Chuyên đề Phương trình và bất phương trình lý thuyết: sử dụng biến đổi tương đương –nâng cao lũy thừa(phần 1)

CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN 1 – SƯ ĐOÀN 6 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 1 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT: SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG – NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Phương trình và bất phương trình là một những chuyên đề phong phú, đa dạng, cơ bản nhưng khá hấp dẫn và chứa đựng nhiều thú vị. Phép sử dụng biến đổi tương đương – nâng cao lũy thừa trong chuyên đề này chủ yếu đề cập tới một lớp các phương trình chứa căn thức, từ mức độ đơn giản nhất tới các phức tạp nhất, đòi hỏi tư duy logic, tỉ mỉ và chính xác. Tài liệu nhỏ được viết theo trình tự kiến thức tăng dần, phù hợp với các bạn học sinh THCS (lớp 9) ôn thi vào lớp 10 THPT, các bạn học sinh THPT thi học sinh giỏi Toán các cấp và luyện thi đại học, cao đẳng. KIẾN THỨC – KỸ NĂNG CHUẨN BỊ 1. Kỹ năng nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử. 2. Kỹ năng biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, phân tích hằng đẳng thức, thêm bớt. 3. Sử dụng thành thạo các ký hiệu logic trong phạm vi toán phổ thông. 4. Nắm vững lý thuyết bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1. Giải phương trình 1 3 2 1 1 3 2 3 x x x x x        . Lời giải. Điều kiện 0 1x  . Phương trình đã cho tương đương với               3 13 2 1 1 3 1 3 1 3 1 3 3 3 2 1 2 1 4 xx x x x x x x x x x x x x                     Giá trị này thỏa mãn điều kiện. Kết luận tập nghiệm của phương trình 1 4 S       . Bài toán 2. Giải bất phương trình 3 4 1 42 2 x x x xx x      . Lời giải. Điều kiện 0 4x  . Bất phương trình đã cho tương đương với    3 2 2 4 1 3 6 2 4 1 0 0 4 4 4 4 4 1 0 4 0 4 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                           Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm  4;S   . Nhận xét. Hai bài toán trên là những dạng toán cơ bản, phức tạp hóa phương trình chứa ẩn ở mẫu thức bằng cách thay thế x bởi x . Dạng toán này quen thuộc với các bạn học sinh lớp 9 khi được học về biến đổi và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai. Trong các bài toán bất phương trình, khi chưa xác định chính xác dấu của mẫu thức lưu ý không được bỏ mẫu thức mà cần chuyển vế và giữ nguyên mẫu thức, sau đó xử lý tiếp tục. CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN 1 – SƯ ĐOÀN 6 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 2 Bài tập tương tự. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực 1 5 4 1, 11 1 4 5 6 1 2, 93 3 1 7 1 3, 5 2 2 x x x xx x x x x x xx x x x x x x x                  ________________________________________________________________________________________________ Bài toán 3. Giải phương trình 6 7 0x x x   . Lời giải. Điều kiện 0x  . Đặt  0x t t  thu được          3 2 26 7 0 1 1 7 1 0 1 7 0 1 1t t t t t t t t t t t x                   (Thỏa mãn điều kiện). Vậy tập nghiệm của phương trình ban đầu  1S  . Bài toán 4. Giải phương trình     1 2 3 24x x x x    . Lời giải. Điều kiện 0x  . Đặt  0x t t  thu được        2 21 2 3 24 3 3 2 24t t t t t t t t         . Đặt  2 3 1 0t t y y    ta có     2 5 1 1 24 25 5 y y y y y           Do 2 1 0 5 3 4 0 1 1 4 t y y t t x x t                ; Do  0x t t  . Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  1S  . Bài toán 5. Giải phương trình     21 4 2 90x x x x    . Lời giải. Điều kiện 0x  . Đặt  0x t t  thu được         2 2 2 2 21 4 2 90 5 4 4 4 90t t t t t t t t t          (1). Xét 0t  không thỏa mãn phương trình (1). Xét 0t  , phương trình (1) tương đương với 4 4 5 4 90t t t t             Đặt     94 4 0 1 90 10 u t u u u u ut             Do 2 1 14 0 9 5 0 5 4 0 4 16 t x u u t t t t xt                    Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là  1;16S  . CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN 1 – SƯ ĐOÀN 6 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 3 Nhận xét. Ba bài toán 3, 4, 5 đều là dạng phương trình bậc cao quen thuộc với ẩn  0x t t  . Điểm khác biệt là biến t không âm, do đó xuất hiện nghiệm ngoại lai, cần tính toán cẩn thận và đối chiếu nghiệm. Về các dạng phương trình bậc cao, mời các bạn tìm đọc Sở chỉ huy trung đoàn 1, 2 – Sư đoàn 5, Quân đoàn bộ binh. Bài toán tương tự. Giải các phương trình sau trên tập hợp số thực     2 2 2 2 1, 4 6 0 2 3 7 2, 61 5 1 3, 3 3 2 1 1 1 4, 5. 2 0 93 3 5, 1 3 1 2 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x                                         ________________________________________________________________________________________________ Bài toán 6. Giải phương trình 2 1 1x x   . Lời giải. Điều kiện 1 2 x   . Phương trình đã cho tương đương với    2 2 1 1 0 11 40 4 02 1 2 12 1 1 4 x x xx xx x xx x xx x x                           (Thỏa mãn điều kiện 1 2 x   ). Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm  4S  . Bài toán 7. Giải phương trình 22 2 6 5x x x    . Lời giải. Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với  2 2 2 5 15 0 5 1 1 4 2 6 10 25 3 2 1 0 1 3 3 x xx x x x x x x xx x x                            Phương trình đã cho có nghiệm 1 ;1 3 S       . Nhận xét. Hai bài toán 6 và 7 là dạng toán cơ bản của phương trình chứa căn thức (bậc hai). Các bạn chú ý đặt điều kiện cho ẩn (kể cả khi biểu thức trong căn bậc hai luôn luôn không âm). Dễ thấy một vế luôn không âm, do đó phương trình nếu có nghiệm thì vế phải không âm, đó là nguyên do phương trình luôn tương đương với một hệ điều kiện như trên. Dạng tổng quát: Phương trình      f x g x  . Điều kiện   0f x  . Khi đó         2 0 ... g x f x g x         CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN 1 – SƯ ĐOÀN 6 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 4 Bài toán 8. Giải phương trình 3 22 1 1x x x    . Lời giải. Điều kiện 3 22 1 0x x   (*). Phương trình đã cho tương đương với         23 2 2 1 1 11 0 0;1 2 0 1 2 0 2;0;12 1 2 1 x x xx x x x x x x x xx x x x                                      Thỏa mãn (*). Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm  0;1S  . Nhận xét. Trong một số phương trình, việc tìm điều kiện rất phức tạp, đôi khi mức độ khó vượt xa bài toán chính thức. Do vậy chúng ta chỉ cần đặt điều kiện hình thức, giữ đúng vai trò "chính – phụ", tất nhiên không làm ảnh hưởng đến kết quả bài toán, vì vẫn còn các phép thử lại để kết luận nghiệm. Trong trường hợp bất phương trình, biểu thức dưới dấu căn không quá phức tạp, yêu cầu tìm điều kiện chính xác. Bài toán 9. Giải phương trình 3 7 1 1x x   . Lời giải. Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với     3 2 3 27 1 3 3 1 3 4 0 1 4 0 4;0;1x x x x x x x x x x x                (Thỏa mãn phương trình đã cho). Vậy phương trình có nghiệm  4;0;1S   . Bài toán 10. Giải phương trình 22 4 1 3x x x    . Lời giải. Điều kiện 2 4 1 0x x   . Phương trình đã cho tương đương với 2 2 2 2 3 2 3 0 8 2 10 2 3 4 1 2 34 12 9 4 1 3 16 8 0 x x x x x x x x x x x x                       (Thỏa mãn 2 4 1 0x x   ). Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 8 2 10 3 x   . Nhận xét. Phương trình trong bài toán 10 ban đầu chưa có dạng      f x g x  . Thành thử cá tính "ương ngạnh" không đưa về dạng (*), có bạn bình phương trực tiếp. Hoặc là sai do thiếu điều kiện, hoặc là rất phức tạp do điều kiện cồng kềnh, thậm chí dẫn tới phương trình hệ quả chứa lũy thừa bậc 4 mà vẫn chưa khử được căn thức. Sự sáng tạo và mạo hiểm rất đáng hoan nghênh, tuy nhiên bằng bất cứ giá nào luôn phải phù hợp chân lý, bảo đảm logic và thẩm mỹ, tất nhiên tránh đi theo lối mòn mà đánh mất tư duy. Bài tập tương tự. Giải các phương trình sau trên tập hợp số thực 2 3 3 3 2 2 1, 3 1 2 2, 6 2 1 3, 3 5 2 1 4, 3 7 1 1 5, 8 2 5 x x x x x x x x x x x x x x                   CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN 1 – SƯ ĐOÀN 6 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 5 Bài toán 11. Giải bất phương trình 2 3 2 4x x x    . Lời giải. Điều kiện 2 2 3 2 0 1 x x x x        (*) Bất phương trình đã cho tương đương với 2 2 4 0 4 8 5 8 53 2 8 16 x x x xx x x x               . Kết hợp điều kiện (*) thu được nghiệm 1x  . Bài toán 12. Giải bất phương trình 22 4 7 1x x x    . Lời giải. Điều kiện x . Bất phương trình đã cho tương đương với 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0 4 344 34 2 1 4 7 2 334 4 1 4 7 3 8 6 0 4 34 3 x x x x x x xx x x x x x x x                                 Kết luận tập nghiệm: 4 34 ; 3 S        . Nhận xét. Bất phương trình là nội dung cơ bản nhưng rất dễ ngộ nhận và mắc sai sót trong tính toán, lý luận. Điều kiện của biểu thức dưới dấu căn yêu cầu độ chính xác cao (ngoại trừ trường hợp duy nhất nghiệm), nếu không sẽ ảnh hưởng mạnh mẽ đến kết quả bài toán (đi vào ngõ cụt, hoặc là đáp số sai). Dạng toán tổng quát cho hai bài 11 và 12:    f x g x (*). Điều kiện   0f x  . Khi đó         2 0 ... g x f x g x         ________________________________________________________________________________________________ Bài toán 13. Giải bất phương trình 2 5 6 1x x x    (1). Lời giải. Điều kiện 2 3 5 6 0 2 x x x x        (*) Xét 1 0 1x x    . Kết hợp điều kiện (*) suy ra bất phương trình (1) nghiệm đúng với 1x  . Xét 1 0 1x x    . Khi đó   2 2 1 5 1 1 35 6 2 1 x x x x x x           . Kết hợp điều kiện (*) thu được 5 1 3 x  . Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 5 ; 3 S      . CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN 1 – SƯ ĐOÀN 6 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 6 Bài toán 14. Giải bất phương trình 23 9 10 1 2x x x    . Lời giải. Điều kiện 2 1 9 10 1 0 1 9 x x x x         (*) Bất phương trình đã cho tương đương với 23 2 9 10 1x x x    (1). Xét 2 3 2 0 3 x x    . Kết hợp điều kiện (*), suy ra (1) nghiệm đúng với 1 9 x  . Xét 2 3 2 0 3 x x    . Bất phương trình (1) tương đương với 2 22 333 3 2 9 2 12 4 9 10 1 2 xx x xx x x x               . Kết hợp điều kiện (*) thu được 3 2 x  . Kết luận tập nghiệm của bất phương trình: 1 3 ; ; 9 2 S             . Bài toán 15. Giải bất phương trình 22 2 3 1 2x x x    . Lời giải. Điều kiện 2 1 2 3 1 0 1 2 x x x x         (*) Phương trình đã cho tương đương với   2 2 2 2 2 0 2 22 02 2 3 1 2 7 2 4 2 3 1 4 4 8 0 x x x xxx x x x xx x x x x x                                . Kết hợp điều kiện (*) thu được tập nghiệm  1; 1; 2 S        Nhận xét. Các bài toán 13, 14, 15 cùng một dạng    f x g x . Đặt điều kiện   0f x  . Xét trường hợp   0g x  , bất phương trình luôn nghiệm đúng. Kết