Chuyên đề Đường tròn lượng giác

Đường tròn lg Các hàm lượng giác cũng có thể được định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị, một vòng tròn có bán kính bằng 1 và tâm trùng với tâm của hệ tọa độ. Định nghĩa dùng vòng tròn đơn vị thực ra cũng dựa vào tam giác vuông, nhưng chúng có thể định nghĩa cho các mọi góc là số thực, chứ không chỉ giới hạn giữa 0 và Pi/2 radian. Các góc lớn hơn 2π hay nhỏ hơn −2π quay vòng trên đường tròn. [sửa] Dùng đại số Vòng tròn đơn vị và một số điểm đặc biệt ứng với một số góc đặc biệt. Vòng tròn đơn vị là mọi điểm (x, y) trên mặt phẳng của hình học phẳng thỏa mãn: x2 + y2 = 1 Gọi góc θ là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ và điểm (x,y) trên vòng tròn và chiều dương của trục x của hệ tọa độ x-y, các hàm lượng giác có thể được định nghĩa là: Hàm Định nghĩa sin(θ) y cos(θ) x tan(θ) y/x cot(θ) x/y sec(θ) 1/x csc(θ) 1/y Khi các góc quay trên vòng tròn, hàm sin, cos, sec và cosec trở nên hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π radian hay 360 độ: Ở đây θ là góc, một số thực bất kỳ; k là một số nguyên bất kỳ. Tang và Cotang tuần hoàn với chu kỳ π radian hay 180 độ. [sửa] Dùng hình học Mọi hàm lượng giác đều có thể được dựng lên bằng phương pháp hình học trên một vòng tròn đơn vị có tâm ở O. Hình vẽ bên cho thấy định nghĩa bằng hình học về các hàm lượng giác cho góc bất kỳ trên vòng tròn đơn vị tâm O. Với θ là nửa cung AB: Hàm Định nghĩa Chú thích sin(θ) AC định nghĩa lần đầu giới thiệu trong lịch sử bởi người Ấn Độ cos(θ) OC tan(θ) AE đường tiếp tuyến với đường tròn tại A, ý nghĩa này đã mang lại cho cái tên "tan" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "tiếp tuyến" cot(θ) AF sec(θ) OE đường cắt vòng tròn, ý nghĩa này đã mang lại cho cái tên "secant" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "đường cắt vòng tròn" csc(θ) OF versin(θ) CD versin(θ) = 1 − cos(θ) exsec(θ) DE exsec(θ) = sec(θ) − 1 Theo hình vẽ, dễ thấy sec và tang sẽ phân kỳ khi θ tiến tới π/2 (90 độ), cosec và cotang phân kỳ khi θ tiến tới 0. Nhiều cách xây dựng tương tự có thể được thực hiện trên vòng tròn đơn vị, và các tính chất của các hàm lượng giác có thể được chứng minh bằng hình học. [sửa] Định nghĩa bằng chuỗi Hàm sin (xanh lam) được xấp xỉ bằng chuỗi Taylor bậc 7 (màu hồng). Dùng hình học và các tính chất của giới hạn hàm số, có thể chứng minh rằng đạo hàm của hàm sin là hàm cos và đạo hàm của hàm cos là trái dấu của hàm sin. Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi, cho mọi góc x đo bằng giá trị radian thực. Từ hai hàm này có thể suy ra chuỗi của các hàm lượng dạng còn lại. Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Chúng có thể dùng làm định nghĩa cho hàm lượng giác. Chúng được dùng trong nhiều ứng dụng, như chuỗi Fourier), vì lý thuyết của chuỗi vô hạn có thể được xây dựng từ nền tảng hệ thống số thực, độc lập với hình học. Các tính chất như khả vi hay liên tục có thể được chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi. Trong bảng dưới, quy ước: En là số Euler thứ n Un là số lên/xuống thứ n Hàm Định nghĩa Cụ thể sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) sec(x) csc(x) [sửa] Trên trường số phức Trên trường số phức Từ định nghĩa bằng chuỗi, có thể chứng minh rằng các hàm sin và cos là phần ảo và phần thực của hàm mũ của số ảo: Với i là đơn vị ảo, căn bậc hai của -1. Liên hệ này được phát hiện lần đầu bởi Euler và công thức này đã được gọi là công thức Euler. Trong giải tích phức, nếu vẽ vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng phức, gồm các điểm z = eix, các mối liên hệ giữa số phức và lượng giác trở nên rõ ràng. Ví dụ như các quá trình miêu tả bởi hàm mũ phức có tính chất tuần hoàn. Công thức trên cũng cho phép mở rộng hàm lượng giác ra cho biến phức z: Trong trường hợp đặc biệt, z = x, một số thực [sửa] Định nghĩa bằng phương trình vi phân Cả hai hàm sin và cos thỏa mãn phương trình vi phân Các hàm này là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai của chúng. Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương trình vi phân trên, sin là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn cos là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 1 và y′(0) = 0. Hai hàm này lại độc lập tuyến tính trong V, chúng tạo thành hệ cơ sở cho V. Thực tế cách định nghĩa này tương đương với việc dùng công thức Euler. Phương trình vi phân không chỉ có thể được dùng để định nghĩa sin và cos mà còn có thể được dùng để chứng minh các đẳng thức lượng giác cho các hàm này. Hàm tan là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến sau: với điều kiện biên y(0) = 0. Xem [1] cho một chứng minh của công thức này. Các phương trình trên chỉ đúng khi biến số trong các hàm lượng giác là radian. Nếu dùng đơn vị đo góc khác, biến số thay đổi bằng qua một nhân tử k. Ví dụ, nếu x được tính bằng độ, k sẽ là: Lúc đó: và vi phân của hàm sin bị thay đổi cùng nhân tử này: . Nghĩa là hàm sẽ phải thỏa mãn: Ví dụ trên cho hàm sin, điều tương tự cũng xảy ra cho hàm lượng giác khác. [sửa] Các định nghĩa khác Hàm sin và cos, và các hàm lượng giác khác suy ra từ hai hàm này, có thể được định nghĩa là hàm s và c trong định lý sau: Tồn tại duy nhất cặp hàm s và c trên trường số thực thỏa mãn: s(x)2 + c(x)2 = 1 s(x+y) = s(x)c(y) + c(x)s(y) c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y) 0 < xc(x) < s(x) < x cho mọi 0 < x < 1 Ở đây . [sửa] Miền xác định và miền giá trị Các hàm số lượng giác trên trường số thực có miền xác định và miền giá trị được tổng kết trong bảng sau: Hàm Miền xác định Miền giá trị sin R (toàn bộ trục số thực) [-1, 1] cos R [-1, 1] tang R/{π/2 + kπ|k nguyên} (các số thực khác π/2 + kπ, với k là các số nguyên) R cotang R/{kπ|k nguyên} (các số thực khác kπ, với k là các số nguyên) R [sửa] Phương pháp tính Việc tính giá trị số cho các hàm lượng giác là bài toán phức tạp. Ngày nay, đa số mọi người có thể dùng máy tính hay máy tính bỏ túi khoa học để tính giá trị các hàm này. Dưới đây trình bày việc dùng bảng tính trong lịch sử để tra giá trị các hàm lượng giác, kỹ thuật tính ngày nay trong máy tính, và một số giá trị chính xác dễ nhớ. Trước hết, việc tính giá trị các hàm lượng giác chỉ cần tập trung vào các góc nằm, ví dụ, từ 0 đến π/2, vì giá trị của các hàm lượng giác ở các góc khác đều có thể được suy ra bằng tính chất tuần hoàn và đối xứng của các hàm. Trước khi có máy tính, người ta thường tìm giá trị hàm lượng giác bằng cách nội suy từ một bảng tính sẵn, có độ chính xác tới nhiều chữ số thập phân. Các bảng tính này thường được xây dựng bằng cách sử dụng các công thức lượng giác, như công thức chia đôi góc, hay công thức cộng góc, bắt đầu từ một vài giá trị chính xác (như sin(π/2)=1). Các máy tính hiện đại dùng nhiều kỹ thuật khác nhau (Kantabutra, 1996). Một phương pháp phổ biến, đặc biệt cho các máy tính có các bộ tính số thập phân, là kết hợp xấp xỉ đa thức (ví dụ chuỗi Taylor hữu hạn hoặc hàm hữu tỷ) với các bảng tính sẵn — đầu tiên, máy tính tìm đến giá trị tính sẵn trong bảng nhỏ cho góc nằm gần góc cần tính nhất, rồi dùng đa thức để sửa giá trị trong bảng về giá trị chính xác hơn. Trên các phần cứng không có bộ số học và lô gíc, có thể dùng thuật toán CORDIC (hoặc các kỹ thuật tương tự) để tính hiệu quả hơn, vì thuật toán này chỉ dùng toán tử chuyển vị và phép cộng. Các phương pháp này đều thường được lắp sẵn trong các phần cứng máy tính để tăng tốc độ xử lý. Đối với các góc đặc biệt, giá trị các hàm lượng giác có thể được tính bằng giấy và bút dựa vào định lý Pytago. Ví dụ như sin, cos và tang của các góc là bội của π/60 radian (3 độ) có thể tính được chính xác bằng giấy bút. Một ví dụ đơn giản là tam giác vuông cân với các góc nhọn bằng π/4 radian (45 độ). Cạnh kề b bằng cạnh đối a và có thể đặt a = b = 1. Sin, cos và tang của