Chuyên đề Đồ thị Hamilton

Chuyên đề ĐỒ THỊ HAMILTON Khái niệm đường đi Hamilton được xuất phát từ bài toán: “Xuất phát từ một đỉnh của khối thập nhị diện đều, hãy đi dọc theo các cạnh của khối đó sao cho đi qua tất cả các đỉnhkhác, mỗi đỉnh đi qua đúng một lần, sau đó trở về đỉnh xuất phát” Bài toán này được nhà toán học Hamilton đưa ra vào năm 1859 Giới thiệu: Nhà toán học Hamilton Đường đi Hamilton là đường qua tất cả các đỉnh của đồ thị và đi qua mỗi đỉnh đúng một lần Hay đường đi (x[1],x[2],…,x[n]) được gọi là đường đi Hamilton nếu x[i]≠x[j] (1≤i2 đỉnh, mỗi đỉnh có deg(v) ≥ n/2 thì G là đồ thị Hamilton (Dirak 1952) Định lý về đồ thị Hamilton: 3. Giả sử G là đồ thị có hướng liên thông mạnh với n đỉnh. Nếu với mỗi đỉnh thuộc đồ thị thoả: deg+(v) ≥ n/2 và deg-(v) ≥ n/2 thì G là đồ thị Hamilton. Định lý về đồ thị Hamilton: Đồ thị G có hướng liên thông mạnh Ví dụ: Đồ thị G là đồ thị có hướng liên thông mạnh thỏa mãn các điều kiện trên  G là đồ thị Hamilton Định lý về đồ thị Hamilton (tt): 4. Đồ thị đấu loại: là đồ thị có hướng mà trong đó 2 đỉnh bất kỳ của nó được nối với nhau bởi đúng một cung. Mọi đồ thị đấu loại là nửa Hamilton Mọi đồ thị đấu loại liên thông mạnh là Hamilton Đồ thị đấu loại D5 Đồ thị đấu loại liên thông mạnh D6 Định lý về đồ thị Hamilton (tt): 5. Đơn đồ thị vô hướng G gồm n đỉnh với n ≥ 3. Nếu deg(v) ≥(n-1)/2 với mọi đỉnh v của G thì G có đường đi Hamilton. 6. Đơn đồ thị vô hướng G gồm n đỉnh với n ≥ 3. Nếu deg(x)+deg(y) ≥n với mọi cặp đỉnh x,y không kề nhau của G thì G là đồ thị Hamilton. 7. Đơn đồ thị vô hướng G gồm n đỉnh và m cạnh. Nếu m ≥ (n2-3n+6)/2 thì G là đồ thị Hamilton. Cho tới nay, vẫn chưa tìm ra phương pháp với độ phức tạp đa thức để tìm chu trình cũng như đường đi Hamilton trong trướng hợp đồ thị tổng quát. Có thể sử dụng thuật toán quay lui để liệt kê chu trình Hamilton Tìm chu trình Hamiloton của đồ thị: Cấu trúc dữ liệu Lưu trữ đồ thị đã cho dưới dạng danh sách kề Ke(v) Liệt kê các chu trình Hamilton thu được bằng việc phát triển dãy đỉnh (X[1],…,X[k-1]) Mô tả thuật toán: Bước 1: Bắt đầu đi từ đỉnh 1, x[1]:=1 Bước 2: Tìm và lưu đỉnh có cạnh nối với x[i] và đỉnh j này chưa thăm trước đó. Bước 3: Nếu đỉnh j này là x[n] và giữa j và x[1] có cạnh nối thì xuất ra đồ thị Hamilton. Nếu đỉnh j vẫn chưa phải là x[n] thì tiếp tục bước 2. Mã giả của thuật toán Procedure Hamilton(k); Begin for y Ke(X[k-1]) do if (k=n+1) and (y=v0) then ghinhan(X[1],…,X[n],v0) else if chuaxet[y] then begin X[k]:=y; chuaxet[y]:=false; Hamilton(k+1); chuaxet[y]:=true; end; End; Đồ thị vô hướng G gồm 5 đỉnh và 6 cạnh 5 6 1 2 1 3 1 4 2 4 2 5 3 5 Dữ liệu vào: (input) 1 2 3 4 5 X = 1 2 3 4 5 1 3 6 1 4 5 1 2 1 Chu trình Hamilton Mô tả quá trình tìm chu trình Hamilton Nhận xét Với đồ thị có số cạnh lớn thuật tóan trên sẽ không thể đáp ứng hai yêu cầu: Thời gian thực hiện: độ phức tạp của thuật toán trong trường hợp xấu nhất là O(n*m) (với n là số cạnh và m là số đỉnh của đồ thị) Kích thước bộ nhớ: do thuật toán sử dụng là thuật toán quay lui nên việc xử lý đồ thị lớn sẽ gây tràn bộ nhớ.  Thuật toán này chỉ có khả năng làm việc với đồ thị có số cạnh nhỏ Đây có là đồ thị hamilton không? Bài tập Một số bài toán có liên quan đến đồ thị Hamilton Bài toán mã đi tuần: Trên bàn cờ tổng quát n*n (n chẵn, 6≤n≤20), có đặt quân mã ở một ô nào đó. Hãy tìm một hành trình của quân mã từ ô xuất phát, đi qua tất cả các ô đúng 1 lần. XIN CẢM ƠN SỰ CHÚ Ý THEO DÕI CỦA THẦY VÀ CÁC BẠN NHÓM THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ: Nguyễn Tuấn Hùng Nguyễn Quốc Huy Bùi Hoàng Việt