Chuyên đề Số phức

Số Phức định nghĩa số phức : Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z -Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z). -Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z). Định nghĩa số i : Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho Dạng đại số của số phức Hai số phức bằng nhau: Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau. Ví dụ : Cho tìm tất cả các số thực m để Giải : Phép cộng và phép trừ của hai số phức : Cho hai số phức . và khi đó Phép cộng . Phép trừ . Tóm lại : Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và phần ảo tương ứng. Ví dụ : Tìm phần thực và phần ảo của số phức . Giải : Phép nhân Cho hai số phức . và khi đó Phép nhân . Tóm lại : Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại số với chú ý Ví dụ : thực hiện phép tính đã cho và biểu diễn kết quả dưới dạng đại số Giải : Định nghĩa số phức liên hợp: Số phức được gọi là số phức liên hợp của số phức . Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của số phức . Giải : vậy số phức liên hợp là Tính chất của số phức liên hợp: Cho z ,w là hai số phức là hai số phức liên hợp là một số thực là một số thực khi z là một số thực  với n là số tự nhiên Phép chia hai số phức cho z = a + bi , w = c + di (w0) ta có . ( ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu ) Dạng lượng giác Imz b M(a;b)a + bi r Trục thực 0 Rez a Định nghĩa Môdun của số phức: Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như sau: ký hiệu vậy môdun của số z bằng khoảng cách từ điểm M biểu thị nó đến gốc tọa độ . Ví dụ: Tìm môdun của số phức sau . Giải : Ta có a = 4 , b = 3 vậy Mod(z) = Định nghĩa argument của số phức : Trong đó . là dạng lượng giác Mọi nghiệm của hệ phương trình gọi là argument của số phức . Mọi argument của số phức z khác nhau bội lần và ký hiệu thống nhất Argz .mỗi giá trị argument trùng với véctơ bán kính của điểm M Gócđược giới hạn trong khoảng hoặc Ví dụ: Tìm argument của số phức Giải : ta tìm góc vậy Argz = Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác: Phép nhân ở dạng lượng giác: Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại. Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : Giải : Phép chia ở dạng lượng giác: Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument trừ ra. Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : Giải : Dạng mũ số phức Định lý Euler (1707-1783): Ví dụ: Tìm dạng mũ của số phức sau. Giải : Ví dụ: Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức Giải : Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn. Dạng lũy thừa Ví dụ: tính của Giải : Lũy thừa bậc n của số phức i: vậy ta có qui luật sau đây . Giả sử n là số tự nhiên, khi đó , với r là phần dư của n chia cho 4. Ví dụ: t ính c ủa Giải : Ta . 403 = 100.4 +3 về bài toán dễ ta có thể làm theo cách này nhưng bài toán phức tạp ta nhờ vào công thức De Moivre . De Moivre : Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó ta Ví dụ: Sử dụng công thức de Moivre’s, tính: Giải : vậy . = Định nghĩa căn bậc n của số phức: Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho wn = z, trong đó n là số tự nhiên với Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt. Số nghiệm của một đa thức: Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm. Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây . Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức. Ví dụ: 1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận và Giải : Vì và là hai nghiệm nên và cũng hai nghiệm vậy không tồn tại đa thức bậc 3 thỏa ycbt Bài tập 1) tính trong C a) 9 + 5i +(7-2i) b) (2+6i)(5 c) Giải : a) 9 + 5i +(7-2i) = 12 +3i b) (2+6i)(5= c) 2) giải phương trình trong C : a) b) Giải : a) phương trình có hai nghiệm phức : b) phương trình có hai nghiệm phức 3) tìm nghiệm thực của phương trình : a) b) c) 12 Giải : a) b) 12 4) giải phương trình trong C : a) b) Giải : a) gọi Vậy phương trình có nghiệm . b) Vậy phương trình có nghiệm . 5) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận và làm nghiệm . Giải : Đa thức cần tìm là . 6)tìm tất cả các nghiệm của biết là một nghiệm . Giải : Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả ta có 2 –i là một nghiệm. P(z) có thể phân tích thành . P(z) có thể tách thành . Mà vậy phương trình có 4 nghiệm . 7) giải phương trình sau trong C : Giải : với 8) giải phương trình sau trong C Giải : a) với phương trình có hai nghiệm . phương trình có 2 nghiệm . 9) mô tả hình học các tập số phức thỏa mãn các điều kiện sau : Giải : là nửa mặt phẳng là dải là dải đặt ta có là phần trong của có tâm I(0;0) bán kính R=1 đặt ta có Là phương trình đường tròn tâm I(-1,0) bán kính R=4 . đặt ta có Là hình khuyên giữa 2 đường tròn và mà không thuộc hình khuyên đặt ta có vậy đặt ta có Là phương trình đường thẳng là hình quạt được giới hạn bởi và Là hìmh quạt giới hạn bởi các tia . và 10) Tìm dạng mũ của số phức sau: Giải : 11) chứng minh công thức Ơle (Euler) : Giải : Ta có 12) chứng minh công thức Ơle (Euler): Giải : Ta có Bài tập tự làm 13) chứng minh công thức Moivre : Nếu thì 14) tính theo Moivre : 15)chứng minh các đẳng thức : 16) tìm căn bậc 3 của số : 17) tìm nghiệm của đa thức : 18) giải phương trình trong C : 19)tìm tất cả các nghiệm của biết là một nghiệm . 109 NGUỄN THÁI BÌNH ,F3 ,TÂN AN , LONG AN