Chuyên đề Các phép tính về căn thức

Buæi 1: CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN THỨC Dạng 1: Tìm điều kiện để căn thức xác định ( có nghĩa) Kiến thức ghi nhớ: xác định (hay có nghĩa) khi A ≥ 0 (GV nên nhấn mạnh chổ này vì một số HS hay nhầm khi viết ≥ 0) Ví dụ 1: Tìm điều kiện để các căn thức sau có nghĩa: a, b, Ví dụ 2: Với giá trị nào của x thì các căn thức sau xác định: a, b, ( GV nhấn mạnh HS: Phân thức trong căn có tử và mẫu cùng dấu nhưng mẫu phải khác 0) Ví dụ 3: Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa: ( Nhấn mạnh HS cách kết hợp điều kiện ) Ví dụ 4 : ( Dành cho HS khá giỏi) Tìm điều kiện để các căn thức sau xác định a, b, Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức VD1: Tính: ( Nhấn mạnh HS khi mở | a – b| nếu a < b thì | a – b | = b – a. Đổi chổ hai số ) VD2: Tính: a, b, với a ≥ 1 VD: Rút gọn: với x > 0, x ≠ 1 Dạng 3: Sử dụng các phép khai phương, nhân chia căn bậc hai: Ví dụ: a, b, Dạng 4: Sử dụng các phép biến đổi căn bậc hai 1, Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: với b>0 Ví dụ 1: Rút gọn: a, b, Ví dụ 2: Rút gọn: 2, Khử mẫu VD: a,; b,; c, ( a > 0) 3, Trục căn thức ở mẫu: TH1: Phân tích tử chứa thừa số là mẫu: Ví dụ: Rút gọn: a, b, c, TH2: Nhân thêm với căn ở mẫu Ví dụ: a, b, ( a > 0 ) TH3: Nhân với biểu thức liên hợp: ( Lưu ý HS: . Sau khi nhân với biểu thức liên hợp những số hạng ở mẫu nếu chứa căn thì mất căn, nếu không chứa căn thì phải bình phương và mẫu luôn là hiệu) Ví dụ: a, b, c, d, Buæi 2: CHUYÊN ĐỀ 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC TỔNG QUÁT Lưu ý HS một số công thức: Với a ≥ 0 thì: a = ; Dạng 1: Phân tích tử thành tích có chứa nhân tử là mẫu Ví dụ 1: Rút gọn: với a ≥ 0, a ≠ 1; VD2: Rút gọn: với a ≥ 0, a ≠ 1; Dạng 2: Quy đồng mẫu nhưng có một mẫu là mẫu chung VD1: Cho M = với x > 0, x ≠ 1. a, Rút gọn M b, Tìm x sao cho M ≤ 0 VD2: Cho biểu thức K = với x > 0, x ≠ 1 a, Rút gọn b, Tính giá trị của K tại x = VD3: Cho P = với x ≥ 0, x ≠ 4 a, Rút gọn P b, Tìm x để P = 2 Dạng 3: Quy đồng mẫu với mẫu chung là tích các mẫu VD1: Cho Q = với a > 0, a ≠ 1 a, Rút gọn b, Tìm x để Q ≥ -2 Dạng 4 : Dạng tổng hợp ( dành cho HS khá giỏi) ( GV lấy thêm các ví dụ) VD: Cho P = với x > 0 a, Rút gọn b, Tìm x để P > Buæi 3: CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Giải hệ PT bằng phương pháp cộng đại số VD1: Giải các hệ PT a, b, VD2: Giải các hệ PT: a, b, VD3: Giải các hệ PT a, b, Biện luận hệ PT VD1: Cho hệ PT : Tìm a, b để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2; -1) VD2: Cho hệ PT: a, Giải hệ với m =2 b, Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m III. Giải hệ PT bằng PP thế: ( Nếu có thời gian các đ/c tìm thêm một số ví dụ về các hệ PT mà phải giải bằng PP thế) Buæi 4:CHUYÊN ĐỀ 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ y = ax + b ( a ≠0) Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số: Điểm cắt trục tung: x = 0; y = b (0 ; b) Điểm cắt trục hoành: y = 0; x = - b/a ( - b/a ; 0 ) VD1: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x – 3 VD2: Vẽ đồ thị hàm số : y = –x + 5 ( Lưu ý HS: Nếu a > 0 thì đồ thị hàm số có chiều đi lên từ trái qua phải, nếu a < 0 thì đồ thị hàm số có chiều đi