Chuyên đề Luyện thi đại học - Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH 36/73 NGUYỄN HOÀNG TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG SĐT: 01234332133-0978421673 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAOĐẲNG Hueá, thaùng 7/2012 * GTLN Và GTNN của hàm số * Tiệm cận của đồ thị hàm số * KSHS hàm bậc ba, trùng phương, hửu tỉ TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư1 MỤC LỤC Bài 3. Giá tị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng đỉnh nghĩa - Dạng 2: Đặt ẩn phụ tìm GTLL và GTNN - Dạng 3:Ứng dụng giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình - Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN và GTNN trên một miền Bài 4. Tiệm cận của đồ thị hàm số - Dạng 1: Tìm tiêm cận ngang và tiệm cận đứng bằng định nghĩa - Dạng 2: Một số bài toán liên quan đến tiệm cận. Tìm m thỏa điều kiện K cho trước Chủ đề: Tiệm cận xiên (Thảo luận) - Dạng 3: Các bài toán liên quan đến tiệm cận hàm phân thức Bài 5. Khảo sát hàm số Vấn đề 1: Hàm trùng phương - Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Dạng 2: Một số bài toán liên quan đên hàm trùng phương Vấn đề 2: Hàm bậc ba - Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Dạng 2: Một số bài toán liên quan đên hàm bậc ba Vấn đề 3: Hàm phân thức hữu tỉ - Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Dạng 2: Một số bài toán liên quan đên hàm phân thức hữu tỉ www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư2 BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D  R). a)         0 0 ( ) ,max ( ) : ( )D f x M x DM f x x D f x M b)         0 0 ( ) ,min ( ) : ( )D f x m x Dm f x x D f x m 2. Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì  [ ; ][ ; ]max ( ) ( ), min ( ) ( )a ba b f x f b f x f a . b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì  [ ; ][ ; ]max ( ) ( ), min ( ) ( )a ba b f x f a f x f b . TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư3 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.  Tính f (x).  Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận. Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].  Tính f (x).  Giải phương trình f  (x) = 0 tìm được các nghiệm x 1, x2, , xn trên [a; b] (nếu có).  Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), , f(xn).  So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.    1 2[ ; ]max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )na bM f x f a f b f x f x f x    1 2[ ; ]min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )na bm f x f a f b f x f x f x BÀI TẬP MẪU: Bài 1. Tìm GTLL và GTNN (nếu có) của các hàm số sau:   3 1) 3 xa y x trên đoạn [0;2] b)     2 2 3 1 1 x xy x x DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư4 Hướng dẫn: b) Bảng biến thiên x  0 2  'y - 0 + 0 + y 3 113 Dựa vào bảng biến thiên, học sinh có thể dễ dàng xác đinh GTLL,GTNN Bài 2. Tìm GTLL và GTNN (nếu có) của các hàm số sau: a)   2 4 3y x x b)  4 22y x x c)   4 22 2y x x Hướng dẫn: b) Hàm số xác định trên  Bảng biến thiên: x  -1 0 1 'y - 0 + 0 - 0 + y  0  Dựa vào bảng biến thiên: Hàm đạt gía trị nhỏ nhất tại  1x ,    1Min y . Hàm không có giá trị lớn nhất Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: 1 3  -1 -1 TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư5   22xy x trên  0; Hướng dẫn: Hàm xác định trên tập  0;          2 0;' 0 2 xy x Bảng