hợp nghiệm. Xét trường hợp   0g x  . Bình phương hai vế và kết hợp nghiệm. Tổng hợp 2 trường hợp và đối chiếu điều kiện   0f x  , kết luận tập hợp nghiệm của phương trình ban đầu. Lời giải bài toán 15 có thể gọi là trình bày "trọn gói". Về bản chất không gì thay đổi, tuy có hơi cồng kềnh nhưng đảm bảo logic và dễ sửa chữa. Tùy theo gu trình bày, các bạn tùy nghi lựa chọn cho mình cách giải phù hợp. Bài tập tương tự. Giải các bất phương trình sau trên tập hợp số thực 2 2 1, 3 1 2 1 2, 2 3 2 x x x x x x         CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN 1 – SƯ ĐOÀN 6 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 7 Bài toán 16. Giải phương trình 2 1 2 1 4 1 x x     . Lời giải. Điều kiện 1 2 x  . Phương trình đã cho tương đương với 2 2 3 4 3 0 2 1 2 4 1 2 1 4 3 14 2 1 16 24 9 8 13 5 0 x x x x x x x x x x x x                          (Thỏa mãn 1 2 x  ). Vậy phương trình đã cho có nghiệm  1S  . Bài toán 17. Giải bất phương trình 2 3 2 2 2 3 2 x x x      . Lời giải. Điều kiện 2 2 1 3 x x       Bất phương trình đã cho tương đương với 2 23 2 2 3 2 6 6 2 0 0 3 2 3 2 x x x x x x x              (1). Xét 2 3 2 0 3 x x    ;   2 2 2 1 1 3 2 6 6 1 3 2 36 72 36 x x x x x x x x x               Kết hợp điều kiện thu được 1 2 x x    Xét 2 3 2 0 3 x x    ;   21 3 2 6 6x x x     (Nghiệm đúng với 2 3 x  ). Vậy bất phương trình đã cho có tập hợp nghiệm    2; 1 2; 3 S         . Bài toán 18. Giải bất phương trình 2 2 1 3 3 1 x x x      . Lời giải. Điều kiện 1; 2x x  . Bất phương trình đã cho có dạng 2 2 2 2 1 3 3 1 0 0 3 3 1 3 3 1 x x x x x x x x                (1). Xét 2 2 2 3 3 1 3 2 0 1 x x x x x x              2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 1 3 3 x x x x x x x x x               Xét 2 23 3 1 3 2 0 1 2x x x x x          .   2 22 1 2 1 2 1 1 2 2 1 3 31 3 3 x x x x x x xx x x                    Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm 1 2x  . CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN 1 – SƯ ĐOÀN 6 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 8 Bài toán 19. Giải bất phương trình 23 2 1 2 x x x x x       . Lời giải. Điều kiện 2 3 x  . Bất phương trình đã cho tương đương với 2 23 2 1 2 3 2 1x x x x x x x          2 1 1 0 1 1 5 13 1 0 5 13 215 13 5 133 2 2 1 2 2 2 x x x x x x x x x x x                              Bất phương trình đã cho có tập nghiệm 2 5 13 ; 3 2 S        . Nhận xét. Các bài toán 16 19 đều là các bất phương trình chứa một căn thức, mức độ phức tạp hóa tăng dần theo biểu thức dưới mẫu thức. Lưu ý rằng khi gặp bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, tùy theo điều kiện xác định căn thức, các bạn cần xét dấu biểu thức dưới mẫu, thực hiện chuyển vế, quy đồng mẫu và thực hiện theo các dạng cơ bản. Bài toán tương tự. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực 2 2 2 2 2 2 2 3 8 2 1, 3 1 4 3 2, 1 4 2 1 3 1 3 3, 2 3 2 4, 2 1 1 2 1 5, 2 2 3 1 6, 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                ________________________________________________________________________________________________ Bài toán 20. Giải phương trình 2 1 3 3x x    . Lời giải. Điều kiện 1 2 x  . Phương trình đã cho tương đương với     22 1 3 2 2 1 3 9 2 2 5 3 7 3x x x x x x x            2 2 2 7 7 7 3 0 3 13 18 20 12 9 42 49 62 61 0 61 x x x x xx x x x x x x                           (Thỏa mãn 1 2 x  ). Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1x  . CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN 1 – SƯ ĐOÀN 6 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 9 Bài toán 21. Giải phương trình 3 1 2 1 1x x    . Lời giải 1. Điều kiện 1 2 x  . Phương trình đã cho tương đương với 3 1 2 1 1 3 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1x x x x x x x               2 2 1 1 1 52 1 8 4 6 5 0 x x x xx x x x x                      (Thỏa mãn 1 2 x  ). Vậy phương trình đã cho nghiệm  1;5S  . Lời giải 2. Điều kiện 1 2 x  . Phương trình đã cho tương đương với   22 2 2 2 3 1 2 13 1 2 1 0 3 1 2 1 1 5 1 2 6 13 1 2 1 2 6 1 1 2 2 1;5 25 10 1 24 4 4 6 5 0 x xx x x x x x xx x x x x x x x x x x x x                                             Kết hợp điều kiện 1 2 x  ta thu được nghiệm  1;5S  . Nhận xét. Hai bài toán 20 và 21 đã tăng dần độ khó, với sự xuất hiện của hai căn bậc hai. Phương pháp biến đổi tương đương, sử dụng phép nâng lũy thừa được sử dụng theo hai hướng khác nhau. Khi nâng lũy thừa bậc chẵn, chúng ta luôn đưa hai vế về các biểu thức không âm, chú trong đơn giản, giảm thiểu sự phức tạp, hoặc tối thiểu cần có điều kiện đi kèm, nếu không sẽ xuất hiện nghiệm ngoại lai và tất yếu sẽ mắc sai lầm. Lời giải 2 bài toán 21 minh họa cho tình huống này. Bài toán 22. Giải bất phương trình 1 8 1 3x x    . Lời giải. Điều kiện 1 8 x   . Bất phương trình đã cho tương đương với 2 1 8 1 3 1 8 4 2 3 7 3 2 3 3 3 7 117 49 42 9 4 12 3 49 x x x x x x x x x xx x x x x                                 Kết luận tập nghiệm  1;S   . Bài toán tương tự. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực 1, 2 4 2 3 1 2, 3 7 2 2 3, 1 1 3 4, 2 3 2 2 x x x x x x x x                CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN 1 – SƯ ĐOÀN 6 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 10 Bài toán 23. Giải bất phương trình 2 1 1 1 3 1 1 x x      . Lời giải. Điều kiện 1 0 3 x   . Bất phương trình đã cho tương đương với 2 1 3 1 0 3 1 1 x x x       (1). Xét  3 1 1 0 0; 1 2 1 3 1 0x x x x x           . Xét  3 1 1 0 0; 1 2 1 3 1 0x x x x x           . Kết hợp điều kiện suy ra 1 0 3 x   . Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm 1 0 3 x   . Bài toán 24. Giải bất phương trình 2 5 1 2 1 0 1 x x x       . Lời giải. Điều kiện 2x  . Do 2 1x x   nên bất phương trình đã cho tương đương với 5 1 1 2 5 2 2 5 1 2 2 2 5 1 0x x x x x x x               (1). (1) vô nghiệm do 2 2 5 1 0 2x x x      . Tập nghiệm của bất phương trình là  S   . Bài toán 25. Giải bất phương trình 3 1 1 2 32 1 3 x x x x       . Lời giải. Điều kiện 0x  . Nhận xét: 0 2 1 3x x x    . Do đó bất phương trình đã cho tương đương với 2 2 3 3 1 3 3 4 1 3 2 5 3 1 3 25 3 10 6 1 3 5 5 1111 5 0 11 5 3 1 3 1111 121 110 25 9 27 121 137 16 0 16 121 x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x                                             Kết luận nghiệm của bất phương trình là 1x  . Nhận xét. Các bài toán từ 20 25 mức độ phức tạp đã tăng dần, sự xuất hiện của hai căn thức và phân thức có thể gây trở ngại cho một số bạn. Tuy nhiên phương pháp chính vẫn là sử dụng biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, đặc biệt chú ý các bất phương trình chứa ẩn ở mẫu và đối chiếu điều kiện. Bài tập tương tự. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực 1, 5 4 3 1 2, 7 2 2 2 3 2 2 1 1 3, 23 2 8 1 4 4, 1 2 8 1 x x x x x x x x x x x x x                      CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN 1 – SƯ ĐOÀN 6 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 11 Bài toán 26. Giải phương trình 3 1 4 3x x x    . Lời giải. Điều kiện 3 4