π/4 radian (45 độ) có thể tính bằng định lý Pytago như sau: Nên: Một ví dụ khác là tìm giá trị hàm lượng giác của π/3 radian (60 độ) và π/6 radian (30 độ), có thể bắt đầu với tam giác đều có các cạnh bằng 1. Cả 3 góc của tam giác bằng π/3 radian (60 độ). Chia đôi tam giác này thành hai tam giác vuông có góc nhọn π/6 radian (30 độ) và π/3 radian (60 độ). Mỗi tam giác vuông có cạnh ngắn nhất là 1/2, cạnh huyền bằng 1 và cạnh còn lại bằng (√3)/2. Như vậy: [sửa] Hàm lượng giác ngược Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm ngược, cần giới hạn miền của hàm. Dươi đây là định nghĩa các hàm lượng giác ngược: Giới hạn miền Định nghĩa -π/2 < y < π/2 y = arcsin(x) khi và chỉ khi x = sin(y) 0 < y < π y = arccos(x) khi và chỉ khi x = cos(y) -π/2 < y < π/2 y = arctan(x) khi và chỉ khi x = tan(y) -π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 y = arccot(x) khi và chỉ khi x = cot(y) 0 < y < π và y ≠ π/2 y = arcsec(x) khi và chỉ khi x = sec(y) -π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 y = arccsc(x) khi và chỉ khi x = csc(y) Các hàm ngược được ký hiệu là arcsin và arccos Các hàm lượng giác ngược cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn: Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác. Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác ngược ra cho các biến phức: [sửa] Một số đẳng thức Xem thêm Đẳng thức lượng giác Xem thêm Danh sách tích phân với hàm lượng giác, Danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược [sửa] Tính chất và ứng dụng Định luật sin và định luật cos có thể được chứng minh bằng việc chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông. Các hàm lượng giác có vị trí quan trọng trong lượng giác học. Bên ngoài lượng giác học, tính tuần hoàn của chúng có ích cho việc mô phỏng các chuyển động sóng như sóng điện từ hay âm thanh. Mọi tín hiệu đều có thể được phân tích thành tổng (vô hạn) của các hàm sin và cos ứng với nhiều tần số; đây là ý tưởng chủ đạo của phân tích Fourier, dùng để giải quyết các bài toán điều kiện biên và phương trình đạo hàm riêng. Các tính chất quan trọng nhất của các hàm lượng giác trong lượng giác học được thể hiện ở ba định lý: [sửa] Định lý sin Định lý sin phát biểu cho bất kỳ một tam giác nào: =1/2R Có thể chứng min định lý này bằng cách chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông, rồi dùng định nghĩa của hàm sin. (sinA)/a là nghịch đảo của đường kính đường tròn đi qua ba điểm A, B và C. Định lý sin có thể dùng để tính độ dài của một cạnh khi đã biết độ dài hai cạnh còn lại của tam giác. Đây là bài toán hay gặp trong kỹ thuật tam giác, một kỹ thuật dùng để đo khoảng cách dựa vào việc đo các góc và các khoảng cách dễ đo khác. 1X1=? 1X1=? 1X3=? 1X4=? 1X5=? 1X6=?<DE THI DAI HOK 2100 [sửa] Định lý cosin Định lý cos là một kết quả mở rộng của định lý Pyta la` bo ong go: Định lý này cũng có thể được chứng minh bằng việc chia tam giác thành hai tam giác vuông. Định lý này có thể được dùng để tìm các dữ liệu chưa biết về một tam giác nếu đã biết độ lớn hai cạnh và một góc. Nếu góc trong biểu thức không được quy ước rõ ràng, ví dụ nhỏ hơn 90°, thì sẽ có hai tam giác thỏa mãn định lý cos, ứng với hai góc C nằm trong khoảng từ 0 đến 180° cùng cho một giá trị cos C.( de hoc tot can uong sua vinamilk moi ngya`) [sửa] Định lý tang Định lý tang phát biểu là: [sửa] Tham khảo (bằng tiếng Anh) Carl B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd ed. (Wiley, New York, 1991). Eli Maor, Trigonometric Delights (Princeton Univ. Press, 1998). "Trigonometric functions", MacTutor History of Mathematics Archive. Tristan Needham, Visual Complex Analysis, (Oxford University Press, 2000), ISBN 0198534469 Book website Vitit Kantabutra, "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," IEEE Trans. Computers 45 (3), 328-339 (1996). [sửa] Xem thêm Hàm hypécbol Định lý Pytago Đẳng thức lượng giác