Chương III Dãy số

CHƯƠNG III : DÃY SỐ §1.PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP Để cm mệnh đề T(n) (1) phụ thuộc nN*, ta làm như sau: (ví dụ: 1+2+3+…+n=n(n+1)/2 Bước 1: Kiểm tra T(1) đúng khi thay n = 1 Bước 2: giả sử mệnh đề đúng với n=k, ta cm MĐ Đúng với n = k+1 Bước 3: KL mệnh đề đúng với nN* 1 2 3 4 k k+1 n n+1 Bài 1: cm,nN* , ta có: +)n=1=>VT=1 VP=1 =>VT=VP=>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n=kN*,tức là: Cộng k+1 vào 2 vế: (1) Đúng với n=k+1=>(1) đúng với mọi n Bài 1: cm,nN* , ta có: Với n = 1 =>VT=VP=>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n = k;tức là: Cộng 2 vế với 3(k+1)-1=3k+2 ta có: =>(1) đúng với n=k+1 Vậy,(1) đúng với mọi n Với n = 1 =>VT=VP=>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n = k;tức là: Cộng 2 vế với 1/2k+1; ta có: =>(1) đúng với n=k+1 Vậy,(1) đúng với nN* Với n = 1 =>VT=VP=>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n = k;tức là: Cộng 2 vế với (k+1)2,ta có: =>(1) đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN* Với n = 1=>13+3.1+5=9 chia hết cho 3=>đúng 2)cm: a)n3+3n2+5n chia hết cho 3(1) Giả sử (1) đúng với n=kN*;tức là: k3+3k2+5k chia hết cho 3(1) Với n=k+1 ta có: A=(k+1)3+3(k+1)2+5(k+1) =(k3+3k2+5k)+3k2+9k+9=(k3+3k2+5k)+3(k2+3k+3) =>A chia hết cho 3=>(1) đúng với n =k+1 Vậy: (1) đúng với nN* C2:n3+3n2+5n=(n3+3n2+2n)+3n=n(n+1)(n+2)+3n Do n(n+1)(n+2)chia hết cho 3=>… b)4n+15n-1 chia hết cho 9 Với n = 1=>41+15-1=18 chia hết cho 9=>đúng Giả sử (1) đúng với n=kN*;tức là: 4k+15k-1 chia hết cho 9(2) Với n=k+1 ta có: A=4k+1+15(k+1)-1=4.4k+15k+15-1 =4(4k+15k-1)-45k+18=4(4k+15k-1)-9(5k-2) =>A chia hết cho 9=>(1) đúng với n =k+1 Vậy: (1) đúng với nN* b)4n+15n-1 chia hết cho 9(1) c)n3+11n chia hết cho 6 C2:n3+11n=(n3+3n2+2n)-3n2+9n=n(n+1)(n+2)-3n(n-3) Do n(n+1)(n+2)chia hết cho 6;và n(n-3) chia hết cho 2 (Vì n lẻ=>n-3 chẳn;n chẵn=>n-3 lẻ); vậy, n3+11n chia hết cho 6 Với n = 1=>1+11=12 chia hết cho 6=>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n=kN*;tức là: k3+11k chia hết cho 6(2) Với n=k+1 ta có: A=(k+1)3+11(k+1) =k3+3k2+3k+1+11k+11=(k3+11k)+3k2+3k+12 =>(1) đúng với n =k+1 Vậy, (1) đúng với mọi n c)n3+11n chia hết cho 6(1) =(k3+11k)+3k(k+1)+12 Do k(k+1) chia hết cho 2=>A chia hết cho 6 d)3n>3n+1(3);n 2 Với n = 2=>VT=9;VP=7=>VT>VP(đúng) Giả sử (1) đúng với n=kN*;k>1;tức là: 3k>3k+1 Nhân 2 vế với 3 ta có: 3.3k>3(3k+1)=>3k+1>9k+3 =>(1) đúng với n =k+1 Vậy, (1) đúng với mọi n d)3n>3n+1(1);n2 Mà 9k+3=(3k+4)+6k-1>3k+4=3(k+1)+1 =>3k+1>3(k+1)+1 e)2n+1>2n+3 (1); n2 Với n = 2=>VT=8;VP=7=>VT>VP(đúng) Giả sử (1) đúng với n=kN*;k>1;tức là: 2k+1>2k+3(2) Nhân 2 vế với 2 ta có: 2.2k+1>2(2k+3)=>2k+2>4k+6=2(k+1)+3+(2k+1) =>(1) đúng với n =k+1 Vậy, (1) đúng với mọi n e)2n+1>2n+3 (1); n2 Mà 2(k+1)+3+(2k+1)>2(k+1)+3 =>2k+1>2(k+1)+3 a)tính S1;S2;S3 a)tính S1;S2;S3 b)Dự đoán Sn và cm qnap Dự đoán Sn =n/(n+1) (1); (1) đúng với n=1 Giả sử (1) đúng với n=k;tức là: =>(1)đúng với n=k+1=>(1) đúng với mọi n Với n = 1 =>VT=VP=1=>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n = k;tức là: Cộng 2 vế với (k+1)3,ta có: (1)=>MĐ đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN* b)1.4+2.7+…+n(3n+1)=n(n+1)2(1) Với n = 1=>VT=VP=4=>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n = k;tức là: 1.4+2.7+…+k(3k+1)=k(k+1)2(2) (1)=>MĐ đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN* b)1.4+2.7+…+n(3n+1)=n(n+1)2(1) Cộng 2 vế với (k+1)(3k+4) ta có: 1.4+2.7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4) =>1.4+2.7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2 Với n = 1 =>VT=VP=3/4=>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n = k;tức là: Cộng 2 vế với (k+3)/(k+1)(k+2)2k+1 ,ta có: (1)=>MĐ đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN* d)n3+2n chia hết cho 3 Với n = 1=>1++2=3 chia hết cho 3=>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n=kN*;tức là: k3+2k chia hết cho 3(2) Với n=k+1 ta có: A=(k+1)3+2(k+1) =k3+3k2+3k+1+2k+2=(k3+2k)+3(k2+k+1) d)n3+2n chia hết cho 3(1) =>A chia hết cho 3 Vậy, (1) đúng với mọi n =>(1) đúng với n =k+1 e)32n-1+2n+1 chia hết cho 7 Với n = 1 =>VT(1) đúng Giả sử (1) đúng với n = k;tức là: =>(1) đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN* Theo bdt cosi: (đúng) Với n = 2 VT=1/(2+1)+1/4=7/12>VP =>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n = k;tức là: =>MĐ đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN* Với n=k+1,ta có: Vì 1/(2k+1)+1/2(k+1)>1/2(k+1)+1/2(k+1)=1/(k+1) Với n = 2 VT=1/(1-14)=3/4=VP =>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n = k>1;tức là: =>(1) đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN* Nhân 2 vế với [1 -1/(k+1)2], ta được: +)n=1=>U1=7.20+31=10 chia hết cho 5 =>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n = k;tức là: =>(1) đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN* Khi đó với n=k+1, ta có: =>Un+1 chia hết cho 5 Với n = 1 VT=VP=1+x =>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n = k;tức là: =>MĐ đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN* Nhân 2 vế (2) với (1+x)>0 7)(1+x)n  1 + nx;x>-1 (1) (1+x)k  1 + kx (2) (1+x)k+1(1+ kx)(1+x)=1+ x+ kx+kx2 = 1+(k+1)x+kx2 VT  1+(k+1)x §2.DÃY SỐ DẠNG I:TÌM 1 SỐ SỐ HẠNG CỦA DÃY PP: 1)Muốn tìm số hạng thứ k của dãy (un), ta thế n=k 2)Dãy số là 1 hàm số với biến nN* 3)Nếu dãy (un); với Un=f(n) thì Uk= f(k) 4)Cũng có thể dùng PP truy hồi để tìm 1 số hạng 1)Tìm 5 số hạng đầu, biết (Un) được xác định: u4= ;u5= 2.(un) xđ: u1=-1;un+1=un+3(1) +)n=1=>u1=-1 u2=u1+3=-1+3=2 U3=u2+3=5;u4= ;u5= b)cm: un=3n-4 a)Viết 5 số hạng đầu 2.(un) xđ: u1=-1;un+1=un+3. b)cm: un=3n-4(1) +)n=1=>u1=-1;theo (1) ta có:u1=3-4=-1(dung) +giả sử uk=3k-4 =>uk+1=uk+3=3k-4+3=3(k+1)-4 =>(1)đúng với n=k+1. Vậy (1) đúng với mọi n 2’)Cho dãy (un): u1 = 1;un = 2un-1+ 3; n>1 (1). cm: Un= 2n+1 – 3 (2) +)n = 2=>(1): u2= 2u1+ 3= 2.1+ 3 = 5 (2): u2= 22+1 – 3 = 5 (đúng) Giả sử (2) đúng với n = k>1; tức là :Uk=2k+1–3 (3) khi đó: uk+1 = 2uk+3 = 2(2k+1 – 3) + 3= 21.2k+1 – 3 = 2k+2 – 3 =>đúng với n = k+1 Vậy: (2) đúng với mọi n>1 DẠNG II: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY a)Viết 5 số hạng đầu b)Dự đoán và cm công thức un Thật vậy, giả sử =>(1) đúng với n=k+1; vậy (1) đúng với mọi n PP:a)(Un) tăng, nếu un+1> un; nN* b)……giảm nếu un+1 un; nN* b)……giảm nếu un+10; n thì có thế xét tỉ số;(Un) tăng nếu :(Un+1)/(un) >1 MỘT SỐ DÃY THƯỜNG GẶP 1.an+b: +)a>0: Tăng +)a0:Tăng +)a1 : ko tăng, ko giảm +)k>0: Giảm; k0:(un) tăng; ad-bc(un) giảm 5. an +)a>1: Tăng +)0aun tăng nếu a>0;giảm nếu aun+1(un) giảm =>un+1>un=>(un) tăng Ta có:u1=(-1)1(2+1)=-3;u2=(-1)2.5=5;u3=-9 =>u1u3=>(un) ko tăng ko giảm =>un+1(un) giảm 4)Xét tính tăng, giảm: a)Un = n3 – 3n2+ 5n - 7 n=>un+1–un=(n+1)3–3(n+1)2+5(n+1)–7-(n3–3n2+5n–7) =3n2 – 3n+ 3 =>un+1>un=> (un) tăng b)un= (n+1)/3n =3n(n-1)+ 3>0 b)un= (n+1)/3n =>(un) giảm =>(un) giảm =>un+1> un 9dc)Xét tính tăng, giảm: =>un+1>un=>(un) tăng b)un=2n-n2 un+1 –un=2(n+1)-(n+1)2-(2n-n2)=1-2nun+1(un) giảm =>un+1(un) giảm =>(un) ko tăng,ko giảm =>un+1>un=> dãy… DẠNG III: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA MỘT DÃY SỐ PP: 1)(un) bị chặn trên nếu A;unA;n 2)(un) bị chặn dưới nếu  B;unB;n 3)(un) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới=>bị