Chuyên đề Giá trị cực trị của hàm số

Chuyên đề Giá trị cực trị của hàm số Biên soạn: Thầy Bùi Anh Tuấn Cộng tác viên truongtructuyen.vn Nội dung Tóm tắt lý thuyết Ví dụ minh hoạ Bài tập tự giải Tóm tắt lý thuyết Cho hàm số y = f(x), nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì f(x0) gọi là giá trị cực trị của hàm số và M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số. Đối với hàm bậc ba: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có 2 điểm cực trị x1; x2. Để tính giá trị cực trị của hàm số ta có thể thực hiện theo cách sau: Thực hiện phép chia đa thức f(x) cho f’(x) f(x) = f’(x) (mx + n) + Ax + B (trong đó mx + n là thương của phép chia và Ax + B là số dư của phép chia) Vì f’(x1) = f’(x2) = 0 nên f(x1) = Ax1 + B f(x2) = Ax2 + B Giá trị cực trị của hàm số Đối với hàm hữu tỉ . Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x0 với v’(x0)  0 thì Vậy giá trị cực trị của hàm số là Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 1 Cho hàm số . Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách 2 điểm cực trị không đổi. Lời giải Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 2 Cho hàm số . Giá trị nào của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng : x + 2y – 3 = 0. Lời giải Để hàm số có cực đại, cực tiểu  f(x) = mx2 – 2x + m = 0 (*) có 2 nghiệm phân biệt khác Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 2 (tt) Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số nên: Tọa độ hai điểm cực trị (x1; y1) ; (x2; y2) thỏa mãn phương trình: Nên phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 2 (tt) Để đường thẳng qua 2 điểm cực trị vuông góc với (không thỏa mãn) Vậy không tồn tại m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng vuông góc với Chú ý: Cho 2 đường thẳng d1: y = a1x + b1 d2: y = a2x + b2 d1 vuông góc với d2  a1.a2 = -1 d1 song song với d2  a1 = a2 và b1 ≠ b2 Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 3 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m. Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng : x – 2y – 5 = 0 Lời giải Ta có y’ = 3x2 – 6x + m2 = 0 Hàm số có cực đại, cực tiểu Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) là 2 điểm cực trị  y’ (x1) = y’ (x2) = 0 và theo Vi-ét ta có Lấy y chia cho y’ ta được Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 3 (tt) Vì tọa độ (x1; y1) ; (x2; y2) luôn thỏa mãn phương trình Nên phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là Để 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng  thì d vuông góc với  và khoảng cách từ (x1; y1) ; (x2; y2) đến  là bằng nhau Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 3 (tt) Vậy m = 0 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng : x – 2y – 5 = 0 Chú ý: Cho điểm M(x0, y0) và đường thẳng : Ax + By + C = 0 Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 4 Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + 3x – 1. Xác định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của Ox Lời giải Ta có y’ = 3mx2 – 6mx + 3. Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt  g(x) = mx2 – 2mx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt Lấy y chia cho g(x) ta được: y = (x - 1).g(x) + (2 - 2m)x Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 4 (tt) Để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của Ox Từ (1) và (2)  m 0 (1) 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là ABC đều  AB2 = AC2 = BC2 Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 5 (tt) Từ (1) và (2) thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác đều. Giá trị cực trị của hàm số Bài tập tự giải Bài 1: (HVQHQT Khối D – 2001) cho hàm số Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa 2 điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất. Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m. Xác định m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Bài 3: (HVQHQT – 97) Xác định m để đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 – x + 2m + m4 có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác đều. Giá trị cực trị của hàm số Bài tập tự giải (tt) Bài 4: Chứng minh rằng nếu hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thì: |y(x1) – y(x2)| = 4|x1 – x2| Bài 5: (ĐHQG Khối A – 99) cho hàm số a) Xác định m để hàm số có cực trị b) Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất Bài 6: (ĐHSP I Khối A –2000) Cho hàm số Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ 2 điểm đó đến đường thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau. Giá trị cực trị của hàm số Bài tập tự giải (tt) Bài 7: Cho hàm số Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu thỏa mãn |yCĐ - yCT| = 4 Bài 8: Cho hàm số Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía đối với trục Ox. Giá trị cực trị của hàm số