Chuyên đề Khối đa diện và tròn xoay

Chuyên đề 6 : HUỲNH DUY KHÁNH §1 . CÁC CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC. Hình vuông cạnh a có diện tích Hình chữ nhật có cạnh a,b có diện tích Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a,b có diện tích . Tam giác thường biết cạnh đáy và chiều cao Hình thoi biết hai đường chéo a,b Hình bình hành biết cạnh a và đường cao hA . Hình thang hai đáy a,b chiều cao h Một số công thức khác tính diện tích tam giác Định lý Cosin . Định lý sin Hệ thức lượng trong tam giác vuông THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích số diện tích mặt đáy và chiều cao. Thể tích khối lăng trụ bằng tích số diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ đó. TỶ SỐ THỂ TÍCH. ĐỊNH LÝ 1 Cho tam giác ABC và đường thẳng d cắt AB,AC lần lượt tại B’,C’ khi đó ĐỊNH LÝ 2 Cho tứ diện S.ABC mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A’B’C’ khi đó THỂTÍCH KHỐI TRÒN XOAY. § 2. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN. Dạng 1: Tính thể tích của khối chóp đều Cách giải: Xác định đường cao của khối chóp và tính độ dài đường cao. Tính diện tích đáy của khối chóp Chú ý: Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy. Bài 1 Tính thể tích tứ diện đều ABCD có các cạnh đều bằng a. Lời giải: Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD) ÞAH là đường cao tứ diện, do tứ diện đều nên AB=AC=AD suy ra HB=HC=HD hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và H là trọng tâm của tam giác BCD. Kẻ BH cắt CD tại M ta có . Tam giác AHB vuông tại H nên ta được: . vậy thể tích của tứ diện ABCD là . Bài 2 Tính thể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh bên và cạnh đáy kề nhau bằng 45o. Lời giải: Gọi H là hình chiếu của S lên mp(SBC) ÞSH là đường cao tứ diện, do khối chóp đều nên SA=SB=SC suy ra HA=HB=HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trọng tâm của tam giác ABC. Nối AH cắt BC tại M ta có M là trung điểm của BC và . Tam giác SBC cân có hai góc 45o nên tam giác vuông Tam giác SHM vuông tại H . Bài 3 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Lời giải: Giả sử có hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD do SA=SB=SC=SD suy ra HA=HB=HC=HD suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD hay H là giao điểm của hai đường chéo. ; Tam giác SHA vuông tại H nên Vậy . Dạng 2 Tính thể tích khối chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Cách giải Đường cao của khối chóp là cạnh bên vuông với đáy Tìm cách tính được diện tích đáy và chiều cao. Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có SA^(ABC) đáy ABC là tam giác vuông tại B. Gọi H,K là hình chiếu của A lên SB,SC cho SA=AB=BC=a Tính thể tích khối chóp S.ABC. Chứng minh rằng SC^ AH. Tính thể tích khối chóp S.AHK Lời giải Ta có BC ^ AB, BC ^ SA suy ra BC ^ (SAB)Þ BC^ AH Mặt khác AH ^ SB suy ra AH ^ (SBC) Þ AH ^ SC. Ta tính thể tích khối chóp S.AHK theo trên ta có tam giác AHK vuông tại H Tam giác SAB vuông cân có AH là đường cao Tam giác SAK vuông tại A có AK là đường cao . Vậy diện tích đáy của khối chóp S.AHK là Chiều cao khối chóp Thể tích khối chóp S.AHK là (Ta có thể giải bài trên bằng tỉ số thể tích) Bài 2 Cho tứ diện S.ABC có SA^(ABC) đáy ABC là tam giác cân tại A cho SA=AB=a góc ABC=a. Gọi H, K là hình chiếu của A lên SB và SC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và a. Tính thể tích khối chóp A.BCKH. Lời giải: Vì tam giác ABC cân tại A nên Tam giác SAB và SAC vuông cân tại A nên H,K lần lượt là trung điểm của SB,SC sử dụng tỉ số thể tích ta được Vậy . Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SC ^(ABCD) cho SA=. Gọi H là hình chiếu của C lên SB, K là trung điểm của SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Chứng minh rằng tam giác CHK đều. Tính thể tích khối chóp C.BDKH. Lời giải: Tam giác SAC vuông tại C Þ Tam giác SCB vuông cân tại C nên CH là đường cao và là đường trung tuyến, mặt khác tam giác SCB bằng tam giác SCD nên CH=CK= Vì H,K là trung điểm của SB,SD nên HK là đường trung bình của tam giác SBD Þ HK= BD= vậy tam giác CHK đều. Ta sử dụng tỉ số thể tích của khối chóp S.CBD và khối chóp S.CHK Vậy . Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , AB=BC=a,AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a. Lời giải: M,N là trung điểm SA,SD Þ MN//AD MN=1/2 ADvậy MN//BC và MN=BC hay BCMN là hình bình hành Mặt khác BC^AB,BC^SA ÞBC^(SAB)ÞBC^BM Vậy BCMN là hình chữ nhật. với SH là chiều cao của khối chóp Vì M là trung điểm SA nên với AH’ là chiều cao của tam giác vuông cân ABM Vậy Chú ý: có thể giải bài toán trên bằng tỉ số thể tích. Dạng 3 Tính thể tích khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy. Cách giải Đường cao của khối chóp nằm trên giao tuyến của mặt bên và mặt đáy nó vuông góc Tìm cách tính được chiều cao và diện tích đáy Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đáy AD và BC. Mặt phẳng SAD vuông góc với mặt đáy của hình chóp cho AB=BC=CD=a, SA=SD=AD=2a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Lời giải Kẻ SH vuông góc AD do (SAD)^(ABCD) nên SH^(ABCD) vậy SH là đường cao của khối chóp. Mặt khác SA=SD=AD nên H là trung điểm của AD và SH=. Nối HB,HC tứ giác ABCH là hình bình hành do AH song song và bằng BC ta lại có AB=BC nên AHBC là hình thoi vậy AB=HC=a hay tam giác HCD đều Vậy ABCD là nữa lục giác đều. . Khối chóp S.ABC có chiều cao SH và diện tích tam giác ABC bằng với diện tích tam giác ABH và bằng Vậy . Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45o ,SA=SB Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. Lời giải: Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABCD) do (SAB) ^(ABCD) nên H nằm trên AB mặt khác SA=SB nên H là trung điểm của AB và góc SCH là góc hợp bởi cạnh bên SC và mp đáy. Tam giác HBC vuông tại B Vậy Dạng 4: Thể tích khối chóp bất kỳ Cách giải: Xác định đỉnh khối chóp cho phù hợp nếu là khối chóp tam giác. Xác định chân đường cao nằm ở vị trí nào trên mặt đáy. Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, nếu các mặt bên hợp với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy. Bài 1 Cho tứ diện ABCD biết ABC là tam giác vuông tại A có ; cho và tam giác DBC vuông Tính thể tích tứ diện theo a. (bài toán yêu cầu học sinh phải có nhận xét tốt về chân đường cao của khối chóp có ba cạnh bên bằng nhau) Lời giải: Gọi I là hình chiếu của D lên mp(ABC) do DA=DB=DC nên I trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC suy ra I chính là trung điểm của BC. Tam giác DBC vuông cân tại D nên Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A cho AB=3; AC=4 góc hợp bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng 60o tính thể tích khối chóp. (bài toán yêu cầu HS có nhận xét tốt về chân đường cao và công thức diện tích tam giác ) Lời giải: Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC). Từ H kẽ HA’,HB’,HC’ lần lượt vuông góc với BC,CA,AB khi đó các góc SA’H, SB’H, SC’H là các góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy.do các góc này đều bằng 60o nên HA’=HB’=HC’ hay H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có Độ dài đường cao của hình chóp . Dạng 5 Tính thể tích khối lăng trụ Cách giải Đường cao của lăng trụ đứng là độ dài cạnh bên, lăng trụ xiên là hình chiếu của một đỉnh lên mặt đối diện. Tìm cách tính được chiều cao và diện tích đáy. Bài 1 Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằnga. Đáp số Bài 2 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ biết rằng mp(A’BC) tạo với đáy một góc 30o và tam giác A’BC có diện tích bằng 8 tính thể tích khối lăng trụ. Lời giải: (Mục đích học sinh nhớ lại công thức diện tích đa giác chiếu) Kẽ AH ^ BC do lăng trụ đều nên AA’^(ABC) suy ra A’H^BC hay Tam giác ABC đều cạnh a nên Tam giác AA’H vuông tại A nên Vậy thể tích lăng trụ . Bài tập 5 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a .AC’=2a Tính thể tích khối lăng trụ. Bài tập 6 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Gọi O’ là tâm của tam giác A’B’C’. Biết O’ là hình chiếu của B lên (A’B’C’) , cho cạnh bên của lăng trụ bằng . Tính thể tích khối lăng trụ. Bài tập 7 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60o. biết rằng tam giác A’B’C’ vuông tại B’, A’B’=3, B’C’=4 . B’H’ là đường cao của tam giác A’B’C’ và H’ là hình chiếu của điểm B lên (A’B’C’). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. §3. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Dạng toán1: Tính thể tích, diện tích của khối nón Cách giải: Xác định đường cao bán kính của khối nón. Áp dụng công thức phù hợp Bài 1: Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF có cạnh đáy bằng a cạnh bên 2a. Tính thể tích và diện tích xung quanh khối nón ngoại tiếp hình chóp. Lời giải: Lục giác đều ABCDEF cạnh a nên nó nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R=a. Xét tam giác SAD có SA=SD=2a=AD suy ra tam giác SAD đều vậy đường cao chính là đường cao của hình chóp. Bài 2: Một hình nón có đường sinh bằng a góc ở đỉnh bằng 90o. Cẳt hình nón bởi một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (P) và đáy hình nón bằng 60o Tính thể tích và diện tích toàn phần của khối nón. Tính diện tích thiết diện. Lời giải: Giả sử ta có hình nón đỉnh S trục SO mặt phẳng (P) cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SAB gọi M là trung điểm AB. Góc ở đỉnh của hình nón bằng 90o nên OSA=45o suy ra OS=OA= Tam giác SAB cân tại S có M là trung điểm AB SM^AB Tam giác OAB cân tại O OM ^AB vậy góc giữa (P) và đáy hình nón là góc SMO tam giác SOM vuông tam giác OAM vuông tại M Bài 3: Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối cầu có thể tích bằng thể tích khối nón thì khối cầu có bán kính bằng bao nhiêu? Lời giải: Khối nón sinh bởi tam giác đều cạnh a nên có bán kính R=a/2 và chiều cao Gọi R’ là bán kính khối cầu khi đó vậy bán kính khối cầu . Dạng toán2: Tính thể tích, diện tích của khối trụ Cách giải: Xác định đường cao bán kính của khối trụ. Áp dụng công thức phù hợp Bài 1: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông cạnh 2a Tính thể tích và diện tích xung quanh khối trụ theo a. Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp khối trụ Lời giải: Thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a nên hình trụ có bán kính R=a và chiều cao h=2a Giả sử có lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp khối trụ do ABCD là hình vuông có đường chéo 2a Vậy thể tích lăng trụ là Bài 2: Một khối trụ có bán kính R và chiều cao Tính diện tích toàn phần và thể tích khối trụ theo R. Cho hai điểm A,B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục hình trụ là 30o. Tính khoảng cách giữa AB và trục hình trụ. Lời giải: Từ A kẻ đường sinh AA’//OO’ , gọi M là trung điểm của A’B OO’//AA’ suy ra góc hợp bởi AB và trục hình trụ là góc A’AB Mặt khác OO’//(A’AB) nên khoảng cách giữa trục OO’ và AB là khoảng cách từ O đến mp(A’AB) hay chính là độ dài đoạn OM. Tam giác AA’B vuông tại A’ Tam giác OA’M vuông tại M Vậy khoảng cách trục hình trụ và AB là . Bài 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh a chiều cao bằng 2a Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ Lời giải : Tam giác ABC đều cạnh a nên có đường cao bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là Thể tích khối trụ Gọi I là trung điểm của trục hình trụ OO’ khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ là Bài 4: Một khối hộp chữ nhật có ba kích thước là a,b,c nội tiếp trong khối trụ. Tính thể tích khối trụ. Lời giải : Ta có nhận xét có ba khối trụ ngoại tiếp khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước AB=a,AD=b,AA’=c Ta giả sử rằng khối trụ ngoại tiếp có đáy nằm trên mp(ABCD). Khi đó bán kính khối trụ Và chiều cao khối trụ là AA’=c Thể tích khối trụ Như vậy thể tích khối trụ là Dạng 3: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tìm một điểm cách đều các đỉnh hình chóp. Tìm một đoạn mà các đỉnh nhìn đoạn đó dưới một góc vuông Tìm giao của trục đường tròn đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có SA ^ (ABC) đáy ABC là tam giác vuông cân tại B gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SC. Cho SA=AB=a Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK. Lời giải: Gọi I là trung điểm SC ta có SA^(ABC) Þ SA^AC tam giác SAC vuông tại A ÞIS=IA=IC (trung tuyến bằng nửa cạnh huyền) CB^AB, CB^SA ÞCB^(SAB) ÞCB^SB tam giác SBC vuông tại B ÞIS=IC=IB. Vậy I cách đều các đỉnh của tứ diện hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện băn kính . Gọi O là trung điểm của AC Tam giác ABC vuông tại A ÞOA=OB=OC . Tam giác AKC vuông tại K ÞOA=OC=OK. Vì AH^SB; AH^BC ÞAH^(SBC)ÞAH^HC Tam giác AHC vuông tại H ÞOA=OC=OH. Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK. Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a cạnh bên . Gọi A’B’C’D’ lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC,SD. Chứng minh rằng các điểm ABCD.A’B’C’D’ cùng thuộc mặt cầu , tìm tâm và bán kính mặt cầu đó.( hãy thay giả thiết cạnh bên bằng bằng giả thiết cạnh bên có độ dài a). Lời giải: Gọi H là tâm của hình vuông ABBCD do hình chóp đều nên SH ^(ABCD) ÞSH là trục đường tròn của đa giác đáy, măt khác A’B’C’D’//ABCD và A’B’C’D’ là hình vuông ÞSH ^(A’B’C’D’) và SH đi qua H’ kà giao điểm của hai đường chéo hình vuông A’B’C’D’ vậy SH là trục của đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy của khối chóp cụt. Ta chứng minh ABCD.A’B’C’D’ cùng thuộc mặt cầu tâm H Thật vậy do SA=SC=AC= nên tam giác SAC đều ÞHA’= Mặt khác H thuộc trục đường tròn ngoại tiếp đai đa giác ABCD và A’B’C’D’ nên HA=HB=HC=HD=HA’=HB’=HC’=HD’ vậy các điểm ABCD.A’B’C’D’ cùng thuộc mặt cầu có tâm H bán kính Dạng 4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Lăng trụ nội tiếp mặt cầu nếu nó là lăng trụ đứng có đáy nội tiếp trong đường tròn. Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn nối tâm của hai đường tròn đáy. Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Tính thể tích và diện tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ. Lời giải. Giả sử có lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ . Gọi O và O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp hai hai đáy ABC và A’B’C’. Gọi I là trung điểm của OO’ khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Xét tam giác IOA vuông tại O ta có vậy Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A. Biết góc hợp bởi B’C và mặt phẳng đáy bằng 60o và BC=a. Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ. CÁC BÀI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Bài 1 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABCcó cạnh đáy bằng a khoảng cách giữa cạnh bên và cạnh đáy đối diện bằng m tính thể tích khối chóp theo a và m. Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. (TN-THPT2010). Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. (TN-THPT2009). Bài 4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. 1) Chứng minh SA vuông góc với BC. 2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.(TN-THPT 2008) Bài 5 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC (TN THPT 2007) Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng . 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.(TN-THPT 2006) Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy,SA=SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45o . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. (Khối A-CĐ2010). Bài 8 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có Gọi M,N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,SB và CD Chứng minh rằng đường thẳngMN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.(Khối A- CĐ2009) Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O; SA = SB = SC = SD. Biết AB = 3a, BC = 4a và SAO = 45o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. (GDTX-2010) Bài 10 Cho hình chóp.SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SB=2a Tính thể tích khối chóp theo a.(GDTX-2011) Bài 11 Cho hình chópSABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD=CD=a, AB=.3a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 45o. Tính thể tích khối chóp theo a.(TN-THPT2011) MỘT SỐ BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a và cạnh bên hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích hình chóp. Đs: Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o. 1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC . Đs: SH = 2) Tính thể tích hình chóp SABC. Đs: Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC. Đs: Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và . 1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều. Đs: 2) Tính thể tích hình chóp. Đs: Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60o.Tính thề tích hình chóp. Đs: Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a.Tính thể tích khối chóp . Đs: Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ ĐS: Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ. ĐS: Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') một góc 30o . Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ . ĐS: ; Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết AC = a và ACB=60o biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'. ĐS: , S = Bài 11: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 . Tính thể tích lăng trụ ĐS: Bài 12: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD. Đs: Bài 13: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9a3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện AB'C'D'. Đs: V = 2a3 Bài 14: Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho . Tính thể tích tứ diên AB'C'D . Đs: Bài 15: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp SAHK. Đs: Bài16: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a.Góc giữa A’B và (ABC) là 600. Gọi M,N lần lượt là trung điểm A’B và A’C. Tính thể tích khối A.BCNM. Bài 17: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a.Góc giữa (A’BC) và (ABC) là 600. Gọi K lần lượt là trung điểm A’B và H là hình chiếu của A lên A’C. Tính thể tích khối A.BCKH