biến thiên x  0 2  'y - + y   8 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại   0;2, 8x Min y Hàm không có giá trị lớn nhất Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của    2 5 6y x x trên đoạn [-1;6] Hướng dẫn: Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x=-1; x=6 và đạt giá trị lớn nhất tại 52x  Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:    26 4y x x trên đoạn [0;3] Hướng dẫn: Hàm đạt giá trị lớn nhất tại x=3, nhỏ nhất tại x=0 Bài 6. (Đề thi TSĐH 2003 khối B) . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số    24y x x Hướng dẫn: Cách 1: Tập xác định   2;2D ;  www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư6        2 21 ; 0 44 xy y x xx       2 2 0 24 x xx x      max 2 2 min 2 y y Cách 2: Đặt       2sin , ;2 2x u u             2 sin cos 2 2 sin 2;2 24y u u u ;   max 2 2 ; min 2y y Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số  2 1 1 xy x trên đoạn [-1;2] Hướng dẫn: Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x=-1 và đạt giá trị lớn nhất tại 1x Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số   3 23 1y x x trên đoạn [-2;1] Hướng dẫn: Hàm đã cho xác định trên   2;1 Đặt        3 2( ) 3 1, 2;1g x x x x ,           0'( ) 0 2 2;1 xg x x Do đó:            2;1 2;1 ( ) 1; ( ) 19Max g x Ming x Ta có:                 2;1 ( ) 19;1 ( ) 0;19x g x g x       1 1(0). ( 1) 0 0;1 : ( ) 0g g x g x . Vậy         2;1 2;1( ) 19; ( ) 0Max f x Min f x BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a)     2 2 1 1 x xy x x b)   3 44 3y x x c)    4 2 3 1 ( 0)x xy xx x TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư7 d)   2 2y x x e)   2 1 2 2 xy x x f)    2 2 2 4 5 1 x xy x g)    2 1 ( 0)y x xx Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a)    3 22 3 12 1y x x x trên [–1; 5] b)   33y x x trên [–2; 3] c)   4 22 3y x x trên [–3; 2] d)   4 22 5y x x trên [–2; 2] e)   3 1 3 xy x trên [0; 2] f)   1 1 xy x trên [0; 4] g)    24 7 7 2 x xy x trên [0; 2] h)     2 2 1 1 x xy x x trên [0; 1] Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a)   2100y x trên [–6; 8] b)    2 4y x x c)   22y x x Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và gí trị nhỏ nhất của hàm số    3 2 72 90y x x x trên đoạn [-5;5] Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định trên   5;5 Đặt 3 2( ) 72 90, 5;5g x x x x x         Ta có :               6 5;5'( ) 0 4 5;5 xg x x Với      (4) 86; ( 5) 400; (5) 70g g g Do đó:         86 ( ) 400 0 ( ) 400 0 ( ) 400g x g x f x Vậy       5;5 ax ( ) 400 5M f x khi x www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư8 Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số   sin2y x x trên đoạn     ;2 Hướng dẫn:       5'( ) 0 ; ;6 6 6f x x Vậy:                          ; ;2 2 5 3 5( ) ; ( )6 2 6 2 2Max f x khi x Min f x khi x TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư9 Khi đặt ẩn phụ, cần chú ý một số điều sau:  Nếu đặt 2t x thì 0t  và giả sử    1;1 0;1x t     Nếu  sin 1;1cos t x tt x      Nếu  22sin 0;1os t x tt c x    BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. (Đề dự bị TSĐH 2003 khối B) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của     36 24 1y x x trên đoạn  1;1 . Hướng dẫn: Đặt   2 0;1u x . Ta có         33 3 24 1 3 12 12 4y u u u u u               2 2 39 24 12 0 2 0;1 uy u u u Từ đó ta được   4max 4;min 9y y Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và gí trị nhỏ nhất của hàm số    6 4 29 13 4 4y x x x trên đoạn [-1;1] Hướng dẫn: Đặt            2 0;1 , 1;1t x t x ta có:    3 2 9 1( ) 3 4 4f t t t t liên tục trên đoạn [0;1] DẠNG 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TÌM GTLL VÀ GTNN www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư10          1 2'( ) 0 3 0;12 t f t t 0;1 1;1 [ 1;1]0;1 3 1 3 2( ) ( )4 2 4 2 1 1( ) 0 ( ) 04 4 Max f t khi t hay Max f x khi x Min f t khi t hay Min f x khi x                   Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số   4 2sin os 2y x c x Hướng dẫn: Hàm đã cho xác định trên       4 2 4 2sin os 2 sin sin 3y x c x x x Đặt 2sin , 0;1t x t      . Xét hàm        2( ) 3, 0,1f t t t t Vậy          0;1 0;1 11( ) 3; ( ) 4Max f x Min f x Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số   2 s inx 1 sin s inx 1y x Hướng dẫn: Đặt     sin , 1;1t x t       2 1( ) 1;11 tf t t t , ( )f t liên tục trên   1;1 ,   '( ) 0 0f t t                           1;1 1;1 ( ) ( ) 0 sin 1 2 ,2 ( ) ( ) 0 sin 0 , Max f x Max f t khi x x k k Min f x Min f t khi x x k k Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:  2 2sin os4 4x c xy Hướng dẫn: Cách 1: TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư11      2 2 2 2 2 2sin os sin 1 sin sin sin 44 4 4 4 4 4 x c x x x x xy Đặt      2sin4 , 0;4xt t , xét hàm số       2 4 , 1;4ty tt Từ đó suy ra được:            1;4 1;1 ( ) ( ) 5 ; ( ) ( ) 4Max f x Max f t Min f x Min f t Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân ta có:   2 2sin os4 4 2 4 4.x c x Đẳng thức xảy ra khi      2 2sin os4 4 ,2 2 x c x kx k             2 2 2 2 2 2 sin sin os sin os os 4 1 4 1 4 1 0 4 4 54 1 x x c x x c x c x Đẳng thức xảy ra khi sin 0x hoặc cos 0x Vậy       4 ; 54 2 2 k kMiny khi x Maxy khi x BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a)   2sin 1 sin 2 xy x b)   2 1 cos cos 1y x x c)   22sin cos 1y x x d)   cos2 2sin 1y x x Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a)    2 4 2 1 1 xy x x b)       2 24 4 3y x x x x g)      2 24 2 5 2 3y x x x x e)  3 3sin cosy x x www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư12 Phương pháp: Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có  min ( ) ; max ( )D Df x m f x M . Khi đó: 1) Hệ phương trình    ( )f x x D có nghiệm  m    M. 2) Hệ bất phương trình    ( )f x x D có nghiệm  M  . 3) Hệ bất phương trình    ( )f x x D có nghiệm  m  . 4) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  m  . 5) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  M  . BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 0; 1 3    :  2 2 2 1 (2 ) 0 (2)m x x x x      Hướng dẫn: Đặt 2t x 2x 2   . (2)      2t 2m (1 t 2),dox [0;1 3]t 1 Khảo sát 2t 2g(t) t 1   với 1  t  2; '( ) 0g t  . Vậy g tăng trên [1,2] Do đó, ycbt  bpt 2t 2m t 1   có nghiệm t  [1,2]   tm g t g1;2 2max ( ) (2) 3   Bài 2. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân b iệt: 2 210 8 4 (2 1). 1x x m x x     Hướng dẫn: DẠNG 3: ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH: TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư13 Nhận xét: 2 2 21  0 8 4 2(2 1) 2( 1)     x x x x (pt)  2 2 2 2 1 2 12 2 01 1               x xmx x . Đặt 2 2 1 1   x tx Điều kiện : –2< t 5 . Rút m ta có: m= 22 2t t . Lập bảng biên thiên  124 5 m hoặc –5 < 4 m Bài 3.         2 2Tìm tham soá m ñeå baát phöông trình 2 24 2 (1) coù nghieäm treân 4;6 x x x x m Hướng dẫn:                          2 2 2 2 24, 4,6 thì t 0;5 ycbt tìm m ñeå baát phöông trình 24 coù nghieäm thöïc t 0;5 Xeùt haøm soá f(t)= 24, lieân tuïc treân 0;5 Ñaët t x x x t t m t t                      0;5 Ta coù: '( ) 0, 0;5 ( ) lieân tuïc vaø ñoàng bieán treân 0;5 Vaäy bpt coù nghieäm thöïc treân ñoaïn 0;5 khi ax ( ) (5) 6 f t t f t m f t m f m m Bài 4. Tìm m để hệ BPT:         2 3 2 3 0 2 2 4 0 x x x x x m m (1) có nghiệm. Giải. (1)           3 2 0 3 2 2 4 x f x x x x m m (2). Ta có:                 2 2 3 4 4 0;2 3 4 4 2;3 x x xf x x x x ; (x)  0  23x . Hàm không có đạo hàm tại  2x Nhìn BBTsuy ra:        0;3Max 3 21x f x f Để (2) có nghiệm thì      20;3Max 4x f x m m   2 4 21m m  3  m  7 www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư14 Bài 5. Tìm m để PT:     22 2sin2 1 cosx m x (1) có nghiệm      ,2 2x Giải. Do ,2 2x             ,2 4 4 x nên đặt    tg 1,12xt    2 2 1cos 1 tx t ;   2 2sin 1 tx t . Khi đó (1)        2 22 sin cos 1 cosx x m x                        2 22 2 22 2 2 2 1 12 1 2 1 21 1 t t tm f t t t mt t (2) Ta có:              22 2 1 2 2 0 1; 1 2f t t t t t t Để (2) có nghiệm   1,1t thì            1,1 1,1Min 2 Maxt tf t m f t      0 2 4 0 2m m . Vậy để (1) có nghiệm      ,2 2x thì   0;2m . @ Chú ý: ở bài trên ta đã sử dụng công thức đặt tg 2 xt  thì   2 2 1cos 1 tx t ;   2 2sin 1 tx t . Công thức này trong SGK không có. Tuy nhiên, ta nên biết để khi nào thấy “bí” đem ra dùng. Việc chứng minh công thức trên tương đối dễ dàng. Bài 4. Giải phương trình:    4 42 4 2x x Gợi ý: yêu cầu học sinh phải nắm công thức tính đạo hàm của hàm lũy thừa( chương II-Giait tích 12 Hướng dẫn: Đặt      4 42 4f x x x với  2 4x                3 34 4 1 1 1 0 34 2 4 f x x x x Nhìn BBT suy ra:         3 2 2,4f x f x  Phương trình       4 42 4 2f x x x có nghiệm duy nhất x  3 Bài 5. Giải phương trình:   3 5 6 2x x x TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư15 Hướng dẫn: PT       3 5 6 2 0x xf x x . Ta có:     3 ln3 5 ln5 6x xf x          2 23 ln3 5 ln5 0x xf x  x  (x) đồng biến Mặt khác (x) liên tục và      0 ln3 ln5 6 0f ,      1 3ln3 5ln5 6 0f  Phương trình (x)  0 có đúng 1 nghiệm x0 Nhìn bảng biến thiên suy ra: Phương trình       3 5 6 2 0x xf x x có không quá 2 nghiệm. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Giải các phương trình sau:   5 5 1(1 ) 16x x Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a)       3 6 (3 )(6 )x x x x m b) mmxxxx 2223 22  Hướng dẫn: b) (*) 2 2 2 3 2 0 3 2 2 2 x x x x x mx m                        mx xxf x xxm x 21 23)( 21 23)1(2 21 f(x) liên tục trên  1;2 và có    2 5( ) 0, 1;21f x xx     )(xf đồng biến trên  2;1 Bài toán yêu cầu 1 2(1) 2 (2) 4 3f m f m      Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  R: a)   22 1x x m c)   4 4 0mx x m Bài 4. Cho bất phương trình:     3 22 1 0x x x m . www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư16 a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2]. b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2]. Bài 5. Tìm m để các bất phương trình sau: a)    3 1mx x m có nghiệm. b)    ( 2) 1m x m x có nghiệm x  [0; 2]. c)     2 2( 1) 1m x x x x nghiệm đúng với mọi x  [0; 1]. Bài 6. Tìm m để BPT:   22 9m x x m có nghiệm đúng  x Hướng dẫn:   22 9m x x m     22 9 1m x x      22 9 