Chuyên đề Toán học

Chuyên đề Toán học –— Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééé üBài 1: Cho hàm số: y = (1), m là tham số. 1. Khảo sát hàm số (1) khi m = –1 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. üBài 2: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 –9x2 +12x –4 2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2– 9x2 +12= m. üBài 3: Cho hàm số: y = –x3 + 3mx2 – 3(m2–1)x +m3 – 2 (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ dương. üBài 4: Cho hàm số: y =. Tìm m để khoảng cách từ hai điểm cực đại và điểm cực tiểu đến đường thẳng x + y +2 = 0 bằng nhau. üBài 5: Cho hàm số y = x3 +3x2 + m2x + m Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = . üBài 6: Cho hàm số: y = (C). Tìm trên đường thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ đó có thể kẻ tới đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 45°. üBài 7: Cho hàm số: y = . Một đường thẳng thay đổi song song với đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN. üBài 8: Cho hàm số: y = –x +(C). Tìm trên (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của nó vuông góc với đường thẳng y = üBài 9: Cho hàm số: y =(C). Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(2 ;) sao cho (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B và M là trung điểm của đoạn thẳng AB. üBài 10: Cho hàm số: y =. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số đồng biến trên [1 ; +¥). üBài 11: Cho hàm số: y = x4 – 4x2 + m (C). Giả sử (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau. üBài 12: Cho hàm số: y = x3 – 3x (1) 1. Khảo sát hàm số (1). 2. Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng y = m(x +1) +2 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định. Hãy xác định các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và tại C vuông góc với nhau. üBài 13: Cho hàm số: y = x3 –3(a–1)x2 + 3a(a–2)x +1, (a là tham số) Với các giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho: 1 £ £ 2 üBài 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x2 –3x ++ 3 có ba điểm cực trị. Khi đó chứng minh rằng cả ba điểm cực trị này đều nằm trên đường cong y = 3(x–1)2. üBài 15: Cho hàm số: y =. Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. üBài 16: Cho hàm số: y = (C) 1. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị (C) đến các tiệm cận là một hằng số không đổi. 2. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. üBài 16: Cho hàm số y = ïx2 + 2x + a – 4ï. Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [–2 ; 1] đạt giá trị nhỏ nhất üBài 17: Cho hàm số: y =x3 – mx2 – x + m +1 1. Khảo sát hàm số khi m = 0 2. Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã khảo sát, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 3. Chứng minh rằng với mọi m, hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu. Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất. üBài 18: Cho hàm số: y =. Tìm các giá trị của m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho cắt các trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 18. üBài 19: Cho hàm số: y = 1. Khảo sát hàm số khi m = 1, gọi là đồ thị (C) 2. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại mọi điểm của đồ thị (C) luôn cắt hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích không đổi. üBài 20: Cho hàm số: y =(C) và đường thẳng (d): y = ax + b. Giả sử đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) tại M. A và B là giao điểm của (d) với các tiệm cận của (C) Chứng minh rằng M là trung điểm của AB. üBài 21: Cho hàm số: y =(C) và điểm A(0 ; a) Xác định a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía đối với trục Ox. üBài 22: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x4 – (m2 +10)x2 + 9 luôn cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và trong đó có hai giao điểm nằm trong khoảng (–3 ; 3) và hai giao điểm nằm ngoài khoảng (–3 ; 3). üBài 23: Cho hàm số: y = x3 –mx2 +m3 1. Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x 2. Xác định m để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC. üBài 24: Cho hàm số: y =(C) Tìm trên đường thẳng x =1 những điểm sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. üBài 25: Dựng đường thẳng qua hai cực trị của hàm số y =và tính khoảng cách giữa hai cực trị. üBài 26: Cho y = 2x3– 3x2 (C) 1. Từ (C) vẽ: y = 2ïx3ï– 3x2 2. Tìm GTLN, GTNN của: y = 2ïsinxï3– 3sin2x 3. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng. üBài 27: Tuỳ theo giá trị của tham số m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x + my – 2)2 + (4x + 2(m – 2)y – 1)2 üBài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = üBài 29: Cho các số x, y, z thuộc [0 ; 1] và thoả mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = cos(x2 + y2 +z2) üBài 30: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: y = 2(1 + sin2x.cos4x) – (cos4x – cos8x) üBài 31: Giả sử x và y là các số thay đổi thoả mãn: x> 0, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = üBài 32: Cho 3 £ x £ 6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = üBài 33: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = cosA + cosB + cosC , trong đó A, B, C là các góc của 1 tam giác bất