Chuyên đề Phương pháp tính

Bài tiểu luận này được hoàn thành dựa trên kết quả tìm hiểu và học tập hết sức nghiêm túc cùng với tinh thần ham học hỏi, tìm tòi, nghiên cứu của cả nhóm chúng em trong suốt thời gian qua. Mặc dù đã rất cố gắng song do hạn chế về kiến thức nên có thể bài viết của chúng em sẽ còn có nhiều thiếu sót, NÊN CHÚNG EM RẤT MONG NHẬN ĐƯỢC ĐÓNG GÓP Ý KIẾN TỪ THẦY VÀ CÁC BẠN! CHÚNG EM XIN CHÂN THÀNH CÁM ƠN! Mục lục A. LÝ THUYẾT Đa thức nội suy Newton Ưu điểm của công thức nội suy newton là khi tăng số nút nội suy, ta không cần tính lại mà chỉ cần bổ sung thêm. Trái lại với công thức lagrange ta phải làm lại hoàn toàn. Với các bảng số liệu quá dài, người ta dùng công thức nội suy tiến để nội suy ở đầu bảng, công thức nội suy lùi để nội suy ở cuối bảng. 1. Tỷ hiệu Giả sử hàm số yi = f(x), i=0,1,2,… và xi = xi+1 – xi ≠0 ( i = 0,1,2,…) không bằng nhau. Tỷ hiệu Gọi là tỷ hiệu cấp một cảu hàm số f(x). Tương tự các định nghĩa tỷ hiệu cấp hai của hàm số f(x): Tổng quát, tỷ hiệu cấp n của hàm số f(x) nhận được từ tỷ hiệu cấp n-1 của hàm số f(x) nhờ công thức truy hồi: (n=1,2,…; i = 0,1,2,…) Chú ý rằng tỷ hiệu là các hàm số đối xứng của các đối số. chẳng hạn Một tính chất đáng chú ý cuả tỷ hiệu là: Tỷ hiệu cấp n của một đa thức bậc n bằng hằng số; tỷ hiệu cấp lớn hơn n của một đa thức bậc n bằng 0. Vì tỷ hiệu cấp 1, giống như đạo hàm cấp 1, tỷ hiệu cấp n giống như đạo hàm cấp n, nên tỷ hiệu cấp n của một đa thức bậc n bằng hằng số, vì đạo hàm cấp n của một đa thức bậc n bằng hằng số ….. 2. Đa thức nội suy newton: trường hợp nội suy không cách đều Giả sử trên đoạn [a,b] cho n+1 giá trị khác nhau của các đối số x0,x1,x2,…xn ( các xi không cách đều) và biết, đối với hàm số y = f(x), những giá trị tương ứng: bây giờ, ta xây dựng đa thức nội suy Pn(x), bậc không cao hơn n thoả mãn điều kiện: Theo cách của Newton ta có: B1: tính tỷ hiệu theo công thức: + tỉ hiệu cấp 1 à + Tỷ hiệu cấp 2 Và Thay vào công thức tính tỷ hiệu cấp 2 ở trên ta được Tiếp tục quá trình trên ta sẽ tính hết tỷ hiệu của n đối số. (1) Sau đó ta thay vào công thức sau thì sẽ ra được đa thức cần tìm. Vậy (1) là đa thức nội suy tiến newton của hàm số f(x) Chú ý khi khai triển công thức g = (x – a1)(x – a2)(x – a3)…(x – an) Các hệ số tính theo công thức sau: Xn là +1 có số hạng Xn-1 là –(a1+a2 +……+ an) có số hạng Xn-2 là +( a1a2+a1a3+…+ an-1an) có số hạng Xn-3 là – (a1a2a3 + a1a2a4 + …+ an-2an-1an) có số hạng ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xn-i là (-1)i(a1a2….ai + a1a2….ai+1 +…..+ an-i+1…..an) có số hạng ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xn-n là (-1)(a1a2……an-1an) có số hạng Vì tính duy nhất của đa thức nội suy nên đa thức này hoàn toàn giống đa thức nội suy lagrange, chỉ khác về cách xây dựng. cách xây dựng này dựa vào bảng các tỷ hiệu của hàm số f(x), nên các đa thức được thành lập dần theo các nút nội suy và khi thêm nút nội suy, không phải làm lại từ đầu như đối với đa thức nội suy lagrange. Đa thức (1) gọi là đa thức nội suy tiến xuất phát từ nút x0 của hàm số f(x). Rn(x) xác định bởi: Là sai số nội suy. Bằng cách làm tương tự ta xây dựng được đa thức nội suy newton lùi xuất phát từ nút xn của hàm số f(x) (2) Vậy (2) là đa thức nội suy newton lùi của hàm số f(x). Và đa thức nội suy newton lùi có sai số là: Chú ý: Công thức đa thức nội suy newton tiến thuận lợi cho việc nội suy giá trị của hàm số f(x) tại các điểm x gần với x0 còn công thức nội suy newton lùi thường dùng để nội suy giá trị của hàm số f(x) taị các điểm x gần với xn. Khi đổi vị trí các đối số trong bảng giá trị thì đa thức thu được vẫn không đổi vì các công thức tỷ hiệu đã cho là những công thức không có thứ tự như đa thức nội suy cách đều mà ta sẽ tìm hiểu sau đây. Newton tiến hay lùi hoàn toàn giống nhau. 3. Trường hợp đa thức nội suy cách đều a. Hiệu hữu hạn Giả sử hàm số y = f(x) được cho dưới dạng bảng x x0 x1 x2 … xi xi+1 y y0 y1 y2 … yi yi+1 Trong đó yi = f(xi), i = 0,1,2,… và các nút cách đều nghĩa là xi = x0 + ih Hay xi+1 – xi = h ( h là hằng số > 0, i = 0,1,2…) Khi đó: yi = yi+1 – yi hữu hạn điểm tiến cấp của một hàm số f(x) tại điểm xi. yi = yi+1 – yi gọi là hữu hạn tiến cấp hai của hàm số f(x) tại điểm xi. Tổng quát: yi = (yi) yi+1 - yi gọi là tỷ hiệu hữu hạn tiến cấp n của hàm số f(x) tại điểm xi. Bây giờ, ta định nghĩa các hiệu hữu hạn lùi : syi = yi – yi-1 gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp 1 của hàm số f(x) tại điểm xi s2yi =s(syi) = syi - yi-1 gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp 2 của hàm số f(x) tại điểm xi. Tổng quát: snyi = s(sn-1yi) = sn-1yi - sn-1yi-1 gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp n của hàm số f(x) tại điểm xi. Giống tỷ hiệu, hiệu hữu hạn có cùng tính chất đáng chú ý sau: hiệu hữu hạn tiến hoặc lùi cấp n của một đa thức bậc n bằng hằng số; hiệu hữu hạn tiến hoặc lùi cấp lớn hơn n của một đa thức bậc n bằng không. Dựa vào định nghĩa các tỷ hiệu, hiệu hữu hạn tiến và hiệu hữu hạn lùi, dễ dàng thiết lập được những công thức liên hệ sau (các công thức thể hiện :” tiến ở cực trái ,lùi ở cực phải”). Thật vậy : Chứng minh bằng quy nạp:giả sử công thức đúng với (n-1): b. Đa thức nội suy Newton :trường hợp các nút nội suy cách đều Vì các nút nội suy cách đều chỉ là trường hợp đặc biệt của các nút nội suy cách đều , do đó có thể xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút (NTCD) x0 của hàm số f(x) trong tường hợp các nút nội xi suy cách đều : ,,ta chỉ cần thay trong (4.20): các tỷ hiệu bằng các hiệu hữu hạn tiến tương ứng của (4.24),ta có : Lấy x0 làm gốc :Bây giờ thay biến x bằng biến t, Ta đặt : với h là khoảng cách giữa các nút nội suy. , Suy ra ,thế vào trên ta có đa thức NT theo biến t: Đó là đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 của hàm số f(x) trong trương hợp các nút nội suy xách đều . Hoàn toàn tương tự,ta nhận được công thức của đa thức nội suy Newton lùi (NLCD) xuất phát từ nút xn của hàm số f(x) trong trường hợp các nút nợi suy cách đều. Do biến đổi như sau :lấy xn làm gốc : Áp dụng công thức này ,thế vào ta có : c. Sai số của đa thức nội suy Newton trong trường hợp các nút nội suy cách đều Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n + 1 trên chứa tất cả các nút nội suy cách đều xi: . Như phần nhận xét Lagrange,ta sẽ lấy (4.10) làm sai số sấp sỉ cho Newton ,Đạt , nghĩa là thay vào (4.10) ta nhận được công thức về sai số của đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 của hàm số f(x) trong trường hợp các nút nội suy cách đều: Trong đó: c là giá trị trung gian giữa các nút nội suy x0,x1,…,xn và điểm x. Tương tự , đạt x = xn + ht ,nghĩa là ;trong đó (4.10) ta nhận được công thức về sai số của đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ nút xn của hàm số f(x) trong trường hợp các nút nội suy cách đều : Trong đó c là giá trị trung gian giữa các nút nội suy x0,x1,…,xn và điểm x. Trong trường hợp của hàm số y = f(x) hầu như không đổi và h đủ bé thì do (4.24) Ta có : Nên ta có thể xem: Và (4.27) có dạng tiến : Tương tự ,(4.28)có thể viết dưới dạng lùi: B. BÀI TẬP Bài 1: Từ bảng số liệu sau đây hãy xây dựng đa thức nội suy newton không cách đều. Tính giá trị nội suy tại x = 0 X -2 -1 2 5 Y 43 -5 -5 51471 Giải + Theo phương pháp nội suy newton tiến không cách đều Vì ta có 4 điểm nội suy nên hàm nội suy là cấp 3, vậy ta có tỉ hiệu cấp 3. Áp dụng công thức tính tỉ hiệu ta có: Tỉ hiệu cấp 1: f[x0,x1] = (y1 – y0)/(x1 – x0) = -48 f[x1,x2] = (y2 – y1)/(x2 – x1) = 0 f[x2,x3] = (y3 – y2)/(x3 – x2) = 492 Tỉ hiệu cấp 2: f[x0,x1,x2] = (f[x1,x2] - f[x0,x1])/(x2 – x0) = 12 f[x1,x2,x3] = (f[x2,x3] - f[x1,x2])/(x3 – x1) = 82 tỉ hiệu cấp 3: f[x0,x1,x2,x3] = (f[x1,x2,x3] - f[x0,x1,x2])/(x3 – x0) = 10 tổng hợp lại ta được bảng sau: n x y tỉ hiệu cấp 1 tỉ hiệu cấp 2 tỉ hiệu cấp 3 0 -2 43 1 -1 -5 -48 2 2 -5 0 12 3 5 1471 492 82 10 Sau khi tính được các tỉ hiệu ta thay vào công thức sau: f(x) = y0 + (x-x0)f[x0,x1] + (x-x0)(x-x1)f[x0,x1,x2] + (x-x0)(x-x1)(x-x2)f[x0,x1,x2] +(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)f[x0,x1,x2,x3] = 43 - (x+2)48 + (x+2)(x+1)12 +(x+2)(x+1)(x-2)10 = 10x3 + 22x2 – 52x -69 