chặn MỘT SỐ DÃY THƯỜNG GẶP 1.an+b: +)a>0: Tăng=>unu1 +)aunu1 2.an2+bn+c: §2.DÃY SỐ(TIẾP) 2.an2+bn+c: TH1: -b/2a1 +)a>0:Tăng=>unu1 +)aun u1 TH2:x0=-b/2a>1;a>0:+)Nếu x0N*=>un ux0 +)Nếu x0N*=>minun(uk,uk+1);uk1;aun ux0 +)Nếu x0N*=>maxun(uk,uk+1);uk0: Giảm=>0 -k un0:(Giảm)=>0u1u11:Tăng=>ana +)00-1 an 1 +)a (un) bị chặn dưới Ta có: un>0;n Mặt khác, n(n+2)>1=>un0(un) bị chặn un>0;n Mặt khác, 2n2-11=>un1=>0(un) bị chặn d)un=sinn+cosn n, ta có -2(un) bị chặn =>0(un) bị chặn Dễ thấy: - 1un  1; n=> (un) bị chặn =>… =>0 un2;mọi n=> … Ta có un>0 mọi n=> (un) bị chặn dưới => (un) ko bị chặn trên =>0(un) bị chặn =>un+1>un;nN*=>(un) tăng =>un=…+1/2n Bài 6: cm dãy tăng và bị chặn: un = (2n+3)/(3n+2) =>(un) tăng Dễ thấy : un>0 mọi n =>0un giảm Bài 7: Cho dãy (un): u1=3;un+1=un+5(1) cm: un=5n – 2(2) Bài 7: Cho dãy (un): u1=3;un+1=un+5(1) cm: un=5n – 2(2) +)n = 1=>(1):u1=3; (2): u1=5.1- 2 = 3=>đúng +)giả sử (2) đúng khi n=k; tức là: uk=5k-2 +)Khi đó uk+1 = uk+ 5 = (5k-2) +5 = 5k+3=5(k+1)-2 =>(2) đúng với n = k+1. Vậy: (2) đúng với mọi n Bài 8: Cho dãy (un): u1=1;un+1=un+(n+1).2n(1) cm: dãy tăng và un=1 + (n – 1).2n.(2) +)un+1- un = (n+1)2n>0=>(un) tăng +)n = 1=>(1):u1=1; (2):u1=1+(1-1).2=1=>đúng Bài 8: Cho dãy (un): u1=1;un+1=un+(n+1).2n(1) cm: dãy tăng và un=1 + (n – 1).2n.(2) +)giả sử (2) đúng khi n=k; tức là: uk=1+ (k-1).2k. +)Khi đó uk+1 = uk+ (n+1)2n =1+(k-1)2k +(k+1)2k= 1+ 2k(k-1+k+1)= 1+ 2k.2k =1+ k.2k+1 =>(2) đúng với n = k+1. Vậy: (2) đúng với mọi n 9.cm:un= 2n/(n2+1) giảm và bị chặn §3. CẤP SỐ CỘNG DẠNG I : BÀI TẬP TÍNH TOÁN VỂ CẤP SỐ CỘNG PP :  u1 ,u2 ,…, un , … un = un-1+ d = u1+ (n-1)d(Mỗi số hạng bằng số hạng kề ngay trước cộng 1 số k0 đổi) d = u2 –u1 =un+1–un ( công sai ) Sn=n(u1+un)/2=n[2u1+(n–1)d]/2(tổng n số hạng đầu) Bài 1: dãy nào là CSC;tìm công sai;u1 a)un = 5-2n Ta có:un+1–un=[5-2(n+1)]-(5-2n)=-2(ko đổi) => (un) là một CSC công sai d = -2;u1=5-2=3 +)NX: un = an+b là csc (d=a;u1=a+b) b)Un = n/2-1 Ta có:un+1-un => (un) là một CSC công sai d = 1/2;u1=-1/2 c)un=3n +)u1=3;u2=9;u3=27=>u2-u1=6;u3-u2=18u2-u1 =>(un) k0 phải là csc 2.Tìm số hạng đầu và công sai 2.Tìm số hạng đầu và công sai 3.Điền vào chổ trống +)u20=u1+19dd=(55+2)/19=3 -20 530 36 3 4.Sàn tầng 1 một ngôi nhà cao hơn sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng 1 lên tầng 2 :21 bậc;mỗi bậc 18cm a)Viết công thức tìm độ cao của 1 bậc tùy ý hn=0,5+0,18.n b)Tìm độ cao của tầng 2: Tầng 2 tức là lầu 1: h=h21=0,5+0,18.21=4,28(m) 5)Xác định u1;d của csc: Vậy:(u1;d){(1,2);(-15,2)} (1)d=2; thế vào (2): U12+14u1–15=0u1= 1; u1 = -15 d)Sn= 7n2 – 2n d)Sn= 7n2 – 2n +)S1=7.12- 2.1=5 Mà S1=u1=>u1=5 +)S2=7.22- 2.2=24 Mà S2=2(2u1+d)/2 =24d=14 6)Giữa 7 và 35 đặt 6 số nữa để được csc Vậy : u1=5 và d=14 Theo gt ta có csc có 8 số hạng: u1=7;u8=35 U8= 35u1+7d=35d=4 Các số cần tìm là: 11;15;19;23;27;31 7)3 số hạng liên tiếp của 1 csc có tổng 15;tổng bình phương 83 7)3 số hạng liên tiếp của 1 csc có tổng 15;tổng bình phương 83 Gọi 3 số hạng là a,b,c; công sai d .Ta có: (2)125+3d2=83d2=4d=2 Vậy, 3 số hạng đó là: 3,5,7 hoặc 7,5,3 8)Tìm 5 số hạng liên tiếp của 1 csc, tổng bằng 40, tổng bình phương 480 Gọi a,b,c,d,e là 5 số cần tìm; x là công sai. Ta có: Thế c=8 từ (1) vào (2): (2)5.82+10x2=480x2=16x=4 (2)5.82+10x2=480x2=16x=4 +)x=4;c=8=>a=c-2x=a=0 =>csc: 0,4,8,12,16 +)x=-4=> csc : 16,12,8,4,0 9)Tìm 4 số hạng liên tiếp của 1 csc, tổng bằng 16, tổng bình phương 84 Gọi a,b,c,d là 4 số hạng Thế f=4 từ (1) vào (2): (2)4.42+20x2=84x2=1x=1 +)x=1;2x=2;a=f-3x=1=>csc: 1,3,5,7 +)x=-1=> csc : 7,5,3,1 Đặt f=(b+c)/2 và 2x là công sai Tổng bằng 16,Tổng bình phương 84 10)csc: u2+u3+u7+u10+u14+u15=150.Tính a)u2+u15 10)csc: u2+u3+u7+u10+u14+u15=150(1).Tính a)u2+u15 C1:2+15=3+14=7+10 =>u2+u15=u3+u14=u7+u10=150:3=50 C2 (1)6u1+45d=1502u1+15d=50 +)u2+u15=2u1+15d=50 b)u8+u9 =2u1+15d= 50 c)S16 =16(2u1+15d)/2=8.50=400 11)x=? Để có csc: 10 -3x, 2x2+3, 7 - 4x 11)x=? Để có csc: ycbt10 – 3x + 7 – 4x = 2.(2x2+3) 4x2 + 7x – 11 = 0 x = 1; x = -11/4 a)10 -3x, 2x2+3, 7 - 4x b)3x+2,x2+5x+4,x3+8x+6 ycbt3x+2+x3+8x+6=2(x2+5x+4) x3 – 2x2+x = 0x=0, x = 1 12)3 góc của 1 tam giác vuông lập thành 1 csc.Tìm Giả sử góc A C=900=>A+B = 900(1) Mặt khác: A,B,CA+C= 2BA+900=2B(2) Giải hệ (1) và (2)=>A=300;B=600. 13.Tính:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2 Ta có: (2k-1)2 –(2k)2=[(2k-1)-2k][(2k-1)+2k]= -(4k -1) Đặt A=12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2 =>A= -[3+7+11+…+(4n-1)] -A là tổng csc có:u1=3;d=4,n số hạng =>A=-n[2.3+(n-1).4]/2=-n(2n+1) 14)Gpt: 1+4+7+…+x=92;xN* 14)Gpt: 1+4+7+…+x=92;xN* =>Vế trái là tổng của một csc có u1=1;un=x;d=4-1=3 Vậy: (3n2-n)/2=923n2- n – 184 = 0(nN*) n=8(nhận),n=-23/3(loại) Do đó: x = u8=u1+7d=1+21=22 ( có n số hạng) DẠNG II: CÁC BÀI TẬP CHỨNG MINH PP: 1.Dùng công thức un;Sn của csc 2.Dùng t.c: a,b,c  a + c = 2b (a+b)(a+c)+(b+c)(c+a)=2(b+c)(a+b) a2+ac+ab+bc+bc+ab+c2+ac=2(ab+b2+ac+bc) a2+c2=2b2 (a+b)(a+c)+(b+c)(c+a)=2(b+c)(a+b) a2+ac+ab+bc+bc+ab+c2+ac=2(ab+b2+ac+bc) a2+c2=2b2 a2,b2,c2 là 1 csc 14)Cho  a,b,c .c/m : a)a2+2bc = c2 +2ab; Gt=>a+c=2b =>a2+2bc=a2+(a+c)c= =a2+ac+c2=a(a+c)+c2=2ba+c2(đpcm) b)a2+ 8bc= (2b+c)2 c) a2+ab+b2 ; a2+ac+c2; b2+bc+c2 =>a2+8bc=(2b-c)2+8bc=4b2-4bc+c2+8bc Ta có:a+c = 2ba = 2b –c=>a2=(2b+c)2  a2+ab+b2 ; a2+ac+c2; b2+bc+c2 (a2+ab+b2)+(b2+bc+c2)= 2(a2+ac+c2)b(a+c+2b)= (a+c)2b.4b=(2b)2 =>a2+8bc =4b2+4bc+c2 =(2b+c)2 -(đpcm) Ta có:a+c=2b=>a+c+2b=4b=>b(a+c+2b)=4b2 =>b(a+c+2b)=(a+c)2=>ab+ac+2b2=a2+c2+2ac =>(a2+ab+b2)+(b2+bc+c2)=2(a2+ac+c2) =>…. là csc §4.CẤP SỐ NHÂN DẠNG I : BÀI TẬP TÍNH TOÁN PP : csn u1 ,u2 ,…, un , … Un = un-1q = u1qn-1 (Mỗi số hạng bằng số hạng kề ngay trước nhân 1 số k0 đổi) Bài 1: cm dãy sau là csn =>(un) là csn có công bội q=2 Nx: csn có dạng: a.bn có q=b =>(un) là csn có công bội q=1/2 =>(un) là csn có công bội q=-1/2 2.Cho csn a)u1=2;u6=486. Tìm q u6=486u1q5=486 2q5=486q5=35q=3 b)q=2/3;u4=8/21. Tính u1 u1=u4/q3=8/21:(8/27)=9/7 c)u1=3;q=-2;192 là số hạng thứ mấy? Ta có: un=192u1qn-1=192(-2)n-1=64=(-2)6n-1=6n=7 Vậy 192 là số hạng thứ 7 3.Tìm csn có 5 số hạng: +)csn: 1/3;1;3;9;27 +)csn:1/3;-1;3;-9;27 Chia theo vế (1) cho (2);(u1(q2-1)≠0) ta có:q=1/2 Chia theo vế (1) cho (2);(u1(q2-1)≠0) ta có:q=1/2 4.Tìm csn 6 số hạng:tổng 5 số hạng đầu là 31;tổng 5 số hạng sau là 62 =>csn : 1;2;4;8;16;32 3.Tìm csn 5 số hạng =>q=2;thế vào (1) =>u1.31=31u1=1 22.(DC)Xác định số hạng thứ 6 of csn: a)3;9;27;… Ta có: q=u2/u1=3 =>u6=u1q5=3.35=729 b)2;-8;32;… Ta có: q=u2/u1=-4 =>u6=u1q5=2.(-4)5=-2048 c)-4;1;-1/4;… Ta có: q=u2/u1=-1/4 =>u6=u1q5=(-4).(-1/4)5=1/256 23.Tìm u1 và Sn của csn: a)u7=192;q=2;n=7 u7=192u1.26=192u1=192/64=3 b)u6=32/81;q=-2/3;n=6 u6=32/81u1.(-2/3)5=…u1=-3 a)Có 5 số hạng;u1=3;u5=243 u5=2433.q4=243q=±3 24.Tìm u1 và q of csn: b)5 số hạng.Tích số hạng đầu và thứ 3 là 1, tích số hạng thứ 3 và cuối là 1/16;u1>0. Tìm csn Chia theo vế 2 pt cho nhau ta được: q4=1/16 q =±1/2 Thế vào (1):u12q2=1 u12=4u1 = 2 =>csn : 2, ± 1, ½, ±¼ , 1/8 4+42+…+4n là tổng n số hạng đầu of 1 csn có u1=4;q=4 1/4+1/42+…+1/4n là …of 1 csn có u1=1/4;q=1/4 26.Số đo 4 góc 1 tứ giác tạo 1 csn, góc lớn nhất bằng 8 lần góc nhỏ nhất. Tìm các góc. 26.Số đo 4 góc 1 tứ giác tạo 1 csn, góc lớn nhất bằng 8 lần góc nhỏ nhất. Tìm các góc. Giả sử A là góc bé nhất=>A.q;A.q2;A.q3 là 3 góc khác(q>1) A=24;q=2 Vậy 4 góc có số đo là: 240;480;960;1920. DẠNG II: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH PP : cấp số nhân a,b,c  ac = b2 7)Cho csn thỏa:q0;u1 0;. Cm: um=uk qm-k(m>k) (1)u1qm-1=(u1qk-1).qm-k u1qm-1=u1qm-1( đúng) 9)Tồn tại? Csn mà u2=5;u22= -2000 u22=u2q20q20=-2000:5k0 tồn tại csc như thế 12(27DC)cm: nếu (a2+b2)(b2+c2)=(ab+bc)2 thì có csn:a,b,c (a2+b2)(b2+c2)=(ab+bc)2a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2ab2c+b2c2 (b2-ac)2=0b2=aca,b,c là csn( đpcm) 32DC)Cho csn : a,b,c;cm: a)(bc+ca+ab)3=abc(a+b+c)3(1) VT=(bc+b2+ab)3=b.b2(a+b+c)3=abc(a+b+c)3=VP b)(a2+b2)(b2+c2)=(ab+bc)2(Giống 12DC) c)(a+b+c)(a-b+c)=a2+b2+c2(3) VT=(a+c)2-b2=a2+2ac+c2-b2 =a2+c2+2b2-b2=a2+b2+c2=VP 1SGKNC)csc: a,b,c và csn: b,a,c. Tìm q, biết d0 2)csc: a,b,c có S = 6 và là số hạng đầu,4,7 của 1 csn. Tìm a,b,c. (1)c= 2b – a. Thế vào (2) (2)b(2b–a)=a2a2+ab–2b2=0(a–b)(a -2b)=0 +)a=b(loại, vì d=0) +)a=2b=>d= -b=>c= 0 =>q=a/b= 2 TỔNG HỢP Gọi q là công bội of cs: 2)csc: a,b,c có S = 6 và là số hạng đầu,4,7 của 1 csn. Tìm a,b,c. Gọi q là công bội of cs: Từ (1)=>a≠0 nên : =>a=b=c=6. mà a+b+c=6=>a=b=c=2 (2)1+q6=2q3q3=1q=1 Vậy :a=b=c=2 3)(un) có: u1=1;un+1=5un+ 8 a)Cm (vn):vn=un+2 là 1 csn.Tìm số hạng TQ của nó b)Dựa k.quả đó, tìm số hạng TQ của (un) a)v1=u1+2 = 3 vn+1=un+1+2 = 5un+10=5(un+2)=5vn =>dãy vn là csn có v1=3;q=5 Số hạng TQ: vn=u1.qn-1= 3.5n-1. b)Ta có: un=vn- 2 = 3.5n-1 - 2 28DC)Tìm a,b, biết b,a,3a+b là csc và b+2,a,a+b là csn Gt ta có: (1)a = -2b, thế vào (2): (b+2)(b-2b)=(-2b)25b2+2b=0b=0,b=-2/5 +)b=0=>a=0; b=-2/5=>a= 4/5 29DC)3 cạnh of 1 t.giác vuông lập 1 csn.Tính tang các góc nhọn Gọi csn a,b,c (a>b>c>0).Ta có: (2)a=b2/c, thế vào (1): b4/c2=b2+c2b4 – b2c2- c4=0. Chia 2 vế cho c4. b4/c2=b2+c2b4 – b2c2- c4=0 Chia 2 vế cho c4. (do góc B nhọn); tgC=c/b= 30DC.x1;x2 ngh pt:x2-3x+A=0;x3;x4 là ngh pt:x2-12x+B=0 Csn: x1;x2;x3;x4; có q>1.Tìm A,B Đặt x1=m;Ta có: =>mq(1+q)≠0;Chia theo vế: Ta có:q2=4q=2(q>1)=>m=1 Mặt khác:A=x1x2=m2q=2 B=x3x4=m2q5=32 (A,B thỏa đk có ngh) 31.Tính: B=1+11+111+…+11…1(n chữ số 1) Ta có:9B=9+99+…+99…9 =(10-1)+(100-1)+…+(10n-1)=(10+100+…+10n ) - n C=3+33+333+…+33…3(n chữ số 3) t.Tự; 3C=9+99+…+99..9=>C=3B; tquat: k+kk+..=>nhân 9/k 33)Tìm csn :a,b,c,d, e; biết a+c+e=21;b+d=10 VP>0=>VT>0.Chia theo vế ta có: =>10q4-21q3+10q2-21q=0 10(q4+q2)-21(q3+q)=0 10q4-21q3+10q2-21q+10=0 Chia 2 vế cho q2, được: Đặt t = q+1/q;đk |t|2 ta có pt: 10t2 -21t – 10=0 t=5/2; t = -2/5(loại) +)q+1/q=5/2q=2 hay q=1/2 +)q=2=>a=1=>csn:1;2;4;8;16 +)q=1/2=>a=16=>csn:16;8;4;2;1 34)Tìm a,b; biết 1,a,b là csn; 1,a+8,b là csc VP>0=>VT>0.Chia theo vế ta có: q=0=>10=0,vô lí=>q0 10(q4+1)-21(q3+q)+10q2 =0 34)Tìm a,b; biết 1,a,b là csn; 1,a+8,b là csc Theo t.c cac, csn ta có: Thay b=a2 từ pt 1 vào pt 2: a2+1=2(a+8)a=3 hoặc a= -5 Vậy: a=3=>b=5 hoặc a= -5=>b=25 35(TDN).tìm x,y để có csn: x+2, x+14, x+50 ycbt(x+2)(x+50)=(x+14)2-24x+96=0x=4 36.cm: csn a,b,ccsc 2/(b-a), 1/b,1/(b-c); (a,b,c phân biệt) csc :2/(b-a), 1/b, 1/(b-c)2/(b-a)+1/(b-c)=2/b 2(b-c)b+b(b-a)=2(b-a)(b-c)2b2-2bc+b2-ab=2(b2-bc-ab+ac) ac=b2csn: a,b,c (đpcm) 37.Tính Sn là tổng các số hạng đầu tiên of csn có u1=1;q=1/2;un=1/1024 u1qn-1=1/10242n-1=1024n=11 Sn là tổng các số hạng đầu tiên of csn có u1=1;q=1/2;un=1/32 u1qn-1=1/32(2)n-1=32n=10 38.Cho csn (un);cm: Sn(S3n-S2n)=(S2n-Sn)2 SnS3n=S2n2-S2nSn+Sn2 Sn(S3n+S2n) =S2n2+Sn2 (qn-1)[q3n-1)+q2n-1)]=(qn-1)2+(q2n-1)2 q5n-qn-q3n+q3n-qn-q2n+2=….(đúng) 39.Tìm phân số sinh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn: A=0,191919… A=0,19+0,0019+…. =>A là tổng csn lùi vô hạn 39.Tìm phân số sinh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn: A=0,191919… A=0,19+0,0019+…. =>A là tổng csn lùi vô hạn có u1=0,19;q=0,01 B=10,123123… Ta có: B=10+0,123123…=10+B’ B’=0,123+0,000123 là tổng csn lùi vô hạn;u1=0,123;q=0,001 C=5,24747…=5,2+0,047+0,00047+…=5,2+0,047/0,99=1039/198 40.Tìm csn a,b,c thỏa tổng bằng 7 và tổng lập phương 21 Gọi x là công bội Rút a từ pt 1 thế pt 2: 49(1+x3+x6)=3(1+x+x3)3(1) Ta có:(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)(*) Áp dụng (*) ta có:(1) 49(1+x3+x6)=3[(1+x3+x6)+3(1+x)(x+x2)(x2+1)] 46(1+x3+x6)=9x(1+x)2(x2+1) 1+x3+x6=(x3+1/2)2+3/4>0=>VT>0 nên VP có x>0 Chia 2 vế cho x3 ta có: 40.Tìm csn a,b,c thỏa tổng bằng 7 và tổng lập phương 21 Gọi x là công bội Ta có:(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)(*) 46(1+x3+x6)=9x(1+x)2(x2+1) Chia 2 vế cho x3 ta có: Đặt t=1+1/x;theo bđt cosi:x+1/x2 (2)46(t3-3t+1)=9(t+2)t(t-2)(46t2+83t+10)+66=0 VT66=>pt VN CHƯƠNG IV – GIỚI HẠN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DẠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ: PP: 1)limun=alim(un-a)=0 2)Nếu limun=a thì: a)lim|un|=|a| b)lim c)un0 thì a 0 và limun=a 7)|un|