Chuyên đề Các vấn đề về đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Năm học: 2010-2011 Nhóm thực hiện: Dương Minh Thông Phạm Hữu Hiệp Nguyễn Trung Sơn Đặng Hoàng Long Huỳnh Tuấn Trường Chuyªn ®Ò Trường THPT Chuyên Tiền Giang C ác bạn đọc giả thân mến! Nhằm giúp các bạn học sinh có điều kiện hiều sâu hơn về chuyên đề “phương trình đường thẳng”, đồng thời khơi dậy ở các bạn sự yêu thích và lòng say mê với bộ môn hình học ở trường THPT, nhóm học sinh chúng tôi đã biên soạn cuốn chuyên đề “phương trình đường thẳng ”. Chúng tôi nhận thấy bên cạnh sách giáo khoa, các bạn học sinh cần phải nâng cao kiến thức, kĩ năng toàn diện để chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học. Cuốn chuyên đề sẽ là một tài liệu hữu ích cho các bạn tự củng cố và bồi dưỡng kiến thức hình học của mình. Các bạn có thể sử dụng cuốn chuyên đề như một tài liệu ôn tập tốt trong các kì thi tốt nghiệp THPT cũng như các kì thi học sinh giỏi. Hy vọng với cuốn sách này, các bạn học sinh sẽ thêm yêu mến bộ môn hình học, tự tin trong quá trình học tập và nghiên cứu toán sau này. Mặc dù chúng tôi đã cố gắng hết mình để cuốn chuyên đề được hoàn hảo nhất nhưng chắc hẳn nó vẫn còn nhiều thiếu sót, xin các bạn hãy lượng thứ và xin các bạn hãy đóng góp ý kiến cho chúng tôi về địa chỉ :”lớp 10 Toán, trường THPT Chuyên Tiền Giang” để chúng tôi có thật nhiều kinh nghiệm trong các cuốn chuyên đề sau. Cuối cùng chúng em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Tấn Đạt đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để chúng em hoàn thành quyển chuyên đề này! (Nhóm học sinh lớp 10 Toán) Sô löôïc veà ñöôøng thaúng: Một đường thẳng được hiểu như là một đường dài (vô hạn), mỏng (vô cùng) và thẳng tuyệt đối. Trong hình học Euclide, có một và chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ khác nhau. Đường thẳng này tạo ra đoạn nối ngắn nhất giữa hai điểm đó. Hai hay ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng được gọi là cộng tuyến. Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng khác nhau hoặc là song song tức không bao giờ gặp nhau, hoặc giao nhau tại một và chỉ một điểm. Hai mặt phẳng giao nhau nhiều nhất là một đường thẳng. Đường thẳng trong mặt phẳng Descartes có thể được mô tả bằng phương trình tuyến tính. Khái niệm trực quan về đường thẳng có thể được hình thức hóa bằng nhiều cách. Nếu hình học được phát triển theo phương pháp tiên đề (như trong tác phẩm Các phần tử của Euclid hay trong tác phẩm sau này Cơ sở của hình học của David Hilbert), thì đường thẳng chẳng được định nghĩa gì cả, mà chỉ được đặc trưng bởi các tính chất của nó trong hệ tiên đề. "Bất kỳ thứ gì thỏa mãn các tiên đề của đường thẳng thì nó chính là đường thẳng.". Trong khi Euclide đã từng định nghĩa đường thẳng là cái gì đấy "có chiều dài mà không có bề dày", thực ra ông chưa bao giờ dùng định nghĩa mơ hồ này ở các chứng minh phía sau trong tác phẩm của mình. Trong không gian Euclide Rn (và cũng như trong mọi không gian vector khác), chúng ta định nghĩa đường thẳng L là tập con của không gian đang xét và có dạng: với a và b là hai vector cho trước trong Rn, đồng thời b phải khác vector 0. Vector b xác định hướng của đường thẳng, và a là một điểm nằm trên đường thẳng. Chọn các vector a và b khác nhau có thể dẫn đến kết quả cùng một đường thẳng. Trong không gian hai chiều, chẳng hạn trong một mặt phẳng, hai đường thẳng khác nhau hoặc là hai đường thẳng song song hoặc phải cắt nhau tại một điểm. Tuy nhiên, trong không gian nhiều hơn hai chiều, hai đường thẳng có thể không song song nhau mà cũng chẳng cắt nhau, và hai đường thẳng như vậy gọi là hai đường thẳng chéo nhau. Trong R2, mọi đường thẳng được biểu diễn bởi một phương trình tuyến tính có dạng với a, b và c là các hệ số thực cố định trong đó a và b không đồng thời bằng 0. Các tính chất quan trọng của đường thẳng trong không gian hai chiều là độ dốc, giao điểm của nó với trục Ox, giao điểm của nó với trục Oy. Trừu tượng hơn, người ta thường nghĩ về trục số thực như là một nguyên mẫu điển hình cho một đường thẳng, và giả định rằng mỗi điểm trên đường thẳng tương ứng một-một với một số thực nào đó trên trục số thực. Thế nhưng ta hoàn toàn có thể sử dụng cả số “siêu thực” và kể cả đường thẳng dài trong lý thuyết topo để làm nguyên mẫu cho đường thẳng. Tính chất “thẳng” của đường thẳng, thường được hiểu là tính chất cho phép đường thẳng cực tiểu hóa khoảng cách giữa hai điểm, mà về sau có thể được tổng quát hóa thành khái niệm đường trắc địa trong đa tạp khả vi. Tuy nhiên, ở đây ta chỉ xét đường thẳng trong mặt phẳng Descartes (Oxy) và phương trình đường thẳng có thể được mô tả bằng phương trình tuyến tính(1). (1) Phương trình tuyến tính (hay còn gọi là phương trình bậc một hay phương trình bậc nhất) là một phương trình đại số có dạng: b là một hằng số (hay hệ số bậc 0). a là hệ số bậc một. Phương trình bậc một được gọi là phương trình tuyến tính vì đồ thị của phương trình này (xem hình bên) là đường thẳng (theo Hán-Việt, tuyến nghĩa là thẳng). Ch­¬ng mét Nhaéc laïi lyù thuyeát: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG: Phương trình tổng quát của đường thẳng: Khái về phương trình tổng quát của đường thẳng: Vector được gọi là vetor chỉ phương (VTCP) của đường thẳng (d). Vector được gọi là vetor pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng . Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) có dạng: Ax + By + C = 0 với có VTPT ; VTCP hoặc . Như vậy, phương trình đường thẳng (d) đi qua và có VTPT là . Chuù yù: Đường thẳng VTCP của là VTCP của ; VTPT của là VTPT của . Đường thẳng VTCP của là VTPT của ; VTPT của là VTCP của . Nếu thì . Nếu đường thẳng (d) cắt Ox tại A(a; 0) và cắt Oy tại B(0; b) với a, b thì phương trình , gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn AB. Nếu đường thẳng (d) có VTPT thì phương trình đường thẳng (d) có dạng Ax + By + m = 0. Nếu đường thẳng (d) có VTCP thì phương trình đường thẳng (d) có dạng Nếu đường thẳng (d) đi qua thì phương trình đường thẳng (d) có dạng với điều kiện Đặc biệt: Nếu thì khi đó phương trình đường thẳng . Nếu thì khi đó phương trình đường thẳng . Sau đó diễn tả thêm một điều kiện khác để xác định tham số m hay . Phương trình đường thẳng theo hệ số góc: Định nghĩa: Gọi là góc tạo bởi chiều dương của trục Ox và đường thẳng (d) (góc xuất phát từ chiều dương trục Ox quay theo một chiều nhất định đến gặp đường thẳng (d) lần đầu tiên), ta định nghĩa là hệ số góc của đường thẳng (d). Theo định nghĩa nêu trên: nếu (d) thì không tồn tại hệ số góc của đường thẳng (d). Tính chất: Nếu (d) có VTCP thì (d) có hệ số góc , với Ngược lại, nếu (d) có hệ số góc k thì (d) có một VTCP là Nếu (d) có VTPT thì (d) có hệ số góc . Ngược lại, nếu (d) có hệ số góc k thì (d) có mộy VTPT là Nếu thì . Nếu thì . Phương trình đường thẳng qua một điểm và có hệ số góc: Phương trình đường thẳng đi qua và có hệ số góc k có dạng: Đặc biệt: khi thì phương trình (d) có dạng: . Chuù yù: Khi sử dụng hệ số góc để viết phương trình một đường thẳng ta cần phải xét hai trường hợp: đường thẳng đó vuông góc với Ox và đường thẳng đó không vuông góc với Ox. Nếu phương trình đường thẳng với sẽ trở thành: thì tỉ số chính là hệ số góc của đườnh thẳng (d), do đó ta có thể nói phương trình đường thẳng dạng:là trừng hợp đặc biệt của phương trình đường thẳng dạng: . Sự đối xứng: Điểm M’ đối xứng của M qua đường thẳng (d): Cách 1: Viết phương trình đường thẳng (d’) qua M và vuông góc với (d), tìm giao điểm H của (d) và (d’), do H là trung điểm của MM’, từ đó suy ra toạ độ của M’. Cách 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d’) qua M và vuông góc với (d), xác định tham số tH của giao điểm H giữa (d) và (d’), do nên tM = 2tH, từ đó suy ra toạ độ M’. Cách 3: Lấy một điểm H có toạ độ phụ thuộc tham số trên đường (d), diễn tả điều kiện , suy ra toạ độ điểm H, từ đó tính toạ độ của điểm M’ Chuù yù: Để tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng (d) ta tìm điểm H trong cách 1. Cách thứ 2, 3 giúp ta giải quyết được bài toán: Từ một điểm M cho trước kẻ đường thẳng vuông góc với một đường thẳng (d) cho trước, cắt (d) tại H, kéo dài MH một đoạn HM’ saocho MM’ = k.MH, xác định toạ độ điểm M’. Đường thẳng (d’) đối xứng của đường thẳng (d) qua điểm M: Cách 1: Lấy hai điểm N, K có toạ độ tùy ý trên đường thẳng (d), tìm toạ độ hai điểm đối xứng N’ và K’ của chúng qua M, đường thẳng (d’) chính là đường thẳng đi qua hai điểm N’ và K’. Cách 2: Lấy điểm N có toạ độ tùy ý trên đường thẳng (d), tìm toạ độ điểm đối xứng của N qua M, đường thẳng (d’) chính là đường thẳng qua N’ và song song với (d). Cách 3: Viết dạng phương trình đường thẳng (d’): ax + by + m = 0 song song với (d):ax + by + c = 0, sau đó diễn tả điều kiện : để tính m, suy ra kết quả. Đường thẳng (d’) đối xứng của đường thẳng (d) qua đường thẳng : Cách: Tìm giao điểm I của (d) và , lấy M có toạ độ tùy ý trên (d) với M I, tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua , đường thẳng (d’) chính là đường thẳng qua hai điểm I và M’. Đặc biệt: Khi (d) và song song nhau, thì đường thẳng (d’) là đường thẳng qua M’ và song song với (d). Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng (d1): Ax1 + By1 + C1 = 0 và (d2): Ax2 + By2 + C2 = 0 Vị trí tương đối của (d1) và (d2) Kết luận theo tỉ số Kết luận theo định thức Cắt nhau .Khi đó toạ độ giao điểm là: với và Song song nhau D = 0 và Vuông góc nhau Trùng nhau D = Dx = Dy = 0 Phương trình tham số của đường thẳng: Đường thẳng (d) đi qua và có các vector chỉ phương có: Phương trình tham số: Phương trình chính tắc: , với Từ phương trình tham số nếu ta sử dụng phương pháp cộng đại số để khử mất tham số t thì ta được phương trình tổng quát. Ngược lại, từ phương trình tổng quát, ta chọn một điểm trên đường thẳng và chỉ ra vector chỉ phương thì có thể lập được phương trình tham số của đường thẳng đó. Từ phương trình chính tắc, ta nhân chéo hai vế và rút gọn thì được phương trình tổng quát. Phương trình chính tắc: , ( hsg: hệ số góc) Có thể sử dụng hệ phương trình theo tham số của hai đường thẳng và tùy theo hệ này vô nghiệm hay có một nghiệm duy nhất hay có vô số nghiệm mà hai đường thẳng này song song nhau hay cắt nhau hay trùng nhau. KHOẢNG CÁCH – GÓC: Tính khoảng cách: Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và điểm . Ta có: Chú ý: i/ ii/ Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và hai điểm và M và N nằm hai bên đường thẳng (d). M và N nằm cùng một bên đường thẳng (d). Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng (d1): A1x + B1y + C1 = 0 và (d2): A2x + B2y + C2 = 0. Gọi là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này, ta có: Chia hai trường hợp, sau đó nhân chéo, rút gọn rồi suy ra phương trình hai đường phân giác Chú ý:i) Để phân biệt được phương trình phân giác của góc nhọn và góc tù ta có nhiều cách thực hiện như: Xác định dấu của từng vùng mà hai đường thẳng chia mặt phẳng toạ độ, từ đó biết dấu của các vùng chứa phân giác góc nhọn và góc tù, suy ra phương trình của chúng. Tính góc: Nếu thì là phân giác góc nhọn (hay tù) của góc tạo bởi (d1) và (d2). Lấy một điểm N có toạ độ đặc biệt trên (d1), tính và , khoảng cách nào nhỏ hơn thì đường phân giác tương ứng là đường phân giác của góc nhọn. Tính với và . Nếu < 0 thì phương trình phân giác góc tù là: Nếu > 0 thì phương trình phân giác góc tù là: ii) Để viết phương trình phân giác trong hay ngoài của một góc trong một tam giác ta có thể thực hiện như sau: Lập phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh AB và AC. Tìm phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này. Xét một trong hai kết quả, ví dụ như :f(x;y) = A’x + B’y + C’ = 0. Tính f(xB;yB) và f(xC;yC). Nếu tích f(xB;yB).f(xC;yC) < 0 thì B, C nằm hai bên nên là phân giác trong. Nếu tích f(xB;yB).f(xC;yC) > 0 thì B, C nằm một bên nên là phân giác ngoài. iii) Một cách khác để viết phương trình phân giác trong và ngoài của một tam giác: Tính toạ độ hai vector từ đó tính tọa độ hai vector đơn vị của chúng và , xác định toạ độ vector tổng , đây chính là vector chỉ phương của đường phân giác trong của góc A. Tương tự là vector chỉ phương của đường phân giác ngoài của góc A. Tính góc: Nếu hai đường thẳng (d1) và (d2) có hai vector pháp tuyến lần lượt là và thì . Chú ý: i) Để tính góc trong của ta dùng công thức . ii) Gọi là góc tạo bởi (d1) và (d2), thì ta có: . Phương trình đường thẳng đi qua điểm M và hợp với đường thẳng (d) một góc cho trước: Kiểm tra đường thẳng: x = xM xem có thoả điều kiện bài toán không? Giả sử không vuông góc với Ox, khi đó phương trình có VTPT . Tính cosin góc của hai đường thẳng và (d), cho nó bằng , giải tìm k. Kết luận. Chú ý: i) Ta có thể sử dụng phương trình dạng , với điều kiện , thực hiện như trên để dẫn đến một phương trình bậc hai theo . Khi đó ta không cần thực hiện việc kiểm tra trường hợp . ii) Ta có thể dùng công thức tính góc, theo hàm tan: . Ch­¬ng hai Phần 1: Các ví dụ Ví dụ 1: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết nếu B (2;-1), đường cao và phân giác trong qua hai đỉnh A, C lần lượt là 3x – 4y + 27 = 0 ; x + 2y – 5 = 0. Giải Phương trình BC vuông góc đường cao AH, qua B có dạng Vậy BC: Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình Vậy C(-1;3) Gọi B’ là đối xứng của B qua phân giác C. BB’ có dạng Suy ra BB’: Toạ độ giao điểm M của BB’ và phân giác tại C là (3;1) Mà M là trung điểm BB’nên Vậy B’(4;3) Vì nên AC : y = 2 Điểm A là giao điểm cua đường cao AH và AC, nên A(-5;3) Vậy phương trình đường thẳng AB Vậy AB: BC: AC: y = 2 Ví dụ 2: Trên mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC với một cạnh có trung điểm là M(-1;1), còn hai cạnh kia có phương trình là x + y – 2 = 0, 2x + 6y + 3 = 0 Giải Gọi ABC là tam giác đã cho Giả sử M (-1;1) là trung điểm BC và AB: x + y – 2 = 0 và AC: 2x + 6y + 3 = 0 Suy ra A() M(-1;1) là trung điểm BC nên Mà B AB và C AC nên B(), C() Ví dụ 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A (1;1). Hãy tìm diểm B trên y = 3 và C trên trục hoành sao cho tam giác ABC đều. Giải Gọi B (b;3) và C (c; 0). Ta có Tam giác ABC đều nên AB = AC = BC hay Giải hệ phương trình tao được Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tạo độ Oxy cho : 2x – y – 1 = 0 Và cho 5 điểm A (0;-1), B (2;3); C (;0), E (1;6), F (-3;-4) Tìm trên điểm D sao cho A, B, C, D là hàng điểm điều hoà. Tìm điểm M trên sao cho có độ dài nhỏ nhất nhỏ nhất. Giải 1. Dễ thấy A, B, C nằm trên . Ta có A, B, C, D là hàng điểm điều hoà khi đó 2. Goi M(x ; y) là điểm cần tìm, nên y = 2x + 1 Dấu “=” xảy ra khi x = , y = Vậy M (;) Ví dụ 5: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trường hợp cắt nhau: a) . b) c) Giải a) số giao điểm của chính là số nghiệm của hệ phương trình: Giải hệ này chúng ta có một cặp nghiệm (x , y) = (1 ; 1). Vậy hai đường thẳng này cắt nhau tại 1 điểm tọa độ giao điểm (x , y) = (1 ; 1). b) Từ phương trình đường thẳng ta có x = (1 – 4t) và y = (2 + 2t) thay vào ta được 2(1 – 4t) + 4(2 + 2t) = 0 10 – 8t + 8t = 0 à 10 = 0 (vô lí) à hai đường thẳng này không có điểm chung. Vậy hai đường thẳng song song với nhau. c) Đường thẳng có vtcp là nên có vtpt là . đi qua điểm có tọa độ (-6 ; 6) nên có pt tổng quát là : 4(x + 6) + 5(y – 6) = 0 à 4x + 5y – 6 = 0. Số giao điểm của chính là số nghiệm của hệ phương trình: Hệ này có vố số nghiệm nên trùng nhau. Ví dụ 6: Xác định góc giữa hai đường thẳng a) b) c) d1: x – 2y + 5 = 0 d2: 3x – y = 0. Giải a) ta có: với a1 = 4 ; b1 = -2 ; a2 = 1 ; b2 = -3 Vậy b) Đường thẳng có vtcp là vì vậy vtpt của là Đường thẳng có vtpt là . Vậy c) d1: x – 2y + 5 = 0 d2: 3x – y = 0. Ta có: Vậy góc giữa d1 và d2 = 45o Ví dụ 7: Chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau: a) b) Giải a) Đường thẳng có vtcp là vì vậy vtpt của là Đường thẳng có vtpt là . Vì vậy Vậy hai đường thẳng trên vuông góc với nhau. b) Đường thẳng : 2y +6x – 4 = 0 à y = -3x + 2. à có hệ số góc k2 = -3 Ví dụ 8: Tính khoảng cách từ điểm đến dường thẳng được cho tương ứng như sau: A(3 ; 5) và : 4x + 3y + 1 = 0 B(1 ; 2) và : 3x – 4y + 1 = 0 Đường thẳng có hệ số góc k1 = 3. à k1.k2 = 3.(-3)= 0 à vuông góc với nhau. Giải: a) Ta có: b) Ví dụ 9: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau: A(4 ; -2) và đường thẳng d: B(-7 ; 3) và đường thẳng d’: Giải a) A(4 ; -2) và đường thẳng d: Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 2) và có vtcp là vì vậy vtpt của d là Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2(x – 1) +2(y – 2) = 0 à 2x +2y - 6 = 0 Ta có: b) B(-7 ; 3) và đường thẳng d’: Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 0) và có vtcp là vì vậy vtpt của d là Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: -1(x – 1) +3(y – 0) = 0 à - x + 3y +1 = 0 Ta có: . Phần 2: Bài tập vận dụng Bài 1. Cho tam giác ABC có A(1;2), B(-2;-1) và C(2;-2). a) Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và AC. b) Viết phương trình tham số của đường cao CE, trung tuyến BM và đường trung trực của cạnh BC. Bài 2. Cho điểm A(-1;1) và đường thẳng d: a) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua A. b) Tìm trên d điểm C và trên trục hoành điểm D sao cho A là trung điểm của CD. Bài 3. Cho điểm A(-1;3) và đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Dựng hình chữ nhật ABCD sao cho B, C thuộc đường thẳng d, C có hoành độ âm và. Tìm tọa độ các điểm B, C, D. Bài 4. Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3), đường phân giác CE: x + 2y = 0 và đường cao BD: Tìm tọa độ điểm B và C. Bài 5. Cho điểm M(1;3). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt tia Ox tại A(a,0) và tia Oy tại B(0,b) (a, b > 0) sao cho OA + OB là nhỏ nhất. Bài 6: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho (D):xcosa + ysina + 2cosa + 1= Chứng minh rằng khi a thay đổi (D) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định Cho I(-2;1). Dựng IH vuông góc với (D) ( H nằm trên D ) và kéo dài IH một đoạn HN = 2IH. Tính toạ độ của N theo a. Bài 7: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trường hợp cắt nhau: a) . b) c) Bài 8: Xác định góc giữa hai đường thẳng sau a) b) c) Bài 9: Các cặp đường thẳng sau có vuông góc với nhau không? a) 2x - y - 3 = 0. và 2x + y - 4 = 0 b) và 4x + 6y - 6 = 0 Bài 10 Tính bán kính đường tròn tâm I( 1 ; 5) và tiếp xúc với đường thẳng d: 4x -3y +1 = 0 Bài 11: Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là: A(4 ; 6) ; B(1 ; 4), C(7 ; 2) Hãy tính khoang cách từ các đỉnh đến các cạnh đối diện tương ứng. Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ; . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương. Giải ; . + + (DAOC vuông tại A). ; . Theo gt: Mà (a > 0). + . + + Vậy Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6); đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình . Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. Giải Đặt + + Gọi + Gọi I là trung điểm BC suy ra H là trung điểm IA à I(-2; -2) + Đường thẳng (BC) qua I và song song d à (BC): x + y + 4 = 0. + + ; . Ta có: hay . Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4;1), phân giác trong của góc A có phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. Giải Gọi AC là (d). Nếu (d) vuông góc với Ox. Thì (d): x = xc. Do đó: x = - 4 (loại) Nếu (d) không vuông góc với Ox. (d): y – 1 = k(x+4). Ta lại có: Mặt khác: Gọi B(x;y) Ta có AB2 = 36 Ta lại có: AB vuông góc với AC nên tích vô hướng của hai vectơ AB và AC bằng 0. Suy ra: 42 + y2 – 8.4 – 2y = 19. Xét B(4; -5). Ta thấy B(4;-5) nằm cùng phía với AD nên trường hợp này ta loại. Do đó : B(4;7). Khi đó : Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương. Giải Ta có : Gọi D là điểm đối xứng với A qua I Suy ra D thuộc đường tròn (I). Do BH // CD và CH // BD. Nên BHCD là hình bình hành. Mà E là trung điểm BC ( do IE vuông góc với BC) Do đó E c