kỳ Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééé üDạng 1: Phương trình chứa dấu căn: x2 + 3x + 1 = (x+3) x + = 2 + 3x = 5 = 2x + 2 += 1 + 2x = 3(2 +) = 2(x–1)4(2x2– 4x +1) –= 2– 2x + 2 üDạng 2: Phương trình lượng giác: 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 sin2x + 2tgx = 3 3sinx + 2cosx = 2 + 3 tgx sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x) cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + sin4x + sin4(x +) + sin4(x –) = 48 –(1 + cotg2x.cotgx) = 0 sin =sin sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2 4sin3xcos3x + 4cos3xsin3x + 3cos4x = 3 tg2x.cotg2x.cotg3x = tg2x – cotg22x + cotg3x + 2tg2x + 5 tgx + 5cotgx + 4 = 0 sin4+ cos4= 1 – 2sinx tg2x = cos + cos+ 4sinx = 2 +(1–sinx) sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx 3cotg2x + 2sin2x = (2 + 3)cosx 2cos2x + sin2x.cosx + cos2x.sinx = 2(sinx + cosx) sin2x + cos2x + tgx = 2 tg2x – tgx.tg3x = 2 cos3x – sin3x = cos2x – sin2x 3tg2x – 4tg3x = tg23x.tg2x cos3x – 2cos2x + cosx = 0 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx 2tg2x ++ 5tgx + 5cotgx + 4 = 0 sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 cos3x + = 2(1 + sin22x) 1+ cos4x – sin4x = 2cos2x với < 2 üDạng 3: Phương trình logarit: log2x + 2log7x = 2 + log2x.log7x – 36= 0 = 2 log3x+7(9 + 12x + 4x2) + log2x+3(6x2 + 23x +21) = 4 log2(+4) = x – log2(3x–1) += 2 + log2(x+1) logx[log3(–6)] = 1 log3(–4. – 2) = 3x + 1 log3 = x2 + 3x + 2 ïln(2x–3) + ln(4–x2)ï = ïln(2x–3)ï + ïln(4–x2)ï log27(x2 – 5x + 6)3 = + log9(x–3)2 = 6x + 2 = (x–1)2 6.– 13. + 6. = 0 5.– 7. + = 0 üDạng 4: Giải và biện luận phương trình hoặc bất phương trình theo tham số: x2 – (1+m) – m – 1 = 0 (x+1)2 – m = 0 2m(cosx + sinx) = 2m2 + cosx – sinx + log(x2 + ax +1) < 1 logax + loglogax ³ loga2 loga + loga + a + loga = 0 = x2 + 2mx + m üDạng 5: Hệ phương trình: üDạng 6: Bất phương trình: 2x2 +> 10x + 15 + > + üDạng 7: Tìm các giá trị của tham số để (hệ) phương trình, bất phương trình: có nghiệm có nghiệm x ³ 4 có nghiệm có nghiệm có nghiệm đúng với mọi giá trị của tham số b có đúng 1 nghiệm có nghiệm duy nhất có nghiệm với mọi x. 2asinx + (a+1)cosx = có nghiệm sin6x + cos6x = asin2x có nghiệm (m–1)log(x–2) – (m –5)log(x–2) + m –1 = 0 có 2 nghiệm thoả mãn 2 £ x1 £ x2 £ 4 có nghiệm thuộc khoảng [32 ; +¥) (a¹1) có nghiệm duy nhất và giải phương trình khi đó có 2 nghiệm phân biệt (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 – 4cos2x có 2 nghiệm thỏa mãn: 0 £ x £ ð. Bất đẳng thức, đẳng thức trong tam giác éééééééééééééééééééééééééééééééééééééé Chứng minh rằng với mọi x > 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: xa + a – 1 ³ ax. Từ đó chứng minh rằng với ba số dương bất kỳ thì : Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 thì Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a + b = c. Chứng minh rằng: Chứng minh rằng với 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 0 ta luôn có: = abc Cho các số thực a, b, c, d sao cho a ³ b ³ c ³ 0 Chứng minh rằng: a2 – b2 + c2 ³ (a – b + c)2 Cho a ³ 1 ; b ³ 1. Chứng minh rằng: a + b£ ab Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: (a + b + c) ³ 9 Cho Chứng minh rằng: Cho x,y > 0. Chứng minh rằng: Cho 3 số a, b, c > 0 thoả mãn: Chứng minh: Cho 3 số dương a, b, c và a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng: Cho x, y . Chứng minh rằng: Chứng minh rằng với mọi t ta có: Cho các số a, b, c thoả mãn: Chứng minh: ; ; Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng: Chứng minh rằng nếu a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ³ 13 Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cosAcosBcosC £ Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn hệ thức: Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. Cho tam giác ABC thoả mãn: sin(A+B)cos(A–B) = 2sinAsinB Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1. Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu các góc của nó thoả mãn: coscoscos – sinsinsin = Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi sin2A + sin2B + sin2C = cos2+ cos2 + cos2 Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức: a + b = (atgB + btgA)tg. Chứng minh rằng tam giác ABC cân hoặc vuông. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có: tg + tg + tg = Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức: atgA + btgB = (a + b)tg. Chứng minh rằng tam giác ABC cân. Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện: c2sin2A + a2sin2C = b2cotg Hãy xác định hình dạng của tam giác đó. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu: sin2A + sin2B = sin2C Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có: ü Các hệ thức cơ bản giữa các góc của tam giác: sinA + sinB +sinC = 4coscoscos cosA + cosB + cosC = 1 + 4sinsinsin sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC sinA + sinB + sinC £ cosA + cosB + cosC £ cosA.cosB.cosC £ sin2A + sin2B + sin2C £ cos + cos + cos £ cotgA + cotgB + cotgC £ Dấu = xảy ra khi ABC là tam giác đều, Nguyên hàm, tích phân và các ứng dụng của tích phân ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééé Tìm họ nguyên hàm và tính các tích phân sau: dx cotg(x +)dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx