Chuyên đề Cực trị Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất

Chuyên đề cực trị Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất 1 Phần 1: CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ: Một số dạng toán thường gặp: ▼ Dạng 1: đưa về dạng bình phương I. Phương pháp giảỉ: Đưa về dạng A2≥0, hoặc A2+ c≥ c (vớI c là hằng số) dấu bằng xảy ra khi A=0 II. Một số bài tập ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của P ( )1x x= − Lời giải: ( ) 2 1 1 1 1 2 4 4 P x x x x x = − = − + = − − + ≤    Đẳng thức xảy ra khi 1 2 x = và 1 4 x = Do đó giá trị lớn nhất của P là 1 4 đạt khi 1 4 x = Ví dụ 2: Tìm giá trị của x để biểu thức 2 1 2 2 5x x− + có giá trị lớn nhất Lời giải: Ta có: ( )22 2 2 2 5 2 3 3 1 1 32 2 5 x x x x x − + = − + ≥ ⇒ ≤ − + Do đó, khi 2x = thì bỉêu thức 2 1 2 2 5x x− + có giá trị lớn nhất là 1 3 V í d ụ 3: VớI x,y không âm; tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3 2 2004,5P x xy y x= − + − + Lời giải: Đặt ,x a y b= = vớI , 0a b ≥ ta có: 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 3 2 2004,5 2 1 3 2004,5 2 1 1 2 2 2003,5 1 1 1 2 2003,5 4 2 1 1 2 2003 2003 2 P a ab b a a b a b a b a b b b a b b b a b b = − + − + = − + + + = − + + + + − +  = − − + − + + −     = − − + − + ≥    Vì ( )21 0a b− − ≥ và 2 1 0 , 2 b a b − ≥ ∀    1a b= + 3 2 a = 2003P = ⇔ ⇔ 1 2 b = 1 2 b = Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 2003 khi 3 2 x = và 1 2 y = hay 9 4 x = và 1 4 y = III. Bài tập tự giải: 1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 22 5 4 2P x y xy x= − − − + 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) 2 2, 2 6 12 45f x y x xy y x= − + − + 3) Cho hai số x,y thoả mãn đẳng thức: 2 2 2 1 8 4 4 x y x + + = Xác định x,y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất 4) Cho a là số cố định, còn x, y là những số biến thiên. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x– 2y + 1)2 + (2x + ay +5)2 Hướng dẫn giảI và đáp số: 1)Max P = 3 khi (x,y) = (1, -2) 2) ( ) ( )2 2, 6 5 9 9f x y x y y= − − + + ≥ 3) Thêm 24 4xy x+ vào 2 vế Kết quả: xy đạt GTNN là 1 2 − khi 1 2 x = ± 1y = ± 4) 0A ≥ khi a ≠ -4, 9 5 A = khi a = -4 3 ▼ Dạng 2: sử dụng miền giá trị của hàm số I. Phương pháp giảỉ: Cho y = f(x) xác định trên D ( )0y f D∈ ⇔phương trình ( )0y f x= có nghiệm 0a y b⇔ ≤ ≤ Khi đó min y = a, max y = b II. Một số bài tập ví dụ: Ví dụ 1: Tìm Max và Min của: 2 1 x y x = + Lời giải: Tập xác định D = R ⇒ 0y là một giá trị của hàm số ⇔ phương trình 0 2 1 x y x = + có 1 nghiệm x∈R ⇔ phương trình 2 0 0x y y x+ = có nghiệm x∈R ⇔ phương trình 2 0 0 0x y x y− + = có nghiệm x∈R ⇔ 0∆ ≥ ⇔ 21 4 0y− ≥ ⇔ 2 4y ≤ ⇔ 1 1 2 2 y− ≤ ≤ Vậy Min y = 1 2 − , Max y = 1 2 Ví dụ 2: Xác đinh các tham số a, b sao cho hàm số 2 ax 1 b y x + = + đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng –1 Lời giải: Tập xác định D = R 0y là một giá trị của hàm số ⇔ phương trình 0 2 ax+b 1 y x = + có nghiệm x∈R ⇔ phương trình 20 0ax 0y x y b− + − = có nghiệm x∈R (1) • Nếu 0 0y = thì (1) ⇔ ax = -b có nghiệm a = b = 0 ⇔ a ≠ 0 • Nếu 0 0y ≠ thì (1) có nghiệm ⇔ 0∆ ≥ ⇔ 2 0 04( ) 0a y b y− − ≥ 4 ⇔ 2 2 0 04 4 0y by a− + + ≥ Theo đề 0y đạt giá trị lớn nhất là 4, giá trị nhỏ nhất là –1 nên phương trình 2 2 0 04 4y by a− + + phảI có nghiệm là –1 và 4 (do -1.4 = -4 < 0) 2 4 4 a− = − 4a = ± Theo định lý Viet ta có : ⇔ 3b = 3b = Vậy vớI a = 4, b = 3 hoặc a = -4, b = 3 thì min y = -1, max y = 4 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : 3 4 2 12 ( ) 36 x x a y x − =  +  Lời giải: Hàm số đã cho xác định khi ( ) 0x x a− ≥ Đặt 2 12 ( ) 36 x x a z x − =  +  (1) thì 4 3y z= , 0z ≥ 0z là một giá trị của hàm số (1) ⇔ phương trình 0 2 12 ( ) 36 x x a z x − = + có nghiệm hay phương trình 20 0(12 ) 12ax 36 0z x z− − − = có nghiệm (2) • 0z =12 : (2) ⇔ ax = -36 có nghiệm khi 0a ≠ • 0 12z ≠ : (2) có nghiệm ⇔ 2 0 036 36 (12 ) 0a z z∆ = + − ≥ 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 12 0 12 0 6 36 6 36 a z z z z a a z a ⇔ + − ≥ ⇔ − − ≤ ⇔ − + ≤ ≤ + + Vì 0 0z ≥ nên 2 00 6 36z a≤ ≤ + + Vậy max 26 36z a= + + ; max 2 34 (6 36)y a= + + III. Bài tập tự giải: 1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 x x y x x − + = + + 2) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 4 1 1 4 3 3 1 1 x x y x x + + − + = + + − + 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 2 1 ( )f x x x x = + + , x > 0 Hướng dẫn giảI và đáp số: 5 1) Max 3 2 2y = + , Min 3 2 2y = − 2) Đk: 3 1x− ≤ ≤ Đặt 2 2 3 2. 1 t x t + = + ; 2 2 1 1 2. 1 t x t − + = + vớI t = tg [ ]0;1 2 ϕ ∈ Ta có 2 2 7 12 9 5 16 7 t t y t + + = − − + + Max y 9 7 y = khi x = -3; min 7 9 y = khi x = 1 0 < x ≤ 0y (1) 20 1 y x x x = + + ⇔ x > 0 2 20 02 1 0y x y x− + = (2) Điều kiện để (2) có nghiệm là 0 2y ≥ Áp dụng Vi-et ta chứng minh được 1 2 0x x y< < Vậy min f(x) = 2 vớI x >0 ▼ Dang 3: Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc ► Bất đẳng thức Cauchy I. Kiến thức cần nắm: • Cho hai số a, b ≥ 0, ta coù: ab ba ≥ + 2 Dấu “ =” xảy ra khi ⇔ a = b • Cho n số a1, a2, … , an ≥ 0, ta có: n n n aaa n aaa ... ... 21 21 ≥ +++ Dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a2 = … = an II. Một số bài tập ví dụ: ◦ Biện pháp 1: Áp dụng bất đẳng thức trực tiếp. Ví dụ 1: Cho x > 0 ; y > 0 thoả mãn điều kiện 2 111 =+ yx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = yx + Lời giải: 3)Tìm nghiệm của hệ 6 Vì x > 0 ; y > 0 nên x 1 > 0 ; y 1 > 0 ; 0;0 >> yx , theo bđt Cauchy có:       +≤ yxyx 11 2 11 . 1 => 4 4 11 ≥=>≤ xy xy Vận dụng bđt Cauchy với hai số dương x và y ta được A = yx + ≥ 42.2 ≥yx = 4 ( Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 4) Vậy min A = 4 ( khi và chỉ khi x = y = 4). Nhận xét: không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp bđt Cauchy đối với các số trong đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng bđt Cauchy rồi tìm cực trị của nó. Biện pháp 1 : Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó. Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = .3753 xx −+− Lời giải: ĐKXĐ : . 3 7 3 5 ≤≤ x A2 = (3x – 5) + (7- 3x) + )37).(53(2 xx −− A2 ≤ 2 + ( 3x – 5 + 7 – 3x) = 4 ( dấu “=” xảy ra ⇔ 3x – 5 = 7 – 3x ⇔ x = 2). Vậy max A2 = 4 => max A = 2 ( khi và chỉ khi x = 2). Nhận xét: Biểu thức A được cho dưới dạng tổng của hai căn thức. Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi (bằng 2). Vì vậy, nếu ta bình phương biểu thức A thì sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của căn thức. Đến đây có thể vận dụng bất đẳng thức Cauchy. ◦ Biện pháp 2: Nhân và chia biểu thức với cùng một số khác 0. Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x x 5 9− Lời giải: ĐKXĐ : x ≥ 9 7 A = x x 5 9− = 30 1 10 3 99 5 3 3 9 2 1 5 3. 3 9 = +− =       + − ≤ − x x x x x x (dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi 183 3 9 =⇔= − x x ). Vậy max A = 30 1 ( khi và chỉ khi x = 18). Nhận xét: Trong cách giải trên, x – 9 được biểu diễn thành 3. 3 9−x và khi vân dụng bđt Cauchy, tích 3. 3 9−x được làm trội trở thành tổng x x 3 1 3 3 9 =+ − có dạng kx có thể rút gọn cho x ở mẫu, kết quả là một hằng số. Con số 3 tìm được bằng cách lấy căn bậc hai của 9, số 9có trong bài. Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số. 1. Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau. Ví dụ 4 : Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = . 163 3 4 x x + Lời giải: A = 3x + 4 333 16 ....4 1616 x xxx x xxx x ≥+++= A ≥ 4.2 = 8 ( dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi 2 16 3 =⇔= x x x Vậy min A = 8 ( khi và chỉ khi x = 2). Nhận xét: Hai số dương 3x và x3 16 có tích không phải là một hằng số.Muốn khử được x3 thì phải có x3 = x.x.x do đó ta phải biểu diễn 3x = x + x + x rồi dùng bđt Cauchy với 4 số dương. 2. Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của hạng tử khác có trong biểu thức đã cho ( có thể sai khác một hằng số). Ví dụ 5: Cho 0 < x < 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = . 2 2 9 xx x + − 8 Lời giải: A = 1 2 2 9 + − + − x x x x A 71921 2 . 2 9 .2 =+=+ − − ≥ x x x x ( dấu “=” xảy ra 2 12 2 9 =⇔ − = − ⇔ x x x x x ). Vậy min A = 7 ( khi và chỉ khi 2 1 =x ). ◦ Biện pháp 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho. Ví dụ 6: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = . 222 yx z xz y zy x + + + + + Lời giải: Áp dụng bđt Cauchy đối với hai số dương zy x + 2 và 4 zy + ta được: x xzy zy xzy zy x == + + ≥ + + + 2 .2 4 ..2 4 22 Tương tự: z yx yx z y xz xz y ≥ + + + ≥ + + + 4 4 2 2 Vậy zyx zyx yx z xz y zy x ++≥ ++ +      + + + + + 2 222 P ( ) 1 2 = ++ −++≥ zyx zyx (dấu “=” xảy ra 3 2 ===⇔ zyx ). III. Bài tập tự giải: 1) Cho x + y = 15, tìm gía trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 34 −+− yx 2) Cho x, y, z ≥ 0 thoả mãn điều kiện x + y + z = a. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy + yz + xz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x2 + y2 + z2. 9 3) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn điều kiện x + y + z ≥ 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = . x z z y y x ++ 4) Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = . )1)(1)(1( )1)(1)(1( cba cba −−− +++ 5) Cho x, y thoả mãn điều kiện x + y = 1 và x > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = x2y3. 6) Tìm giá trị nhỏ nhất của xy yz zx A z x y = + + với x, y, z là các số dương và: a) 1x y z+ + = b) 2 2 2 1x y z+ + = 7) Tìm giá trị lớn nhất của 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 A a b b c c a = + + + + + + + + với a, b, c là các số dương và abc = 1. 8)Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A x y z xy yz zx= + + + + + biết rằng 2 2 2 3x y z+ + = . 9) Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3x yA = + với x + y = 4. 10) Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 4 1A x x= − + Hướng dẫn giải và đáp số: 1. ĐKXĐ : x ≥ 4, y ≥ 3 B ≥ ⇒8 min B = 8 ( khi và chỉ khi x = 4, y = 11 hoặc x = 12, y = 3). max B2 = 16 nên max B = 4 ( khi và chỉ khi x = 8, y = 7). 2 .a. xy + yz + xz ≤ x2 + y2 + z2 (áp dụng bđt Cauchy cho 2 số, rồi cộng lại theo vế). Suy ra: 3(xy + yz + xz) ≤ ( x + y + z )2 Hay 3A ≤ a2 b. B = x2 + y2 + z2 = ( x + y + z )2 – 2( x + y + z ) B = a2 – 2A B min ⇔A max. 3. P2 = . 222222 y xz x zy z yx x z z y y x +++++ Áp dụng bđt Cauchy cho 4 số dương: .4 ... 44 222 x yz zyxx z z yx z yx y x =≥+++ Còn lại: tương tự Cộng vế với vế lại, ta được P2 ≥ 4(x + y + z) – (x + y + z) = 3(x + y + z) 10 P2 ≥ 3.12 = 36 Min P = 6.( khi và chỉ khi x = y = z = 4). 4. a + b + c = 1 ⇒ 1 – a = b + c > 0. Tương tự 1 – b > 0, 1 – c > 0. Có: 1 + a = 1 + (1 – b – c) = (1 – b) + (1 – c) ≥ ( )( )cb −− 112 Suy ra (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ ( ) ( ) ( )222 1118 cba −−− A ≥ 8 Vậy min A = 8. 5. Nếu y ≤ 0 thì B ≤ 0. Nếu y > 0 thì 1 = x + y = 3125 108 108 5 33322 325 32 ≤⇒≥++++ yx yxyyyxx hay B ≤ 3125 108 Suy ra max B = 3125 108 . 6. Theo bất đẳng thức Cô-si 2. . 2 xy yz xy yz y z x z x + ≥ = tương tự 2 yz zx z x y + ≥ ; 2 zx xy x y z + ≥ Suy ra 2A ≥ 2(x+y+z) = 2 ; min A = 1 với 1 3 x y z= = = b) Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x A z x y = + + + Hãy chứng tỏ 2 3A ≥ . Min A = 3 với x = y = z = 3 3 . 7. Dễ chứng minh ( )3 3a b ab a b+ ≥ + với a > 0, b > 0. Do đó: ( )3 3 1 ( ).a b ab a b abc ab a b c+ + ≥ + + = + + 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) max 1 1 a b c A ab a b c bc a b c ca a b c abc a b c A a b c + + ≤ + + = = + + + + + + + + = ⇔ = = = 8. ◦ Tìm giá trị lớn nhất: Áp dụng bất đẳng thức ( ) ( )2 2 2 23x y z x y z+ + ≤ + + ,ta được ( )2 9x y z+ + ≤ nên 11 3x y z+ + ≤ (1) Ta có bất đẳng thức 2 2 2xy yz zx x y z+ + ≤ + + mà 2 2 2 3x y z+ + ≤ nên 3xy yz zx+ + ≤ (2) Từ (1) và (2) suy ra 6A ≤ . Ta có max 6 1A x y z= ⇔ = = = . ◦ Tìm giá trị nhỏ nhất : Đặt x + y + z = m thì ( ) ( )2 2 2 2 2 3 2m x y z xy yz zx xy yz zx= + + + + + = + + + Do đó 2 3 2 m xy yz xz − + + = . Ta có 2 3 2 m A m − = + nên ( ) 222 2 3 1 4 4. 2. A m m m A = + − = + − ≥ − ⇒ ≥ − 2 2 2 1 min 2 3 x y z A x y z + + = = − ⇔  + + = , chẳng hạn x = -1, y = -1, z = 1. 9. 