xuống) Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến: VD: Với giá trị nào của m thì hàm số y = ( m +2)x – 3 đồng biến trên tập xác định. Dạng 3: Tìm số hạng chưa biết của hàm số: Lưu ý HS: Cho hai hàm số y = ax + b và y = mx + n ( a, m ≠ 0). Đồ thị của hai hàm số Cắt nhau khi a ≠ m ( Cắt nhau tại điểm trên trục tung khi a ≠ m và b = n) Song song với nhau khi a = m, b ≠ n Trùng nhau khi a = m, b= n Đồ thị của hàm số y = ax + b song song với trục hoành khi a = 0, b ≠ 0. VD1: Cho hàm số y = 3x + b. Tìm b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M ( 1; -2) VD2: Tìm m để đường thẳng y = 2x -1 và đường thẳng y = 3x + m cắt nhau tại một điểm trên trục hoành? VD3: Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M ( 2; ½) và song song với đường thẳng 2x + y = 3 . Tìm a và b ? VD4: Biết đường thẳng y = ax + b điqua điểm P ( -1;2) và cắt đường thẳng y = 2x – 3 tại một điểm trên trục tung. Tìm a và b? VD5: Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(2; 3) và điểm B(-2; 1). Tìm a và b? VD6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có PT: y = (m -1 )x + n a, Với giá trị nào của m và n thì d song song với trục Ox b, Xác định phương trình của d, biết d đi qua điểm A (1; -1) và có hệ số góc bằng -3 Buæi 5: CHUYÊN ĐỀ 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ax2 + bx + c = 0 Nhắc lại công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn Dạng 1: Giải PT bậc hai khuyết VD: Giải PT: a, x2 + 5x = 0 b, 2x2 – 8 = 0 Dạng 2: Giải PT dạng a + b + c = 0 hoặc a – b + c =0 VD: Giải các PT: a, x2 + 4x – 5 = 0 b, 2x2 – 7x – 9 = 0 Dạng 3: Dùng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn VD 1: Giải các PT: a, x2 + 5x + 6 = 0 b, 4x2 + 12x + 9 = 0 c, 2x2 – 5x + 4 = 0 ( GV lấy thêm một số VD nữa để rèn luyện thành thạo kỹ năng cho HS. Chú ý: nên chọn các PT có nghiệm là số nguyên) VD 2: Giải các PT a, x2 – 3x + 1 = 0 b, – x2 + 6x – 8 = 0 ( Nhắc HS nên đổi dấu trước khi giải) c, 2x2 + x – 1 = 0 ( Nhắc HS quy đồng trước khi giải) Dạng 4: Giải PT trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 Lưu ý HS: Đặt y = x2 ≥ 0. Giải PT ay2 + by + c = 0 và chỉ lấy các nghiệm y ≥ 0 VD: Giải các PT: a, x4 + 3x2 – 4 = 0 b, x4 – 6x2 + 8 = 0 Buæi 6:CHUYÊN ĐỀ 6: BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dạng 1: Tìm điều kiện để PT vô nghiệm, có nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt PT vô nghiệm : a ≠ 0, D < 0 PT có nghiệm : a ≠ 0, D ≥ 0 PT có nghiệm kép: a ≠ 0, D = 0 PT có hai nghiệm phân biệt: a ≠ 0, D > 0 VD1: Cho PT: x2 + 3x + m – 1 = 0. Với giá trị nào của m thì PT a, Có nghiệm b, Có nghiệm kép c, Vô nghiệm VD2: Cho PT (m + 1)x2 – 4x + 1 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm? Dạng 2: Tìm đk để PT có hai nghiệm trái dấu : a.c < 0 VD: Cho PT : x2 – 6x + m = 0 Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu? Dạng 3: Tìm đk để PT có hai nghiệm cùng dấu VD: Cho PT: x2 + 5x + m +2 = 0. Tìm m để PT có hai nghiệm cùng dấu? Dạng 4: Tìm đk đề PT có hai nghiệm dương phân biệt VD: Cho PT: mx2 – 6x + 1 = 0. Tìm m để PT có hai nghiệm dương phân biệt Dạng 5: Tìm đk để PT có hai nghiệm âm phân biệt Dạng 6: Tìm đk để pt có nghiệm x = α PT ax2 + bx + c = 0 có nghiệm bằng α khi aα2 + bα+ c = 0 VD: Cho PT : x2 + 2(m + 1) x + m2 = 0 a, Giải PT với m = 5 b, Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng -2 Dạng 7: Chứng minh PT đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt PT bậc hai luôn có hai ngiệm phân biệt khi ac < 0 VD: Cho PT ẩn x : x2 + 4mx – 3 = 0 CMR: PT luôn có hai nghiệm phân biệt Buæi 7:CHUYÊN ĐỀ 7: CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG HỆ THỨC VIET Dạng 1: Tính x1 + x2; x1 x2 ( Lưu ý HS: Nếu đề bài ghi rõ: Cho x1, x2 là hai nghiệm của PT thì không phải tính D. Còn không thì trước hết phải tính D) VD: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của PT x2 – 6x + 2 = 0. Tính x1 + x2; x1.x2 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức A = mx1 + n x1x2 + mx2 VD: Cho x1, x2 là hai nghiệm của PT: x2 + 7x – 3 = 0. Tính giá trị biểu thức: P = 8x1 – 4x1x2 + 8x2 Dạng 3: Tính ; x12 + x22; x13 + x23; VD1: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của PT 3x2 – x – 2 = 0. Tính P = VD2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của PT x2 – x – 3 = 0. Tính P = x12 + x22 Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số VD1: Cho PT: x2 – 2mx + 4 = 0 Tìm m để PT có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn (x1 + 1)2 + (x2 + 1)2 = 2 VD2: Cho PT x2 - 2mx – 1 = 0 a, CMR: PT luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b, Tìm m để x12 + x22 – x1x2 = 7 VD3: Cho PT : x2 – 6x + m = 0 Tìm m để PT có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : x1 – x2 = 4 VD4: Cho PT : x2 – (2m + 1)x + m2 + 5m =0 a, Giải PT với m = -2 b, Tìm m để PT có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6 Dạng 5: Lập biểu thức không phụ thuộc m VD: Cho PT : x2 – 2 (m – 1)x –m – 3 = 0 a, Giải PT với m = -3 b, Tìm m để PT có hai nghiệm thỏa mãn: x12 + x22 = 10 c, Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m Buæi 8,9:CHUYÊN ĐỀ 8: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Toán chuyển động: S = vt; v = Dạng 1: Chuyển động cả đi và về Lưu ý HS: Quảng đường đi bằng quảng đường về, khác nhau về vận tốc nên thời gian khác nhau VD: Một người đi xe máy từ A đến B cách A 60 km. Khi từ B trở về A do trời mưa, người đó giảm vận tốc chậm hơn khi đí là 10 km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc khi đi? Dạng 2: Chuyển động cùng chiều( đuổi nhau) Lưu ý HS: Quảng đường đi thường bằng nhau, xe có vận tốc nhanh hơn đến trước VD: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quảng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10 km nên đến B trước ô tô thư hai là 0,4 giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô? Dạng 3: Chuyển động ngược chiều: Lưu ý HS: Khi hai xe gặp nhau thì tổng quảng đường hai xe đi được bằng chiều dài quảng đường. VD: Một xe lửa từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe lửa gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300 km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giải thiết rằng quảng đường sắt Huế - Hà Nội dài 645 km. Dạng 4: Chuyển động trên sông: Lưu ý HS: Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - Vận tốc dòng nước VD: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi lãn về là 5 giờ ( Không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km/h Dạng 5: Chuyển động vòng tròn ( Dành cho HS khá giỏi) Lưu ý HS: - Khi hai vật chuyển động ngược chiều gặp nhau thì tổng quảng đường hai vật đi được bằng độ dài đường tròn - Khi hai vật chuyển động cùng chiều gặp nhau thì vật đi nhanh đi hơn vật đi chậm 1 vòng tròn II. Toán tìm số: VD1: Một xe lửa cần vận chuyển một lượng hàng. Nếu xếp mỗi toa 15 tấn hàng thì còn thừa 5 tấn, còn nếu xếp mỗi toa 16 tấn thì có thể chở thêm 3 tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng. VD2: Một đoàn xe chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 8 tấn. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc, biết rằng các xe chở khối lượng hàng bằng nhau. VD3: Một phòng họp có 360 chổ ngồi và được chia thành các dãy có số chổ ngồi bằng nhau. Nếu thêm cho mỗi dãy 4 chổ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chổ ngồi trong phòng không thay đổi. Hỏi ban đầu số chổ ngồi trong phòng học được chia thành bao nhiêu dãy. III. Toán hình học: Lưu ý HS: - Diện tích hình chữ nhật = chiều dài x chiều rộng Diện tích tam giác vuông = (Cạnh góc vuông x cạnh góc vuông) : 2 VD1: Tính các kích thước của một hình chữ nhật có diện tích bằng 40 cm2, biết rằng nếu tăng mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2 VD2: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2 m, chiều rộng thêm 3 m thì diện tích tăng thêm 100 m2. Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm 68 m 2. Tính diện tích thửa ruộng? IV Toán số phần công việc: ( Dành cho HS khá giỏi) Lưu ý HS: Nếu làm một công việc hết x ngày(giờ) thì một ngày( giờ) làm được 1/x công việc VD: Hai người cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất ít hơn thời gian người thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải mất bao lâu để hoàn thành công việc. Buæi 10:CHUYÊN ĐỀ 9: CÁC BÀI TOÁN VỀ TƯƠNG QUAN GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Xác định tọa độ giao điểm: Lưu ý HS: Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = mx + n và Parabol y =ax2 là nghiệm của PT : ax2 = mx + n VD: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng y = - x + 2 và Parabol y = x2 Dạng 2: Tìm hệ số a của hàm số y = ax2 VD: Biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm M(-2;1/4). Tìm a? Dạng 3: Biện luận số giao điểm: Số giao điểm của đường thẳng y = mx + n và parabol y = ax2 là số nghiệm của PT: ax2 = mx + n (1) Nếu (1) vô nghiệm thì đường thẳng không cắt Parabol( Không có điểm chung) Nếu (1) có nghiệm kép thì đường thẳng tiếp xúc Parabol( Có 1 điểm chung) Nếu (1)có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt Parabol( Có 2 điểm chung) VD: Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = 3x + m cắt parabol y = 2x2 tại hai điểm phân biệt CHUYÊN ĐỀ 10: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT ( Dành cho học sinh khá giỏi) GV giới thiệu cho HS các BĐT Côsy, Bunhiacopsky và một số BĐT đặc biệt khác VD: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = ( GV lấy thêm các ví dụ trong bộ đề thi) CHUYÊN ĐỀ 11: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ, PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ( Dành cho học sinh khá giỏi) VD: Giải PT : ( GV lấy thêm các ví dụ trong bộ đề thi)