Chuyên đề Tỷ số thể tích

PHẦN II: TỶ SỐ THỂ TÍCH Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a. Gọi M,N,P là trung điểm AB, AD, SC. Chứng minh: (MNP) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. Giải: Trong (ABCD): MN cắt AC tại E Trong (SAC): PE cắt SO tại I Ta lại có MN // BD = > (MNP) (SBD) = Ix // BD Ix SD = Q; Ix SB =T Thiết diện của (MNP) với hình chóp là ngũ giác MNQPT Tam giác AOD có NE // DO (NM // BD) = > E là trung điểm AO => EO = => EO = Xét tam giác có E, I, P thẳng hàng theo định lý Mê-nê-la-uýt ta có: => => => (QT // DB) Đặt V là thể tích hình chóp Đặt V1 là phần thể tích hình chóp chứa A. Ta có V1= VS.APQ + VS.APT + V N.PAQ + VM.APT + VA.PMN Ta lại có mà SADC = SABCD => VS.APQ = V (1) Tương tự VS.APT =V (2) Mặt khác: mà SDQP = SDSP= SDSC => VA.NQP = VS.ADC= V (3) Ta có: mà SPTB = SPBS = SBSC => VA.MPT = VA.SBC = V (4) mà SAMN = SABD = SABCD => VP.AMN = V (5) (1) + (2) +(3) + (4) + (5) => V1= V (đpcm) Bài 2: Cho hình chóp đều S.ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp a) Qua O dựng mặt phẳng vuông góc SC tại K; mặt phẳng này cắt CA, CB tương ứng tại M và N. CM: b)Cho OK= a và góc tao bởi (SAC) và (SBC) là 2. CM: Giải: a) Gọi E là trung điểm AB. AB vuông góc CE Ta lại có AB vuông góc SO(SO vuông góc đáy) => AB vuông góc SC Mặt khác: => AB // MN => MN => MN =>MN (1) Ta lại có MN//AB, E là trung điểm AB, CE MN = O => O là trung điểm MN (2) (1) và (2) => . b) Ta có (MKN) => góc giữa (SAC) và (SCB) là => Ta có: MN vuông góc OK => ON = OK.tanOKN = a.tan Mặt khác: => BE = => BA = 2BE = 3a.tan SABC = CO = Tam giác SOC vuông tại O có OK vuông góc SC => => SO = VS.ABC = Mặt khác: => V.SABC = Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có tất cả các góc ở đỉnh A và B là các tam diện đều và bằng . Tính thể tích hình chóp. Giải: Xét => CH vuông góc với AB (H là trung điểm AB) Tương tự SH vuông góc với AB => (SHC) vuông góc với AB => AB vuông góc với SC Kẻ HK vuông với SC => SC vuông góc với (AKB) Ta có => Tam giác SBC cân tại B có K là trung điểm SC => => CK = CB.SinKBC mà CB = => SC = 2CK = CH = HB tan = HK = = = VSABC = V A.SHC + V B.SHC = SHCS (AE + BE) = SHSC. AB (AB vuông góc (HSC)) (*) mà SHSC = Từ (*) => VSABC = a = Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc BC. Gọi A', D' là điểm đối xứng của A và D qua BC; B', C' là điểm đối xứng của B, C qua AD. Cm: V A'B'C'D' = 3 V ABCD Giải: Kẻ AE vuông góc BC ta có AD vuông BC => DE vuông góc BC Kẻ BF vuông góc AD ta có BC vuông góc AD => CF vuông góc AD Ta có BC vuông góc (ADE) => BC vuông góc EF AD vuông góc (BFC) => AD vuông góc EF => EF là đoạn vuông góc chung của AD và BC Mặt khác AD'A'D là hình bình hành => A'D' // DA Tương tự: B'C' // BC => EF vuông góc D'A' và C'B' (1) * EF (2) => ( AD// A'D') => EF = EP * EF C'B' = Q (3) Tương tự ở trên => EF = FQ Từ (1) (2) (3) => PQ là đoạn vuông góc chung của A'D' và B'C' Xét tứ diện A'B'C'D' ta có A'D'// AD C'B' // BC AD vuông góc BC => A'D' vuông góc B'C' mà PQ vuông góc C'B' => (A'QD') vuông góc C'B' Ta có: VA'B'C'D' = VC'.QD'A' + VB'.A'QD' = C'Q.SA'QD' + B'Q.SA'QD' = C'B'.A'D'.PQ Tương tự VABCD = BC.AD.EF mà PQ = PE + EF + FQ = 3EF => V A'B'C'D' = 3 V ABCD Bài 5: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đối đôi một bằng nhau và lần lượt bằng a,b,c. Tình thể tích tứ diện. Xét hình hộp chữ nhật có các đường chéo các mặt có độ dài lần lượt là a, b, c Gọi x, y, z tương ứng là các kích thước của hinh hộp Ta có: =xyz – 4/6 xyz = 1/3 xyz Lại có: Suy ra: Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC lần lượt bằng a,b,c. . Tính thể tích hình chóp. Dựng Kẻ Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh SA vuông góc với đáy và SC hợp với (SAB) một góc . Mặt phẳng qua A vuông góc với SC chia hình chóp thành 2 phần có thể tích là V1, V2. Tính theo . Dựng: AMSC. Ta có: Mà (SBD) không vuông góc với SC (P) (SBD) tại đường thẳng song song với BD (P)(SBD) tại PN là đường thẳng qua I song song BD (PSD, NSB) Suy ra thiết diện là tứ giác ANMP Đặt V, là thể tích của Ta có: BCAB, SABC BC(SAB) vuông tại B vuông tại A có A,I,M thẳng hàng Ta có: (1) (2) (1),(2) => k = Bài 8: Trên các cạnh SA, SB của tứ diện S.ABC lấy các điểm M, N sao cho: . Mp qua MN và // SC chia tứ diện thành 2 phần. Tính tỉ thể tích 2 phần. Giải: Gọi h, S là đường cao và diện tích đáy của hình chóp. Ta có: => SCEF = => SABFE = Mặt khác: => d VM.ABFE = Ta lại có: => VM.NBF = V1(phần chứa AB) = VM.ABFE + VN.MBF = => Bài 9: Cho tứ diện ABCD, M ở trong tứ diện. AM cắt (BCD) tại A' ; BM cắt (ACD) tại B' ; CM cắt (ABD) tại C' ; DM cắt (ABC) tại D'. CM: không phụ thuộc vị trí điểm M. Giải: Ta có => VA.MDC + VA.MBC + VA.MBD = => V - VM.BCD = ( 1 - => (1) Tương tự: (2) (3) (4) (1) + (2) + (3) + (4) =>