43 3 2 3 3 2 3 2 3x y x y x yA += + ≥ = = 10. Ta có x x≤ (xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi 0x ≥ ) nên 4 4 .x x− ≥ − Do đó 4 4 1A x x≥ − + . Áp dụng bất đẳng thức côsi với bốn số không âm 4 4 441 1 1 4 4 4 1 2.x x x x x+ + + ≥ = ⇒ − + ≥ − 4min 2 1A x= − ⇔ = và 0 1x x≥ ⇔ = . ► Bất đẳng thức Bunhiacopski: I. Kiến thức cần nắm: • Cho a, b, c, d tuỳ ý, ta có (a2 + b2)(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2 Dấu bằng xảy ra khi: ad = bc. • Cho a1, … , an và b1, … , bn tuỳ ý, ta có: (a1 2 + … + an 2)(b1 2 + … + bn 2) ≥ ( a1b1 + … + anbn) 2 Dấu bằng xảy ra khi: n n b a b a == ... 1 1 II. Một số bài tập ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của : P = xx −+− 5413 Lời giải: ĐKXĐ: 1≤ x ≤ 5 Áp dụng bđt Bunhiacopski có: 12 P2 ≤ ( 32 + 42)(x – 1 + 5 – x) = 100 Suy ra max P = 10 khi ⇔ − = − 4 5 3 1 xx x = 25 61 . Ví dụ 2: Cho a, b, c > 0. Tìm min P = ba c ac b cb a + + + + + 345 . Lời giải: P = ( ) ( ) )345(345345334455 ++−      + + + + + ++=++−+ + ++ + ++ + bacacb cba ba c ca b cb a = ( ) ( ) ( )[ ] )345(345. 2 1 ++−      + + + + + +++++ bacacb accbba ≥ ( ) ( )345345 2 1 2 ++−++ ( theo bđt Bunhiacopski). Vaäy min P = ( ) ( )345345 2 1 2 ++−++ khi và chỉ khi 345 bacacb + = + = + . Tổng quát: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: ( ) ( )222222 2 1 zyxxzyzxyz ba c y ca b x cb a ++−++≥ + + + + + . (cộng vào vế trái (x2 + y2 +z2) rồi trừ đi (x2 + y2 +z2), sau đó áp dụng bđt Bunhicopski). Ví dụ 3: Cho a, b, c > 0. Tìm min P = ac b cb bc ba ca + + + + + + + 433 Lời giải: P = 106 4 2 3 2 3 −      + + +      + + + +      + + + ac b cb ac ba ca P = 10 664332323 −      + ++ +      + ++ +      + ++ ac acb cb acb ba cba P = ( ) 10211323 −      + + + + + ++ accbba cba P = ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 6102.21110211.2 2 =−++≥−      + + + + + +++++ accbba cacbba Vậy min P = 6 khi và chỉ khi (a + b)2 = (b + c)2 = (c + a)2 hay a = b = c. Cơ sở: 13 Chọn γβα ,, sao cho: )323()(4)(3)(3 cbamacbcbacbaca ++=++=+++=+++ γβα . Từ đó suy ra 2,6,2 ==== mγβα . III. Bài tập tự giải: 1. Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: a) P = ac ba cb ba ba cb + + + + + + + + 54893 . b) Q = ac ba cb ba ba cb + + + + + + + + 5243 . c) R = cba c cba b cba ca 3 8 2 4 2 3 ++ − ++ + ++ + . 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 2 2A x y= + biết rằng ( ) ( )22 2 2 22 3 2 1.x x y y+ − + − = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của : 2 2 2a b c A b c c a a b = + + + + + với a, b, c là các số dương và a + b + c =6. 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 1 2 A x x = + − với 0 < x < 2. 5. Cho a, b, c > 0 và abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) ( ) ( )3 3 3 1 1 1 A a b c b a c c a b = + + + + + Hướng dẫn giả và đáp số: 1. Câu a và câu b làm tương tự ví dụ 3 Câu c không thể làm như ví dụ 3 được, ta làm như sau: Đặt a + 2b + c = x a + b + 2c = y a + b + 3c = z từ đó suy ra c = z – y; b = x + y – 2y; a = 5y – x – 3z. khi đó R = z y y z y x x y z yz y yzx x xy 8 88 44 1 2888442 +−−++−= − + −+ + − . Rồi áp dụng bđt ta tìm được min R. 2. Từ giả thiết suy ra ( ) ( )22 2 2 2 24 3 0.x y x y x+ − + + = − ≤ Do đó ( )( )2 4 3 0 1 3 0 1 3.A A A A A− + ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ min 1 0, 1. max 3 0, 3. A x y A x y = ⇔ = = ± = ⇔ = = ± 3. 14 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacópki cho 3 cặp số Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2a b c b c a c a b b c a c a b         + + + + + + +         + + +        ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 a b c b c a c a b b c a c a b a b c a b c a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b   ≥ + + + + +  + + +    ⇒ + + + + ≥ + +    + + +  + + ⇒ + + ≥ + + + Suy ra min A = 3. 4. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ( ) ( ) ( )22 2 2 2a b m n am bn+ + ≥ + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 2. 2 1 2 12min 2 3 2 2 2 4 4 2 2 A x x x x x x x x A x xA x x x x x xx         = + − + ≥ − +            − −        ⇒ ≥ + = + −= + ⇔ = ⇔ = ⇔ = − + − − ( )22 4 4 8 2 8 2 2 2x x x x⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = − (chú ý x > 0). Vậy 3 min 2 2 2 2 2 2 A x= + ⇔ = − . 5. Đặt 1 1 1 , ,a b c x y z = = = thì , , 0 1 x y z xyz >  = Khi đó 2 2 2x y z A y z z x x y = + + + + + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, biến đổi tương đương ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x y z x y z A y z z x x y + + + + ≥ = + + + + + Mặt khác theo BDT côsi ta có: 33 3x y z xyz+ + ≥ = Vậy 15 3 min 2 1 1 . x y z y z z x x y A x y z xyz x y z a b c  = = + + + = ⇔ = =  =   ⇔ = = = ⇔ = = ► Bất đẳng thức Bernoulli I. Kiến thức cần nắm )0,1( 1 >≥ +−≥ x xx α ααα (1) Dấu “ =” xảy ra khi x =1 II. Một số bài tập ví dụ: Ví dụ 1: Cho x, y > 0 sao cho x + y = 1. Tim giá trị nhỏ nhất : a. P = x2 + y2 b. Q = x5 + y5 Lời giải: a. Áp dụng bđt Bernoulli ta có: (2x)2 ≥ 1 – 2 + 2(2x) (2y)2 ≥ 1 – 2 + 2(2y) Cộng vế theo vế: 4P ≥ -2 + 4(x + y) = 2 P ≥ 2 1 . Vậy min P = 2 1 khi và chỉ khi x = y = 2 1 . b. Áp dụng bđt Bernoulli ta có: (2x)5 ≥ 1 – 5 + 5(2x) (2y)5 ≥ 1 – 5 + 5(2y) Cộng vế theo vế ta có: 32Q ≥ -8 + 10(x + y) = 2 Q ≥ 16 1 Vậy min Q = 16 1 . Khi và chỉ x = y = 2 1 . Tổng quát: S = xm + ym , m ≥ 1 với x + y = 1. 16 *. Theo (1), với mọi 0>≥ βα , ta có: xx β α β αβ α +−≥ 1 (1’) Đặt xtxt =⇔= ββ 1 (1’) ⇔ Dấu “=” xảy ra khi t = 1. Ví dụ 2: Cho x, y > 0, sao cho x3 + y3 = 1. Tìm min P = 3 10 3 10 yx + . Lởi giải: Theo (2), ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2)(2. 9 10 9 2 2 2 9 10 9 10 12 2 9 10 9 10 12 333 10 3 333 10 3 3 33 10 3 =++−≥⇒ +−≥ +−≥ yxP yy xx Vậy P ≥ 9 2 1 Hay min P = 9 2 1 khi và chỉ khi x = y = 3 2 1 *. Từ (2) thay t bởi 0t t , ta được: Dấu “=” xảy ra khi t = t0 với t0 là điểm đạt giá trị nhỏ nhất. Bài toán: Cho 0,,,;.(1.. >≥=+ dcbaybxa βαββ ) Tìm min P = αα ydxc .. + βα β α β α tt +−≥ 1 (2) ββααα β α β α tttt ..1 00 −+      −≥ (3) 17 Đặt Yyd Xxc = = α α Bài toán trở thành : Cho ββ ynxm .. + = p (m,n > 0) Tìm min A = αα yx + Lời giải: Theo bđt (3), ta có: ββααα ββααα β α β α β α β α yyyy xxxx .1 .1 00 00 − − +      −≥ +      −≥ Cộng lại : A ≥ ( ) ( )...1 0000 ββαββααα β α β α yyxxyx −− +++      − Chọn (x0 , y0) thoả mãn: ββ ynxm .. + = p n y m x βαβα −− = 00 . Khi đó: A ≥ ( ) ..1 000 m x yx βα αα β α β α − ++      − p. Vậy min A = ( ) ..1 000 m x yx βα αα β α β α − ++      − p khi và chỉ khi x = x0, y = y0. ▼