Chuyên đề Chuyển động của vật rắn

- 1 CHUYểN ĐộNG CủA VậT RắN Mở BàI Cơ học chất điểm nghiên cứu đến chuyển động của vật mà không chú ý đến các phần tử khác của vật , coi vật nh− là 1 chất điểm ( có thể làm nh− vậy nếu kích th−ớc của vật rất nhỏ so với quỹ đạo mà vật thực hiện đ−ợc ) . Vd : vật chuyển động tịnh tiến hoặc con tàu đi trên đại d−ơng. Nh−ng trong nhiều tr−ờng hợp không làm nh− vậy đ−ợc . Phần cơ học nghiên c−ú chuyển động của vật có chú ý đến hình dạng , kích th−ớc của vật gọi là cơ học vật rắn . 1. Chuyển động khối tâm của vật rắn a. Khối tâm của vật rắn Vật rắn tuyệt đối là vật có kích th−ớc và hình dáng tuyệt đối không đổi . Xét hai chất điểm A, B có khối l−ợng m1 và m2,, trọng lực t−ơng ứng là p1=m1g và p2=m2g. Trọng tâm của chúng là điểm đặt G của hợp lực P của p1 và p2 . 1 2 1 2 m m P P BG AG == Ta tìm tọa độ trọng tâm G (x,y) )()(. 2 1 2 1 1 2 1 1 2 11 xx m m xOGOB m m xBG m m xAGxOGx −+=−+=+=+== suy ra 21 221`1 .. mm xmxm x + + = O A G B Chú ý : G chỉ phụ thuộc vào khối l−ợng và tọa độ chứ không không phụ thuộc vào gia tốc trọng tr−ờng g T−ơng tự ta có tọa độ : 21 221`1 .. mm ymym y + + = . Tr−ờng hợp có nhiều chất điểm thì: ∑ ∑ = i ii G m xm x . ∑ ∑ = i ii G m ym y . B.Chuyển động của khối tâm Phân thành hai chuyển động : - Chuyển động của khối tâm G ( thể hiện chuyển động toàn phần của vật ) - Chuyển động quay của vật quanh G ( thể hiện chuyển động của phần này đối với phần khác). C. Định lý về chuyển động của khối tâm Khối tâm vật rắn chuyển động nh− là 1 chất điểm mang toàn bộ khối l−ợng của vật và chịu tác dụng của tổng các véc tơ ngoại lực tác dụng lên vật . Chúy ý : nếu ngoại lực khử lẫn nhau thì khối tâm của vật rắn hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều . D. Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến ( bao gồm chuyển động tròn và thẳng ) 2 . 2 ∑ ∑ == ii did vm WW - 2 Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến thì mọi chất điểm có cùng vận tốc tức thời =vận tốc của khối tâm Gi Vv = r và ∑ = Mmi suy ra 2 2 G d MV W = Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến thì bằng động năng của khối tâm mang khối l−ợng của vật E. ĐộNG LƯợNG ∑ == Gii VMvmP .. rr Vật rắn quay quanh một trục (VD: chuyển động của cánh cửa quay quanh bản lề hoặc bánh xe) 1. CHUYểN ĐộNG CủA VậT RắN QUAY QUANH TRụC Cố ĐịNH Một chất điểm quay tròn quanh trục OZ vuông góc với tâm O của quỹ đạo nh− hình vẽ : B M M0 C Ban đầu chất điểm ở vị trí MO xác định bằng góc oϕ gọi là tọa độ góc ban đầu . Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí M xác định bằng góc ϕ gọi là tọa độ góc lúc t 2. Vận tốc góc của vật rắn quay quanh 1 trục . Là góc mà chất điểm quay đ−ợc trong thời gian 1 giây (rad/s) . Nếu gọi 1ϕ và 2ϕ là tọa độ góc của chất điểm tại t1 và t2 thì : Vận tốc góc tức thời : dt dϕ ω = Nếu const=ω thì vật rắn quay đều Nếu const≠ω thì vật rắn quay không đều Vận tốc góc trung bình : ttt TB ∆ ∆ = − − = ϕϕϕ ω 12 12 3. GIA TốC GóC Là độ biến thiên của vận tốc góc trong thời gian 1 giây (rad/s2). Gọi 1ω và 2ω là vận tốc góc tại t1 và t2 ta có : Gia tốc góc trung bình : t t tt TB ∆ ∆ = − − = 12 12 ωωβ Gia tốc góc tức thời : dt dω β = - 3 Đặc tr−ng của chuyển động này là gia tốc góc β . Do dt dω β = mà dt dϕ ω = nên 2 2 dt d ϕ β = Nếu lấy chiều quay của vật làm chiều d−ơng (chiều quay ω ) thì : β >O , ω >O(tăng) : vật quay nhanh dần β >O , ω <O(giảm) : vật quay chậm dần β =O , ω =O : vật rắn quay đều Chú ý : khi gia tốc góc β và vận tốc góc ω cùng dấu thì chuyển động nhanh dần, còn ng−ợc lại là chậm dần. 4. Ph−ơng trình chuyển động của chất điểm quay quanh một trục cố định a. Khi vật rắn quay đều : tωϕϕ += 0 b. Khi vật rắn quay biến đổi dều ; 2 . 2 0 t t ω ωϕϕ ++= và tβωω += 0 c. Nếu o=β và const=ω thì vật rắn quay đều với 0ϕ là tọa độ góc ban đầu 0ω là vận tốc góc ban đầu 5. Gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến Khi chất điểm quay không đều quanh trục OZ thì gia tốc a không h−ớng tâm và gồm hai thành phần: a. Gia tốc h−ớng tâm (gia tốc pháp tuyến): Ran . 2ω= đặc tr−ng về biến đổi ph−ơng của vận tốc b. Gia tốc tiếp tuyến : β ω .. R dt d R dt dv at === liên quan đến trị số của vận tốc dài c. Gia tốc toàn phần : 22 nt aaa += 6. so sánh các đại l−ợng đặc tr−ng của chuyển động quay và chuyển động thẳng. Chuyển động quay Chuyển độngthẳng Tọa độ góc ban đầu (lúc t=o) là 0ϕ Tọa độ ban đầu là ox Tọa độ góc lúc t là ϕ Tọa độ lúc t là x Vận tốc góc dt dϕ ω = dt dx v = vận tốc Gia tốc góc : dt dω β = Gia tốc dt dv a = Ph−ơng trình chuyển động quay Ph−ơng trình chuyển động thẳng đều - 4 Vận tốc góc const=ω Pt tạo độ góc tωϕϕ += 0 Vận tốc v=const Pt tọa độ : tvxx o .+= Ph−ơng trình chuyển động quay biến đổi đều Ph−ơng trình chuyển động thẳng biến đổi đều pt tọa độ góc : 2 . 2 0 t t ω ωϕϕ ++= pt vận tốc góc : tβωω += 0 pt tọa độ : 2 . . 2 0 ta tvxx o ++= pt vận tốc : tavv ot .+= 7. Mô men của lực. A. Mô men của lực đối với một trục quay cố định: Là đại l−ợng đặc tr−ng cho khả năng của lực làm vật rắn quay quanh trục đó Xét lực F nằn trong mặt phẳng vuông góc trục quay OZ . Mô men của lực F đối với trục quay OZ là : RFM .±= (N..m) Vậy MÔ MEN CủA LựC F : đối với trục quay là tích của thành phần tiếp tuyến với bán kính của điểm đặt. Lấy dấu d−ơng nếu F làm vật quay theo chiều kim đồng hồ và ng−ợc lại . 4.MÔ MEN QUáN TíNH CủA CHấT ĐIểM ĐốI VớI MộT TRụC : Một chất điểm m ở cách trục cố định ∆ một khoảng R . Mômen quán tính của chất điểm m đối với trục quay là : I=m.R2 (kg.m2) Sau đây ta xét mômen quán tính của một số vật đồng chất có trục quay đối xứng : a. Vật rắn là vành tròn : I=m.R2 b. Vật rắn là đĩa tròn : 2 . 2Rm I = c. Vật rắn là hình cầu đặc : 5 ..2 2Rm I = - 5 d. Vật rắn là thanh dài L ( có tiết diện nhỏ so với chiều dài ) 12 . 2Lm I = 8. ph−ơng trình động lực học của chất điểm trong chuyển động quay Một chất điểm có khối l−ơng m quay quanh trục ∆ với gia tốc là β , khoảng cách giữa chất điểm và trục quay là R . ta có : M=I. β =m.R2 β (1) Công thức (1) gọi là pt động lực học của chất điểm trong chuyển động quay quanh một trục , dạng t−ơng ứng với định luật II niwtơn mà thay thế cho lực là mômen lực , còn mônem quán tính I đặc tr−ng cho mức quán tính(sức ì) của chất điểm đối với chuyển động quay quanh trục . 9. MÔMEN ĐộNG LƯợNG CủA VậT RắN Pt (1) viết lại nh− sau : dt d IIM ω β .== khi I không đổi ta có thể viết lại : dt Id M )( . ω = (2) Biểu thức ωI gọi là mômen động l−ợng của vật rắn với trục quay ký hiệu L ta có : ωIP = (kg.m2/s) vậy dt dP M .= 10. Định luật bảo toàn mômen động l−ợng Nếu M=O thì cho ta P=const nghĩa là mômen động l−ợng đ−ợc bảo toàn 11. Động năng của vật rắn : a. Vật rắn chuyển động tịnh tiến : 2 . 2 G d vm W = b. Vật rắn quay quanh một trục : 2 . 2ωI Wd = c. Động năng của vật rắn trong chuyển động song phẳng (Trong chuyển động này tất cả các điểm của vật đều chuyển động trong những mặt phẳng song song ) VD: chuyển động của một quyển sách trên mặt bàn , của bánh xe . Chuyển động phẳng của vật rắn có thể phân tích thành hai chuyển động: Chuyển động tịnh tiến (thẳng hoặc cong ) của khối tâm G Chuyển động quay của vật rắn quanh trục GZ đi qua tâm G vuông góc mặt phẳng chứa quỹ đạo G . Vì vậy động năng này bao gồm : Động năng quay quanh trục GZ 2 . 2ωI Wdq = Động năng tịnh tiến 2 . 2 G d vm W =