1xm f x x Ta có:           2 22 2 9 2 9 2 9 2 9 1 xf x x x  0      22 9 9 6x x      2 1 1lim lim 9 212x x f x xx ;         2 1 1lim lim 9 212x x f x xx Nhìn BBT ta có   f x m ,  x             3 3Min 6 4 4x f x f m m Bài 7. Tìm m để phương trình: mx xxxx  1)1(4)1( có nghịêm Hướng dẫn: Đặt ( 1) 1 xt x x    khi đó pt cho ta m = t(t – 1) suy ra 4m TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư17 (Phần nâng cao-bồi dưỡng học sinh giỏi -Trích tài liệu của Trần Phương và tham khảo phần tài liệu Sĩ Tùng) Phương Pháp: 1. Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số.  Chứng minh một bất đẳng thức.  Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành đẳng thức. 2. Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước. Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:    0( ) (1) (2) f x y x D Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m  y0  M (3) Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:  min ( ) ; max ( )D Df x m f x M BÀI TẬP MẪU: Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số      24 2 1f x x x x Giải. Gọi y0 là 1 giá trị của hàm f(x)  tồn tại x0 sao cho y0 =   20 0 04 2 1x x x           2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 04 2 1 2 4 2 1y x x x y y x x x x  g(x0) =     2 20 0 0 03 2(1 ) 1 0x y x y . Ta có g(x) = 0 có nghiệm x0   =      2 2 20 0 0 0(1 ) 3(1 ) 2(2 1)y y y y =   0 02( 1)(2 1) 0y y DẠNG 4: Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLL và GTNN của hàm số trên một miền www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư18 Do y0 =        2 2 20 0 0 0 0 0 03 ( 1) 3 3 0x x x x x x x nên   0 2y0  1  0  0 12y . Với x =  1 2 thì Minf(x) = 1 2 Bài 2. Cho      2 5 4 .y f x x x mx Tìm các giá trị của m sao cho Min 1y Giải. Ta có                       2 1 2 2 5 4 ; x 1 4 : 5 4 ; 1 4 : x m x x Pf x x m x x P Gọi (P) là đồ thị của y = f(x)  (P) = (P1)  (P2) khi đó (P) có 1 trong các hình dạng đồ thị sau đây Hoành độ của các điểm đặc biệt trong đồ thị (P): Hoành độ giao điểm (P1), (P2) xA = 1; xB = 4 ; Hoành độ đỉnh (P1):  5 2C mx . Nhìn vào đồ thị ta xét các khả năng sau:  Nếu xC [xA, xB] m[ 3, 3] thì Minf(x) = Minf(1), f(4). Khi đó Minf(x) > 1        3 3 (1) 1 (4) 4 1 m f m f m  1 < m  3 (1)  Nếu xC [xA, xB] m[ 3, 3] thì Minf(x) =       1 1 5 2C mf x f =   2 10 9 4 m m A BC P2 P1A B C P2 P1A BC P1P2 TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Biên soạn:TrầnĐình Cư19 Khi đó Minf(x) > 1            2 [ 3,3] 3 5 2 310 13 0 m mm m (2)  Kết luận: Từ (1) và (2) suy ra Minf(x) > 1   1 5 2 3m Bài 3. Cho     , 0 1 x y x y Tìm giá trị nhỏ nhất của S =  1 1 x y x y Giải:                            2 x yS y x x y x y x y x yy x Mặt khác, S =  1 1 x y x y =  1 1y xy x =        1 1 x yx y Suy ra 2S  1 1x y   4 2 2 2 2 2 xy x y   2S  MinS = 2 . Bài 4. (Đề 33 III.2, Bộ đề thi TSĐH 1987 – 1995) Cho  2 2 1x y . Tìm Max, Min của A    1 1x y y x . Giải. 1. TìmMaxA: Sử dụng bất đẳng thức BunhiaCôpski ta có A                      2 2 2 21 1 2 2 2 2 2x y y x x y x y . Với   12x y thì Max A  2 2 2. TìmMinA: Xét 2 trường hợp sau đây • Trường hợp 1: Nếu  0xy , xét 2 khả năng sau: +) Nếu  0, 0x y thì A>0  Min 0A +) Nếu x  0, y  0 thì A          2 2( ) (1 ) (1 ) 2x y x y x y =       2 22 2 1x y x y Từ 2 khả năng đã xét suy ra với  0xy thì Min A = 1 www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: