Chuyên đề Phương trình mũ –phương trình lôgarit

Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 1/8 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN Lý thuyết: Đa số các phương trình mũ cơ bản đều biến đổi về dạng · ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x= Û = · ( ) ( ) logf x aa c f x c= Û = , với 0, 1, 0a a c> ¹ > Một số Phương pháp giải các phương trình mũ cơ bản: 1. Phương pháp Đưa (biến đổi) về cùng một cơ số Dạng 1.1: Biến đổi về dạng ( ) ( )f x g xa a= Lưu ý các công thức .x y x ya a a += ; ( ) ( )y xx y xya a a= = ; x x y y a a a -= ; 1x xa a - = . · Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a) 2 7 122 1x x- + = b) 31 1 5 . 5 125 x x x - æ ö æ ö=ç ÷ ç ÷ è ø è ø c) 1 22 .5 0,2.10x x x- -= d) ( )2 2 46 6 1512 .3 66 x x x- - -= e) 19 8 lg9 . 4 27 lg 27 x x- æ ö æ ö =ç ÷ ç ÷ è ø è ø f) 1 15 10 .2 .5x x x x- - += g) 2 1 25 5 5 x x - + = h) 5 17 7 332 0,25.128 x x x x + + - -= i) ( ) ( ) ( ) 4 24 2 425 . 0,2 125. 0,04 x xx x xx -- + -+ = j) 1 24 .5 5.20x x x+ -= k) ( ) 1 32 4 . 0,125 4 2x x x = l) 3 2cos 2 1 cos 2 1/24 7.4 4 0x x+ +- - = Dạng 1.2: Biến đổi về dạng ( )f xa c= · Bài tập 2: Giải các phương trình sau: a) 4 1 2x 3 25.4 2 16 3 x x + + -+ - = b) ( )2 1 12 3.2 7 x x+ -- = c) 3 3 1 12 .3 2 .3 192x x x x+ -- = d) 2 2 3 1 33 9 27 675 x x x- -- + = Dạng 1.3: Biến đổi về dạng ( ) ( ). .f x f xm a n b= . (m, n là các số thực) Sau đó đưa về dạng ( ) ( ) ( )f xf x f x a n a n m b mb æ ö= Û =ç ÷ è ø (Có Dạng 1.2). Nhận dạng: Loại này có 2 cơ số khác nhau. Hãy chuyển các số hạng chứa lũy thừa với cơ số bằng nhau về cùng một vế, sau đó biến đổi cho số mũ của các lũy thừa đó bằng nhau và làm tiếp như trên. · Bài tập 3: Giải các phương trình sau: a) 4 3 23 5 3 5x x x x+ + +- = - b) 1 2 4 37.3 5 3 5x x x x+ + + +- = - Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 2/8 c) 2 lg 4 1 lg 4 lg 4 1 lg 42 7 7 3.4x x x x- -- = - d) 2 1 1 1 1 3.4 .9 6.4 .9 3 4 x x x x+ + ++ = - e) 2 2 2 21 1 22 3 3 2x x x x- - +- = - f) 0,5 3,5 2 19 2 2 3x x x x+ + -- = - Dạng 1.4: Biến đổi về phương trình tích · Bài tập : Giải các phương trình sau: a) 2 25 3 2.5 2.3x x x x= + + b) 2 2 2.2 8 2 2x xx x ++ = + c) 2 2 2 2.6 6 .6 6x x x xx x- + -+ = + d) 38 .2 2 0x xx x-- + - = Hướng dẫn: a) ( )( )2 25 3 5 3 5 3x x x x x x- = - + 2. Phương pháp đặt ẩn số phụ (đưa phương trình mũ về phương trình đại số bậc hai, bậc 3 theo ẩn số phụ) Dạng 2.1: Biến đổi về dạng ( ) ( )2. . 0f x f xm a n a p+ + = . (1) Phương pháp: Trước khi giải cần lưu ý “điều kiện xác định” của (1). Bước 1: Đặt ( ) , 0f xt a t= > . Ta có ( )( ) ( )2 22 f x f xt a a= = . PT đã cho trở thành 2. . 0 (*) 0 m t n t p t ì + + = í >î . Bước 2: Giải (*), tìm nghiệm 0t > . Bước 3: Với t tìm được, giải phương trình ( )f xa t= để tìm x. Bước 4: Kết luận (nghiệm của (1)). · Bài tập 4: Giải các phương trình sau: a) 2 5 23 3 2x x+ += + b) 2 21 39 36.3 3 0x x- -- + = c) 2 43.2 7.2 20 x x - = d) 127 13.9 13.3 27 0x x x+- + - = e) 1 3 3 64 2 12 0x x + - + = f) 2 3 3 8 2 12 0 x x x + - + = g) ( ) ( ) 105 103 3 84x x-+ = h) 4 8 2 5 23 4.3 28 2log 2x x+ +- + = i) ( )2 12 1 23 3 1 6.3 3 xx x x ++ += + - + k) Dạng 2.2: Biến đổi về dạng ( ) ( ). . 0f x f xm a n a p-+ + = hay ( ) ( ) 1 . . 0f x f x m a n p a + + = (2) Phương pháp: Trước khi giải cần lưu ý “điều kiện xác định” của (2). Bước 1: Đặt ( ) , 0f xt a t= > . Ta có ( ) ( ) 1 1f x f x a ta - = = . PT đã cho trở thành ( ) 2. . 0 (*) 0, 0 0 m t p t nn mt p t t t ì + + = + + = > Û í >î . Bước 2: Giải (*), tìm nghiệm 0t > . Bước 3: Với t tìm được, giải phương trình ( )f xa t= để tìm x. Bước 4: Kết luận (nghiệm của (2)). Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 3/8 · Bài tập 5: Giải các phương trình sau: a) 13 18.3 29x x+ -+ = b) 2 22 2 15x x+ -- = c) 1 25 5.0,2 26x x- -+ = d) 2 2sin cos2 4.2 6x x+ = e) ( ) ( )5 24 5 24 10x x+ + - = f) ( ) ( )7 48 7 48 14x x+ + - = g) 2 2 10 9 4 2 x x- + = h) 2 21 110 10 99x x+ -- = i) ( ) ( ) 33 5 16 3 5 2x x x++ + - = j) ( ) ( ) 25 1 6 5 1 2x x x+- + + = k) ( ) ( ) 35 21 7 5 21 2x x x+- + + = l) ( ) ( )7 4 3 3 2 3 2 0x x- - - + = Dạng 2.3: Biến đổi về dạng ( ) ( ) ( ) ( )2 2. . . . 0f xf x f xm a n a b p b+ + = . (m, n, p là các số thực) (3) Phương pháp: Trước khi giải cần lưu ý “điều kiện xác định” của (3). Bước 1: Chia cả hai vế của (3) cho ( )2 f xb , (hoặc ( )2 f xa ), ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 . . . . 0 f x f x f x f x f x f x f x a a b b m n p b b b + + = ( ) ( ) ( ) 2 . . 0 f x f x f x a a m n p b b æ öÛ + + =ç ÷ è ø ( ) ( )2 0 f x f x a a m n p b b æ ö æ öÛ + + =ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Phương trình này có Dạng 2.1, đã biết cách giải. Bước 2: Đặt ( ) , 0 f x a t t b æ ö= >ç ÷ è ø . Ta có ( ) ( )2 2 2 f x f x a a t b b æ öæ ö æ ö= =ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø . PT đã cho trở thành 2. . 0 (*) 0 m t n t p t ì + + = í >î . Bước 3: Giải (*), tìm nghiệm 0t > . Bước 4: Với t tìm được, giải phương trình ( )f xa t b æ ö =ç ÷ è ø để tìm x. Bước 5: Kết luận (nghiệm của (3)). · Bài tập 6: Giải các phương trình sau: a) 2 4 2 23 45.6 9.2 0x x x+ ++ - = b) 1 1 1 4 6 9x x x - - - + = c) 2 2 2 7.4 9.14 2.49 0x x x- + = d) 2 19 6 2x x x++ = e) 2 1 1 10 25 4,25.50x x x+ = f) 2 2 22 6 9 3 5 2 6 93 4.15 3.5x x x x x x- + + - - ++ = 3. Phương pháp lôgarit hóa Nhận dạng: Phương trình loại này thường có dạng ( ) ( ) ( ). .f x g x h xa b c d= . Nói chung, là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau. Cách giải: Lấy lôgarit cơ số a (hoặc b, hoặc c) cả hai vế. Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 4/8 Ta được ( ) ( ) ( )( )log . . logf x g x h xa aa b c d= ( ) ( ) ( )log log log logf x g x h xa a a aa b c dÛ + + = ( ) ( ) ( )log log loga a af x g x b h x c dÛ + + = . Biết log ;log ;loga a ab c d là các số thực. Giải phương trình thu được theo ẩn x. · Bài tập: Giải các phương trình sau: a) 2 12 3x x-= b) 7 55 7 x x = c) 23 .8 6 x x x+ = d) 4. Phương pháp sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số. (Phương pháp đánh giá hai vế). · Dạng “sử dụng tính đơn điệu” - Thường biến đổi phương trình đã cho về dạng ( ) ( )f x g x= , hay ( )f x c= Với phương trình ( ) ( )f x g x= , chúng ta thường gặp trường hợp x a= là nghiệm của phương trình, còn với mọi x a¹ thì ( )f x b> và ( )g x b< . Nghĩa là mọi x a¹ không phải là nghiệm của phương trình ( ) ( )f x g x= . Việc chứng minh ( )f x b> và ( )g x b< ta sử dụng tính đơn điệu của hàm ( )y f x= và hàm ( )y g x= . Ví dụ: Giải phương trình a) 2 2 2 23 2 2x x x x- + = + - b) 1 4 3 x xæ ö = +ç ÷ è ø a) Nhận xét: Thông thường để đánh giá các tam thức bậc hai chúng ta thường biến đổi nó về dạng tổng của các bình phương. Ở đây ta biến đổi ( ) ( )22 22 2 2 1 1 1 1x xx x x- + = - + + = - + . Lời giải: Vì ( )21 0x - ³ nên ( )22 2 2 1 1 1x x x- + = - + ³ . Suy ra 2 2 2 13 3 3xx - + ³ = . (1) Còn vế phải ( ) ( )22 22 2 3 2 1 3 1 3xx x x x+ - = - - + = - - £ . (2) Từ (1) và (2) ta suy ra phương trình đã cho ( ) 2 2 2 2 2 3 3 1 0 1 2 2 3 x x x x x x - +ì =ïÛ Û - = Û =í + - =ïî Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1x = . b) Nhận xét: Hàm số 1 3 x y æ ö= ç ÷ è ø nghịch biến trên ¡ , còn hàm số 4y x= + đồng biển trên ¡ . Nếu dùng đồ thị chúng ta co thể nhận thấy hai đồ thị này chỉ cắt nhau tại nhiều nhất 1 điểm nên phương trình đã cho có nhiều nhất 1 nghiệm. Lời giải: Dễ nhận thấy 1x = - là một nghiệm của phương trình, ta sẽ chứng minh nghiệm này duy nhất. Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 5/8 Với mọi 1x > - ta có : 11 1 3 3 3 x - æ ö æ ö< =ç ÷ ç ÷ è ø è ø (1) (do hàm số 1 3 x y æ ö= ç ÷ è ø nghịch biến trên ¡ ) 4 1 4 3x + > - + = (2) So sánh (1) và (2) ta nhận thấy mọi 1x > - không thỏa mãn phương trình đã cho. Nghĩa là mọi 1x > - không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Tương tự ta chứng minh được, mọi 1x < - không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Vậy, 1x = - là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. · Bài tập: Giải các phương trình sau: a) 2 3 2 6 9 4 x x xæ ö = - + -ç ÷ è ø b) 2cos 23 3x x= + c) 22 12 x x x x - = + d) 4 216 2 2x xx -- = + ·© Một số bài toán có cách giải khác Bài toán đưa được về dạng ( ) ( )f u f v u v= Û = , trong đó f là hàm luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định của nó. · Bài tập: Giải các phương trình sau a) ( ) 2 212 2 1x x x x- -- = - b) ( ) 2 2 214 2 1x x x x+ -- = + c) ( ) 22 2 114 2 2 1xx x x ++ -+ = + d) ( ) ( )5 3 5 3 4x x x- + - = Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 6/8 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN Lý thuyết: Đa số các phương trình mũ cơ bản đều biến đổi về dạng · ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0, 0 log loga a f x g x f x g x f x g x ì > >ï= Û í =ïî hoÆc · ( ) ( )log ca f x c f x a= Û = , với 0, 1a a> ¹ . Ngoài ra cần hcọ thuộc và sử dụng đúng các công thức biến đổi lôgarit. Một số Phương pháp giải các phương trình lôgarit cơ bản: 1. Phương pháp Đưa (biến đổi) về cùng một cơ số Dạng 1.1: Biến đổi về dạng ( ) ( )log loga af x g x= Lưu ý: Nếu các em học sinh tìm điều kiện xác định của phương trình ( ) ( )log loga af x g x= thì cần giải hệ (hoặc nêu ra) ( ) ( ) 0 0 f x g x ì >ï í >ïî . Còn nếu giải theo phép biến đổi ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0, 0 log loga a f x g x f x g x f x g x ì > >ï= Û í =ïî hoÆc thì không cần nêu hệ điều kiện xác định ở trên. Khuyến khích: Thường các em dễ mắc lỗi và hiểu không kỹ về phép biên đổi, do vậy khuyên các em nên nêu ra hệ điều kiện xác định của phương trình trước khi giải. Vì có nhiều phương trình chứa nhiều lôgarit. · Bài tập 1: Giải các phương trình sau a) ( )22log 4 7 2x x- + = b) 2 12 22log log log 9x x x+ + = c) 3 13 3 log log log 6x x x+ + = d) ( )3 1/3log 2 log 2 1 0x x- + - = e) ( ) ( )32 12log 36 log 1 log 6 2log3 log 2 3 x x x- + + = + + + f) ( ) ( )1 log lg 2 log 2 1 log 6 2 x x+ + + = g) 3 3 3 3 2log 1 log 7 1 x x x x - - + = - - h) 2log 1 3log 1 log 1 2x x x+ + - = - - i) ( ) ( ) ( )23 1 9 3 log 2 54 log 3 2log 4x x x- + + = - j) ( ) ( )2log 3 12 19 log 3 4 1x x x+ + - + = k) ( )3 3 3log 5 log 2 log 3 20 0x x- - - - = m) ( ) ( )log 2 19 log 3 20 1 log x x x - - - = - n) ( ) ( ) ( )2 21 log 10 25 log 6 3 2log 5 log 3 2 x x x x x- + + - + = - + Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 7/8 2. Phương pháp đặt ẩn số phụ (đưa phương trình mũ về phương trình đại số bậc hai, bậc 3 theo ẩn số phụ) Lưu ý: Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức ( )loga f x có nghĩa là ( ) 0f x > , chúng ta cần chú ý đến đặc điểm của phương trình đang xét (chứa căn bậc hai, chứa ẩn ở mẫu) và phải đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa. Các phép biến đổi cần chú ý: 2log 2 logna ax n x= với điều kiện 0x ¹ . · Bài tập 2: Giải các phương trình sau a) 4 log 3 logx x- = b) 2 2 12 2 log 3log log 2x x x+ + = c) 2 2 2 2 log log 2 1 log 1 x x x - - = + d) ( ) ( ) log 6 1 2 3log 6 1 x x - = - - e) ( ) ( )13 3log 3 1 .log 3 3 6x x+- - = f) 2 41 log 4log 2 4x x+ + - = g) ( ) ( ) ( )2 1 log 1 2 2 1 log 11 log 1 x xx + - + = + -+ - h) ( )3 2 3 4 4 log log 9 2 log 1 log x x æ ö - = + -ç ÷ è ø i) 2 6 2log log log 3 9x x- = - j) ( ) ( ) 3log 10 .log 0,1 log 3x x x= - k) ( )2 24 44log 2log 1 0x x- + + = l) ( ) ( )2 2 1 log 100 log 10 14 logx x x + = + m) ( )22 2 2 6 log 7 5 log 7 log x x x x + = + - æ ö+ç ÷ è ø n) ( )2 22 0,5 8 2 2 2 log 2log 3log 1 2log .log 4 2 x x x x æ ö + - =ç ÷ è ø p) ( )29 3 32log log .log 2 1 1x x x= + - 3. Phương pháp mũ hóa · Bài tập 3 : Giải các phương trình sau: a) 2 3log log 1x x+ = b) 3 5log log lg15x x+ = c) ( ) ( )3 5log 1 log 2 1 2x x+ + + = d) ( )2 5log log 3x x= + Gợi ý: a) Đặt 2tx = , ta có 3 3 3log log 2 log 2tx t= = Phương trình đã cho trở thành 2 3log 2 log 2 1t t+ = ( )3 3log 2 1 1 log 2 1t t tÛ + = Û + = 6 3 3 1 1 log 3 1 log 2 log 6 tÛ = = = + . Vậy phương trình a) có nghiệm 6log 32x = . Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 8/8 4. Phương trình lôgarit nhiều cấp (tầng) Phương pháp: Hạ từng cấp một từ ngoài vào trong theo tính chất ( ) ( )log ca f x c f x a= Û = · Bài tập 4: Giải các phương trình sau: a) ( )( )log log log 0x = b) ( )( )( )23 4 3log log log 3 0x - = c) ( )( )( )4 3 2 3 1log 2log 1 log 1 3log 2x+ + = d) 2 3 1 1 2 2 log log 3log 5 2x xæ ö- + =ç ÷ è ø e) ( )( )23 2log log 4 0x - = f) ( ) ( )4 2 2 4log log log log 2x x+ = 5. Phương pháp biến đổi về phương trình tích · Bài tập 5: Giải các phương trình sau: a) 3 273 .log 6 6 logx x x x+ = + b) 2 2 42 .log 2 4 4logx x x x+ = + c) ( ) ( )2 21 1log 4 log 4 .log 2log 2 2 x x x xæ ö æ ö- + - + = +ç ÷ ç ÷ è ø è ø d) ( )2 2 2 26 1/6log 5 2 3 log 5 2 3 2x x x x x x x x- - - - - = + 6. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Chú ý dạng: log loga au u v v- = - , có dạng ( ) ( )f u f v u v= Û = trong trường hợp f là hàm số đồng biến (hoặc nghịc biến) trên tập xác định của nó. Và phương pháp đánh giá hai vế của phương trình. · Bài tập 6: Giải các phương trình sau: a) 2log 3x x= - b) ( ) ( )2log 6 4 log 2x x x x+ - - = + + c) 1 3 log 4x x= - d) 2 2 3 2 3 log 3 2 2 4 5 x x x x x x + + = + + + + e) ( ) ( )2log 12 log 3 5x x x x- - + = + + f) ( )2 23 3log 1 log 2xx x x x+ + - = - Gợi ý: a) Điều kiện xác định: 0x > . Nhận thấy 2x = là nghiệm của phương trình a). Ta chứng minh nghiệm này duy nhất. Thật vậy, với mọi 2x > , ta có : · 2 2log log 2 1x > = (do hàm số 2logy x= đồng biến trên khoảng ( )0;+¥ ) (1) · 3 3 2 1x- < - = (2) So sánh (1) và (2) suy ra mọi 2x > đều không thỏa mãn phương trình a), nên không phải là nghiệm của phương trình. Làm tương tự ta chứng minh được mọi 0 2x< < cũng không phải là nghiệm của phương trình. Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất 2x = . © Chuyên đề và các dạng toán Ôn thi đại học, cao đẳng sẽ biên soạn sau. Hẹn các em vào dịp tới. Chúc các em học và ôn tập tốt !