kẻ các tia Ax,By,Cz song song với nhau và không nằm trong mp(ABC).Lấy M,N thuộc Ax,By sao cho AM=2BN.Gọi D là giao điểm của MN với AB,gọi E là điểm thuộc CN sao cho EN=2EC. a)Chứng minh D cố định. b)Xác định giao điểm O của DE với mp(C;Ax) c)Gọi P là giao điểm của AO và BE.Tìm tập hợp các điểm P khi M,N di động trên Ax,By luôn thỏa mãn điều kiện AM=2BN. Bài 12:Cho hình thang ABCD (có AD=2AB=2BC=2a,AD//BC) và tam giác