f(0) = -69 { ta có thể sử dụng excel để khai triển các đa thức, tính các hệ số như sau: Hệ số bậc 0 Hệ số bậc 1 Hệ số bậc 2 Hệ số bậc 3 Các tỉ hiệu 1 0 0 0 43 2 1 0 0 -48 2 3 1 0 12 -4 -4 1 1 10 -69 -52 22 10 Hoặc ta có thể dùng vinacal để tính nội suy tại điểm x0 = 0 sau khi đã có các tỉ hiệu Sau khi đã tính các tỉ hiệu xong ta có bảng sau: n x y tỉ hiệu cấp 1 tỉ hiệu cấp 2 tỉ hiệu cấp 3 0 -2 43 1 -1 -5 -48 2 2 -5 0 12 3 5 1471 492 82 10 Rồi ta áp dụng thuật toán: Gán ban đầu 1àB, 0àA, điểm cần tínhàD. rồi thực hiện vòng lặp: 0: X=Ans : 1: C=Ans : B = B(D-X) : A=A+BC số 0 chính là X=xi, số 1 chính là C= tỉ hiệu tương ứng. Cuối cùng A + y0 sẽ là giá trị f(x0) cuối cùng cần tìm. Áp dụng cho ví dụ trên ta có: Ta gán 1àB, 0àA, 0àD -2: X=Ans : -48: C=Ans : B = B(D-X) : A=A+BC = -1 = 3 lần bấm 12 = 4 lần 2 = 3 lần bấm 10 = 4 lần A =A+43 thì ta sẽ được kết quả là -69 + Theo phương pháp nội suy newton lùi không cách đều Vì ta có 4 điểm nội suy nên hàm nội suy là cấp 3, vậy ta có tỉ hiệu cấp 3. Áp dụng công thức tính tỉ hiệu ta có: Tỉ hiệu cấp 1: f[x3,x2] = (y2 – y3)/(x2 – x3) = 492 f[x2,x1] = (y1 – y2)/(x1 – x2) =0 f[x1,x0] = (y0 – y1)/(x0 – x1) =-48 Tỉ hiệu cấp 2: f[x3,x2,x1] = (f[x3,x2] - f[x2,x1])/(x1 – x3) =82 f[x0,x1,x2] = (f[x2,x1] - f[x1,x0])/(x0 – x2) = 12 Tỉ hiệu cấp 3: f[x3,x2,x1,x0] = (f[x4,x3,x2] - f[x3,x2,x1])/(x0 – x3) = 10 Tổng hợp lại ta được bảng sau: x y -2 43 -48 12 10 -1 -5 0 82 2 -5 492 5 1471 Tỉ hiệu cấp 1 Tỉ hiệu cấp 2 Tỉ hiệu cấp 3 Sau đó ta thay các tỉ hiệu vào công thức nội suy lùi ta được: f(x) = y4 + (x-x3)f[x3,x2] + (x-x3)(x-x2)f[x3,x2,x1] + (x-x3)(x-x2)(x-x1)f[x3,x2,x1,x0] = 1471 + (x-5)492 + (x-5)(x-2)82 + (x-5)(x-2)(x+1)10 = -69 - 52x + 22x2 + 10x3 f(0) = -69 cách bấm máy Vinacal Ta gán 1àB, 0àA, 0àD 5: X=Ans : 492: C=Ans : B = B(D-X) : A=A+BC = 2 = 3 lần bấm 82 = 4 lần -1 = 3 lần bấm 10 = 4 lần A =A+1471 thì ta sẽ được kết quả là -69 Bài 2: từ bảng số liệu sau đây: Hãy xây dựng đa thức nội suy không cách đều. Tính điểm nội suy tại x = 4 x 2 4 6 8 y 12 4 5 7 Giải Vì ta có 4 nút nội suy nên ta có hàm nội suy cấp 3 + Nội suy newton cách đều tiến Ta tính các tỉ hiệu như sau: 1y0 = y1 – y0 = -8 2y0 = y2 – y1 = 9 3y0 = y3 – y2 = -8 Tổng hợp lại ta được bảng số liệu sau: x y  1y0  2y0  3y0 2 12 4 4 -8 6 5 1 9 8 7 2 1 -8 Thay vào công thức của nội suy newton cách đều tiến ta có: f(t) = y0 + ty0 + t(t-1)+ t(t-1)(t-2) = 7 – 8t + t(t-1) - t(t-1)(t-2) hệ số bậc 0 hệ số bậc 1 hệ số bậc 2 hệ số bậc 3 1 0 0 0 12 0 1 0 0 -8 0 -1 1 0 9/2! 0 2 -3 1 -8/3! 12 -15,1667 8,5 -1,33333 = 12 – 15,1667t + 8,5t2 -1,333333t3 với x = 4 à với x0 = 2 và h = 2 à t = 1 à f(t) = 4 + Nội suy newton lùi cách đều Ta có các tỉ hiệu: 1y0 = y2 – y3 = -2 2y0 = y1 – y2 = 1 3y0 = y0 – y1 = -2 Tổng hợp lại ta được bảng sau: x y 2 12 -2 -1 -2 4 4 -1 1 6 5 -2 8 7 1y0 2y0 3y0 Thay vào công thức của nội suy newton cách đều tiến ta có: f(t) = y0 + ty0 + t(t-1)+ t(t-1)(t-2) = 7 – 2t + t(t-1) - t(t-1)(t-2) hệ số bậc 0 hệ số bậc 1 hệ số bậc 2 hệ số bậc 3 0 2 -3 1 0,333333 0 -1 1 0 2 0 1 0 0 -3 1 0 0 0 7 7 -4,33333 1 0,333333 = 7 – 3,16667t + 1,5t2 -0,333333t3 với x = 4 à với x0 = 2 và h = 2 à t = 1 à f(t) = 4 Bài 3: Từ Bảng số liệu sau đây: Hãy xây dựng đa thức nội suy tiến newton , lùi newton (không cách đều) xuất phát từ nút x0=-1 ;x0=9 Tính giá trị nội suy tại x = 3. Và tính sai số. x -1 0 4 6 9 y 6 5 7 3 8 Giải + Theo phương pháp nội suy newton tiến không cách đều. xuất phát từ nút x0=-1 Vì ta có 5 điểm nội suy nên hàm nội suy là cấp 4, vậy có tỷ hiệu cấp 4. Áp dụng công thức tính tỉ hiệu ta có: Tỉ hiệu cấp 1: f[x0,x1] = (y1 – y0)/(x1 – x0) =(5-6)/(0+1) = -1 f[x1,x2] = (y2 – y1)/(x2 – x1) = (7-5)/(4-0) = 0.5 f[x2,x3] = (y3 – y2)/(x3 – x2) = (3-7)/(6-4) = -2 f[x3,x4] = (y3 – y2)/(x3 – x2) = (6-4)/(3-2) = 1.6666667 Tỉ hiệu cấp 2: f[x0,x1,x2] = (f[x1,x2] - f[x0,x1])/(x2 – x0) = 0.3 f[x1,x2,x3] = (f[x2,x3] - f[x1,x2])/(x3 – x1) = -0.41667 f[x2,x3,x4] = (f[x3,x4] - f[x2,x3])/(x4 – x2) = 0.733333 tỉ hiệu cấp 3: f[x0,x1,x2,x3] = (f[x1,x2,x3] - f[x0,x1,x2])/(x3 – x0) = 0.11238 f[x1,x2,x3,x4] = (f[x2,x3,x4] - f[x1,x2,x3])/(x4 – x1) = 0.12778 tỉ hiệu cấp 4: f[x0,x1,x2,x3,x4] = (f[x1,x2,x3,x4] - f[x0,x1,x2,x3])/(x4 – x0) = 0.0.23016 tổng hợp lại ta được bảng sau đây: n x y tỉ hiệu cấp 1 tỉ hiệu cấp 2 tỉ hiệu cấp 3 tỉ hiệu cấp 4 0 -1 6 1 0 5 -1 2 4 7 0.5 0.3 3 6 3 -2 -0.41667 -0.10238 4 9 8 1.666667 0.733333 0.127778 0.023016 Sau đó ta thay vào công thức của đa thức nội suy không cách đều ta được: P(x) = 6 + (x+1)-1 + (x+1)(x-0).0.3 + (x+1)x(x-4).-0.10238 + (x+1)x(x-4)(x-6).0.23016 Thông qua gài công thức trong excel ta được HS 0 HS1 HS2 HS3 HS4 1 0 0 0 0 6 1 1 0 0 0 -1 0 1 1 0 0 0,3 0 -4 -3 1 0 -0,102380952 0 24 14 -9 1 0,023015873 5 0,261905 0,929365 -0,30952 0,023016 = 0,23016x4 – 0,30952x3 + 0,929365x2 – 0,261925x + 5 Vậy giá trị nội suy tại x = 3 là : f(3) = 7,657142857 Hoặc ta có thể dùng vinacal để giải -1 : X=Ans : -1 : C=Ans :B=B(D-C): A=A+BC = 0 = 2 lần bấm 0,3 = 4 lần 4 = 2 lần bấm -0,10238 = 4 lần 6 = 2 lần bấm 0,23015738 = 4 lần A=A+6 ta sẽ được kết quả là 7,65713132 Ta tính sai số theo công thức Rn(x) = (x – x0) (x – x1)… (x – xn-1) (x – xn)f[x0,x1,x2,…xn-1,xn] ở đây ta có n = 4 nên R4 (3) = (3+1)(3-0)(3-4)(3-6)(9/319) = 216/319 + Theo phương pháp nội suy newton lùi không cách đều Vì ta có 5 điểm nội suy nên hàm nội suy là cấp 4, vậy có tỷ hiệu cấp 4. Áp dụng công thức tính tỉ hiệu ta có: Tỉ hiệu cấp 1: f[x4,x3] = (y3 – y4)/(x3 – x4) =(3-8)/(6-9) = 1,66667 f[x3,x2] = (y2 – y3)/(x2 – x3) = (7-3)/(4-6) = -2 f[x2,x1] = (y1 – y2)/(x1 – x2) = (5-7)/(0-4) = 1/2 f[x1,x0] = (y0 – y1)/(x0 – x1) = (6-5)/(-1-0) = -1 Tỉ hiệu cấp 2: f[x4,x3,x2] = (f[x4,x3] - f[x2,x1])/(x2 – x4) = 0,733333 f[x3,x2,x1] = (f[x3,x2] - f[x2,x1])/(x1 – x3) = -4,41667 f[x0,x1,x2] = (f[x2,x1] - f[x1,x0])/(x0 – x2) = 3/10 Tỉ hiệu cấp 3: f[x4,x3,x2,x1] = (f[x4,x3,x2] - f[x3,x2,x1])/(x1 – x4) = 0,127778 f[x3,x2,x1,x0] = (f[x3,x2,x1] - f[x2,x1,x0])/(x0 – x3) = -0,10238 Tỉ hiệu cấp 4: f[x4,x3,x2,x1,x0] = (f[x4,x3,x2,x1] - f[x3,x2,x1,x0])/(x0 – x1) = 0,023015873 Tổng hợp lại ta được bảng sau: n x y 0 -1 6 -1 0,3 -0,10238 0,023015873 1 0 5 0,5 -0,41667 0,127778 2 4 7 -2 0,733333 3 6 3 1,666667 4 9 8 y 2y 3y 4y Ta được đa thức sau: f(y) = 9 + (y-9)1,666667 + (y-9)(y-6)0,7333333 + + (y-9)(y-6)(y-4)0,127778 +(y-9)(y-6)(y-4)y0,13015873 Ta có thể sử dụng excel để tính các hệ số HS 0 HS 1 HS 2 HS 3 HS 4 1 8 -9 1 1,666666667 54 -15 1 0,733333333 -216 114 -19 1 0,127777778 0 -216 114 -19 1 0,023015873 5 0,261905 0,929365 -0,30952 0,023016 f(y) = 0,023016y4 + 0,30952y3 + 0,929365y2 + 0,261905y + 5 f(3) = 7,657142857 Hoặc ta có thể dùng vinacal để giải 9 : X=Ans : 1,666667 : C=Ans :B=B(D-C): A=A+BC = 6 = 2 lần bấm 0,7333333 = 4 lần 4 = 2 lần bấm 0,127778 = 4 lần 0 = 2 lần bấm 0,23015738 = 4 lần A=A+9 ta sẽ được kết quả là 7,65713132 Ta tính sai số theo công thức Rn(x) = (x – xn) (x – xn-1)… (x – x1) (x – x0)f[x,xn,xn-1…,x1,x0] ở đây ta có n = 4 nên R4 (3) = (3-9)(3-6)(3-4)3(3+1)(9/319) = 216/319 Bài 2: cho bảng nội suy của một hàm như sau: x -2 -1 0 1 2 y 5 3 6 10 7 Hãy xây dựng đa thức nội suy newton của hàm số f(x) trong trường hợp các nút nội suy newton tiến (lùi) cách đều. Tính fT(2)=? Giải + Nội suy Newton tiến cách đều Vì có 5 nút nội suy nên ta có hàm nội suy cấp 4 Ta tính các tỉ hiệu như sau: 1y0 = y1 – y0 = -2 2y0 = y2 – y1 = 5 3y0 = y3 – y2 = -4 4y0 = y4 – y3 = -4 Tổng hợp lại ta được bảng sau: y  1y0  2y0  3y0  4y0 5 3 -2 6 3 5 10 4 1 -4 7 -3 -7 -8 -4 Sau đó ta áp dụng công thức đa thức nội suy newton cách đều tiến ta được = -0.16667t4 -t3 + 0.666667t2 + 4.5t + 6 àfT(2) = 7 + Nội suy newton lùi cách đều 4 y = y3 – y4 = 3 3 y = y2 – y3 = -7 2 y = y2 – y1 = 8 y = y1 – y0 = -4 Tổng hợp lại ta được bảng sau: x y -2 5 2 5 4 -4 -1 3 -3 1 8 0 6 -4 -7 1 10 3 2 7 4 y 3 y 2 y 1 y à fT(t) = 7 +(x-2) + (x-2)(x-1) + (x-2)(x-1)(x-0) + (x-2)(x-1)(x-0)(x+1) = -0.16667t4 +1.666667t3 – 7.333333t2 + 15.83333t -6 fT(2) = 7 Như vậy qua những ví dụ trên ta khẳng định được một điều: Tuy đa thức nội suy cách đều tiến hay nội suy lùi dù khác nhau về cấu trúc nhưng giá trị của hàm thì như nhau.