Chương VII Cơ học lượng tử

CHƯƠNG VII CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Lưỡng tính sóng hạt của vi hạt 1. Lưỡng tính sóng hạt của vi hạt Xét một chùm ánh sáng đơn sắc song song. Phương trình dao động sáng tại O: Phương trình dao động sáng tại mọi điểm trên mặt sóng qua M cách mặt sóng qua O một khoảng d: t2cosA)t(x  ) d2 -tcos(A ) d -t(2cosA) c d -t(2cosA) c d -t(x      Gọi n là véc tơ đơn vị theo phương truyền sóng, ta có: Hàm sóng ánh sáng phẳng đơn sắc: Thay Hàm sóng ký hiệu ψ n.rcosrd  ) n.r t(2cosA) c d t(x     2 ,, hh p h E           rpEt i expo  II. Giả thuyết De Broglie về lưỡng tính sóng hạt của vi hạt Một vi hạt tự do có năng lượng xác định, động lượng xác định thì tương ứng với một sóng phẳng đơn sắc. Năng lượng của vi hạt: Động lượng của vi hạt: Hàm sóng De Broglie của vi hạt tự do:   EhayhE kphay h p              rpEt i expo  III. Thực nghiệm xác định lưỡng tính sóng hạt của vi hạt 1. Nhiễu xạ của electron qua khe hẹp 2. Nhiễu xạ của electron trên tinh thể HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG Xét sự nhiễu xạ của chùm vi hạt qua khe hẹp độ rộng b. Sau khi đi qua khe hẹp hạt bị nhiễu xạ theo nhiều phương khác nhau Xét tọa độ của hạt theo phương x. Độ bất định về tọa độ của vi hạt: Δ ≈ b Hình chiếu véc tơ động lượng của vi hạt theo trục x: 0≤ px≤ psinφ Độ bất định về hình chiếu động lượng của vi hạt theo trục x: Δpx ≈ psinφ Xét trường hợp các hạt rơi vào cực đại giữa: Δpx ≈ psinφ1 Lập luận tương tự ta có: Δy.Δpy ≈ h Δz.Δpz ≈ h Ý nghĩa: Vị trí và động lượng của vi hạt không được xác định đồng thời. Quy luật vận động của vi hạt theo quy luật thống kê. Hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian ΔE.Δt ≈ h    h p b  ,sin 1 hppbpx x   .sin.. 1 HÀM SÓNG Hàm sóng của vi hạt tự do: Trong đó: Nếu hạt chuyển động trong trường lực thế thì hàm sóng là hàm phức tạp của tọa độ và thời gian     rktiexprpEtiexp oo       )t,z,y,x()t,r(  kp;E   *22 o  Ý nghĩa thống kê của hàm sóng Xét chùm hạt phôtôn truyền trong không gian xung quanh điểm M. Bao quanh M bằng thể tích ΔV Theo quan điểm sóng: Cường độ sáng tại M tỉ lệ với ψ0 2 Theo quan điểm hạt: Cường độ sáng tại M tỉ lệ với số hạt trong đơn vị thể tích bao quanh M Số hạt trong đơn vị thể tích bao quanh M tỉ lệ với ψ0 2 Số hạt trong đơn vị thể tích càng lớn khả năng tìm thấy hạt càng lớn. Vậy ψ0 2 hay |ψ|2 là mật độ xác suất tìm thấy hạt Xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V: 1dV 2 V   Điều kiện của hàm sóng - Hàm sóng phải hữu hạn - Hàm sóng phải đơn trị - Hàm sóng phải liên tục - Đạo hàm bậc nhất của hàm phải liên tục PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER Hàm sóng De Broglie: Trong đó thành phần phụ thuộc vào tọa độ:                Et i exp)r(rpEt i exp)t,r( o       rp i exp)r( o       )zpypxp( i exp)r( zyxo  Lấy đạo hàm ∂ψ/∂x ta được: Lấy đạo hàm bậc hai: Tương tự cho các biến y và z )r(p i x x           )r( p )r(p i x 2 2 x2 x2 2 2 2     )( 2 2 2 2 r p y y       )( 2 2 2 2 r p z z       Trong hệ tọa độ Đêcac Gọi Eđ là động năng của hạt: )r( zyx )r( 2 2 2 2 2 2                   )r( p )r( ppp )r( 2 2 2 2 z 2 y 2 x     dđ mEphay m pmv E 2 22 2 22  0)r(E m2 )r( d2   Nếu hạt chuyển động trong trườnglực có thế năng U không phụ thuộc vào thời gian: Eđ = E – U Phương trình Schrodinger cho hạt ở trạng thái dừng;   0)r()r(UEm2)r( 2   Ứng dụng phương trình Schrodinger 1. Hạt trong giếng thế một chiều Xét hạt nằm trong giếng thế một chiều cao vô hạn: Phương trình Schrodinger: Đặt:       ax,0xkhi ax0khi0 U 0 mE2 dx d 22 2    2 2 mE2k   02 2 2    k dx d Nghiệm của phương trình: Từ điều kiện liên tục của hàm sóng: Vậy hàm sóng có dạng: kxcosBkxsinA)x(      ,...3,2,1,0sin 00)0sin()0(   n a n kkaAa BBA   x a n sinA)x(n   Để tìm A dùng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng: Vậy hàm sóng: Nhận xét: - Mỗi trạng thái có một hàm sóng. -Năng lượng của hạt trong giếng thế biến thiên gián đoạn. - Mật độ xác suất tìm thấy hạt trong giếng thế: a A aA dxx a nA xdx a n A aa 2 1 2 ) 2 cos1( 2 sin 2 0 2 2 0 2    x a n sin a 2 )x(n   2 2 22 n n ma2 E   x a n sin a 2 )x( 2 2 n   2. Hiệu ứng đường ngầm Xét hạt mang năng lượng E chuyển động theo trục x theo chiều từ trái sáng phải E < U0 Miền I Miền II Miền III          ax0 ax0U 0x0 U o 2 2 11 2 12 1 2 2 ;0  mE kk dx d     EUmkk dx d  02 2 22 2 22 2 2 2 ;0    0k dx d 3 2 12 3 2   Nghiệm của phương trình: Trong miền III không có sóng phản xạ nên B3 = 0 Hệ số truyền qua hàng rào D Hệ số phản xạ R xik 1 xik 11 11 eBeA)x(  xk 2 xk 22 22 eBeA)x(   )ax(ik 3 )ax(ik 33 11 eBeA)x(   2 1 2 3 A A D  2 1 2 1 A B R  Để tìm D và R dùng điều kiện hàm sóng: Giải hệ phương trình tìm được:       322232 32232 22211121 221121 22 22 )()( )()( )0()0( )0()0( ikAeBeAkaa AeBeAaa BAkBAik BABA akak akak           ak 31 2eA n2 ni 2 in1 A                EU E k k n 02 1            EUm a D 02 2 exp  Sóng hạt Song-hat.exe